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Raciocínio Lógico p/ AFC/CGU - Todas as áreas
Professor: Felipe Lessa
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AULA 10: 
7. Probabilidade 
 
 
SUMÁRIO 
I. Probabilidade ± Conceitos iniciais .................................................... 2 
II. Probabilidade da União. Eventos mutuamente excludentes ................ 7 
III. Probabilidade Condicional ............................................................. 9 
IV. Probabilidade da Interseção. Eventos independentes ...................... 11 
V. Teorema de Bayes ...................................................................... 14 
VI. Teorema da Probabilidade Total................................................... 18 
VII. Mais Questões Comentadas... .................................................... 22 
VIII. Lista das Questões Apresentadas .............................................. 62 
 
 
 
 
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I. Probabilidade ± Conceitos iniciais 
 
Para começarmos a falar a mesma língua dentro da ciência da 
probabilidade, é preciso definirmos alguns conceitos básicos. Vamos a eles? 
 
Experimentos aleatórios: são experimentos que, quando repetidos, 
produzem resultados que não podem ser previstos, ou seja, resultados 
aleatórios! 
 
Abaixo, seguem exemplos clássicos de experimentos aleatórios que são 
estudados pela probabilidade e estão sempre caindo em exercícios: 
1. Jogar uma moeda pro alto e observar a face que cai voltada para 
cima (o resultado é aleatório: cara ou coroa). 
2. Jogar um dado pro alto e observar a face que cai voltada para cima 
(o resultado é aleatório:1, 2, 3, 4, 5 ou 6). 
 
Como eu falei anteriormente, a Probabilidade vai ter seu campo de atuação 
em cima dos experimentos aleatórios. Não podemos prever o resultado, 
mas poderemos afirmar a probabilidade dele ocorrer. 
 
Espaço amostral: p� R� FRQMXQWR� �ƻ�� TXH� SRVsui todos os resultados 
possíveis de determinado evento aleatório. 
 
Abaixo, seguem os espaços amostrais dos experimentos aleatórios citados: 
1. Jogar uma moeda pro alto e observar a face que cai voltada para 
cima (ƻ� �^FDUD��FRURD`) 
2. Jogar um dado pro alto e observar a face que cai voltada para cima 
(ƻ� �^��������������RX��`) 
 
Evento: é todo subconjunto (A) do espaço amostral. 
 
Abaixo, seguem exemplos de eventos observados nos nossos experimentos 
aleatórios citados: 
1. Jogar uma moeda pro alto e obter uma coroa (A = {coroa}) 
2. Jogar um dado pro alto e obter um número par (A = {2, 4, 6}) 
3. Jogar um dado pro alto e obter um número ímpar (A = {1, 3, 5}) 
4. Jogar um dado pro alto e obter o número 6 (A = {6}) 
 
 
Probabilidade de ocorrência do evento A - P(A): é a razão entre o 
número de casos favoráveis à ocorrência do evento A (n(A)) e o número 
total de resultados possíveis do espaço amostral (n(ƻ)). 
 
 
P(A) = 
࢔ሺ࡭ሻ࢔ሺࢹሻ 
 
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Vamos calcular as probabilidades dos 4 eventos que citei como exemplo 
anteriormente? 
 
1. Jogar uma moeda pro alto e obter uma coroa (A = {coroa}) 
 
ƻ� �^FDUD��FRURD` 
A = {coroa} 
n(A) = 1 
Q�ƻ�� �� 
 
P(A) = 
࢔ሺ࡭ሻ࢔ሺࢹሻ ൌ � ૚૛ 
 
OBS.: As probabilidades podem ser expressas como porcentagem (%). 
Para obter o valor em porcentagem, efetue a divisão da razão e multiplique 
por 100. Assim: 
 
P(A) = ½ = 0,5 = 50%. 
 
2. Jogar um dado pro alto e obter um número par (A = {2, 4, 6}) 
 
ƻ� �^1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = {2, 4, 6} 
n(A) = 3 
Q�ƻ�� �6 
 
P(A) = 
࢔ሺ࡭ሻ࢔ሺࢹሻ ൌ � ૜૟ 
 
Para obter o valor em porcentagem, efetue a divisão da razão e multiplique 
por 100. Assim: 
 
P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%. 
 
3. Jogar um dado pro alto e obter um número ímpar (A = {1, 3, 
5}) 
 
ƻ� �^1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = {1, 3, 5} 
n(A) = 3 
Q�ƻ�� �6 
 
P(A) = 
࢔ሺ࡭ሻ࢔ሺࢹሻ ൌ � ૜૟ 
 
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Para obter o valor em porcentagem, efetue a divisão da razão e multiplique 
por 100. Assim: 
 
P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%. 
 
4. Jogar um dado pro alto e obter o número 6 (A = {6}) 
 
ƻ� �^1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = {6} 
n(A) = 1 
Q�ƻ�� �6 
 
P(A) = 
࢔ሺ࡭ሻ࢔ሺࢹሻ ൌ � ૚૟ 
 
Para obter o valor em porcentagem, efetue a divisão da razão e multiplique 
por 100. Assim: 
 
P(A) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%. 
 
Propriedades: as probabilidades apresentam algumas propriedades 
interessantes, que você DEVE saber para a sua prova. Vamos a elas: 
 
1. A probabilidade do evento A, qualquer que seja o evento, é 
SEMPRE um número compreendido entre 0 e 1. ��”�3�$��”�� 
 
2. A soma da probabilidade de ocorrer o evento A com a 
probabilidade de NÃO ocorrer o evento A é igual a 1. P(A) + 
P(࡭ഥ) = 1 
 
 O evento ࡭ഥ é diWR�HYHQWR�³&RPSOHPHQWDU´�GH�$��H�VXD�SUREDELOLGDGH�
é P(࡭ഥ) = 1 ± P(A). 
 
3. A probabilidade de ocorrer um evento impossível é igual a 0. 
P(׎)=0 
 
Ora, se o evento é representado por um conjunto vazio, sem 
elementos, é certo que a probabilidade é igual a zero. Um exemplo 
GH�HYHQWR�LPSRVVtYHO�VHULD��³ODQoDU�XP�GDGR�H�REWHU�R�Q~PHUR��´� 
 
4. A probabilidade de ocorrer um evento certo é igual a 1. P(ࢹ)=1 
 
Ora, se o evento é representado por um conjunto igual ao espaço 
amostral, é certo que a probabilidade é igual a um, ou 100%. Um 
H[HPSOR�GH�HYHQWR�FHUWR�VHULD��³ODQoDU�XPD�PRHGD�H�REWHU�FDUD�28�
FRURD´� 
 
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��”�3�$��”�� 
 
 
P(A) + P(࡭ഥ) = 1 
 
 
P(׎)=0 
 
 
P(ࢹ)=1 
 
 
Vamos fazer uma questão de prova antiga para praticar os coneitos 
aprendidos? 
 
 
Questão 1: ESAF - AnaTA MF/MF/2013 
No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionários de 
uma empresa: 
 Mulher Homem 
Gerente 4 3 
Serviços gerais 33 102 
Departamento 
financeiro 
5 3 
 
Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; 
a probabilidade de que uma mulher que desempenha a função de 
serviços gerais ganhe a bicicleta é igual a: 
 a) 22% 
 b) 23% 
 c) 20% 
 d) 24% 
 e) 21% 
 
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SOLUÇÃO: 
 
ƻ� �{conjunto dos funcionários da empresa} 
Q�ƻ�� ���� 
 
E = {conjunto das mulheres que desempenham a função de serviços 
gerais} 
n(E) = 33 
 
P(E) = 
௡ሺாሻ௡ሺఆሻ ൌ �
ଷଷଵହ଴ ൌ ?ǡ ? ?ൌ 球球? 
Gabarito: Letra A 
* * * * * * * 
 
 
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II. Probabilidade da União. Eventos mutuamente 
excludentes 
 
A probabilidade da união nada mais é do que a probabilidade de ocorrer o 
evento A OU o evento B. 
 
A fórmula nos diz que a probabilidade de ocorrer o evento A OU o evento 
B é igual à soma das probabilidades individuais de ocorrência de cada um 
menos a probabilidade de interseção dos eventos: 
 
 
 
 ࡼሺ࡭ ׫ ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ሻ െ ࡼሺ࡭ ת ࡮ሻ 
 
 
 
Vamos fazer um exercício para ficar mais claro: 
 
 
Questão 2: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008 
Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar 
Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual 
a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e 
Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar 
Ricardo ou Fernando é igual a: 
 a) 0,04 
 b) 0,40 
 c) 0,50 
 d) 0,45 
 e) 0,95 
SOLUÇÃO: 
Aplicação direta da formula da Probabilidade da União: 
 
Sejam: 
A = Encontrar Ricardo no Futebol 
P(A) = 0,4 
B = Encontrar Fernando no Futebol 
P(A) = 0,1 
AתB = Encontrar Ricardo E Fernando no Futebol 
P(AתB) = 0,05 ܣ ׫ ܤ = Encontrar Ricardo OU Fernando no Futebol ܲሺܣ ׫ ܤሻ ൌ�ǫ ǫ ǫ 
 ܲሺܣ ׫ ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ת ܤሻ = 0,4 + 0,1 - 0,05 = 0,45 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
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Eventos mutuamente excludentes: 
 
 
 
Dois eventos A e B são mutuamente excludentes 
quando P (A ŀ B) = 0. 
 
 
 
Um exemplo clássico de eventos mutuamente excludentes: 
6HMD�ƻ�XP�XQLYHUVR�GH�����SHVVRDV�����KRPHQV�H����PXOKHUHV� 
Sejam os seguintes eventos: 
A: selecionar um homem ao acaso. 
B: selecionar uma mulher ao acaso. 
 
OS eventos A e B são mutuamente excludentes! Não há interseção entre 
os conjuntos A e B. 
 
Observem como este conceito simples caiu em prova. Questão dada! 
 
Questão 3: ESAF - ATPS (MPOG)/MPOG/Gestão Social/2012 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se 
afirmar que: 
 a) A e B são eventos independentes 
 b) P(A ŀ B) = P(A) + P(B) 
 F��3�%�$���� 
 G��3�$�%���� 
 e) P(A ŀ B) = 0 
SOLUÇÃO: 
 
Da própria definição, dois eventos A e B são mutuamente excludentes 
quando P(A ŀ B) = 0. 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
 
 
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III. Probabilidade Condicional 
 
Usamos a probabilidade condicional quando queremos calcular a 
probabilidade de ocorrência de um evento A DADO QUE um outro evento 
B já ocorreu. Simbolizamos por ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻ. 
 
Usaremos a probabilidade condicional para resolvermos questões do tipo: 
 
Exemplo: 
Joga-se um dado ao acaso e observa-se que a face é maior do que 4. 
Qual a probabilidade dela ser um número par? 
 
Ora, sejam os eventos: 
A = obter uma face par no lançamento de um dado. A = {2, 4, 6} 
B = obter uma face >4 no lançamento de um dado. B = {5, 6} 
 
Estou procurando saber exatamente P(A|B). 
 
A fórmula nos diz o seguinte: 
 
 
ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻ ൌ � ࡼሺ࡭ ת ࡮ሻࡼሺ࡮ሻ ൌ � ࢔ሺ࡭ ת ࡮ሻ࢔ሺ࡮ሻ 
 
 
A�ת B = {6} 
n(A�ת B) = 1 
n(B) = 2 
 
P(A|B) = 
૚૛ 
 
Questãozinha de prova para praticarmos... 
 
 
Questão 4: ESAF - AFPS/INSS/Administração Tributária 
Previdenciária/2002 
Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a 
probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. 
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de 
D e C. 
 a) 0,50 
 b) 0,08 
 c) 0,00 
 d) 1,00 
 e) 0,60 
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SOLUÇÃO: 
Essa questão é de aplicação direta da fórmula de Probabilidade 
Condicional. Não tem nem o que pensar. 
 
Da fórmula de probabilidade condicional, vem: 
 ܲሺܦȁܥሻ ൌ � ܲሺܦ ת ܥሻܲሺܥሻ 
 ?ǡ ? ൌ �ܲ ሺܦ ת ܥሻ ?ǡ ? ࡼሺࡰ ת ࡯ሻ ൌ ૙ǡ ૙ૡ� 
 
 
Gabarito: Letra B 
* * * * * * * 
 
 
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IV. Probabilidade da Interseção. Eventos 
independentes 
 
Acabamos de estudar a probabilidade condicional e você percebeu como, 
às vezes, a ocorrência de um evento pode afetar a probabilidade de outro. 
No nosso exemplo anterior, saber que a face do dado era maior do que 4 
impactou a probabilidade dela ser par. É bem óbvio isso: se a face era 
maior do que 4, só podia ser 5 ou 6. Como só o 6 é par, há uma 
probabilidade de 50% da face ser par, dado que ela é maior do que 4. 
 
Entretanto, muitas vezes, a ocorrência de um evento não afeta a 
probabilidade de outro. É o caso dos eventos independentes. 
 
 
Dois eventos A e B são ditos independentes 
quando a ocorrência de um não afetar a 
probabilidade do outro. Assim: 
 
P(A|B) = P(A) 
 
 
Exemplo: Exemplo clássico de eventos independentes é a observação das 
faces obtidas no lançamento de dois dados. O resultado obtido em um dado 
é completamente diferente do obtido no outro dado. 
 
Vamos fazer uma questão de prova? 
 
Questão 5: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2008 
Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente 
se: 
 a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. 
 b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
 c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
 d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de 
A. 
 e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não 
afetar a probabilidade do outro. Assim: 
P(A|B) = P(A) 
Gabarito: Letra D 
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Jogando esta propriedade na fórmula da propriedade condicional: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ � ܲሺܣ ת ܤሻܲሺܤሻ 
 
Ora, se P(A|B) = P(A) 
Temos: ܲሺܣሻ ൌ � ܲሺܣ ת ܤሻܲሺܤሻ ׵ 
 ࡼሺ࡭ ת ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ? ࡼሺ࡮ሻ 
 
 
Esta propriedade é importantíssima e você DEVE saber! Para eventos 
independentes, a probabilidade da interseção é o produto da probabilidade 
de cada um deles. 
 
 
 ࡼሺ࡭ ת ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ? ࡼሺ࡮ሻ 
 
 
Mãos à obra! 
 
 
Questão 6: ESAF - AFC (CGU)/CGU/Auditoria e 
Fiscalização/Estatística e Cálculos Atuariais/2008 
A e B são eventos independentes se: 
 a) P(A ŀ B) = P(A) + P(B). 
 b) P(A ŀ B) = P(A)
/ P(B). 
 c) P(A ŀ B) = P(A) - P(B). 
 d) P(A ŀ B) = P(A) + P(B/A). 
 e) P(A ŀ B) = P(A) P(B). 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Decorrência direta da definição. Quando dois eventos A e B são 
independentes, P(A ŀ B) = P(A) P(B). 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
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Agora um exercício numérico sobre o tema... 
 
 
Questão 7: ESAF - FR (Pref RJ)/Pref RJ/2010 
Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma 
moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda 
etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é 
colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, 
uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, 
escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um 
dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada 
cofre ficou com cinco moedas. 
Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele 
conter três moedas de ouro? 
 a) 0,15 
 b) 0,20 
 c) 0,5 
 d) 0,25 
 e) 0,7 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos olhar o problema sob a ótica de um cofre e as probabilidades que 
ele tem de receber moedas de ouro. 
 
Considere os seguintes eventos independentes: 
A = um cofre recebe moeda de ouro na primeira etapa 
B = um cofre recebe moeda de ouro na segunda etapa 
C = um cofre recebe moeda de ouro na terceira etapa 
 
Na primeira etapa, todos os cofres recebem, logo: P(A) = 1 
Na segunda etapa, apenas metade dos cofres recebem, logo: P(B) = 0,5 
Na terceira etapa, apenas metade dos cofres recebem, logo: P(C) = 0,5 
 
Como A, B e C são eventos independentes, P(AתBת&�� �3�$�Ɗ3�%�Ɗ3�&� 
 
P(AתBת&�� ��Ɗ���Ɗ���� �0,25 
 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
 
 
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V. Teorema de Bayes 
 
Este teorema costuma cair bastante em provas da ESAF. Fique esperto com 
ele. 
 
Ele diz o seguinte: 
 
 
 ࡼሺ࡭࢑ȁ࡭ሻ ൌ � ࡼሺ࡭࢑ሻ ? ࡼሺ࡭ȁ࡭࢑ሻ ? ࡼሺ࡭࢑ሻ ? ࡼሺ࡭ȁ࡭࢑ሻ࢔࢑ୀ૚ 
 
 
 
- Hein?? Não entendi nada Professor! Pode explicar melhor? 
- Realmente, nobre Aluno. Lendo a fórmula assim, ele parece ser bem 
abstrato. Você vai entender melhor quando fizermos um exercício. Adiante, 
há mais exercícios deste tópico resolvidos para você treinar mais. 
 
Vamos ao exercício: 
 
Questão 8: ESAF - AFC (CGU)/CGU/Auditoria e 
Fiscalização/Estatística e Cálculos Atuariais/2008 
Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo 
genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de 
um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto 
a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é 
de 40%. Dado que um indivíduo tem a doença, qual a probabilidade 
de ele ser da variação genética B? 
 a) 1/3. 
 b) 0,4. 
 c) 0,5. 
 d) 0,6. 
 e) 2/3. 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde) da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Após ter desenhado a árvore, preencha os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após ter preenchido a árvore com as probabilidades fornecidas pelo 
enunciado da questão, termine de preenchê-la (em vermelho) usando a 
SURSULHGDGH�GD�SUREDELOLGDGH�FRPSOHPHQWDU��RX�VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�
soma de probabilidades deve ser 100% (ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
População 
Tipo Genético A 
Tipo Genético B 
Tem doença 
Não tem doença 
Tem doença 
Não tem doença 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
População 
Tipo Genético A 
Tipo Genético B 
Tem doença 
Não tem doença 
Tem doença 
Não tem doença 
80% 
20% 
40% 
5% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Ter a doença ܣ: Não Ter a doença 
A1: Ser do tipo genético A 
A2: Ser do tipo genético B 
 
Temos: 
 
P(A1) = 80% 
P(A|A1) = 5% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 95% 
 
P(A2) = 20% 
P(A|A2) = 40% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 60% 
 
Quero saber P(A2|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 
População 
Tipo Genético A 
Tipo Genético B 
Tem doença 
Não tem doença 
Tem doença 
Não tem doença 
80% 
20% 
60% 
40% 
95% 
5% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ?ǡ 爃? ?ǡ 猃?ൌ � ? ? 
 
 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
 
0,20 0,40 
0,8 0,05 0,2 0,4 
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VI. Teorema da Probabilidade Total 
 
Ele diz o seguinte: 
 
 
 ࡼሺ࡭ሻ ൌ � ෍ ࡼሺ࡭ȁ࡭࢑ሻ � ? ࡼሺ࡭࢑ሻ࢔࢑ୀ૚ 
 
 
 
Os problemas que envolvem o Teorema da Probabilidade Total são, na sua 
essência, muito similares aqueles que envolvem o Teorema de Bayes, só 
mudando o pedido. Usamos o Teorema de Bayes quando queremos calcular 
uma probabilidade de XP� HYHQWR� GD� SULPHLUD� SDUWH� GR� ³JDOKR´� GDGD� D�
certeza de ocorrência de um evento da segunda parte do galho. Ou seja, 
calculávamos P(A1|A) a partir de P(A|A1), P(A|A2),... 
 
Agora, o teorema da Probabilidade Total virá nos ensinar a calcular a 
probabilidade do evento da segunda parte do galho, ou seja, calcular P(A) 
a partir de P(A|A1), P(A|A2),... 
 
 
 
Qual Teorema usar? Bayes Probabilidade Total 
O que pede a 
questão? 
P(A1|A) P(A) 
 
 
 
 
Vamos resolver uma questão que fica mais fácil de entender... 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 9: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2000 
Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma 
oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da 
experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, 
que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de 
probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, 
um operário, também recentemente admitido, que não tenha 
freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de 
probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos 
operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de 
treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário 
recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele 
não cumpra sua quota de produção é 
 
 a) 11,70% 
 b) 27,40% 
 c) 35% 
 d) 83% 
 e) 85% 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde) da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operários 
Treinamento 
Não Treinamento 
quota 
Não quota 
quota 
Não quota 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Após ter desenhado a árvore, preencha os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após ter preenchido a árvore com as probabilidades fornecidas pelo 
enunciado da questão, termine de preenchê-la (em vermelho) usando a 
SURSULHGDGH�GD�SUREDELOLGDGH�FRPSOHPHQWDU��RX�VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�
soma de probabilidades deve ser 100% (ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operários 
 
Treinamento 
Não treinamento 
quota 
Não quota 
quota 
Não quota 
80% 
20% 
65% 
35% 
18% 
82% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
Operários 
Treinamento 
Não Treinamento 
quota 
Não quota 
quota 
Não quota 
80% 
35% 
82% 
A 
� 
A � 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: atinge a quota ܣ: não atinge a quota 
A1: recebeu treinamento 
A2: não recebeu treinamento 
 
Temos: 
 
P(A1) = 80% 
P(A|A1) = 82% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 18% 
 
P(A2) = 20% 
P(A|A2) = 35% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 65% 
 
Quero saber P(ܣ). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
um evento da VHJXQGD�SDUWH�GR�³JDOKR´� 
 
Ora, pelo Teorema da Probabilidade Total temos: 
 ܲሺܣሻ ൌ �ܲ൫ܣ�ȁܣ ?൯ ? ሺܲܣ ?ሻ ൅ �ܲ൫ܣ�ȁܣ ?൯ ? ሺܲܣ ?ሻ 
 
 ܲሺܣሻ ൌ �ܲ൫ܣ�ȁܣ ?൯ ? ሺܲܣ ?ሻ ൅ �ܲ൫ܣ�ȁܣ ?൯ ? ሺܲܣ ?ሻ 
 
 
 
 ܲሺܣሻ ൌ � ?ǡ 球礃? = 27,40% 
 
Gabarito: Letra B 
* * * * * * * 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,18 0,8 0,65 0,20 
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VII. Mais Questões Comentadas... 
 
 
Questão 10: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e 
Orçamento/2010 
Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, 
Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que 
está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma 
antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que 
será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona 
Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, 
Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não 
pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão 
pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: 
 a) 30 % 
 b) 80 % 
 c) 62 % 
 d) 25 % 
 e) 75 % 
 
SOLUÇÃO: 
 
Designemos cada um dos amigos pela sua letra inicial. A, B, C, D e E. 
 
Sabemos que D não pertence à comissão. Logo, como a comissão é 
formada por 3 pessoas, ela pode ter as seguintes configurações: 
 
ABC 
ABE 
ACE 
BCE 
 
ƻ� �{ABC, ABE, ACE, BCE} 
Q�ƻ�� �4 
 
Seja E o conjunto das comissões em que Carlão é parte integrante: 
 
E = {ABC, ACE, BCE} 
n(E) = 3 
 
P(E) = 
௡ሺாሻ௡ሺఆሻ ൌ � ଷସ ൌ ?ǡ ? ?ൌ 礃眃? 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
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Questão 11: ESAF - APOFP SP/SEFAZ SP/2009 
Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 
40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-
fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta 
da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? 
 a) 44% 
 b) 52% 
 c) 50% 
 d) 48% 
 e) 56% 
 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
População 
 
Fumantes 
Não Fumantes 
Mulheres 
Homens 
Mulheres 
Não quota 
40% 
60% 
40% 
60% 
60% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
40% 
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Sejam os eventos: 
A: Mulheres ܣ: Homens 
A1: Fumante 
A2: não fumante 
 
Temos: 
 
P(A1) = 40% 
P(A|A1) = 40% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 60% 
 
P(A2) = 60% 
P(A|A2) = 60% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 40% 
 
Quero saber P(A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�VHJXQGD�SDUWH�GR�³JDOKR´� 
 
Ora, pelo Teorema da Probabilidade Total temos: 
 ܲሺܣሻ ൌ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ ൅ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ 
 
 ܲሺܣሻ ൌ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ ൅ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ 
 
 
 
 ܲሺܣሻ ൌ � ?ǡ 眃? = 52,00% 
 
Gabarito: Letra B 
 
SOLUÇÃO: 
 
Se você não enxergar a aplicação do Teorema nesta questão, atribua 
quantidade de elementos ao conjunto inicial e vá calculando a 
quantidade de elementos dos demais conjuntos através da 
probabilidade. 
 
Suponha, por exemplo, que a população inicial seja de 100 pessoas. 
Assim, teríamos a seguinte árvore (em número de pessoas): 
 
 
0,40 0,40 0,60 0,60 
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ƻ� �{população} 
Q�ƻ�� ���� 
 
Seja E o conjunto
das mulheres (em azul): 
n(E) = 16 + 36 = 52 
 
P(E) = 
௡ሺாሻ௡ሺఆሻ ൌ � ହଶଵ଴଴ ൌ ?ǡ ? ?ൌ 眃球? 
 
Gabarito: Letra B 
 
* * * * * * * 
 
População 
 
Fumantes 
Não Fumantes 
Mulheres 
Homens 
Mulheres 
Não quota 
40 
60 
24=40%x60 
36=60%x60 
24=60%x40 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
16=40%x40 
100 
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Questão 12: ESAF - Ana IRB/IRB/Resseguro - Administrativa - 
Financeira/2006 
Sendo qx D�SUREDELOLGDGH�GH�XPD�SHVVRD�GH�LGDGH�³[´�IDOHFHU�QHVWD�
LGDGH�³[´�H�Ty D�SUREDOLGDGH�GH�XPD�SHVVRD�GH�LGDGH�³\´�IDOHFHU�
QHVWD�LGDGH�³\´�H�Sx = (1 ± qx) e py = (1 - qy), pode-se afirmar que 
o resultado da equação [1 ± px py] indica: 
 a) a probabilidade de ambos vivos. 
 b) a probabilidade de pelo menos um vivo. 
 c) a probabilidade de pelo menos um morto. 
 d) a probabilidade de ambos mortos. 
 e) a probabilidade GH�³[´�YLYR�H�³\´�PRUWR�RX�³\´�YLYR�H�³[´�YLYR� 
 
SOLUÇÃO: 
 
Observe que px é a probabilidade de uma pessoa com X anos 
permanecer viva nesta idade. 
Por outro lado, py é a probabilidade de uma pessoa com Y anos 
permanecer viva nesta idade. 
Lembre-se que px ?py é a probabilidade de os dois eventos ocorrerem 
simultaneamente, ou seja: uma pessoa com X anos permanecer viva 
nesta idade E uma pessoa com Y anos permanecer viva nesta idade. 
 
Ora, px ?py = ambos vivos 
 
A negação de px ?py é quando pelo menos um dois está morto. Simples 
assim! 
 
Gabarito: Letra C 
* * * * * * * 
 
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Questão 13: ESAF - AUFC/TCU/1999 
Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 
3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a 
probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na 
moeda é: 
 a) 1/5 
 b) 3/10 
 c) 2/5 
 d) 3/5 
 e) 7/10 
 
SOLUÇÃO: 
 
Sejam: 
A = {2, 4, 6} ± número par no dado viciado 
P(A) = 3/5 
 ܣA? = {1, 3, 5} ± número ímpar no dado viciado 
P(ܣA?) = 1 ± P(A) = 2/5 
 
B = {coroa} ± coroa na moeda não viciada 
P(B) = 1/2 
 
Aplicação direta da formula da Probabilidade da União: 
 
Como ܣA? e B são eventos independentes, P(ܣA?תB) = P(ܣA?) ?P(B) 
 
Logo, ܲሺܣA?׫ ܤሻ ൌ ܲሺܣA?ሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣA?ת ܤሻ = ܲሺܣA?ሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣA?ሻ ? ܲሺܤሻ 
 ܲሺܣA?׫ ܤሻ ൌ � ? ?൅ ? ?െ ? ? ? ? ? ࡼሺ࡭ഥ ׫ ࡮ሻ ൌ � ૠ૚૙ 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
Questão 14: ESAF - AFT/MTE/1998 
De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em 
Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês 
nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. 
A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado 
em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em 
Francês) é igual a 
 a) 30/200 
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 b) 130/200 
 c) 150/200 
 d) 160/200 
 e) 190/200 
 
SOLUÇÃO: 
 
Trace o seguinte diagrama para lhe auxiliar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A questão quer P(A׫B). Ora, temos P(A)=80/200 e P(B)=110/200. 
Resta-nos encontrar P(AתB). 
 
Para saber quantos alunos estão matriculados em ambas as línguas, 
devemos encontrar a quantidade de elementos de AתB. 
 
Suponha que seja igual a X. Assim, o nosso diagrama fica da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que o número total de alunos é 200. Basta somar tudo e 
igualar a 200 para achar o valor de X: 
 
40 ɏ = 200 
B = 110 A = 80 
Francês Inglês 
40 ɏ = 200 
80 - X 110 - X X 
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80 ± X + X + 110 ± X = 200 
X = 30 
 
Temos 30 alunos na AתB. Assim, P(AתB) = 30/200 ܲሺܣ ׫ ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ת ܤሻ = ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣA?ሻ ? ܲሺܤሻ 
 ܲሺܣA?׫ ܤሻ ൌ � 稃? 球爃?൅ ? 猃? 球爃?െ ? ? 球爃? ࡼሺ࡭ ׫ ࡮ሻ ൌ � ૚૟૙૛૙૙ 
 
 
Gabarito: Letra D 
 
 
2ª SOLUÇÃO: 
A questão nos informa que 40 não estão matriculados nem em Inglês 
nem em Francês. Logo, 160 estão matriculados em um curso ou no 
outro. Simples assim! ࡼሺ࡭ ׫ ࡮ሻ ൌ � ૚૟૙૛૙૙ 
Gabarito: Letra D 
 
* * * * * * * 
 
Questão 15: ESAF - ATRFB/SRFB/2009 
Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado 
banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três 
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, 
sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção 
do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são então distribuídas 
aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, 
em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua 
senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém 
a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais 
próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em 
sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as 
teclas da senha? 
 a) 0,001. 
 b) 0,0001. 
 c) 0,000125. 
 d) 0,005. 
 e) 0,008. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Considere os seguintes eventos independentes: 
A = acertar a primeira tecla 
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B = acertar a segunda tecla 
C = acertar a terceira tecla 
 
Na primeira etapa, há uma tecla certa de cinco disponíveis, logo: P(A) 
= 1/5 = 0,2 
Na segunda etapa, há uma tecla certa de cinco disponíveis, logo: P(B) 
= 1/5 = 0,2 
Na terceira etapa, há uma tecla certa de cinco disponíveis, logo: P(C) = 
1/5 = 0,2 
 
Como A, B e C são eventos independentes, P(AתBת&�� �3�$�Ɗ3�%�Ɗ3�&� 
 
P(AתBת&�� ����Ɗ���Ɗ���� �0,008 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
Questão 16: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2001 
Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, 
Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A 
probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do 
jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que 
Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de 
forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que 
Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o 
jogo de futebol é: 
 a) 12,5% 
 b) 15,5% 
 c) 22,5% 
 d) 25,5% 
 e) 30% 
 
SOLUÇÃO: 
 
Tenha em mente que a probabilidade de que Beraldo não seja convidado 
por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é justamente o 
complemento da probabilidade dele ser chamado pelos 3. 
 
Considere os seguintes eventos independentes: 
A = Adalton convida 
B = Cauan convida 
C = Délius convida 
 
P(A) = 0,25 / P(ܣA?) = 0,75 
P(B) = 0,40 / P(ܤത) = 0,60 
P(C) = 0,50 / P(ܥA?) = 0,50 
 
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Como A, B e C são eventos independentes, P(ܣA?ת ܤത ת ܥA?) = P(ܣA?�Ɗ3�ܤത�Ɗ3�ܥA?) 
 
P(ܣA?ת ܤത ת ܥA?�� �����Ɗ���Ɗ���� �0,225 
 
Gabarito: Letra C 
* * * * * * * 
 
 
Questão 17: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2005 
Uma grande empresa possui dois departamentos: um de artigos 
femininos e outro de artigos masculinos. Para o corrente ano fiscal, 
o diretor da empresa estima que as probabilidades de os 
departamentos de artigos femininos e masculinos obterem uma 
margem de lucro de 10% são iguais a 30 % e 20 %, 
respectivamente. Além disso, ele estima em 5,1% a probabilidade 
de ambos os departamentos obterem uma margem de lucro de 10 
%. No final do ano fiscal, o diretor verificou que o departamento 
de artigos femininos obteve uma margem de lucro de 10%. Desse 
modo, a probabilidade de o departamento de artigos masculinos 
ter atingido a margem de lucro de 10% é igual a: 
 
 a) 17% 
 b) 20% 
 c) 25 % 
 d) 24 % 
 e) 30 % 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam: 
A: departamento de artigos masculinos obtém uma margem de lucro de 
10% 
B: departamento de artigos femininos obtém uma margem de lucro de 
10% 
 ܲሺܣሻ ൌ ?ǡ ? ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ ? ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ?ǡ 爃眃? 
Da fórmula de probabilidade condicional, vem: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ � ܲሺܣ ת ܤሻܲሺܤሻ 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ � ?ǡ 爃眃? ?ǡ ? ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻ ൌ ૙ǡ ૚ૠ ൌ ૚ૠ ꠀ 
Gabarito: Letra A 
* * * * * * * 
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Questão 18: ESAF - AFC (CGU)/CGU/2001 
Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o 
trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de 
carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, 
a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de 
metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado 
dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou 
atrasada ao seu local de trabalho. 
A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: 
 a) 10% 
 b) 30% 
 c) 40% 
 d) 70% 
 e) 82,5% 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ir ao trabalho 
Carro 
Metrô 
Atrasada 
Não atrasada 
Atrasada 
Não atrasada 
60% 
40% 
82,5% 
17,5% 
95% 
5% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Chegar atrasada ܣ: Não chegar atrasada 
A1: Ir de carro 
A2: Ir de metrô 
 
Temos: 
 
P(A1) = 60% 
P(A|A1) = 5% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 95% 
 
P(A2) = 40% 
P(A|A2) = 17,5% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 82,5% 
 
Quero saber P(A1|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ ? 
 
 
Gabarito: Letra B 
* * * * * * * 
 
0,60 0,05 
0,60 0,05 0,4 0,175 
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Questão 19: ESAF - Ana (BACEN)/BACEN/Supervisão/2002 
Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um 
motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o 
motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa 
sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum 
defeito em A e B, respectivamente. 
Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, 
assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido 
tenha sido fabricado em A. 
 a) 0,400 
 b) 0,030 
 c) 0,012 
 d) 0,308 
 e) 0,500 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Motor 
Fábrica A 
Fábrica B 
Defeito 
Bom 
Defeito 
Bom 
40% 
60% 
97% 
3% 
98% 
2% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Defeito ܣ: Bom 
A1: Fábrica A 
A2: Fábrica B 
 
Temos: 
 
P(A1) = 40% 
P(A|A1) = 2% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 98% 
 
P(A2) = 60% 
P(A|A2) = 3% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 97% 
 
Quero saber P(A1|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ 甃? ? 砃? 
 
 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
 
0,40 0,02 
0,40 0,02 0,6 0,03 
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Questão 20: ESAF - Ana Tec (SUSEP)/SUSEP/Atuaria/2010 
Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo 
genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e 
invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma 
probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um 
resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa 
desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, 
qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do 
exame foi negativo? 
 a) 30%. 
 b) 7,5%. 
 c) 25%. 
 d) 15%. 
 e) 12,5%. 
 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em
vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pessoa 
Doença 
Saudável 
Negativo 
(Falso Negativo, 
pois a pessoa é 
doente 
Positivo 
Negativo 
Positivo 
(Falso Positivo, 
pois a pessoa é 
saudável) 
30% 
70% 
10% 
90% 
70% 
30% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Negativo ܣ: Positivo 
A1: Doença 
A2: Saudável 
 
Temos: 
 
P(A1) = 30% 
P(A|A1) = 30% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 70% 
 
P(A2) = 70% 
P(A|A2) = 90% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 10% 
 
Quero saber P(A1|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ 猃球?ൌ 猃?ǡ 眃? 
 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
0,30 0,30 
0,30 0,30 0,7 0,9 
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Questão 21: ESAF - Ana Tec (SUSEP)/SUSEP/Atuaria/2002 
Uma em cada 10 pessoas de uma população tem uma determinada 
doença. Das pessoas que têm a doença, 80% reagem 
positivamente ao teste Y, enquanto 20% dos que não têm a doença 
também reagem positivamente. Uma pessoa é selecionada ao 
acaso na população e o teste Y é aplicado. 
Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que a pessoa 
selecionada não esteja realmente doente, sabendo-se que reagiu 
positivamente ao teste Y. 
 a) 16,0% 
 b) 28,0% 
 c) 95,0% 
 d) 69,2% 
 e) 40,0% 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pessoa 
Doença 
Saudável 
Y Positivo 
Y Negativo 
Y Positivo 
Y Negativo 
10% 
90% 
80% 
20% 
20% 
80% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Y Positivo ܣ: Y Negativo 
A1: Doença 
A2: Saudável 
 
Temos: 
 
P(A1) = 10% 
P(A|A1) = 80% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 20% 
 
P(A2) = 90% 
P(A|A2) = 20% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 80% 
 
Quero saber P(A2|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ?ǡ 砃? ? 
 
 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
 
0,90 0,20 
0,10 0,80 0,9 0,20 
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Questão 22: ESAF - Ana (BACEN)/BACEN/Geral/2001 
Os registros de uma instituição financeira indicam que 90% das 
contas de empréstimo consideradas inadimplentes apresentaram 
pagamentos com mais de duas semanas de atraso em pelo menos 
duas prestações. Sabe-se também que 10% de todas as contas de 
empréstimo tornam-se inadimplentes e que 40% das contas de 
empréstimo integralmente liquidadas mostram pelo menos duas 
prestações com atraso no pagamento em mais de duas semanas. 
Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que uma 
conta de empréstimo com duas ou mais prestações pagas com 
atraso de duas semanas torne-se inadimplente. 
 a) 20% 
 b) 10% 
 c) 9% 
 d) 15% 
 e) 18% 
 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contas de 
empréstimo
 
Inadimplentes 
Liquidadas 
Duas ou mais 
prestações pagas 
com atraso de 2 
semanas 
 
Duas ou mais 
prestações pagas 
com atraso de 2 
semanas 
 
 
10% 
90% 
60% 
40% 
10% 
90% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Duas ou mais prestações pagas com atraso de 2 semanas ܣ: Complemento de A 
A1: Inadimplentes 
A2: Liquidadas 
 
Temos: 
 
P(A1) = 10% 
P(A|A1) = 90% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 10% 
 
P(A2) = 90% 
P(A|A2) = 40% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 60% 
 
Quero saber P(A1|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ ? ൌ 球爃? 
 
 
Gabarito: Letra A 
* * * * * * * 
 
0,10 0,90 
0,10 0,90 0,90 0,40 
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Questão 23: ESAF - AFRE MG/SEF MG/2005 
Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode 
escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana 
escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se 
atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 
0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, 
respectivamente, 0,6 e 0,4. 
 
Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela 
ter escolhido o trajeto B é igual a: 
 a) 6/25 
 b) 6/13 
 c) 7/13 
 d) 7/25 
 e) 7/16 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
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Aeroporto
 
Trajeto A 
Trajeto B 
Atraso 
Não atraso 
Atraso 
 
Não atraso 
60% 
40% 
70% 
30% 
60% 
40% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Atraso ܣ: Não atraso 
A1: Trajeto A 
A2: Trajeto B 
 
Temos: 
 
P(A1) = 60% 
P(A|A1) = 40% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 60% 
 
P(A2) = 40% 
P(A|A2) = 30% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 70% 
 
Quero saber P(A2|ܣ). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲ൫ܣ ?หܣ൯ ൌ � ܲሺܣ ?ሻ ? ൫ܲܣȁܣ ?൯ܲሺܣ ?ሻ ?ܲ ൫ܣȁܣ ?൯ ൅ �ܲሺܣ ?ሻ ? ൫ܲܣȁܣ ?൯ 
 
 
 
 
 ܲ൫ܣ ?หܣ൯ ൌ ����� ܲሺܣ ?ሻ ? ൫ܲܣȁܣ ?൯ܲሺܣ ?ሻ ?ܲ ൫ܣȁܣ ?൯ ൅ �ܲሺܣ ?ሻ ? ൫ܲܣȁܣ ?൯ 
 
 
 
 ܲ൫ܣ ?หܣ൯ ൌ � 球? 甃?൅ 球?ൌ � ? ? 砃?ൌ � ? ? ? 
 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
0,40 0,70 
0,6 0,60 0,40 0,70 
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Questão 24: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2008 
Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de 
cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos 
castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos 
azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos 
ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa 
seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para 
seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a 
moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, 
Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros 
ou ruivos é igual a: 
 
 a) ૙ 
 
 b) 
૚૙૚ૢ 
 
 c) 
૚ૢ૞૙ 
 
 d) 
૚૙૞૙ 
 
 e)�૚ૢ૜૚ 
 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�probabilidades deve ser 100% (ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ. 
 
Nesta questão, faremos algumas ressalvas: 
1. Consideraremos que só existem garotas de olhos azuis ou castanhos. 
2. Para achar a probabilidade de loiros, pretos e ruivos, dividimos a 
quantidade pelo total de meninas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quero saber P(A1|A) + P(A3|A) 
 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ ൅ �ܲሺܣଷሻ ? ሺܲܣȁܣଷሻ 
 
 
 
Cabelos 
Loiros 
Pretos 
Olhos castanhos 
Olhos azuis 
Olhos castanhos 
 
Olhos azuis 
26/50 
18/50 
9/18 
8/26 
18/26 
A 
� 
A � 
A1 
A2 
Ruivos 
Olhos castanhos 
 
Olhos azuis 
6/50 
2/6 
A � A3 
9/18 
50 
4/6 
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 ܲሺܣଷȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଷሻ ? ሺܲܣȁܣଷሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ ൅ �ܲሺܣଷሻ ? ሺܲܣȁܣଷሻ 
 
 
 
Assim, ܲሺܣଵȁܣሻ ൅ ܲሺܣଷȁܣሻ ൌ ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଷሻ ? ሺܲܣȁܣଷሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ ൅ ܲሺܣଷሻ ? ሺܲܣȁܣଷሻ 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൅ ܲሺܣଷȁܣሻ ൌ 球? 眃? ? ? ? ?൅ ? ? ? ? ? ? 球? ? ? ? ? ? ?൅ ? ? 眃? ? ? ? ?൅ ? ? ? ? ? ? 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൅ ܲሺܣଷȁܣሻ ൌ 球? 眃? ? ? ? ?൅ ? 眃? ? ? ? 球? 眃? ? ? ? ?൅ ? ? 眃? ? ? ? ?൅ ? 眃? ? ? ?ൌ ?൅ ? ? ൅ ? ൅ ?ൌ ? ? 猃? 
 
 
 
Gabarito: Letra B 
* * * * * * * 
 
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Questão 25: ESAF - Estat (MIN)/MIN/Estatística/2012 
O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da 
população adulta em determinada região é feito por um invasivo 
exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas 
mostraram que esse exame produz um resultado falso positivo em 
10% dos casos e produz um resultado falso negativo em 40% dos 
casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o 
resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa 
ter a doença. 
 
 a) 20% 
 b) 15% 
 c) 10% 
 d) 5% 
 e) 0% 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pessoa 
Doença 
Saudável 
Negativo 
(Falso Negativo, 
pois a pessoa é 
doente 
Positivo 
Negativo 
Positivo 
(Falso Positivo, 
pois a pessoa é 
saudável) 
20% 
80% 
10% 
90% 
60% 
40% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Quero saber P(A1|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ 猃?ൌ 猃爃? 
 
 
Gabarito: Letra C 
* * * * * * * 
 
0,20 0,40 
0,20 0,40 0,8 0,9 
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Questão 26: ESAF - ATPS (MPOG)/MPOG/Gestão Social/2012 
Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% 
das mulheres tem mais do que 40 anos.
Por outro lado, 60% dos 
moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada 
neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e 
premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o morador que 
ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a 
probabilidade de que este morador seja mulher é igual a: 
 a) 3/7 
 b) 8/15 
 c) 3/15 
 d) 1/30 
 e) 4/19 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�de probabilidades deve ser 100% (ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condomínio
 
Homem 
Mulher 
> 40 
< 40 
> 40 
< 40 
60% 
40% 
98% 
2% 
95% 
5% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Ter mais de 40 anos ܣ: Ter menos de 40 anos 
A1: Ser homem 
A2: Ser mulher 
 
Temos: 
 
P(A1) = 60% 
P(A|A1) = 5% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 95% 
 
P(A2) = 40% 
P(A|A2) = 2% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 98% 
 
Quero saber P(A2|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ?ǡ 爃爃? ?ǡ 爃? ? ൅ � ?ǡ 爃? ? 
 ܲሺܣଶȁܣሻ ൌ � ?ǡ 爃? ? ?ǡ 爃? ?ൌ ? ? ?ൌ ? ? ? 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
0,40 0,02 
0,60 0, 05 0,40 0,02 
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Questão 27: ESAF - EPPGG/MPOG/2013 
Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade 
de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao 
DFDVR��XP�Q~PHUR�]�GR�FRQMXQWR�=�GDGR�SHOR�LQWHUYDOR�^]�İ�1�_���”�
]�”���`��6e ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do 
LQWHUYDOR�3� �^S�İ�1�_���”�S����`��HP�TXH�1�UHSUHVHQWD�R�FRQMXQWR�
dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o 
resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, 
um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o 
lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou 
do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número 
selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter 
ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: 
 a) 6/31 
 b) 1/2 
 c) 1/12 
 d) 1/7 
 e) 5/6 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moeda 
Coroa 
Cara 
Ímpar 
Par 
Ímpar 
Par 
1/6 
5/6 
2/5 
3/5 
1/2 
1/2 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: número sorteado é ímpar ܣ: número sorteado é ímpar 
A1: Coroa 
A2: Cara 
 
Temos: 
 
P(A1) = 1/6 
P(A|A1) = 2/4 = 1/2, pois o conjunto P = {1,2,3,4} possui 2 números 
ímpares de um total de 4. ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 1/2 
 
P(A2) = 5/6 
P(A|A2) = 3/5, pois o conjunto Z = {7, 8, 9, 10, 11} possui 3 números 
ímpares de um total de 5. ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 2/5 
 
Quero saber P(A1|A). 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ? ? 
 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
 
1/6 1/2 
1/6 1/2 5/6 3/5 
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Questão 28: ESAF - AnaTA MF/MF/2013 
Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e costuma se deslocar 
de casa para o trabalho de carro próprio ou de ônibus. Sabe-se que 
Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de ônibus 
em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega 
atrasada em 30% das vezes e, quando se desloca de carro próprio, 
chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado, dia 
Beatriz chegou atrasada ao trabalho. 
Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia? 
 a) 30% 
 b) 15% 
 c) 20% 
 d) 10% 
 e) 25% 
SOLUÇÃO: 
 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV�GHYH�VHU�������ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ir ao trabalho 
ônibus 
carro 
Atrasada 
Não atrasada 
Atrasada 
Não atrasada 
10% 
90% 
90% 
10% 
70% 
30% 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A: Chegar atrasada ܣ: Não chegar atrasada 
A1: Ir de ônibus 
A2: Ir de carro 
 
Temos: 
 
P(A1) = 10% 
P(A|A1) = 30% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 70% 
 
P(A2) = 90% 
P(A|A2) = 10% ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 90% 
 
Quero saber P(A1|A). 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�SULPHLUD�SDUWH�GR� ³JDOKR´�GDGD�D�SUREDELOLGDGH�GH�XP�
evento da segunda parte do galho. 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ 
 
 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ 球? = 25% 
 
 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
 
0,10 0,30 
0,10 0,30 0,9 0,10 
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Questão 29: ESAF - ATRFB/SRFB/2009 
Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em 
cada tiro,
a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar 
o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo 
de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 
2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente 
dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois 
dos três tiros acertarem o alvo? 
a) 90/100 
 b) 50/100 
 c) 71/100 
 d) 71/90 
 e) 60/90 
SOLUÇÃO: 
 
Seja o evento: A=acertar o alvo. ܣA?�=errar o alvo 
A Amiga 1 tem P(A) = 3/5; P(ܣA?)=2/5 
A Amiga 2 tem P(A) = 5/6; P(ܣA?)=1/6 
A Amiga 3 tem P(A) = 2/3; P(ܣA?)=1/3 
As situações em que pelo menos duas acertam o alvo são as seguintes: 
 
Situação Amiga 
1 
Amiga 
2 
Amiga 
3 
1 ± As três acertam A A A 
2 ± Amiga 1 erra. 2 e 3 acertam ܣA? A A 
3 ± Amiga 2 erra. 1 e 3 acertam A ܣA? A 
4 ± Amiga 3 erra. 1 e 2 acertam A A ܣA? 
 
Calculando as probabilidades das situações (multiplicando as 
probabilidades na mesma linha): 
 
Situação Amiga 
1 
Amiga 
2 
Amiga 
3 
Probabilidade 
1 ± As três acertam 3/5 5/6 2/3 1/3 
2 ± Amiga 1 erra. 2 e 3 acertam ?Ȁ ? 5/6 2/3 2/9 
3 ± Amiga 2 erra. 1 e 3 acertam 3/5 ?Ȁ ? 2/3 1/15 
4 ± Amiga 3 erra. 1 e 2 acertam 3/5 5/6 ?Ȁ ? 1/6 
 
Como as quatro situações são eventos mutuamente excludentes, 
somam-se as probabilidades de cada uma delas: 
 ? ?൅ ? ?൅ ? ? ?൅ ? ?ൌ ? ?൅ ? ൅ 球?൅ 猃? 笃? ൌ ૠ૚ૢ૙ 
 
Gabarito: Letra D 
* * * * * * * 
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Questão 30: ESAF - ATPS (MPOG)/MPOG/Gestão Social/2012 
O porta-jóias de Ana é formado por duas gavetas: a gaveta A e a 
gaveta B. Na gaveta A, Ana guarda 1 colar de pérolas e 2 pulseiras 
de ouro. Na gaveta B, Ana guarda 2 colares de pérolas e 1 pulseira 
de ouro. Ana, ao arrumar as gavetas, retira aleatoriamente uma 
jóia da gaveta A e a coloca na gaveta B, misturando-a com as jóias 
que já estavam na gaveta B. Beatriz, amiga íntima de Ana, pede 
uma jóia emprestada para ir a uma festa. Ana, com satisfação, diz 
para Beatriz retirar, aleatoriamente, uma jóia da gaveta B. Desse 
modo, a probabilidade de Beatriz retirar uma pulseira de ouro da 
gaveta B é igual a: 
 a) 2/3 
 b) 7/12 
 c) 5/12 
 d) 3/5 
 e) 1/4 
SOLUÇÃO: 
Esta questão é bem complicada. É bem difícil enxergar os cenários para 
aplicar o teorema da probabilidade total. Vamos desenhar a árvore de 
eventos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolha de 
Joias 
 
Pulseira de Ouro 
ŶĂ�'ĂǀĞƚĂ� ?� ? 
Colar de Pérolas 
ŶĂ�'ĂǀĞƚĂ� ?� ? 
Pulseira de Ouro 
ŶĂ�'ĂǀĞƚĂ� ?B ? 
 
Colar de Pérolas 
ŶĂ�'ĂǀĞƚĂ� ?B ? 
 
Pulseira de Ouro 
ŶĂ�'ĂǀĞƚĂ� ?� ? 
Colar de Pérolas 
ŶĂ�'ĂǀĞƚĂ� ?B ? 
 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
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Sejam os eventos: 
A1��HVFROKD�GH�3XOVHLUD�GH�2XUR�QD�JDYHWD�³$´ 
A2��HVFROKD�GH�&RODU�GH�3pUROD�QD�JDYHWD�³$´ 
$��HVFROKD�GH�3XOVHLUD�GH�2XUR�QD�JDYHWD�³%´ ܣ��HVFROKD�GH�&RODU�GH�3pUROD�QD�JDYHWD�³%´ 
 
 
Temos: 
 
P(A1) = 2/3. Essa é fácil! Há duas Pulseiras de Ouro QD�JDYHWD�³$´�em 
um total de três jóias. 
P(A|A1) = 2/4. Essa é um pouquinho mais difícil de enxergar. Na gaveta 
B já havia 2 colares e 1 pulseira. Se eu escolho uma pulseira na gaveta 
A e jogo em B, teremos em B agora 2 colares e 2 pulseiras. Por isso, a 
probabilidade de se retirar uma pulseira de ouro nessa condição é 2/4. ܲሺܣA?�ȁ�ܣଵሻ = 2/4 
 
P(A2) = �����(VVD�p�IiFLO��+i�XP�&RODU�GH�3pUROD�QD�JDYHWD�³$´�HP�XP�
total de três jóias. 
P(A|A2) = 1/4. Essa é um pouquinho mais difícil de enxergar. Na gaveta 
B já havia 2 colares e 1 pulseira. Se eu escolho um colar na gaveta A e 
jogo em B, teremos em B agora 3 colares e 1 pulseira. Por isso, a 
probabilidade de se retirar uma pulseira de ouro nessa condição é 1/4 ܲሺܣA?�ȁ�ܣଶሻ = 3/4 
 
Quero saber P(A) 
 
OBS.: Repare que neste tipo de questão, pedimos uma probabilidade de 
XP�HYHQWR�GD�VHJXQGD�SDUWH�GR�³JDOKR´� 
 
Ora, pelo Teorema da Probabilidade Total temos: 
 ܲሺܣሻ ൌ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ ൅ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ 
 
 ܲሺܣሻ ൌ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ ൅ �ܲሺܣ�ȁܣ ?ሻ ? ሺܲܣ ?ሻ 
 
 
 ࡼሺ࡭ሻ ൌ � ૞૚૛ 
 
 
Gabarito: Letra C 
* * * * * * * 
 
2/4 2/3 1/4 1/3 
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Questão 31: ESAF - ATA/MF/2014 
Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de carro, 
de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de carro, em 
30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total 
das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de 
ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quando vai de bicicleta, 
chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado dia 
Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de 
carro é igual a 
a) 20%. 
b) 40%. 
c) 60%. 
d) 50%. 
e) 30%. 
SOLUÇÃO: 
A primeira coisa a ser feita em exercícios deste tipo é um desenho tipo 
árvore, identificando os eventos (em verde), os valores das probabilidades 
fornecidas pelo enunciado da questão (em azul) e termine de preenchê-la 
(em vermelho) usando a propriedade da probabilidade complementar, ou 
VHMD��HP�FDGD�³JDOKR´�D�VRPD�GH�SUREDELOLGDGHV deve ser 100% (ܲሺܣሻ ൅ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ሻ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quero saber P(A1|A). 
 
 
Ora, pelo Teorema de Bayes temos: 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻܲሺܣଵሻ ? ሺܲܣȁܣଵሻ ൅ �ܲሺܣଶሻ ? ሺܲܣȁܣଶሻ ൅ �ܲሺܣଷሻ ? ሺܲܣȁܣଷሻ 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ � ?ǡ 球? ? ?ǡ 猃? ?ǡ 球? ? ?ǡ 猃?൅ � ?ǡ 甃? ? ?ǡ 猃?൅ � ?ǡ 眃? ? ?ǡ 爃? 
 
 ܲሺܣଵȁܣሻ ൌ ?ǡ 甃?ൌ 甃爃? 
Gabarito: Letra E 
* * * * * * * 
Ana 
Carro 
Ônibus 
Atrasada 
Não atrasada 
Atrasada 
 
Não atrasada 
 
0,20 
0,30 
0,10 
0,85 
0,15 
A 
� 
A 
� 
A1 
A2 
Bicicleta 
Atrasada 
 
Não atrasada 
 
0,50 
0,92 
A � A3 
0,90 
0,08 
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Questão 32: ESAF - MTUR/2014 
Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 moedas de cinquenta 
centavos. 2 moedas serão retiradas dessa caixa ao acaso e 
obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, 
então ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, 
não será devolvida à caixa. Logo, a probabilidade de pelo menos 
uma moeda ser de um real é igual a 
a) 80% 
b) 75% 
c) 90% 
d) 70% 
e) 85% 
SOLUÇÃO: 
Temos que calcular a probabilidade