Coletânea de provas (P1) de física 3 UFRJ (até 2018)

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IF/UFRJ – FÍSICA III – 2005/2 – TURMA EQA 1a Prova – 9/9/2005 – Duração: 2h 
 
 
 1. (3,5 pontos) Dois planos paralelos, cada um de área A = 2,0 m2, e separados por uma distância d = 5,0 mm, estão uniformemente carregados com +40 µC e −40 µC; veja a figura. a. Deduza uma expressão literal para o campo elétrico em pontos próximos ao centro das placas, em cada uma das três regiões: x<0, 0<x<d, e x>d. Justifique cuidadosamente as hipóteses e aproximações feitas. b. Faça um esboço de E como função de x. c. Obtenha uma estimativa numérica para o campo elétrico entre as placas. 2. (3,5 pontos) Um cilindro condutor, maciço, de comprimento L e raio a está carregado com carga +q. Uma casca cilíndrica de mesmo comprimento, raio interno b e raio externo c, também condutora e com carga −2q, é colocada concentricamente com o cilindro; veja a figura. Considere L>>a, b, e c, de modo que os efeitos de borda possam ser desprezados. Chame de s a distância ao eixo do cilindro. a. Obtenha o campo elétrico, E, nas quatro regiões: s < a, a<s <b, b<s <c, e s > c. b. Faça um esboço de E como função de s. c. Suponha agora que uma carga puntiforme q’’ seja colocada externamente, a uma distância d > c do eixo do cilindro, perto de seu ponto médio. (i) Quais das respostas do item (a) acima 
Instruções: 1) Respostas sem justificativas não serão consideradas. 2) Argumentos de simetria devem ser cuidadosamente justificados. 3) Os ítens em cada questão não têm, necessariamente, os mesmos valores. 4) Não é permitido o uso de calculadoras. 
+Q −Q 
d 0 x 
a 
b 
c 
L 
+q 
−2q 
seriam modificadas pela presença desta carga? Por quê? (ii) Que força esta carga exerce sobre o cilindro interno? 3. (3,0 pontos) Dois finos bastões isolantes, semi-infinitos, possuem cargas constantes por unidade de comprimento −λ e +λ. Eles são colocados de modo que um fique no prolongamento do outro, como mostra a figura. a. Qual a direção e o sentido do campo elétrico, E, no ponto P, situado a uma distância y da extremidade de ambos? b. Obtenha uma expressão para E, e compare sua dependência com y com a de um dipolo elétrico. Explique a diferença ou a semelhança. Constantes físicas: ε0 = 8,85 × 10−12 C2/N⋅m2 1/(4πε0) = 8,99 × 109 N⋅m2/ C2 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 
P 
y 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE FÍSICA 
1a PROVA DE FÍSICA III, 30/04/2008 
 
Questão I (2,5) Um capacitor de placas paralelas e carga q, tem placas de área A e 
separação d.Uma lâmina de espessura b é introduzida exatamente no 
meio entre as placas do capacitor como mostra a figura. 
(a) Desenhe as linhas de campo elétrico considerando a lâmina 
introduzida como sendo (i) de um material condutor; (ii) de um 
material dielétrico. 
(b) Supondo que a lâmina seja de cobre, calcule (i) A capacitância 
depois da introdução da lâmina; (ii) O trabalho realizado sobre a 
lâmina durante a sua introdução. Ela é puxada ou temos de empurrá-
la para o interior do capacitor ? 
 
Questão II (2,5). Uma esfera oca condutora eletricamente neutra tem 
raio interno a e raio externo b. Uma carga puntiforme q, positiva, está no centro da casca 
(veja a figura). 
(a) Calcule o módulo do campo elétrico nas regiões r>b, a<r<b e 
r<a, onde r é a distância ao centro da casca. 
(E r)
(b) Com V=0 no infinito, encontreV(r) para os valores de r do item anterior. 
(c) Agora considere que uma carga -3q seja colocada na esfera condutora. O 
que muda nos resultados do item (a)? Justifique. 
 
Questão III ( 2,5) Uma carga q está uniformemente distribuida ao redor de um anel de raio 
R que está no plano yz com seu centro na origem. 
(a) Calcule o potencial elétrico num ponto P de coordenadas (x,0,0). 
(b) Calcule o vetor campo elétrico em P (Sugestão: use o resultado do item anterior). 
(c) Se um dipolo for colocado em P na condição de que sua energia potencial seja máxima, 
qual a direção e o sentido do momento de dipolo p ? 
 
Questão IV (2,5) Um bloco metálico, na forma de um sólido retangular, tem seção 
transversal de área 3,5 cm2, um comprimento de 15,8 cm e uma resistência de 935 Ω. O 
bloco é feito de um material que tem 5,33 × 1033 elétrons de condução / m3. Uma diferença 
de potencial de 35,8 V é mantida entre suas extremidades. 
(a) Qual a corrente no bloco ? 
(b) Sabendo-se que a densidade de corrente é uniforme, qual é o seu valor ? 
(c) Qual é o campo elétrico no bloco ? 
(d) Qual a velocidade de arrasto dos elétrons de condução ? 
 
Fórmulas: 0. /liqE d A q ε=∫ , .
b
a b
a
V V E dl− = ∫ , 202
1 Eu ε= , ( )a b b aW U U→ = − − , 
∫= r
dqV
04
1
πε
, 
A
LR ρ= , , P IV= EJ σ= , 
0q
W
VVV ifif −=−=∆ , s
VEs ∂
∂
−= , 
EpU .−= , ( ) aJ ne v= , ρ
σ 1= . 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA III (FIM230) - 2009/1
PRIMEIRA PROVA UNIFICADA
DATA: 08/04/2009
• Não é permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares.
• No cabeçalho do caderno de resolução, deverão constar, legivelmente, nome do aluno, seu
número de DRE, sua turma, seu horário de aulas e o nome de seu professor.
• Nenhum esclarecimento individual ser prestado no perodo de realizao da prova; caso persista
alguma dvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu prprio caderno de
resoluo.
• Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Anel semicircular) [ 2,5 ponto(s)]
Um anel semicircular, de raio a, encontra-se situado no
plano XY , com suas extremidades nos ângulos polares
θ = 0 e θ = π, conforme mostra a figura ao lado. O tre-
cho do anel contido no primeiro quadrante (π/2 > θ > 0)
possui carga total +q e o contido no segundo quadrante
(π > θ > π/2) carga total −q, onde q > 0. As cargas em
cada trecho estão distribúıdas de modo uniforme.
(a) Determine as densidades lineares de carga, respecti-
vamente λ+ e λ−, em cada trecho. [0,4 ponto]
Fazendo uso dos vetores unitários indicados na fi-
gura:
(b) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico
~E+ produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no primeiro quadrante. [0,8 ponto]
(c) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico ~E− produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no segundo quadrante. [0,8 ponto]
(d) Determine então a expressão para o vetor força elétrica resultante exercida sobre uma part́ıcula de prova com
carga q0 colocada na origem (ponto P). [0,5 ponto]
Resolução
(a)
λ+ = q/(
πa
2
) =
2q
πa
λ− = −
2q
πa
(1)
1
Figura 1:
Na figura 1:
−→
dE = −
1
4πǫ0
λds
a2
cos θ î −
1
4πǫ0
λds
a2
sin θ ĵ
=
λ
4πǫ0a
(− cos θdθ î − sin θdθ ĵ)
(2)
Essa expressão vale para qualquer θ e não apenas para o primeiro quadrante.
2
Figura 2:
(b)
−→
dE+ =
q
2π2ǫ0a2
(− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (3)
−→
E + =
q
2π2ǫ0a2
(−î
∫ π/2
0
cos θdθ − ĵ
∫ π/2
0
sin θdθ )
=
q
2π2ǫ0a2
(−î − ĵ)
(4)
(c)
−→
dE− =
−q
2π2ǫ0a2
(− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (5)
−→
E− =
q
2π2ǫ0a2
(̂i
∫ π
π/2
cos θdθ + ĵ
∫ π
π/2
sin θdθ )
=
q
2π2ǫ0a2
(−î + ĵ)
(6)
(d)
−→
E =
−→
E + +
−→
E− = −
q
π2ǫ0a2
î (7)
−→
F = q0
−→
E = −
qq0
π2ǫ0a2
î (8)
PROBLEMA 2 (Casca e bola esféricas) [ 2,5 ponto(s)]
Uma casca esférica condutora neutra de raio interno b
e raio externo c tem em seu interior, concêntrica a ela,
uma bola esférica isolante de raio a e constante dielétrica
igual a 1, conforme mostra a figura ao lado. Essa bola
está carregada com uma densidade volumar dada pela
função ρ(r) = αr (onde α é uma constante positiva e r
é a distância do ponto ao centro da esfera). O sistema
está em equiĺıbrio eletrostático.
3
(a) Determine a carga elétrica total contida na esfera isolante. [0,5 pontos]
(b) A partir da simetria do sistema, esboce as linhas de campo elétrico e uma superf́ıcie gaussiana genérica que
será usada para a determinação do vetor campo elétrico. [0,4 pontos]
(c) Determine o vetor campo elétrico ~E nas quatro regiões definidas pelo sistema (r < a, a < r < b, b< r < c e
c < r). [1,6 pontos]
Resolução
(a) A carga elétrica total Q contida na esfera será dada por
Q =
∫
ρdV =
∫ a
0
αr4πr2dr = 4πα
∫ a
0
r3dr ;
logo:
Q = παa4 .
(b) Devido à simetria esférica do problema, o campo elétrico só poderá ter componente na direção radial e só
poderá depender de r, isto é, o campo elétrico será tal que ~E = E(r)r̂. As superf́ıcies gaussianas serão esféricas e
concêntricas às superf́ıcies do problema de maneira que o módulo do campo elétrico será constante em cada uma
delas.
(c) No caso da região b ≤ r < c, como a casca esférica é condutora e estamos em equiĺıbrio eletrostático, o campo
elétrico ~E será nulo.
Para as outras regiões usaremos a Lei de Gauss
Φ =
∮
S
~E · d~S = q/ε0 .
Neste caso ~E = Er(r)r̂ e d~S = dSr̂, de modo que ~E · d~S = Er(r)dS. Como Er(r) é constante na superf́ıcie
gaussiana, teremos
∮
S
~E · d~S = Er(r)
∮
S
dS = 4πr2Er(r) .
Precisamos, agora, determinar a carga elétrica interna a cada superf́ıcie gaussiana que descreve a região de
interesse.
Para r < a:
q =
∫
ρdV =
∫ r
0
αr′4πr′2dr′ = παr4 ,
logo
~E(r) =
αr2
4ε0
r̂ =
Qr2
4πε0a4
r̂ .
4
Para a ≤ r < b e r ≥ c:
q = Q ,
logo
~E(r) =
Q
4πε0r2
r̂ .
PROBLEMA 3 (Quadrupolo elétrico) [ 2,5 ponto(s)]
A figura ao lado mostra duas part́ıculas de cargas
elétricas individuais +q separadas entre si por uma
distância de 2a. No ponto médio entre essas duas
part́ıculas é colocada uma terceira cuja carga elétrica é
−2q.
(a) Obtenha a expressão exata do potencial elétrico V (x)
no ponto P do eixo X , para x > a. Qual é a expressão
aproximada para V (x) quando tivermos x ≫ a? [1,0
ponto]
(b) A partir da expressão exata para o potencial elétrico, obtenha a expressão do vetor campo elétrico ~E no
ponto P . Qual é a expressão aproximada para ~E(x) quando tivermos x ≫ a? [1,0 ponto]
(c) Qual é a energia potencial eletrostática acumulada em tal sistema? [0,5 ponto]
Resolução
(a) Lembrando que o potencial elétrico de uma part́ıcula de carga q é dado por V (r) = q/(4πǫor), sendo r a
distância em relação à part́ıcula, então no caso de uma distribuição discreta de três cargas puntiformes em que
as cargas elétricas e as posições das part́ıculas em relação ao ponto P são (+q, x+a) , (−2q, x) , e (+q, x−a) ,
o potencial elétrico devido a elas neste ponto será fornecido por
V (x) =
1
4πǫo
3
∑
n=1
qn
xn
=
q
4πǫo
(
1
x + a
−
2
x
+
1
x − a
)
=
1
4πǫo
[
2a2q
x(x2 − a2)
]
.
No caso em que o ponto P se encontre muito afastado das cargas devemos considerar que x ≫ a e assim
podemos aproximar x(x2 − a2) ≈ x3 na expressão obtida acima para V (x) e com isso teremos que
V (x) ≈
Q
4πǫox3
sendo Q ≡ 2a2q o momento de quadrupolo elétrico da distribuição de cargas.
(b) O vetor campo elétrico ~E pode ser obtido a partir do potencial elétrico através de ~E(r) = −~∇V (r) o que,
no caso do ponto P , se reduzirá a
~E(x) = −
[
dV (x)
dx
]
x̂ =
q
4πǫo
(
1
(x + a)2
−
2
x2
+
1
(x − a)2
)
x̂ =
Q
4πǫo
[
3x2 − a2
x2(x2 − a2)2
]
x̂ .
No caso em que x ≫ a podemos aproximar (3x2 − a2)/[x2(x2 − a2)2] ≈ 3x2/x6 = 3/x4 e assim mostrar que
~E(x) ≈
(
3Q
4πǫox4
)
x̂ .
(c) Temos um sistema de três part́ıculas; para constrúı-lo (a partir de uma separação infinita entre as part́ıculas),
devemos realizar um trabalho total dado por
U =
3
∑
i=1
3
∑
j>i
qiqj
4πǫorij
=
q2
4πǫo
(
1
2a
−
2
a
−
2
a
)
= −
7
2
(
q2
4πǫoa
)
.
5
PROBLEMA 4 (Capacitores) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos um arranjo cons-
titúıdo por uma bateria de força eletromotriz
V0, uma chave S e três capacitores, 1, 2 e 3, de
mesma capacitância C, inicialmente descar-
regados. A chave S é, primeiramente, girada
para a posição a e permite-se que o capacitor
1 seja completamente carregado. A seguir, a
chave é girada para a posição b.
(a) Quais são as cargas finais q1, q2 e q3
nos capacitores correspondentes, expressas
em função de V0 e C? [1,5 ponto]
(b) Determine a energia total acumulada nos
capacitores com a chave na posição a e aquela
acumulada nos capacitores com a chave na
posição b, expressas em função de V0 e C.
[1,0 ponto]
V0
S
a b
c
d
1 3
2
Resolução
(a) A carga final adquirida pelo capacitor 1, depois da chave ser girada para a posição a, é dada por:
Q1 = C1V0 = CV0.
Na segunda etapa, após a chave S ser girada para a posição b, observamos, primeiro que, por simetria, a carga
(em módulo) em cada uma das placas dos capacitores 2 e 3 é a mesma; logo:
q2 = q3 .
Além disso, por conservação da carga,
q1 + q2 = Q1 = CV0 . (9)
Uma outra equação provirá do cálculo da ddp entre os pontos a e d de duas maneiras: via o ramo que inclui
só o capacitor 1, fornecendo:
Vad =
q1
C
ou via o ramo que inclui os capacitores 2 e 3, fornecendo:
Vbcd = V2 + V3 = 2V2 = 2V3 = 2
q2
C
.
Obviamente, tais expressões tem de dar o mesmo valor; logo:
q1 = 2q2 . (10)
Resolvendo o sistema de equações (9) e (10) para q1 e q2, obtemos, finalmente:
q1 =
2
3
CV0
e
q2 = q3 =
1
3
CV0 .
(b) Usaremos que a energia armazenada num capacitor com carga q, ddp V e capacitância C pode ser expressa
em qualquer uma das três formas equivalentes
U =
1
2
qV =
1
2
q2
C
=
1
2
CV 2 .
6
Logo, para a chave na posição a, temos simplesmente:
Ua =
1
2
CV 20 .
Já para a chave na posição b, temos:
Ub = U1 + 2U2 (11)
=
1
2
q21
C
+
q22
C
, (12)
ou seja,
Ub =
1
3
CV 20 .
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versão: A
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Nota de revisão Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho
acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas seções:
– uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização),
– uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
sen u cosu du =
sen2 u
2
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser iguala
zero.
4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
2
7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com
comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie
esférica.
O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força
eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
3
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
1
6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio
com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através
da superf́ıcie esférica.
F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
força eletrostáticaatuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
2
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ π
θ=0
λ0 cos θR dθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por
dEx = k0
dq
R2
(−r̂) · x̂
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θdθ x̂
Ora, do formulário, tiramos que
∫ π
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
x̂ = −
λ0
8ǫ0R
x̂ .
(c) O potencial é dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente
esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo
através dela será
ΦE[S] :=
∮
S
E · n̂dA
=
∮
S
Er(r)r̂ · r̂dA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela própria lei de Gauss, vem
E = Er(r)r̂ =
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ =
AR5
5ǫ0r2
r̂ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
r̂ =
Q
4πǫ0
r3
R5
r̂ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do
infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r) − V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questões objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questões
de múltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questões de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas últimas com penalização tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·n̂ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se às questões 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
2
4. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC< VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
7. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em toda
essa região.
Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas estão
uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
3
Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se às questões 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
1
4. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
7. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
V Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em
toda essa região.
V Se o módulo do vetor campo elétrico tivero mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
F Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas
estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
2
F Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
Resolução:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca é uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, será proporcional ao seu volume:
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida será dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) é
q
h
= πρ(b2 − a2) .
3
�
(b) Pela simetria ciĺındrica do objeto, o campo elétrico em qualquer ponto (externo ou interno) será or-
togonal ao eixo de simetria e seu módulo só poderá depender da distância (radial) r até ele. Gaussianas
adequadas ao problema serão, pois, superf́ıcies ciĺındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo será ortogonal à superf́ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posição, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,
∫
S
E ·n̂ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana é, obviamente, a própria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana ciĺındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressão para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Já a carga no interior dessa nova gaussiana é, por racioćınio análogo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na última região, representada no painel (d) da figura acima, a expressão para o fluxo
mantém-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana é nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resolução:
4
(a) Usamos o prinćıpio de superposição para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal genérico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx
√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx
√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx
√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣
∣
∣
2
√
x2 + y2
∣
∣
∣
L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto genérico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −
∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y) − y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuição linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
Logo, a carga total Q, será dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx +
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
5
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versão: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questões objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questões
de múltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questões de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas últimas com penalização tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·n̂ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
A figura a seguir refere-se às questões 2 e 3. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
2. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
3. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii)z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
2
5. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
6. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
7. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas estão
uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
3
Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em toda
essa região.
Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
A figura a seguir refere-se às questões 2 e 3. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
2. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
3. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
1
5. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
6. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
7. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
V Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
F Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas
estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
2
V Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em
toda essa região.
F Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
V Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
Resolução:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca é uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, será proporcional ao seu volume:
3
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida será dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) é
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria ciĺındrica do objeto, o campo elétrico em qualquer ponto (externo ou interno) será or-
togonal ao eixo de simetria e seu módulo só poderá depender da distância (radial) r até ele. Gaussianas
adequadas ao problema serão, pois, superf́ıcies ciĺındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo será ortogonal à superf́ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posição, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,
∫
S
E ·n̂ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana é, obviamente, a própria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana ciĺındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressão para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Já a carga no interior dessa nova gaussiana é, por racioćınio análogo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na última região, representada no painel (d) da figura acima, a expressão para o fluxo
mantém-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana é nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
4
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Usamos o prinćıpio de superposição para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal genérico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx
√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx
√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx
√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣
∣
∣
2
√
x2 + y2
∣
∣
∣
L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto genérico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −
∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y) − y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuição linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
5
Logo, a carga total Q, será dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx +
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versão: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questões objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questões
de múltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questões de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas últimas com penalização tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·n̂ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
2. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana)cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
2
5. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se às questões 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
6. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas estão
uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
3
Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em toda
essa região.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
2. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
1
5. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se às questões 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
6. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
F Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
F Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas
estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
V Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
2
V Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em
toda essa região.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
Resolução:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca é uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, será proporcional ao seu volume:
3
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida será dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) é
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria ciĺındrica do objeto, o campo elétrico em qualquer ponto (externo ou interno) será or-
togonal ao eixo de simetria e seu módulo só poderá depender da distância (radial) r até ele. Gaussianas
adequadas ao problema serão, pois, superf́ıcies ciĺındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo será ortogonal à superf́ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posição, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,
∫
S
E ·n̂ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana é, obviamente, a própria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana ciĺındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressão para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Já a carga no interior dessa nova gaussiana é, por racioćınio análogo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na última região, representada no painel (d) da figura acima, a expressão para o fluxo
mantém-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana é nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
4
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Usamos o prinćıpio de superposição para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal genérico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx
√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx
√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx
√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣
∣
∣
2
√
x2 + y2
∣
∣
∣
L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto genérico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −
∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y) − y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuição linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
5
Logo, a carga total Q, será dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx +
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versão: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questões objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questões
de múltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questões de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas últimas com penalização tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·n̂ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica asexpressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
2. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se às questões 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
3. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
2
5. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
6. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
7. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em toda
essa região.
Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas estão
uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
3
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
2. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se às questões 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
3. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nosreferidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
1
5. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
6. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
7. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
V Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em
toda essa região.
F Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas
estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
F Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
V Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
2
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
Resolução:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca é uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, será proporcional ao seu volume:
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida será dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) é
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria ciĺındrica do objeto, o campo elétrico em qualquer ponto (externo ou interno) será or-
togonal ao eixo de simetria e seu módulo só poderá depender da distância (radial) r até ele. Gaussianas
3
adequadas ao problema serão, pois, superf́ıcies ciĺındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo será ortogonal à superf́ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posição, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,
∫
S
E ·n̂ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana é, obviamente, a própria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana ciĺındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressão para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Já a carga no interior dessa nova gaussiana é, por racioćınio análogo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
r̂ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na última região, representada no painel (d) da figura acima, a expressão para o fluxo
mantém-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana é nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Usamos o prinćıpio de superposição para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal genérico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
4
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx
√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx
√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx
√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣
∣
∣
2
√
x2 + y2
∣
∣
∣
L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto genérico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −
∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y) − y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuição linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
Logo, a carga total Q, será dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx +
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
5
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/2
Primeira Prova (P1) – 21/10/2010
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut́ıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda porduas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Considere o seguinte corte perpendicular a uma
famı́lia de quatro superf́ıcies equipotenciais, asso-
ciadas a um campo eletrostático. Assinale a opção
que melhor indica o vetor campo elétrico em cada
um dos pontos A e B, respectivamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2. Considere as seguintes afirmações: (I) em um
ponto qualquer do interior de um condutor em
equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico é sem-
pre nulo; (II) em um ponto qualquer do inte-
rior de um isolante, o campo elétrico é sempre
nulo; (III) se o fluxo do campo elétrico resul-
tante através de uma superf́ıcie fechada (gaussi-
ana) for zero, então não existem part́ıculas carre-
gadas no interior dessa superf́ıcie; (IV) para to-
dos os pontos (internos e na superf́ıcie) de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático o potencial é
o mesmo. Dessas afirmações, quais são todas as
corretas?
(a) I, IV .
(b) I .
(c) III .
(d) IV .
(e) I, III, IV .
3. Um fio retiĺıneo, fino, muito longo, possui densi-
dade linear de carga constante λ. Ao deslocarmos
uma part́ıcula de carga q0, desde um ponto a uma
distância a até um outro ponto a uma distância
b de tal fio, qual é o trabalho realizado pela força
elétrica do fio sobre a part́ıcula?
(a)
q0λ
2πǫ0
ln(a/b) .
(b)
q0λ
2πǫ0
ln(b/a) .
(c)
q0λ
4πǫ0
a
b
.
(d)
q0λ
4πǫ0
b
a
.
(e)
q0λ
2πǫ0
b− a
ab
.
4. Em um heptágono regular, cuja distância do cen-
tro a um dos vértices é L, seis de seus vértices
estão ocupados por part́ıculas (imóveis) com a
mesma carga q. Qual é a força eletrostática sobre
uma part́ıcula (imóvel) de carga −q colocada em
seu centro?
(a)
1
4πǫ0
q2
L2
x̂ .
(b) − 1
4πǫ0
q2
L2
x̂ .
(c) − 1
4πǫ0
√
2q2
L2
x̂ .
(d) − 1
4πǫ0
√
3q2
L2
x̂ .
(e) − 1
4πǫ0
√
8q2
L2
x̂ .
2
5. Deseja-se conectar um capacitor de 4 µF a outro
de 8 µF. Com qual tipo de ligação o capacitor de 4
µF terá uma diferença de potencial maior através
dele do que o capacitor de 8 µF? Com qual tipo
de ligação o capacitor de 4 µF terá um módulo de
carga maior em cada placa do que o capacitor de
8 µF?
(a) Em série. Em série.
(b) Em paralelo. Em paralelo.
(c) Em série. Em paralelo.
(d) Em paralelo. Em série.
(e) Em série. Nem em série nem em paralelo.
6. Um anel circular, fino, de raio R, está disposto no
plano XY , com centro na origem. Nele, há uma
densidade linear de carga λ(θ) = λ0|sen θ| , onde θ
é o tradicional ângulo polar e λ0 é uma constante.
Qual é a carga total de tal anel?
(a) 0 .
(b) λ0R .
(c) πλ0R
2 .
(d) 2πλ0R .
(e) 4λ0R .
7. Num acelerador de part́ıculas, temos dois feixes
parelelos, um de prótons e outro de elétrons,
com a mesma densidade numérica de part́ıculas
[(número de part́ıculas)/volume], n. Os prótons
movem-se no sentido x̂ e os elétrons no sen-
tido oposto, ambos com velocidade de módulo
v. Qual é o vetor densidade de corrente nessa
situação?
(a) −2envx̂ .
(b) −envx̂ .
(c) 0 .
(d) 2envx̂ .
(e) envx̂ .
8. Um sistema de quatro part́ıculas carregadas,
imóveis, está representado na figura abaixo,
sendo duas delas sabidamente negativas (q < 0).
Três dessas part́ıculas constituem um triângulo
isósceles, conforme marcado na figura. Levando
em conta que a força elétrica resultante sobre
a part́ıcula de carga q de tal triângulo é zero,
assinale a opção na qual consta uma afirmação
correta sobre o fluxo do campo elétrico resultante
através da superf́ıcie S, ΦE [S].
(a) ΦE [S] > 0 .
(b) ΦE [S] = 0 .
(c) ΦE [S] < 0 .
(d) Nada se pode afirmar sobre ΦE [S] .
9. Duas cascas esféricas, finas, concêntricas pos-
suem, inicialmente, carga −20 C na casca externa
e 10 C na interna. Num certo instante, a casca
externa é aterrada. Assinale o que ocorre com o
sistema.
(a) Prótons são deslocados da Terra para a
casca externa, até neutralizar a casca ex-
terna.
(b) Elétrons são deslocados da Terra para a
casca externa.
(c) Elétrons são deslocados da casca externa
para a Terra, até neutralizar a casca ex-
terna.
(d) Prótons são deslocados da casca externa
para a Terra.
(e) Elétrons são deslocados da casca externa
para a Terra, até que a casca externa te-
nha carga −10 C.
3
10. Considere os seguintes sistemas carregados: (I) fio
retiĺıneo, fino, finito, uniforme; (II) fio retiĺıneo,
fino, finito, não uniforme; (III) fio retiĺıneo, fino,
infinito, não uniforme; (IV) anel circular, fino,
uniforme; (V) bola (esférica), sólida, com densi-
dade de carga variando só com a distância até o
centro. Qual a opção que indica, desses sistemas,
aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a lei
de Gauss a fim de deduzir uma expressão anaĺıtica
expĺıcita para o campo elétrico resultante?
(a) IV.
(b) V.
(c) I, IV.
(d) I, V.
(e) IV, V.
(f) I, IV, V.
4
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-
se em repouso no plano XY , com seu centro na ori-
gem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente
distribúıda.
(a) Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e
sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com
cota arbitrária z. [1,5 ponto]
(b) Considere agora um bastão retiĺıneo, muito fino,
em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e
z = b > a. Tal bastão também possui carga total Q,
uniformemente distribúıda. Calcule o vetor força ele-
trostática sobre tal bastão devido ao anel (Sugestão:
a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial
das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão
carregado). [1,0 ponto]
5
6
2. Uma bola esférica, condutora, sólida, em equiĺıbrio
eletrostático, de raio a, possui carga total Q. Tal bola
é circundada por uma coroa esférica, isolante (de cons-
tante dielétrica K), de raios interno a e externo b > a,
com uma carga total −Q, uniformemente distribúıda
(pelo interior da coroa).
(a) Calcule o vetor campo elétrico resultante (módulo,
direção e sentido) nas três regiões: (I) 0 < r < a; (II)
a < r < b; (III) b < r < ∞. [1,0 ponto]
(b) Calcule o potencial elétrico resultante nas três
regiões acima mencionadas, fazendo-o zero no infinito.
[1,5 ponto]
7
8
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Considere o seguinte corte perpendicular a uma
famı́lia de quatro superf́ıcies equipotenciais, asso-
ciadas a um campo eletrostático. Assinale a opção
que melhor indica o vetor campo elétrico em cada
um dos pontos A e B, respectivamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2. Considere as seguintes afirmações: (I) em um
ponto qualquer do interior de um condutor em
equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico é sem-
pre nulo; (II) em um ponto qualquer do inte-
rior de um isolante, o campo elétrico é sempre
nulo; (III) se o fluxo do campo elétrico resul-
tante através de uma superf́ıcie fechada (gaussi-
ana) for zero, então não existem part́ıculas carre-
gadas no interior dessa superf́ıcie; (IV) para to-
dos os pontos (internos e na superf́ıcie) de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático o potencial é
o mesmo. Dessas afirmações, quais são todas as
corretas?
(a) I, IV .
(b) I .
(c) III .
(d) IV .
(e) I, III, IV .
3. Um fio retiĺıneo, fino, muito longo, possui densi-
dade linear de carga constante λ. Ao deslocarmos
uma part́ıcula de carga q0, desde um ponto a uma
distância a até um outro ponto a uma distância
b de tal fio, qual é o trabalho realizado pela força
elétrica do fio sobre a part́ıcula?
(a)
q0λ
2πǫ0
ln(a/b) .
(b)
q0λ
2πǫ0
ln(b/a) .
(c)
q0λ
4πǫ0
a
b
.
(d)
q0λ
4πǫ0
b
a
.
(e)
q0λ
2πǫ0b− a
ab
.
1
4. Em um heptágono regular, cuja distância do cen-
tro a um dos vértices é L, seis de seus vértices
estão ocupados por part́ıculas (imóveis) com a
mesma carga q. Qual é a força eletrostática sobre
uma part́ıcula (imóvel) de carga −q colocada em
seu centro?
(a)
1
4πǫ0
q2
L2
x̂ .
(b) − 1
4πǫ0
q2
L2
x̂ .
(c) − 1
4πǫ0
√
2q2
L2
x̂ .
(d) − 1
4πǫ0
√
3q2
L2
x̂ .
(e) − 1
4πǫ0
√
8q2
L2
x̂ .
5. Deseja-se conectar um capacitor de 4 µF a outro
de 8 µF. Com qual tipo de ligação o capacitor de 4
µF terá uma diferença de potencial maior através
dele do que o capacitor de 8 µF? Com qual tipo
de ligação o capacitor de 4 µF terá um módulo de
carga maior em cada placa do que o capacitor de
8 µF?
(a) Em série. Em série.
(b) Em paralelo. Em paralelo.
(c) Em série. Em paralelo.
(d) Em paralelo. Em série.
(e) Em série. Nem em série nem em paralelo.
6. Um anel circular, fino, de raio R, está disposto no
plano XY , com centro na origem. Nele, há uma
densidade linear de carga λ(θ) = λ0|sen θ| , onde θ
é o tradicional ângulo polar e λ0 é uma constante.
Qual é a carga total de tal anel?
(a) 0 .
(b) λ0R .
(c) πλ0R
2 .
(d) 2πλ0R .
(e) 4λ0R .
7. Num acelerador de part́ıculas, temos dois feixes
parelelos, um de prótons e outro de elétrons,
com a mesma densidade numérica de part́ıculas
[(número de part́ıculas)/volume], n. Os prótons
movem-se no sentido x̂ e os elétrons no sen-
tido oposto, ambos com velocidade de módulo
v. Qual é o vetor densidade de corrente nessa
situação?
(a) −2envx̂ .
(b) −envx̂ .
(c) 0 .
(d) 2envx̂ .
(e) envx̂ .
2
8. Um sistema de quatro part́ıculas carregadas,
imóveis, está representado na figura abaixo,
sendo duas delas sabidamente negativas (q < 0).
Três dessas part́ıculas constituem um triângulo
isósceles, conforme marcado na figura. Levando
em conta que a força elétrica resultante sobre
a part́ıcula de carga q de tal triângulo é zero,
assinale a opção na qual consta uma afirmação
correta sobre o fluxo do campo elétrico resultante
através da superf́ıcie S, ΦE [S].
(a) ΦE [S] > 0 .
(b) ΦE [S] = 0 .
(c) ΦE [S] < 0 .
(d) Nada se pode afirmar sobre ΦE [S] .
9. Duas cascas esféricas, finas, concêntricas pos-
suem, inicialmente, carga −20 C na casca externa
e 10 C na interna. Num certo instante, a casca
externa é aterrada. Assinale o que ocorre com o
sistema.
(a) Prótons são deslocados da Terra para a
casca externa, até neutralizar a casca ex-
terna.
(b) Elétrons são deslocados da Terra para a
casca externa.
(c) Elétrons são deslocados da casca externa
para a Terra, até neutralizar a casca ex-
terna.
(d) Prótons são deslocados da casca externa
para a Terra.
(e) Elétrons são deslocados da casca externa
para a Terra, até que a casca externa te-
nha carga −10 C.
10. Considere os seguintes sistemas carregados: (I) fio
retiĺıneo, fino, finito, uniforme; (II) fio retiĺıneo,
fino, finito, não uniforme; (III) fio retiĺıneo, fino,
infinito, não uniforme; (IV) anel circular, fino,
uniforme; (V) bola (esférica), sólida, com densi-
dade de carga variando só com a distância até o
centro. Qual a opção que indica, desses sistemas,
aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a lei
de Gauss a fim de deduzir uma expressão anaĺıtica
expĺıcita para o campo elétrico resultante?
(a) IV.
(b) V.
(c) I, IV.
(d) I, V.
(e) IV, V.
(f) I, IV, V.
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-
se em repouso no plano XY , com seu centro na ori-
gem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente
distribúıda.
(a) Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e
sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com
cota arbitrária z. [1,5 ponto]
(b) Considere agora um bastão retiĺıneo, muito fino,
em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e
z = b > a. Tal bastão também possui carga total Q,
uniformemente distribúıda. Calcule o vetor força ele-
trostática sobre tal bastão devido ao anel (Sugestão:
a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial
das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão
carregado). [1,0 ponto]
Resolução:
(a) Um elemento infinitesimal do anel criará, no ponto de cota z, um campo elétrico dado por
dE =
1
4πǫ0
dq
s2
ŝ ,
onde dq é a carga de tal elemento infinitesimal e s é o raio vetor do elemento infinitesimal para o ponto no
eixo Z, cujo módulo vale
√
z2 +R2.
Como, por simetria, o campo resultante devido ao anel só terá componente z, projetamos a expressão acima
ao longo de ẑ, obtendo
dEz =
1
4πǫ0
dq
s2
z
s
.
Logo, já que, na integração, z e R são constantes,
E(zẑ) =
1
4πǫ0
Qz
(z2 +R2)3/2
ẑ .
�
(b) Sobre cada elemento infinitesimal do bastão retiĺıneo, age uma força eletrostática, devida ao anel, dada
por
dF = dqE ,
onde dq é a carga do elemento e E é o campo acima calculado. Temos, pois,
dF = λdz
1
4πǫ0
Qz
(z2 +R2)3/2
ẑ
=
Q
b− a
1
4πǫ0
Qz
(z2 +R2)3/2
dz ẑ
=
Q2
4πǫ0(b − a)
z dz
(z2 +R2)3/2
ẑ .
Então, já que, nesta nova integração, R é constante, mas z não, temos
F =
Q2
4πǫ0(b− a)
∫ b
z=a
z dz
(z2 +R2)3/2
ẑ
=
Q2
8πǫ0(b− a)
∫ b
z=a
d
(
z2 + R2
)
(z2 +R2)3/2
ẑ ,
4
ou seja,
F =
Q2
4πǫ0(b− a)
(
1√
a2 +R2
− 1√
b2 +R2
)
ẑ .
�
2. Uma bola esférica, condutora, sólida, em equiĺıbrio
eletrostático, de raio a, possui carga total Q. Tal bola
é circundada por uma coroa esférica, isolante (de cons-
tante dielétrica K), de raios interno a e externo b > a,
com uma carga total −Q, uniformemente distribúıda
(pelo interior da coroa).
(a) Calcule o vetor campo elétrico resultante (módulo,
direção e sentido) nas três regiões: (I) 0 < r < a; (II)
a < r < b; (III) b < r < ∞. [1,0 ponto]
(b) Calcule o potencial elétrico resultante nas três
regiões acima mencionadas, fazendo-o zero no infinito.
[1,5 ponto]
Resolução:
(a)
• 0 < r < a:
Por ser uma região no interior de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, temos, imediatamente, pelas
próprias definições de condutor e de equiĺıbrio eletrostático (independentemente da lei de Gauss!), que
E(r) = 0 .
• b < r < ∞:
Por simetria esférica e pela lei de Gauss, o campo na região externa é igual ao produzido por uma
part́ıcula de carga total Q+ (−Q) = 0, no centro de simetria; ou seja:
E(r) = 0 .
• a < r < b:
Por simetria esférica e pela lei de Gauss, levando em conta o isolante, temos que o campo só tem
componente radial Er(r), tal que:
KEr(r)4πr
2 = Qint(r)/ǫ0 ,
onde Qint é a carga no interior de uma gaussiana esférica, de raio r entre a e b, concêntrica ao centro
de simetria. Logo, devido à homogeneidade da carga distribúıda na coroa,
Qint(r) = Q−Q
r3 − a3
b3 − a3 .
5
Substituindo isso na equação precedente, obtemos, finalmente,
E(r) =
Q
4πǫ0Kr2
[
1− r
3 − a3
b3 − a3
]
r̂ . (1)
�
(b)
• b < r < ∞:
O campo elétrico nessa região é zero e o potencial no infinito também; logo:
V (r) = 0 .
• a < r < b:
A integral indefinida da expressão (1), com o sinal trocado, é:
V (r) =
Q
4πǫ0K(b3 − a3)
[
b3
r
+
r2
2
]
+ const .
Para determinarmos a constante, impomos a continuidade dessa função em r = b; ou seja, devemos
ter que, quando r = b na expressão acima, o potencial deve ser zero. Logo,
V (r) =
Q
4πǫ0K(b3 − a3)
[
b3
r
+
r2
2
− 3b
2
2
]
.
• 0 < r < a:
Nessa região o potencial deve ser constante e, por continuidade, temos:
V (r) =
Q
4πǫ0K(b3 − a3)
[
b3
a
+
a2
2
− 3b
2
2
]
.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2011/1
Primeira Prova (P1) – 04/05/2011
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso,a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut́ıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 3,0 pontos e a segunda, 2,0 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA =
Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U =
1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Numa região do espaço de interesse, existe
um campo elétrico constante (uniforme e esta-
cionário), na direção e sentido de x̂. Nessa mesma
região, temos uma superf́ıcie cúbica abstrata, que
encerra uma part́ıcula (pontual) de carga Q > 0
localizada no seu centro. Três das faces do cubo
estão assinaladas na figura: as faces 1 e 3 são para-
lelas ao plano Y Z, ao passo que a face 2 é paralela
ao plano XZ. Em relação ao fluxo Φi (i = 1, 2, 3)
do campo elétrico através de cada uma dessas fa-
ces (com orientação do vetor normal para fora,
como usual), qual das alternativas abaixo é a cor-
reta?
(a) Φ1 > Φ2 > Φ3.
(b) Φ1 > Φ2 = Φ3.
(c) Φ1 = Φ2 > Φ3.
(d) Φ1 = Φ2 = Φ3.
(e) Φ1 < Φ2 < Φ3.
2. Qual dos gráficos abaixo melhor representa o po-
tencial eletrostático de uma esfera de raio R e
carga Q > 0 uniformemente distribúıda em todo
o seu interior, supondo o potencial zero no infi-
nito?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, de área
A, a distância D, é “recheado” por uma chapa
condutora, também de área A, e espessura d < D.
A capacitância de tal capacitor é:
(a) 2ǫ0
A
a
.
(b) ǫ0
A
d
.
(c) ǫ0
A
2a
.
(d) ǫ0
A
D
.
(e) 2ǫ0
A
d
.
4. Três anéis circulares, de mesmo raio, cujos
quadrantes foram carregados uniformemente com
cargas positivas e negativas, de mesmo módulo,
estão representados na figura abaixo. Considere
as seguintes afirmações: (A) o campo elétrico no
centro do anel I é nulo; (B) o campo elétrico no
centro do anel II tem direção e sentido de −ŷ ;
(C) o campo elétrico no centro do anel III tem
direção e sentido de −x̂− ŷ .
(a) Somente a afirmação A está correta.
(b) Somente a afirmação B está correta.
(c) Somente a afirmação C está correta.
(d) Somente as afirmações A e B estão corre-
tas.
(e) Somente as afirmações A e C estão corre-
tas.
(f) Somente as afirmações B e C estão corre-
tas.
(g) Todas as três afirmações (A, B e C) estão
corretas.
5. Duas esferas condutoras, carregadas, de raiosR1 e
R2 estão afastadas a uma distância muito grande,
de modo que o campo elétrico na vizinhança de
cada esfera pode ser considerado como somente
devido à distribuição de carga uniforme da própria
esfera. As esferas estão ligadas por um fio con-
dutor fino que simplesmente promove o contato
elétrico entre elas. Se R2 = 3R1, qual é a
afirmação verdadeira?
(a) E2 = 3E1.
(b) E1 = 9E2.
(c) E2 = E1.
(d) E1 = 3E2.
(e) E2 = 9E1.
6. Uma esfera sólida metálica de raio a e uma
casca esférica bidimensional, de raio b > a são
concêntricas e estão, cada uma, em equiĺıbrio ele-
trostático (sem contato). Na esfera interna, existe
uma carga q, ao passo que, na casca externa,
existe uma carga −q. Qual das afirmativas abaixo
corresponde ao potencial eletrostático desse sis-
tema nas regiões: (i) 0 ≤ r ≤ a; (ii) a ≤ r ≤ b;
(iii) b ≤ r < ∞? Considere o potencial como zero
no infinito.
(a) Vi =
q
4πǫ0
(
1
a
−
1
b
)
;
Vii =
q
4πǫ0
(
1
r
−
1
b
)
;
Viii =
q
4πǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(b) Vi =
q
4πǫ0
(
1
a
−
1
b
)
;
Vii =
q
4πǫ0
(
1
r
−
1
b
)
; Viii = 0.
(c) Vi =
q
4πǫ0
(
1
a
−
1
b
)
; Vii = 0;
Viii =
q
4πǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(d) Vi = 0; Vii =
q
4πǫ0
(
1
r
−
1
b
)
;
Viii =
q
4πǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(e) Vi = 0; Vii =
q
4πǫ0
(
1
r
−
1
b
)
; Viii = 0.
(f) Vi = 0; Vii = 0; Viii = 0.
3
7. A figura representa o perfil de uma placa con-
dutora de espessura d finita e demais dimensões
muito maiores que d. A densidade superfi-
cial de carga σ em ambas as faces da placa é
constante (uniforme e estacionária). Conside-
rando as três superf́ıcies ciĺındricas indicadas na
figura, qual das afirmativas abaixo é correta?
(a) E1 > E2 > E3.
(b) E1 > E2 = E3.
(c) E1 = E2 > E3.
(d) E1 < E2 < E3.
(e) E1 = E2 = E3.
8. Duas part́ıculas (pontuais), separadas por uma
distância d, com cargas elétricas q1 e q2 dife-
rentes (q1 6= q2), produzem um potencial nulo
num ponto P do espaço. Tomando o potencial
como zero no infinito, isso significa necessaria-
mente que
(a) não há força elétrica atuando sobre uma
outra part́ıcula de teste colocada no
ponto P .
(b) as cargas q1 e q2 devem ter o mesmo sinal.
(c) o trabalho para colocar a part́ıcula de
carga q1 a uma distância d da part́ıcula
de carga q2 é zero.
(d) o trabalho para trazer uma part́ıcula de
teste carregada, desde o infinito até o
ponto P , é zero.
9. Temos três distribuições não homogêneas de
carga: (1) uma distribuição linear num fio de
comprimento R, cuja densidade linear de carga é:
λ(x) = α1x (0 ≤ x ≤ R); (2) uma distribuição su-
perficial sobre um disco de raio R, cuja densidade
superficial é: σ(r) = α2r (0 ≤ r ≤ R); (3) uma
distribuição volumar numa esfera de raio R, cuja
densidade volumar é: ρ(r) = α3r (0 ≤ r ≤ R).
Aqui, αi (i = 1, 2, 3) são constantes. A carga total
de cada uma dessas três distribuições é a mesma,
Q. Qual das afirmativas abaixo é a correta?
(a) α1 =
2Q
R2
; α2 =
3Q
2πR3
; α3 =
Q
πR4
.
(b) α1 =
Q
2R2
; α2 =
Q
6πR3
; α3 =
Q
16πR4
.
(c) α1 =
2Q
R2
; α2 =
Q
6πR3
; α3 =
Q
16πR4
.
(d) α1 =
2Q
R2
; α2 =
3Q2
2πR3
; α3 =
Q3
πR4
.
(e) α1 =
Q
2R2
; α2 =
Q2
6πR3
; α3 =
Q3
16πR4
.
(f) α1 = QR; α2 = QπR
2; α3 =
Q4πR3
3
.
10. Qual das seguintes afirmativas é falsa?
(a) No processo de carregamento de um ca-
pacitor, cria-se um campo elétrico entre
suas placas.
(b) O trabalho necessário para se carregar
um capacitor pode ser pensado como
o trabalho necessário para se criar um
campo elétrico entre suas placas.
(c) A densidade de energia na região entre
as placas de um capacitor depende line-
armente do módulo do campo elétrico.
(d) A diferença de potencial entre as placas
de um capacitor plano-paralelo depende
linearmente do módulo do campo elétrico.
(e) Ao dobrarmos a carga em cada uma das
placas de um capacitor dado, dobramos a
diferença de potencial entre suas placas.
4
Seção 2. Questões discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)
1. [3,0 pontos] Uma esfera, de raio a e carga total Q,
possui uma densidade volumar (resultante) de carga
estacionária, mas não uniforme, dada por
ρ = Ar (r < a) ,
onde A é uma constante e r é a distância até o
seu centro. Essa esfera está envolta por uma casca
esférica condutora, concêntrica, de raio interno b e
raio externo c, com carga total −2Q, em equiĺırio ele-
trostático (cf. figura ao lado).
(a) Expresse a constante A como função de a e Q. [0,3
ponto]
(b) Quais são as densidades superficiais de carga na
casca esférica condutora? [0,3 ponto]
(c) Determine o campo elétrico nas quatro regiões:
(I) 0 ≤ r ≤ a, (II) a ≤ r < b, (III) b < r < c, e (IV)
c < r < ∞. [1,2 ponto]
(d) Determine o potencial eletrostático nas quatro
regiões supracitadas, tomando-o como zero no infi-
nito. [1,2 ponto]
5
6
2. [2,0 pontos] Um capacitor plano-paralelo tem placas
idênticas de área A, cada uma, com separação L en-
tre elas (cf. parte superior da figura ao lado). Numa
primeira etapa, tal capacitor é ligado a uma bateria
até atingir um módulo de diferença de potencial V0
entresuas placas e, imediatamente, desconectado da
bateria.
(a) Determine o módulo E0 do campo elétrico e a
energia eletrostática armazenada U0. [0,5 ponto]
Numa segunda etapa, um isolante de constante
dielétrica K é inserido no capacitor, preenchendo pela
metade a região entre suas placas, conforme mostrado
na parte inferior da figura ao lado.
(b) Determine o módulo V da nova diferença de po-
tencial entre as placas. [0,5 ponto]
(c) Determine o módulo Ei (i = 1, 2) do novo campo
elétrico em cada uma das duas “metades” (1 e 2) en-
tre as placas. [0,5 ponto]
(d) Determine a nova energia eletrostática armaze-
nada U . [0,5 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (a)
3. (c)
4. (g)
5. (d)
6. (b)
7. (e)
8. (d)
9. (a)
10. (c)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Por simetria esférica, temos que a carga total, informada como sendo Q, para a esfera interna, de raio
a, deve ser dada por
Q =
∫ a
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ a
r=0
r3dr
= πAa4 .
Logo,
A =
Q
πa4
. (1)
�
(b) Como a casca esférica encontra-se em equiĺıbrio eletrostático, só pode haver densidades superficiais de
carga (se for o caso), em suas superf́ıcies interna e externa. Concretamente, como conseqüência imediata
da lei de Gauss aplicada para uma gaussiana ligeiramente maior que a superf́ıcie interna da casca, de raio
b, necessariamente áı deve surgir uma densidade superficial igual a
σb = −
Q
4πb2
.
Portanto, devido à informação de que há uma carga total −2Q na casca (que se conserva no processo de
redistribuição das cargas na casca até o alcance do equiĺıbrio), surgirá uma densidade superficial na sua
superf́ıcie externa, de raio c, igual a
σc = −
Q
4πc2
.
�
(c)
• 0 ≤ r ≤ a:
Devido à simetria esférica, sabemos que o campo elétrico dentro da esfera (e, na verdade, em qualquer
ponto do espaço, mesmo nas outras três regiões), só pode ter componente radial, sendo essa dependente
somente da distância r, ou seja:
E(r) = Er(r) r̂ ,
onde, é claro, r = rr̂. Destarte, somos levados a usar a lei de Gauss para calcular tal campo,
escolhendo como gaussiana uma superf́ıcie esférica, concêntrica com a esfera interna, de raio a, e tendo
(a gaussiana) raio genérico r, tal que, obviamente, 0 ≤ r ≤ a. Com isso, o fluxo do campo elétrico
2
pode-se expressar como
ΦE [S] :=
∫
S
E · n̂dA
=
∫
S
Er(r)r̂ · n̂dA
=
∫
S
Er(r)r̂ · r̂dA
=
∫
S
Er(r)dA
= Er(r)
∫
S
dA
= 4πr2Er(r) . (2)
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos agora calcular o quanto de carga existe dentro da
gaussiana escolhida. Isso é análogo às passagens do item (a). De fato, agora,
Qint[S] =
∫ r
r′=0
ρ(r′)4πr′2dr′
= πAr4 = Q
( r
a
)4
. (3)
Usando, então, (2) e (3), obtemos, finalmente,
E(r) =
Ar2
4ǫ0
r̂ =
Qr2
4πǫ0a4
r̂ . (4)
• a ≤ r < b:
Nesta região, vazia, é como se o campo fosse devido a uma part́ıcula (pontual) no centro de simetria
(a origem) de carga Q (a carga encerrada por uma correspondente gaussiana). Logo,
E(r) =
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ . (5)
• b < r < c:
Nesta região, por ser condutora e estar em equiĺıbrio eletrostático, devemos ter campo nulo:
E(r) = 0 . (6)
• c < r < ∞:
Nesta região, por analogia com a segunda, com r entre a e b, temos um campo como que devido a
uma part́ıcula (pontual) no centro de simetria (a origem) de carga, agora, Q+ (−2Q) = −Q; ou seja:
E(r) = −
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ . (7)
�
(d) Neste tipo de problema, em que o zero do potencial é tomado no infinito, convém ir determinando ou
“encaixando” o potencial de fora para dentro. Destarte, seguiremos a ordem inversa do item precedente.
Além disso, outro ponto-chave é a exigência de continuidade do potencial.
3
• c < r < ∞:
Nesta região, o campo elétrico cai com 1/r2, mais exatamente conforme (7); logo o potencial será:
V (r) = −
1
4πǫ0
Q
r
,
onde já impusemos a condição de potencial zero no infinito.
• b < r < c:
Nesta região, temos um condutor em equiĺıbrio eletrostático; logo, o potencial deve ser constante e,
por continuidade no ponto r = c, igual a:
V (r) = −
1
4πǫ0
Q
c
.
• a ≤ r < b:
Nesta região, o campo cai, de novo, com 1/r2, mais exatamente conforme (5); logo, o potencial será:
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
+ k1 .
onde k1 é uma constante de integração. O valor da constante é determinado, de novo, pela exigência
de continuidade, desta feita, no ponto r = b; obtemos, pois:
V (r) =
Q
4πǫ0
(
1
r
−
1
b
−
1
c
)
. (8)
• 0 ≤ r ≤ a:
Nesta região o campo cresce com r2, mais exatamente conforme (4); logo, o potencial será:
V (r) = −
Q
12πǫ0
r3
a4
+ k2 . (9)
A exigência de continuidade em r = a determina o valor da constante de integração. De fato, fazendo
r = a em (8), depois em (9) e igualando as correspondentes expressões, temos
−
Q
12πǫ0a
+ k2 =
Q
4πǫ0
(
1
a
−
1
b
−
1
c
)
.
Resolvendo para k2 e substituindo de volta em (9), obtemos, finalmente,
V (r) =
Q
4πǫ0
(
−
r3
3a4
+
4
3a
−
1
b
−
1
c
)
.
�
2. Resolução:
(a) Faremos a hipótese usual de que efeitos de borda podem ser desprezados. Com isso, o campo elétrico
de cada placa poderá ser bem aproximado como o campo devido a um plano muito extenso com carga
uniformemente distribúıda sobre ele. Cada placa criará, pois, um campo constante, de módulo igual a
σ0/ǫ0, onde σ(> 0) é a densidade superficial de carga em cada uma das placas do capacitor. Isso decorre
4
imediatamente da simetria plana e da lei de Gauss.1 Ora, conforme o enunciado, a diferença de potencial
correspondente entre as placas é V0, logo o campo constante é tal que
V0 = E0L ,
ou seja,
E0 =
V0
L
.
Já para determinar a energia armazenada, podemos usar uma qualquer das três expressões para tal grandeza:
U0 =
1
2
Q0V0 =
1
2
C0V
2
0 =
1
2
Q20
C0
.
onde
C0 =
ǫ0A
L
; (10)
Q0 = C0V0 =
ǫ0V0A
L
. (11)
(12)
O resultado final é, de qualquer forma, dado por
U0 =
1
2
ǫ0A
L
V 20 .
�
(b)
• Maneira 1:
No novo capacitor (semi-recheado de isolante), o módulo da diferença de potencial entre as placas
será, obviamente, a soma dos módulos das diferenças de potencial entre as interfaces da região 1 e das
interfaces da região 2, ou seja,
V = V1 + V2 .
Naturalmente,
V1 = V0/2
e
V2 = V0/(2K) .
Logo,
V =
V0
2
(
1 +
1
K
)
=
1 +K
2K
V0 .
• Maneira 2:
O novo capacitor pode ser pensado como uma associação em série de dois capacitores: um totalmente
vazio, com distância L/2 entre as placas, e outro totalmente preenchido com o isolante de constante
dielétrica K, tendo distância também L/2 entre as placas. Assim:
C1 =
ǫ0A
L/2
,
1A rigor, devemos impor também a simetria especular com respeito ao plano.
5
e
C2 =
Kǫ0A
L/2
,
de modo que a nova capacitância é dada por
C =
2K
1 +K
C0 =
2K
1 +K
ǫ0A
L
.
Como a carga nas placas permanece a mesma, igual a
Q = Q0
= C0V0
=
ǫ0AV0
L
,
o novo módulo da diferença de potencial resulta ser
V =
1 +K
2K
V0 .
�
(c) Os módulos dos campos nas novas regiões 1 e 2 são dados por
E1 = E0 =
V0
L
.
e
E2 =
E0
K
=
V0
KL
.
�
(d) A nova energia armazenada pode, mais uma vez, ser calculada por qualquer uma das seguintes três
expressões:
U =
1
2
QV =
1
2
CV 2 =
1
2
Q2
C
.
O “novo” módulo Q de carga nas placas, de fato, é igual ao módulo antigo Q0, dado no item (a), visto
que, após o processo de carga, a bateria foi desconectada do capacitor. O novo módulo V da diferença de
potencial foi calculado no item (b). Finalmente, a nova capacitância C, como ja vimos no item (b) e vemos
de novo agora, pode ser obtida pensando-se o capacitor semi-recheado como uma associação em série de
dois capacitores, nas regiões 1 e 2 da parte inferior da figura do enunciado. Conclúımos, então,
C1 =
ǫ0A
L/2
;
C2 = K
ǫ0A
L/2
.
Logo, a capacitância nova é, de qualquer maneira,
C =
2K
1 +K
C0 =
2K
1 +K
ǫ0A
L
.
Substituindo tais informações em (2), deduzimos que
U =
1 +K
2K
U0 =(1 +K)ǫ0A
4KL
V 20 .
�
6
7
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA III – 2011/2
PRIMEIRA PROVA (P1) – 26/09/2011
VERSÃO: A
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor, Turma e
Versão de Prova) do cabeçalho do caderno de resolução, fornecido em separado. Sem isso, a correção de
sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. O item considerado correto, em cada uma das questões objetivas, deve ser assinalado, a caneta, na tabela
de respostas correspondente do caderno de resolução.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
(1 + x)α ≃ 1 + αx + 1
2
α(α − 1)x2 + . . . , (x, α ∈ R, |x| ≪ 1)
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma casca esférica espessa, condutora, descar-
regada, tem raios interno a e externo b, estando
situada no vácuo. No centro de tal casca, é colo-
cada uma part́ıcula de carga q > 0. Considerando
que o potencial eletrostático V é zero no infinito,
qual dos diagramas abaixo melhor representa o
gráfico de V contra r?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Considere duas distribuições lineares, con-
forme mostra a figura, com a mesma carga
total Q: (I) um anel circular uniformemente
carregado, de raio R, e (II) um anel semi-
circular uniformemente carregado, de raio
também R. Assinale a opção que indica cor-
retamente o campo elétrico e o potencial, de
cada distribuição, no centro P . Suponha que
o potencial é tomado como zero no infinito.
(a) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
4π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
(b) EI =
Q
4πǫ0R2
x̂, VI = 0;
EII = −
Q
2π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
8πǫ0R
.
(c) EI = 0, VI = 0;
EII =
Q
4πǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
(d) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
8πǫ0R2
x̂, VII =
Q
8πǫ0R
.
(e) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
2π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
2
3. O mostrador de um relógio (analógico), circular
tem part́ıculas com cargas negativas 3q, 6q, 9q e
12q nas posições da periferia correspondentes a 3,
6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros do
relógio não perturbam o campo eletrostático cri-
ado por tais part́ıculas. A que horas o ponteiro
das horas aponta na mesma direção e sentido do
campo elétrico no centro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
4. Temos um condutor oco, com carga Q, em
equiĺıbrio eletrostático, conforme mostra a figura.
Com uma pequena esfera condutora, também de
carga Q, considere as quatro seguintes situações:
(I) a esfera é colocada dentro da cavidade oca,
sem tocar a superf́ıcie interna Si.
(II) a esfera é colocada dentro da cavidade, em
contato com a superf́ıcie interna Si.
(III) a esfera é colocada em contato com a
superf́ıcie externa Se do condutor oco.
(IV) a esfera é colocada na vizinhança (externa)
do condutor oco, sem tocar nele.
Após atingido o equiĺıbrio eletrostático e
referindo-se às cargas nas superf́ıcie interna e
externa do condutor oco como Qi e Qe, res-
pectivamente, qual das alternativas corresponde
às quatro situações descritas anteriormente?
(a) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = 2Q, Qe = 0;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 2Q, Qe = −Q.
(b) I: Qi = 0, Qe = Q;
II: Qi = Q, Qe = Q;
III: Qi = Q, Qe = Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
(c) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = 0, Qe = 2Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
(d) I: Qi = Q, Qe = 0;
II: Qi = 0, Qe = 2Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = Q, Qe = 0.
(e) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = Q, Qe = Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
3
5. Se o módulo da diferença de potencial num capa-
citor dobra de valor, por quais fatores mudam o
módulo do campo elétrico e a energia armazenada,
respectivamente?
(a) 4 e 2.
(b) 2 e 4.
(c) 2 e 2.
(d) 1/2 e 1/4.
(e) 1/4 e 1/2.
6. Duas part́ıculas com cargas Q > 0 e −Q e massa
m são colocadas nas pontas de uma vareta de
massa despreźıvel, presa ao tampo de uma mesa
por um pino que passa no seu centro. O vetor
posição relativa da part́ıcula positiva com respeito
à negativa é dado por Lŷ. Se o aparato é subme-
tido a um campo elétrico Exx̂ paralelo ao tampo
da mesa e perpendicular à vareta, encontre o tor-
que τ no sistema vareta+cargas.
(a) τ = QExLẑ.
(b) τ = QExLx̂.
(c) τ = −QExLẑ.
(d) τ = QExLŷ.
(e) τ = −QExLŷ.
7. Uma bola esférica, condutora, de carga Q e raio R,
em equiĺıbrio eletrostático está envolta por uma
casca esférica, espessa, isolante, concêntrica, de
raios interno R e externo a (a > R) e constante
dielétrica K1. Imediatamente depois, há uma ou-
tra casca esférica, espessa, isolante, concêntrica,
de raios interno a e externo b (b > a) e cons-
tante dielétrica K2. Ambas as cascas são neutras.
Assinale a opção que indica corretamente os va-
lores do campo elétrico nas quatro regiões: (I)
0 ≤ r < R, (II) R < r ≤ a , (III) a ≤ r ≤ b e (IV)
b ≤ r < ∞.
(a) EI = 0, EII =
Q
4πǫ0r2
r̂,
EIII =
Q
4πǫ0r2
r̂, EIV =
Q
4πǫ0r2
r̂.
(b) EI =
Q
4πǫ0r2
r̂, EII =
Q
4πǫ0r2
r̂,
EIII =
Q
4πǫ0r2
r̂, EIV =
Q
4πǫ0r2
r̂.
(c) EI =
Q
4πǫ0r2
r̂, EII =
Q
4πǫ0K1r2
r̂,
EIII =
Q
4πǫ0K2r2
r̂, EIV =
Q
4πǫ0r2
r̂.
(d) EI = 0, EII =
Q
4πǫ0K1r2
r̂,
EIII =
Q
4πǫ0K2r2
r̂, EIV =
Q
4πǫ0r2
r̂.
(e) EI = 0, EII = 0,
EIII = 0, EIV =
Q
4πǫ0r2
r̂.
4
8. Na figura a seguir, mostramos um capaci-
tor de placas planas e paralelas que tem a
região entre as suas placas completamente
preenchida com meios isolantes diferentes.
Qual dos diagramas corresponde ao capacitor da
figura?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere um quadrado, de aresta L, tal que, em
dois vértices cont́ıguos encontram-se part́ıculas
de mesma carga q. Qual é o trabalho realizado
pela força elétrica quando duas novas part́ıculas,
idênticas às primeiras, são colocadas nos vértices
vazios, “completando” assim o quadrado?
(a)
(3 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
(b)
q2
2πǫ0L
.
(c) − q
2
2πǫ0L
.
(d)
(2 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
(e) − (3 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
10. Considere as três seguintes afirmativas:
(I) Se o fluxo do campo elétrico através de uma su-
perf́ıcie for zero, então o campo elétrico em qual-
quer ponto da superf́ıcie também será zero.
(II) Se o campo elétrico em todo ponto de uma su-
perf́ıcie for zero, então o fluxo do campo através
de tal superf́ıcie também será zero.
(III) Numa certa região, temos duas part́ıculas
carregadas, sendo uma delas circundada (encer-
rada) por uma superf́ıcie fechada. Então, para a
determinação do campo elétrico num ponto de tal
superf́ıcie, só contribui a part́ıcula encerrada pela
dita superf́ıcie.
Assinale a opção que indica qual(is) dessas afir-
mativas está(ão) correta(s).
(a) Somente a II.
(b) Nenhuma delas.
(c) Somente a I.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas elas.
5
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Um segmento retiĺıneo, de
comprimento 2a, situado ao longo do
eixo Z, é composto por duas metades,
uniformemente carregadas, com cargas Q
e −Q, conforme mostra a figura ao lado.
O centro do sistema coincide com a origem
do eixo Z.
(a) Determine o campo elétrico em um
ponto P , do plano z = 0, a uma distância
r do segmento. [1,5 ponto]
(b) Deduza uma expressão limite para
tal campo, como função de r, quando o
ponto P está muito afastado dosegmento.
Interprete o resultado obtido. [1,0 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular reto, sólido, de com-
primento L muito grande e de raio a, é constitúıdo
de material isolante (com constante dielétrica igual a
1) e está envolto por uma casca ciĺındrica, espessa,
também de comprimento L muito grande e de raios b
e c (b < c), coaxial com o cilindro isolante interno, de
eixo Z. Tal casca é constitúıda de material condutor.
No cilindro interno, temos uma carga total Q, uni-
formemente distribúıda em volume, ao passo que, na
casca externa, temos uma carga total −Q. Considere
que o sistema todo está em equiĺıbrio eletrostático.
Determine, então,
(a) as densidades superficiais de carga σb e σc, nas
superf́ıcies correspondentes da casca condutora. [0,5
ponto]
(b) o campo elétrico nas quatro regiões do espaço:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c, e c < r < ∞. [1,0
ponto]
(c) o potencial eletrostático nas quatro regiões supra-
citadas, tomando-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
6
7
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (d)
4. (c)
5. (b)
6. (c)
7. (d)
8.
(b)
9. (e)
10. (a)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria do problema, podemos escrever o campo no ponto P como:
~EP = −Eŷ,
onde:
E = 2
∫ a
0
dq
4πǫ0
y
(x2 + y2)3/2
,
com dq = λdy = Qa dy. Assim, temos:
E =
Q
2πǫ0a
∫ a
0
y
(x2 + y2)3/2
dy.
Para resolvermos a integral fazemos substituição simples u = x2 + y2, de modo que:
∫
y
(x2 + y2)3/2
dy = − 1√
x2 + y2
.
Substituindo agora os limites de integração encontramos:
E =
Q
2πǫ0a
[
1
x
− 1√
x2 + a2
]
,
e finalmente:
~EP =
Q
2πǫ0a
ŷ
[
1√
x2 + a2
− 1
x
]
.
�
(b) Para valores de x tais que x >> a podemos expandir a expressão para ~EP em série de Taylor. Temos
que:
(1 + w)p ≈ 1 + pw + p(p − 1)
2
w2 + ...
Vamos preparar a expressão do campo para fazer a expansão. Observe que:
~EP =
Qŷ
2πǫ0a
1
x
{
[
1 +
(a
x
)2
]−
1
2
− 1
}
.
Devemos tomar até o segundo termo da expansão, assim:
~EP ≈
Qŷ
2πǫ0a
1
x
{
1 +
(
−1
2
)
(a
x
)2
− 1
}
,
~EP ≈ −
Qa
4πǫ0x3
ŷ.
No limite x >> a o campo da barra corresponde ao campo de um dipolo elétrico na origem.
�
2. Resolução:
2
(a) A carga Q do cilindro isolante vai atrair a carga −Q da casca condutora que, no equiĺıbrio eletrostático,
ficará distribúıda na superf́ıcie interna da mesma. Portanto, a densidade superficial de carga na superf́ıcie
externa da casca é
σc = 0, (1)
enquanto que na superf́ıcie interna é
σb = −
Q
2πbL
(2)
�
(b) Vamos considerar, para aplicar a lei de Gauss, superf́ıcies Gaussianas que são cilindros coaxiais ao
isolante, com raio r e comprimento l. Por simetria, temos que o campo elétrico, desprezando efeitos de
borda, é da forma
~E = E(r)r̂, (3)
Portanto, não há fluxo elétrico através das bases dos cilindros,
∮
~E · n̂dA = E(r)2πrl. (4)
Para aplicar a lei de Gauss, precisamos calcular a carga total Qint no interior das superf́ıcies Gaussianas
de interesse. A densidade volumar de carga no isolante é
ρ =
Q
V
=
Q
πa2L
(5)
• Para 0 ≤ r ≤ a:
Qint = ρVG = ρπr
2l = Q
r2l
a2L
(6)
• Para a ≤ r ≤ b:
Qint = ρVG = ρπa
2l = Q
l
L
(7)
• Para b ≤ r ≤ c, temos que somar a carga no isolante com a carga na superf́ıcie interna da casca
condutora:
Qint = ρVG + σb2πbl = 0 (8)
• Para r ≥ c, temos que somar a carga no isolante com a carga nas superf́ıcies interna e externa da casca
condutora:
Qint = ρVG + σb2πbl + σc2πcl = 0 (9)
Com isso, a lei de Gauss se resume a:
• Para 0 ≤ r ≤ a:
E(r)2πrl =
Qr2l
ǫ0a2L
, (10)
que leva a
E(r) =
Qr
2πǫ0a2L
(11)
• Para a ≤ r ≤ b:
E(r)2πrl =
Ql
ǫ0L
, (12)
que leva a
E(r) =
Q
2πǫ0rL
(13)
• Para b ≤ r ≤ c:
E(r)2πrl = 0 ⇒ E(r) = 0, (14)
como esperado, uma vez que estamos no interior de um condutor em equiĺıbrio eletrostático.
3
• Para r ≥ c:
E(r)2πrl = 0 ⇒ E(r) = 0. (15)
�
(c) Podemos calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico usando:
V1 − V2 =
∫ 2
1
~E · ~dl (16)
• Para r ≥ c:
V (r) − V (r → ∞) =
∫ ∞
r
~E · ~dl = 0. (17)
Escolhendo V (r → ∞) = 0, temos que
V (r) = 0. (18)
• Para b ≤ r ≤ c, temos novamente:
V (r) − V (r = c) =
∫ c
r
~E · ~dl = 0. (19)
Pelo resultado anterior, V (r = c) = 0, temos que
V (r) = 0. (20)
• Para a ≤ r ≤ b:
V (r) − V (r = b) =
∫ b
r
~E · ~dl = Q
2πǫ0L
∫ b
r
dr
r
. (21)
Pelo resultado anterior, V (r = b) = 0, temos que
V (r) =
Q
2πǫ0L
ln
(
b
r
)
. (22)
• Para 0 ≤ r ≤ a:
V (r) − V (r = a) =
∫ a
r
~E · ~dl = Q
2πǫ0a2L
∫ a
r
rdr. (23)
Pelo resultado anterior, V (r = a) = Q
2πǫ0L
ln
(
b
a
)
, temos que
V (r) =
Q
2πǫ0L
[
a2 − r2
2a2
+ ln
(
b
a
)]
. (24)
�
4
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut́ıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4π�0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA = Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U = 1
4π�0
qq′
r
E =
E0
K
, J = nqva, V =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
2. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f)Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
2
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
6. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
7. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
8. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
3
9. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
10. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
4
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
5
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
2. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
1
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
6. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
7. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
8.Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
2
9. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
10. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
3
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equiĺıbrio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superf́ıcie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S2, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2‖dA2. Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S2
E2 · dA2 =
Qint
�0
,
E2(4πr2) =
(−Q)
�0
;
E2 = −
Q
4π�0
1
r2
r̂.
(c) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S3, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3‖dA3. Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S3
E3 · dA3 =
Qint
�0
,
E3(4πr2) =
1
�0
[
−Q + ρ4
3
π(r3 − b3)
]
,
onde:
ρ =
+Q
4
3π(c
3 − b3)
.
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3, encontramos:
E3 = −
Q
4π�0
r̂
r2
+
Q
4π�0
r̂
r2
(r3 − b3)
(c3 − b3)
.
4
(d) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S4, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4‖dA4. Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S4
E4 · dA4 =
Qint
�0
,
E4(4πr2) =
(−Q + Q)
�0
,
E4 = 0.
�
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q =
∫ π
0
λ(θ)Rdθ,
Q = λ0R
∫ π
0
sen(θ)dθ,
Q = 2λ0R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
2R
.
(b) Temos:
V (z) =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ0sen(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
Rλ0
4π�0
√
z2 + R2
∫ π
0
sen(θ)dθ,
V (z) =
Q
4π�0
1√
z2 + R2
.
5
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
∂z
,
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
Q
4π�0
z
(z2 + R2)
3
2
.
�
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: B
Aluno:
Assinatura:
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut́ıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4π�0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA = Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U = 1
4π�0
qq′
r
E =
E0
K
, J = nqva, V =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
2. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
3. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
4. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
2
5. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b)−pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
6. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
3
9. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
10. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
4
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
5
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
2. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
3. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
4. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
1
5. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
6. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contantoque q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
9. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
10. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
2
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equiĺıbrio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superf́ıcie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S2, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2‖dA2. Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S2
E2 · dA2 =
Qint
�0
,
E2(4πr2) =
(−Q)
�0
;
E2 = −
Q
4π�0
1
r2
r̂.
(c) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S3, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3‖dA3. Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S3
E3 · dA3 =
Qint
�0
,
E3(4πr2) =
1
�0
[
−Q + ρ4
3
π(r3 − b3)
]
,
onde:
ρ =
+Q
4
3π(c
3 − b3)
.
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3, encontramos:
E3 = −
Q
4π�0
r̂
r2
+
Q
4π�0
r̂
r2
(r3 − b3)
(c3 − b3)
.
3
(d) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S4, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4‖dA4. Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S4
E4 · dA4 =
Qint
�0
,
E4(4πr2) =
(−Q + Q)
�0
,
E4 = 0.
�
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q =
∫ π
0
λ(θ)Rdθ,
Q = λ0R
∫ π
0
sen(θ)dθ,
Q = 2λ0R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
2R
.
(b) Temos:
V (z) =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ0sen(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
Rλ0
4π�0
√
z2 + R2
∫ π
0
sen(θ)dθ,
V (z) =
Q
4π�0
1√
z2 + R2
.
4
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
∂z
,
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
Q
4π�0
z
(z2 + R2)
3
2
.
�
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: C
Aluno:
Assinatura:
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut́ıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4π�0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA = Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U = 1
4π�0
qq′
r
E =
E0
K
, J = nqva, V =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
2. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
4. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
2
6. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15,0, 3.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
8. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
9. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
3
10. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
4
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
5
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
2. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
3. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
4. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
5. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
1
6. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
7. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
8. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
9. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
10. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entreas placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.2
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equiĺıbrio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superf́ıcie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S2, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2‖dA2. Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S2
E2 · dA2 =
Qint
�0
,
E2(4πr2) =
(−Q)
�0
;
E2 = −
Q
4π�0
1
r2
r̂.
(c) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S3, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3‖dA3. Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S3
E3 · dA3 =
Qint
�0
,
E3(4πr2) =
1
�0
[
−Q + ρ4
3
π(r3 − b3)
]
,
onde:
ρ =
+Q
4
3π(c
3 − b3)
.
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3, encontramos:
E3 = −
Q
4π�0
r̂
r2
+
Q
4π�0
r̂
r2
(r3 − b3)
(c3 − b3)
.
3
(d) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S4, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4‖dA4. Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S4
E4 · dA4 =
Qint
�0
,
E4(4πr2) =
(−Q + Q)
�0
,
E4 = 0.
�
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q =
∫ π
0
λ(θ)Rdθ,
Q = λ0R
∫ π
0
sen(θ)dθ,
Q = 2λ0R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
2R
.
(b) Temos:
V (z) =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ0sen(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
Rλ0
4π�0
√
z2 + R2
∫ π
0
sen(θ)dθ,
V (z) =
Q
4π�0
1√
z2 + R2
.
4
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
∂z
,
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
Q
4π�0
z
(z2 + R2)
3
2
.
�
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2012/1
Primeira Prova (P1) – 27/04/2012
Versão: D
Aluno:
Assinatura:
Número de Registro:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut́ıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 2,5 pontos e a segunda, 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4π�0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA = Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U = 1
4π�0
qq′
r
E =
E0
K
, J = nqva, V =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
2. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
3. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
5. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
2
6. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas(ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
7. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
9. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
10. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
3
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
4
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um dipolo elétrico, com part́ıculas de
carga ±q e comprimento 2L. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica no deslocamento de
uma part́ıcula de teste com carga q0 desde o in-
finito até o centro do dipolo?
(a) Não pode ser calculado, pois a trajetória
espećıfica seguida pela part́ıcula de teste
não foi informada.
(b) 0.
(c) k0qq0/L.
(d) −k0qq0/L.
(e) 2k0qq0/L.
(f) −2k0qq0/L.
2. Qual é a magnitude do campo elétrico devido a
uma bola esférica uniformemente carregada, com
raio R e carga total Q, em um ponto de seu inte-
rior a uma distância r do centro?
(a) infinita, pois neste ponto estamos “em
cima” da carga.
(b) zero.
(c) k0
Q
r2
.
(d) k0
Qr
R3
.
(e) k0
QR
r3
.
3. Qual é a capacitância de um capacitor de pla-
cas ciĺındricas circulares coaxiais de raios R1 e
R2 (R2 > R1) e altura comum igual a h, sendo
h � R2 (ou seja, as placas podem ser considera-
das cilindros infinitos)?
(a) 2π�0h/ ln(R2/R1).
(b) 2π�0h/ ln(R1/R2).
(c) 4π�0R1.
(d) �0R1R2/h.
(e) 2π�0h ln(R2/R1).
4. Considere as seguintes afirmativas:
(i) Se o fluxo do campo elétrico através de uma
superf́ıcie é zero, então o campo elétrico em
qualquer ponto desta superf́ıcie é zero.
(ii) Se a carga elétrica total dentro de uma su-
perf́ıcie fechada é zero, então o fluxo do
campo elétrico através de tal superf́ıcie é
zero.
(iii) Dentro de uma superf́ıcie esférica, há uma
part́ıcula de carga q, ao passo que fora há
uma part́ıcula de carga −q; então, o fluxo
total através da superf́ıcie é zero.
Quais dessas afirmativas são INCORRETAS:
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
5. Seja um fio muito fino, circular, de raio R, no
plano cartesiano usual XY , com centro na sua
origem. Neste fio, há uma distribuição de carga,
com densidade linear λ = λ0 cos θ, onde λ0 é uma
constante positiva e θ é o usual ângulo polar (ori-
entado no sentido trigonométrico, ou seja, anti-
horário). Assinale a opção que indica correta-
mente a carga total Q do fio, assim como a direção
e sentido do campo elétrico resultante no seu cen-
tro.
(a) Q = 0; −x̂.
(b) Q = 0; sendo a carga zero, o campo, ob-
viamente, também é 0.
(c) Q = 0; x̂.
(d) Q = 2πRλ; ŷ.
(e) Q = 2πRλ0; −ŷ.
(f) Q = 2πRλ0; −x̂.
1
6. Considere um dado capacitor usual de duas pla-
cas, com cargas ±Q (Q > 0) e módulo da
diferença de potencial entre as placas dado por
V . Em relação às afirmações que seguem, diga
quais são CORRETAS.
(i) A capacitância C do capacitor é dada por
C = QV .
(ii) A energia armazenada no capacitor é dada
por U = 12CV
2.
(iii) A capacitância NÃO depende da geometria
(tamanho, forma, . . . ) do capacitor.
(a) Apenas (i);
(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
7. O vetor momento de dipolo elétrico p de um certo
dipolo elétrico faz um ângulo α < π/2 com um ve-
tor campo elétrico constante E. Indique a opção
que fornece o valor correto da variação de energia
potencial do dipolo, ao ser invertido.
(a) 0.
(b) −pE cosα.
(c) pE cosα.
(d) −2pE cosα.
(e) 2pE cosα.
8. Seja um triângulo equilátero, com dois de seus
vértices (1 e 2) portando part́ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. É posśıvel trazer uma ter-
ceira part́ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrostática total armazenada em
tal triângulo seja zero?
(a) Não, pois isto violaria a conservação da
energia.
(b) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(d) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(e) Sim, contanto que q3 = −(q1 + q2).
9. Em uma certa situação, o potencial eletrostático
varia ao longo do eixo X conforme mostrado na
figura abaixo. Assinale a opção que melhor apro-
xima o valor da componente x do campo elétrico
(em V/m) para cada um dos intervalos ab, bc, cd,
de, ef , fg.
(a) −6, 0, −3 , 15, 0, −3.
(b) −6, 0, 3, 15, 0, 3.
(c) −6, 0, 3, 15, 0, −3.
(d) 6, 0, 3, -15, 0, −3.
(e) 6, 0, −3, −15, 0, 3.
10. Considere as seguintes afirmativas:
(i) De dois feixes gerais de part́ıculas car-
regadas, aquele com velocidade média (de
arrasto) maior, necessariamente é o que cor-
responde à maior densidade de corrente.
(ii) A intensidade de corrente é uma grandeza
vetorial, visto que possui um determinado
sentido (ou sinal).
(iii) A resistência elétrica aumenta com o au-
mento do comprimento de um resistor e
abaixa com o aumento da área de sua seção
reta.
Quais dessas afirmativas são CORRETAS:
(a) Apenas (i);(b) Apenas (ii);
(c) Apenas (iii);
(d) Apenas (i) e (ii);
(e) Apenas (i) e (iii);
(f) Apenas (ii) e (iii);
(g) Todas elas;
(h) Nenhuma delas.
2
Seção 2. Questões discursivas (2,5+2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma esfera condutora de raio a e carga
−Q, em equiĺıbrio eletrostático, está envolta por uma
casca esférica espessa, isolante (K=1), de raio interno
b e raio externo c, com uma carga +Q uniformemente
distribúıda, (cf. figura ao lado).
Utilizando a lei de Gauss encontre uma expressão para
o campo elétrico como função de r (distância de um
ponto ao centro das esferas) em cada uma das regiões
abaixo indicadas:
(a) E1 para r < a. [0,5 ponto]
(b) E2 para a < r < b. [0,5 ponto]
(c) E3 para b < r < c. [1,0 ponto]
(d) E4 para r > c. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) Pelo fato de termos um condutor em equiĺıbrio eletrostático o campo é nulo para r < a:
E1 = 0.
A carga se distribui uniformente na superf́ıcie esférica r = a.
(b) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S2, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo a < r < b. Nessa região temos E2‖dA2. Devido à simetria esférica, E2 α r̂ e E2 é constante
em S2. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S2
E2 · dA2 =
Qint
�0
,
E2(4πr2) =
(−Q)
�0
;
E2 = −
Q
4π�0
1
r2
r̂.
(c) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S3, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo b < r < c. Nessa região temos E3‖dA3. Devido à simetria esférica, E3 α r̂ e E3 é constante
em S3. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S3
E3 · dA3 =
Qint
�0
,
E3(4πr2) =
1
�0
[
−Q + ρ4
3
π(r3 − b3)
]
,
onde:
ρ =
+Q
4
3π(c
3 − b3)
.
Substituindo a expressão para o ρ na expressão para E3, encontramos:
E3 = −
Q
4π�0
r̂
r2
+
Q
4π�0
r̂
r2
(r3 − b3)
(c3 − b3)
.
3
(d) Escolhemos uma superf́ıcie gaussiana S4, correspondendo a uma superf́ıcie esférica cujo raio r se encontra
no intervalo r > c. Nessa região temos E4‖dA4. Devido à simetria esférica, E4 α r̂ e E4 é constante em
S4. Assim, aplicando a lei de Gauss:
∮
S4
E4 · dA4 =
Qint
�0
,
E4(4πr2) =
(−Q + Q)
�0
,
E4 = 0.
�
2. [2,5 pontos] Um anel semi-circular fino, de raio R, ocupa os dois primeiros quadrantes do plano XY , ou
seja, um ponto genérico seu possui angulo polar 0 ≤ θ ≤ π. Tal anel possui uma densidade linear de carga
dada por λ(θ) = λ0 sen θ onde λ0 é uma constante.
(a) Qual é a carga total Q do anel? [0,5 ponto]
(b) Considerando o potencial eletrostático igual a zero no infinito, calcule o potencial num ponto arbitrário
do eixo Z, perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro, com cota z. Expresse o resultado
final em função da carga total Q. [1,2 ponto]
(c) Qual é a componente z do vetor campo elétrico no mesmo ponto arbitrário mencionado no item (b) [0,8
ponto]?
Resolução:
(a) A carga Q pode ser escrita como:
Q =
∫ π
0
λ(θ)Rdθ,
Q = λ0R
∫ π
0
sen(θ)dθ,
Q = 2λ0R.
Em termos da carga total escrevemos:
λ0 =
Q
2R
.
(b) Temos:
V (z) =
1
4π�0
∫
Q
dq
r
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
1
4π�0
∫ π
0
λ0sen(θ)Rdθ√
z2 + R2
,
V (z) =
Rλ0
4π�0
√
z2 + R2
∫ π
0
sen(θ)dθ,
V (z) =
Q
4π�0
1√
z2 + R2
.
4
(c) A componente z do campo, em termos do potencial é dada por:
Ez = −
∂V
∂z
,
assim, derivando a expressão encontrada para o potencial no item b encontramos:
Ez =
Q
4π�0
z
(z2 + R2)
3
2
.
�
5
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA III – 2012/1
PRIMEIRA PROVA (P1) – 02/05/2012
VERSÃO: A
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGÍVEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabeçalho do caderno
de resolução, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questões objetivas, na primeira página do caderno de resolução, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSÃO DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questões objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resolução
5. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formulário
F
e
= qE , E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
,
E = −∇V , V = k0
q
r
, U = k0
qq′
r
,
E =
E0
K
, C = Q/V , U =
1
2
QV ,
I =
∫
S
J · n̂ dA , J = nqv , V = RI .
(1 + x)α ≃ 1 + αx + 1
2
α(α − 1)x2 + . . . (x, α ∈ R, |x| ≪ 1)
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma part́ıcula α e um núcleo de ĺıtio estão em
repouso. O núcleo de ĺıtio tem carga 3e > 0
e massa 7 u (unidades de massa atômica), ao
passo que a part́ıcula α tem carga 2e e massa 4
u. Qual dos métodos propostos a seguir acelera as
duas part́ıculas até o mesmo valor final de energia
cinética?
(a) Sujeitar ambos a uma mesma diferença
de potencial (ddp).
(b) Sujeitar a part́ıcula α a uma ddp V e o
núcleo de ĺıtio a uma ddp 3V .
(c) Sujeitar a part́ıcula α a uma ddp V e o
núcleo de ĺıtio a uma ddp 7V/4.
(d) Sujeitar a part́ıcula α a uma ddp V e o
núcleo de ĺıtio a uma ddp 2V/3.
(e) Nenhum dos métodos anteriores.
2. Uma part́ıcula (pontual) de carga −Q está rode-
ada por part́ıculas (pontuais) carregadas, situa-
das em dois anéis concêntricos com a part́ıcula de
carga −Q, conforme indicado na figura. Os raios
dos anéis são r e R = 2r. Indique a alternativa
que apresenta corretamente: o campo elétrico E
no centro da figura (excetuando, naturalmente, o
da própria part́ıcula de carga −Q), a força elétrica
resultante F sobre a part́ıcula de carga −Q e o po-
tencial elétrico V no centro da figura (excetuando,
novamente, o da própria part́ıcula de carga −Q).
Aproveite-se de simetrias do problema.
(a) E = k0
10q
r2
ŷ, F = k0
10qQ
r2
ŷ, V =
k0
10q
r
.
(b) E = −k0
2q
r2
ŷ, F = −k0
2qQ
r2
ŷ, V =
k0
4q
R + r
.
(c) E = −k0
2q
r2
ŷ, F = k0
2qQ
r2
ŷ, V =
−k0
10q
r
.
(d) E = k0
3q
R2
ŷ, F = −k0
3qQ
R2
ŷ, V =
k0
3q
R
.
2
3. Um dipolo ŕıgido é colocado na proximidade de
uma part́ıcula (pontual) de carga Q < 0, fixa
no plano médio, perpendicular ao eixo do dipolo,
conforme mostra a figura. Podemos afirmar que o
movimento inicial do dipolo, imediatamente após
ser liberado do repouso, consiste em
(a) uma translação para a direita e uma
rotação, em torno do seu centro, no sen-
tido anti-horário.
(b) uma translação para a direita e uma
rotação, em torno do seu centro, no sen-
tido horário.
(c) uma translação para cima e uma rotação,
em torno do seu centro, no sentido
horário.
(d) uma translação para baixo e uma rotação,
em torno do seu centro, no sentido
horário.
(e) uma translação para a esquerda e uma
rotação, em torno do seu centro, no sen-
tido horário.
4. Na figura, temos seções transversais de superf́ıcies
esféricas e cúbicas, dentro de cada uma das quais
existe uma part́ıcula carregada. Ordene, em
seqüência decrescente, os fluxos de campo elétrico
Φi(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) através de cada superf́ıcie.
(a) Φ3 > Φ6 = Φ5 > Φ4 > Φ2 = Φ1.
(b) Φ3 > Φ5 > Φ4 > Φ1 > Φ6 > Φ2.
(c) Φ6 = Φ5 > Φ3 > Φ2 = Φ1 > Φ4.
(d) Φ3 > Φ6 > Φ5 > Φ4 > Φ2 > Φ1.
(e) Φ6 = Φ5 > Φ3 = Φ2 = Φ1 > Φ4.
3
5. Considere o gráfico que mostra como o potencial
eletrostático varia, em função da distância radial
a partir de um determinado ponto central, em
cada uma de 4 regiões (disjuntas) do espaço. Nas
regiões I e III, o potencial é constante, ao passo
que, nas regiões II e IV, ele decresce monotona-
mente. Podemos afirmar que:
(a) A componente radialdo campo elétrico é
negativa nas regiões I e II.
(b) A componente radial do campo elétrico é
nula nas regiões I e III.
(c) A componente radial do campo elétrico é
negativa nas regiões II e IV.
(d) A componente radial do campo elétrico é
nula nas regiões II e IV.
(e) A componente radial do campo elétrico é
positiva em todas as quatro regiões.
6. Na figura, ilustramos duas esferas carregadas, de
mesmo raio R. Elas estão isoladas uma da outra
e se encontram em equiĺıbrio eletrostático. A es-
fera da direita é condutora e a esfera da esquerda
tem densidade volumar de carga ρ = const. Seja
Wi (i = 1, 2, 3, 4) o trabalho realizado pela força
elétrica ao transportar uma part́ıcula de teste com
carga positiva, saindo do ponto A e retornando
ao mesmo, ao longo dos caminhos (orientados)
Ci (i = 1, 2, 3, 4). Qual das alternativas abaixo
é a correta?
(a) W1 = W2 = W3 = W4.
(b) W1 > W3 < W2 < W4.
(c) W1 = W3 < W2 = W4.
(d) W1 > W3 > W2 < W4.
(e) W1 = W3 > W2 = W4.
7. Uma “pastilha” de metal em forma de parale-
leṕıpedo será utilizada como um resistor. Tal pas-
tilha tem arestas de 2 cm, 4 cm e 10 cm. Para
obter a resistência mı́nima posśıvel, temos de co-
locar os contatos nos centros das faces paralelas
do resistor, faces essas de largura e comprimento
iguais a:
(a) 2 cm e 4 cm.
(b) 2 cm e 10 cm.
(c) 4 cm e 10 cm.
(d) Qualquer par de faces paralelas dará a
mesma resistência.
(e) Nenhuma das respostas acima é correta.
4
8. Um capacitor de capacitância C0 é carregado por
uma bateria de fem V0, recebendo, nesse processo,
uma carga final de módulo Q0 em cada placa. A
seguir, o capacitor é desligado da bateria e co-
nectado em paralelo com um capacitor de capa-
citância C0/2, que está descarregado. Após atin-
gido o equiĺıbrio eletrostático, podemos afirmar
que as grandezas módulo da diferença de poten-
cial V , módulo da carga Q em cada placa e energia
armazenada U , no capacitor de capacitância C0,
apresentam o seguinte comportamento:
(a) V permanece constante, Q permanece
constante, U diminui.
(b) V permanece constante, Q diminui, U
permanece constante.
(c) V diminui, Q permanece constante, U di-
minui.
(d) V diminui, Q diminui, U permanece cons-
tante.
(e) V diminui, Q diminui, U diminui.
9. Na figura, temos uma seção tranversal de um
corpo condutor, isolado (muito afastado de quais-
quer outros corpos), em equiĺıbrio eletrostático,
carregado positivamente, além de algumas curvas
orientadas. Qual(is) de tais curvas, nitidamente,
não pode(m) representar linhas de campo do cor-
respondente campo eletrostático?
(a) 1 e 4.
(b) 1, 4 e 8.
(c) 2, 6 e 7.
(d) 1, 3, 4, 5, 7 e 8.
(e) 1, 3, 4, 5 e 8.
10. Considere um capacitor de placas quadradas, pa-
ralelas, de área A e separadas por uma distância
L. Das operações listadas a seguir, qual não altera
a capacitância?
(a) Inclinar uma das placas com respeito à
outra.
(b) Reduzir a separação L.
(c) Introduzir uma chapa de cobre entre as
placas do capacitor.
(d) Introduzir uma chapa isolante entre as
placas do capacitor.
(e) Duplicar a área de ambas as placas.
(f) Duplicar a diferença de potencial entre as
placas.
5
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Na figura ao lado, temos dois objetos ex-
tensos, muito finos, uniformemente carregados, em re-
pouso. O anel tem raio r e carga q, e a barra tem
comprimento L e carga Q. Como mostrado na fi-
gura, a barra está sobre o eixo Z, que é perpendicular
ao plano do anel e passa pelo centro desse, tomado
como origem. A extremidade mais próxima da barra
encontra-se na cota z = a.
(a) Determine o vetor campo elétrico produzido pelo
anel em um ponto arbitrário do eixo Z, com cota z.
[1,0 ponto]
(b) Determine o vetor força elétrica que o anel exerce
sobre a barra. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor força elétrica do anel sobre a
barra, no limite em que a ≫ L, r. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular, sólido, con-
dutor, muito longo, com base de raio R, pos-
sui, em sua superf́ıcie lateral, uma densidade
superficial de carga constante igual a σR. Co-
axial com esse cilindro, há uma casca espessa,
neutra, também ciĺındrica, condutora e igual-
mente longa, de raios interno a e externo b,
conforme mostra a figura ao lado. Suponha
que o sistema todo esteja em equiĺıbrio ele-
trostático.
(a) Determine as densidades superficiais de
carga σa e σb, supostas constantes, nas su-
perf́ıcies interna e externa da casca, respecti-
vamente. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico nas
quatro regiões: (I) 0 ≤ r < R, (II) R < r < a,
(III) a < r < b, e (IV) b < r < ∞. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático nas
quatro regiões acima, tomando-o como zero
na superf́ıcie do cilindro sólido de raio R. [1,0
ponto]
Justifique toda sua argumentação.
6
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (d)
2. (c)
3. (a)
4. (e)
5. (b)
6. (a)
7. (c)
8. (e)
9. (d)
10. (f)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Considere o elemento de carga dq ilustrado na figura. Este elemento de carga dista s do ponto de cota
z no eixo Z tal que:
s2 = r2 + z2 .
O vetor campo elétrico ~dE devido ao elemento de carga dq no ponto de cota z tem módulo
dE =
1
4πǫ0
dq
s2
e faz um ângulo θ com o eixo Z, de modo que:
cos θ =
z
s
=
z
(r2 + z2)1/2
e
sen θ =
r
s
=
r
(r2 + z2)1/2
.
Então
dE = dE cos θẑ + dE sen θ x̂ .
ARGUMENTAÇÃO EXTENSA: Por sua vez, ainda em relação ao ponto de cota z, o campo elétrico ~dE
associado ao elemento de carga diametralmente oposto ao dq citado acima também faz o mesmo ângulo θ
com o eixo Z, tem o mesmo módulo dE determinado antes, mas tem a sua projeção perpendicular ao eixo
Z em sentido oposto à projeção correspondente relacionada ao elemento de carga dq. Este cancelamento
vai acontecer para cada par de elementos de carga diametralmente opostos no anel uniformente carregado.
Ou seja, o vetor campo elétrico do anel de cargas no ponto de cota z tem a direção do eixo Z e o sentido é
o do unitário ẑ.
ARGUMENTAÇÃO COMPACTA: De acordo com a simetria da distribuição de cargas, o campo elétrico
resultante não tem componente componente perpendicular ao eixo Z: os componentes perpendiculares
relativos a dois elementos de carga diametralmente opostos se cancelam.
Logo,
E =
∫
dE cos θẑ ,
E =
1
4πǫ0
∫
dq
(r2 + z2)
z
(r2 + z2)1/2
ẑ .
Como r e z são constantes e
∫
dq = q, temos
E =
1
4πǫ0
zq
(r2 + z2)3/2
ẑ .
2
�
(b) Seja dQ um elemento de carga da barra. O vetor força elétrica que o anel exerce sobre esse elemento é
dado por
dF = dQE ,
onde o campo elétrico é dado pelo resultado do item (a).
Como a barra está uniformemente carregada, a sua densidade linear de carga é dada por
λ =
Q
L
.
Com isso, podemos expressar o elemento de carga dQ em termos de um elemento de linha ao longo da barra
dQ = λdz =
Q
L
dz .
Logo, a força resultante sobre a barra será dada por
F =
∫
dF =
∫
Q
L
dzE =
1
4πǫ0
qQ
L
∫ a+L
a
zdz
(r2 + z2)3/2
ẑ.
Definindo uma nova variável u := r2 + z2, temos que du = 2zdz. Com isso, a expressão pode ser reescrita
como
F =
1
4πǫ0
qQ
2L
∫ r2+(a+L)2
r2+a2
du
u3/2
ẑ =
1
4πǫ0
qQ
2L
(
− 2
u1/2
)
∣
∣
∣
r2+(a+L)2
r2+a2 ẑ.
Portanto
F =
1
4πǫ0
qQ
L
(
1√
r2 + a2
− 1√
r2 + (a + L)2
)
ẑ .
�
(c) Podemos reescrever a expressão para a força como
F =
1
4πǫ0
qQ
L
(
1√
r2 + a2
− 1√
r2 + a2 + L2 + 2aL
)
ẑ ,
e ainda como
F =
1
4πǫ0
qQ
L
1
a


1
√
1 + r
2
a2
− 1√
1 + r
2
a2 +
L2
a2 +
2L
a

 ẑ .
Considerando que, conforme o Formulário, (1 + x)α = 1 + αx + α(α − 1)x22! + . . ., para x ≪ 1 e que, no
limite a ≫ L, La ≪ 1 e ra ≪ 1, temos
1
√
1 + r
2
a2
≈ 1 − r
2
2a2
e
1
√
1 + r
2
a2 +
L2
a2 +
2L
a
≈ 1 − 1
2
(
r2
a2
+
L2
a2
+
2L
a
)
.
Logo,
F ≈ 1
4πǫ0
qQ
L
1
a
(
1 − r
2
2a2
− 1 + r
2
2a2
+
L2
2a2
+
L
a
)
ẑ =
14πǫ0
qQ
a2
(
1 +
L
2a
)
ẑ .
Considerando-se, de novo, que 1 ≫ L2a , pois a ≫ L, tem-se, finalmente,
F ≈ 1
4πǫ0
qQ
a2
ẑ ,
3
que é a força de interação eletrostática entre duas part́ıculas pontuais carregadas separadas por uma
distância a.
�
2. Resolução:
(a) Em pontos do interior de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico (macroscópico) é
zero. Logo, pela lei de Gauss, qualquer superf́ıcie fechada constitúıda totalmente por pontos do interior
do condutor deve encerrar uma carga total igual a zero. Apliquemos isso para uma gaussiana ciĺındrica
circular, coaxial com o eixo de simetria da distribuição em questão, de raio r, tal que a < r < b. Devemos
ter, então:
Qint = σR2πRh + σa2πah = 0 .
Logo,
σa = −
R
a
σR . (1)
Como a casca é condutora, no equiĺıbrio eletrostático, toda a carga em excesso só pode depositar-se em
suas superf́ıcies (interna e/ou externa). Então, é claro, registra-se uma distribuição de carga com densidade
não nula, dada por (1), na sua superf́ıcie interna (de raio a). Como a casca é neutra, isso implica que, na
sua superf́ıcie externa (de raio b) deve haver uma correspondente distribuição de carga com densidade σb
tal que
σb2πbh + σa2πah = 0 .
Logo,
σb = −
a
b
σa =
R
b
σR . (2)
�
(b) Nas regiões I e III, por tratarem-se de regiões no interior de condutores em equiĺıbrio eletrostático,
os campos elétricos (macroscópicos) são zero, como simples conseqüência das definições de condutor e de
equiĺıbrio eletrostático. Concretamente,
• Região I: 0 ≤ r < R:
E = 0 . (3)
• Região III: a < r < b:
E = 0 . (4)
• Região II: R < r < a:
Devido à simetria ciĺındrica da situação, o campo elétrico resultante deve ter somente componente
radial:
E = Err̂ .
Além disso, de novo por simetria ciĺındrica, sua única componente só pode depender da distância até
o eixo de simetria, ou seja,
Er = Er(r) .
Por isso tudo, convém escolher como superf́ıcie gaussiana, a partir da qual determinaremos o campo
elétrico, uma superf́ıcie ciĺındrica circular S, de raio genérico r e altura (comprimento) h; tal superf́ıcie
inclui, é claro, além da superf́ıcie lateral Slat, suas bases superior Bsup e inferior Binf , para que, como
qualquer gaussiana, seja uma superf́ıcie fechada. A integral que define o fluxo do campo elétrico
através de tal gaussiana divide-se em três contribuições:
∮
S
E ·n dA =
∫
Slat
E ·n dA +
∫
Bsup
E ·n dA +
∫
Binf
E ·n dA .
4
É claro que, devido à perpendicularidade, nas bases, entre E e n̂, as duas últimas integrais são nulas,
sobrando somente aquela na superf́ıcie lateral. Essa pode, nitidamente, levando em conta que, nesse
caso, n̂ = r̂, ser escrita como
∫
Slat
E ·n dA = Er(r)2πrh . (5)
Por outro lado, a carga total encerrada nessa gaussiana é somente aquela presente no cilindro sólido,
de raio R, ou seja:
Qint = σR2πRh . (6)
A lei de Gauss exige que igualemos a expressao do fluxo total (5) e a expressão dessa carga total
encerrada (6), dividida por ǫ0. Isso nos leva a
Er(r)2πrh =
σR2πRh
ǫ0
,
ou seja,
E =
σRR
ǫ0
1
r
r̂ . (7)
• Região IV: b < r < ∞:
Por uma argumentação análoga àquela apresentada para a região II, teremos, como expressão para
a integral do fluxo, através de uma nova gaussiana de raio r tal que b < r < ∞ agora, a mesma
expressão:
∮
S
E ·n̂ dA = Er(r)2πrh .
Também, pelo fato da casca espessa ser neutra, a carga encerrada nessa nova gaussiana resulta ser a
mesma que a correspondente na região II, ou seja,
Qint = σR2πRh .
Logo, pela lei de Gauss, continuamos a ter a mesma expressão para o campo elétrico:
E =
σRR
ǫ0
1
r
r̂ . (8)
�
(c) Como, no item (b), foram encontradas as expressões (3), (7), (4), (8), para o campo elétrico em todas
as 4 regiões t́ıpicas, vamos determinar o potencial eletrostático, via integração de
dV = −E ·dℓ .
Para tanto, precisaremos, é claro, fazer uma escolha do “zero” do potencial, que já foi indicada no enunciado:
V (r = R) = 0. Como isso situa-se na fronteira entre as regiões I e II, começaremos por determinar o
potencial justamente na região I e prosseguiremos “para fora”.
• Região I: 0 ≤ r < R:
Obviamente, como o campo é zero [cf. (3)], temos
V = VR ≡ const .
O valor expĺıcito de tal constante vem da imposição, conforme o enunciado, de que V (r = R) = 0.
Logo
V = 0 .
5
• Região II: R < r < a:
Da expressão para o campo (7), vem
V = −σRR
ǫ0
ln
(
r
r1
)
,
com r1 uma constante de integração. Novamente, como o potencial deve ser cont́ınuo e igual a zero
em r = R, deduzimos que r1 = R e, portanto,
V = −σRR
ǫ0
ln
( r
R
)
. (9)
• Região III: a < r < b:
Da expressão para o campo (4), vem
V = V1 ≡ const .
Como o potencial deve ser cont́ınuo em r = a, podemos usar a expressão (9), para determinar o valor
de V1, obtendo, então,
V = −σRR
ǫ0
ln
( a
R
)
. (10)
• Região IV: b < r < ∞:
Da expressão para o campo (8), vem
V = −σRR
ǫ0
ln
(
r
r2
)
, (11)
com r2 uma constante de integração. Novamente, por continuidade em r = b, deduzimos, usando essa
última expressão e (10), que
−σRR
ǫ0
ln
( a
R
)
= −σRR
ǫ0
ln
(
b
r2
)
,
ou seja,
r2 =
b
a
R .
Substituindo isso de volta em (11), temos, pois,
V = −σRR
ǫ0
ln
( a
bR
r
)
.
�
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica – F́ısica III
– 2012/2
Primeira Prova: 10/12/2012
Versão: A
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
~E = − ~∇V , V = k0
q
r
, U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo elétrico, imerso em um campo
elétrico constante (estacionário e uniforme) ~E = Ex̂
(E > 0), em três configurações diferentes. O comprimento
do dipolo é L. Qual dessas configurações é a de equiĺıbrio
estável e quais são, para essa configuração estável, o vetor
momento de dipolo elétrico ~p e a energia potencial elétrica
U?
(a) Configuração 3. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(b) Configuração 1. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
(c) Configuração 2. ~p = qLŷ e U = −qLE.
(d) Configuração 1. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(e) Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
(f) Configuração 2. ~p = −qLŷ e U = 0.
(g) Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = qLE.
(h) Configuração 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera maciça com densidade volumar de
carga constante (estacionária e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gráficos do módulo do campo elétrico e do poten-
cial elétrico devidos a essa esfera em função da distância
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
tiĺıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projeções dos fios retiĺıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont́ınuas representam
distribuições uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuições
também uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o módulo do campo elétrico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial elétrico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo é a correta? Considere
o potencial elétrico nulo no infinito.
(a) ~E = Ex̂ e V = 0.
(b) ~E = −Ex̂ e V = 0.
(c) ~E = Eŷ e V = 0.
(d) ~E = −Eŷ e V = 0.
(e) ~E = Ex̂ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Ex̂ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra três sistemas com distribuições uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera têm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparação entre os módulos das forças elétricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e)F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes três afirmacões relativas a um con-
dutor em equiĺıbrio eletrostático: (I) podemos ter uma
linha de campo elétrico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf́ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga é σ, o
campo elétrico tem módulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo elétrico é zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmação(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas são corretas.
(h) Nenhuma é correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espaço entre as placas está
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes dielétricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espaço é preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitância desse capacitor, em termos da sua
capacitância no vácuo C0?
(a) 2 (K1 + K2) C0.
(b)
K1K2
K1 + K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 + K2
C0.
(d) (K1 + K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 + K2)
C0.
(f) (K1 + K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
dielétrico de “recheio”. Das três afirmações a seguir,
qual(is) é(são) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitância
também dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitância cresce, e (III) ao retirarmos o meio
dielétrico, a sua capacitância diminui.
(a) Todas são verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma é verdadeira.
8. Considere três objetos carregados: (I) um fio retiĺıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
sólido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf́ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico
através da superf́ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL + bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gráfico do potencial elétrico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direção ortogonal às placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posição nu-
los. Qual é o campo elétrico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) x̂.
(b) −(1000 V/m) x̂.
(c) (1 V/m) x̂.
(d) −(1 V/m) x̂.
(e) (100 V/m) x̂.
(f) −(100 V/m) x̂.
10. Considere as seguintes distribuições de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esféricas;
ii fio retiĺıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga não uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estacionária e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
ciĺındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estacionária e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo elétrico em um ponto genérico do espaço?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part́ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part́ıcula é lançada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vẑ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estacionária e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial elétrico devido ao anel na posição
inicial da part́ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo elétrico devido
ao anel na posição inicial da part́ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecânica total da part́ıcula imedia-
tamente após o lançamento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o módulo da velocidade cŕıtica vc, acima do qual
a part́ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro.
Esse cilindro é coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
também de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equiĺıbrio eletrostático, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo elétrico em cada uma das quatro regiões:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r < ∞. [2,0 pontos]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo elétrico, imerso em um campo
elétrico constante (estacionário e uniforme) ~E = Ex̂
(E > 0), em três configurações diferentes. O comprimento
do dipolo é L. Qual dessas configurações é a de equiĺıbrio
estável e quais são, para essa configuração estável, o vetor
momento de dipolo elétrico ~p e a energia potencial elétrica
U?
(a) Configuração 3. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(b) Configuração 1. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
(c) Configuração 2. ~p = qLŷ e U = −qLE.
(d) Configuração 1. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(e) Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
(f) Configuração 2. ~p = −qLŷ e U = 0.
(g) Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = qLE.
(h) Configuração 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera maciça com densidade volumar de
carga constante (estacionária e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gráficos do módulo do campo elétrico e do poten-
cial elétrico devidos a essa esfera em função da distância
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
tiĺıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projeções dos fios retiĺıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont́ınuas representam
distribuições uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuições
também uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o módulo do campo elétrico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial elétrico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo é a correta? Considere
o potencial elétrico nulo no infinito.
(a) ~E = Ex̂ e V = 0.
(b) ~E = −Ex̂ e V = 0.
(c) ~E = Eŷ e V = 0.
(d) ~E = −Eŷ e V = 0.
(e) ~E = Ex̂ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Ex̂ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra três sistemas com distribuições uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera têm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparação entre os módulos das forças elétricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 <F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes três afirmacões relativas a um con-
dutor em equiĺıbrio eletrostático: (I) podemos ter uma
linha de campo elétrico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf́ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga é σ, o
campo elétrico tem módulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo elétrico é zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmação(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas são corretas.
(h) Nenhuma é correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espaço entre as placas está
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes dielétricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espaço é preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitância desse capacitor, em termos da sua
capacitância no vácuo C0?
(a) 2 (K1 + K2) C0.
(b)
K1K2
K1 + K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 + K2
C0.
(d) (K1 + K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 + K2)
C0.
(f) (K1 + K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
dielétrico de “recheio”. Das três afirmações a seguir,
qual(is) é(são) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitância
também dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitância cresce, e (III) ao retirarmos o meio
dielétrico, a sua capacitância diminui.
(a) Todas são verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma é verdadeira.
8. Considere três objetos carregados: (I) um fio retiĺıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
sólido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf́ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico
através da superf́ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL + bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gráfico do potencial elétrico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direção ortogonal às placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posição nu-
los. Qual é o campo elétrico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) x̂.
(b) −(1000 V/m) x̂.
(c) (1 V/m) x̂.
(d) −(1 V/m) x̂.
(e) (100 V/m) x̂.
(f) −(100 V/m) x̂.
10. Considere as seguintes distribuições de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esféricas;
ii fio retiĺıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga não uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estacionária e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
ciĺındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estacionária e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo elétrico em um ponto genérico do espaço?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part́ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part́ıcula é lançada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vẑ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estacionária e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial elétrico devido ao anel na posição
inicial da part́ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo elétrico devido
ao anel na posição inicial da part́ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecânica total da part́ıcula imedia-
tamente após o lançamento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o módulo da velocidade cŕıtica vc, acima do qual
a part́ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
Resolução:
(a) Já supondo que o zero do potencial está no infinito, podemos dizer que uma contribuição infinitesimal dV para o
potencial eletrostático em um ponto (de observação) a uma distância r de um elemento infinitesimal da distribuição com
carga infinitesimal dq, é
dV =
1
4πǫ0
dq
r
. [0,2 ponto]
Logo, para a distribuição completa de carga, no domı́nio curviĺıneo C, por superposição, temos
V =
1
4πǫ0
∫
C
dq
r
.
No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria (x = y = 0, z) do anel, é óbvio que todos os pontos
do anel carregado estão à mesma distância do ponto P . Logo,
V =
1
4πǫ0r
∫
C
dq
=
1
4πǫ0
Q
r
, [0,2 ponto]
onde, claro, Q é a carga total do anel, ou seja,
Q = λ02πR ,
e
r =
√
R2 + z2 .
Finalmente, então,
V (x = y = 0, z) =
λ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
�
(b) Genericamente, o campo eletrostático se relaciona com o potencial eletrostático por
~E = − ~∇V.
4
Por simetria, no eixo Z, sabemos que não existem componentes do campo nas direções x e y. Portanto,
~E(x = y = 0, z) = −∂V (x = y = 0, z)
∂z
[0,3 ponto]
= −λ0R
2ǫ0
∂
∂z
[
(
R2 + z2
)−1/2
]
.
Logo,
~E(x = y = 0, z) =
λ0
2ǫ0
Rz
(R2 + z2)3/2
ẑ . [0,3 ponto]
�
(c) A energia mecânica Em da part́ıcula é igual a sua energia cinética Ec mais a sua energia potencial Ep. Logo após o
lançamento, a part́ıcula possui velocidade −vẑ, donde conclúımos que sua energia cinética se escreve
Ec =
1
2
mv2 . [0,2 ponto]
Já a energia potencial, logo após o lançamento, é U = qV , ou seja,
U =
qλ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
Temos então,
Em = Ec + U =
1
2
[
mv2 +
qλ0R
ǫ0
√
R2 + z2
]
. [0,2 ponto]
�
(d) A força eletrostática entre o anel e a part́ıcula (sempre repulsiva), na parte da trajetória dessa última com z > 0, freará
o movimento. Destarte, a situação limite em que a part́ıcula poderá atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma
energia cinética nula. Logo, por conservação da energia mecânica, devemos ter
Em(z = 0) = Em(z)
0 +
qλ0R
2ǫ0R
=
1
2
mv2c +
qΛ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,4 ponto]
Resolvendo para vc, obtemos
vc =
√
qλ0
ǫ0m
[
1 − R√
R2 + z2
]1/2
. [0,3 ponto]
�
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro.
Esse cilindro é coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
também de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equiĺıbrio eletrostático, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo elétrico em cada uma das quatro regiões:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r < ∞. [2,0 pontos]
5
Resolução:
(a) Em uma casca ciĺındrica circular, coaxial com o cilindro interno, de raio r, espessura infinitesimal dr e altura, digamos,
h, ao longo do eixo, a quantidade de carga infinitesimal áı existente é
dq = ρ(r)dV
=
k
r
2πrhdr . [0,2 ponto]
Logo, porintegração de r = 0 até r = a, a carga total no cilindro interno, delimitada por uma altura h ao longo do eixo, é
Q(h) = 2πkah , [0,2 ponto]
ou seja, a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno é
λ =
Q(h)
h
= 2πka . [0,1 ponto]
�
(b) Devido à simetria ciĺındrica da distribuição de carga, sabemos que o campo elétrico, em coordenadas ciĺındricas (r, ϕ, z),
com eixo Z coincidente com o eixo de simetria da distribuição, só terá componente r, e essa só dependente da coordenada
radial r:
~E(r, ϕ, z) = Er(r) r̂(ϕ) .
Destarte, em qualquer uma das quatro regiões distintas para determinar o campo elétrico, é conveniente utilizar a lei de
Gauss, com uma superf́ıcie gaussiana sendo sempre uma superf́ıcie ciĺındrica coaxial com o eixo da distribuição, de raio r e
altura, digamos, h, de modo que o fluxo sempre terá, genericamente, a expressão
Φ~E =
∮
S
~E ·n̂ dA
=
∫
Slat
~E ·n̂ dA
= Er(r)2πrh . [0,6 ponto]
O que diferirá, nas quatro regiões será a expressão para a carga encerrada pela superf́ıcie gaussiana. Assim,
• 0 ≤ r ≤ a:
A carga encerrada é, neste caso,
Qint =
∫
ρ(r′)dV ′
=
∫ r
r′=0
k
r′
2πr′hdr′
= 2πkrh .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
k
ǫ0
r̂ . [0,3 ponto]
• a ≤ r < b:
A carga encerrada agora é
Qint =
∫
ρ(r′)dV ′
=
∫ a
r′=0
k
r′
2πr′hdr′
= 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
ka
ǫ0r
r̂ . [0,3 ponto]
6
• b < r < c:
Nesta região, por ser constitúıda de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico é obviamente nulo:
~E = ~0 . [0,5 ponto]
• c < r < ∞:
A carga encerrada é a mesma que a existente no cilindro interno, pois o cilidnro vazado é neutro, ou seja,
Qint = 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
ka
ǫ0r
r̂ . [0,3 ponto]
�
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/1 – Primeira Prova: 27/05/2013
Versão: C
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
∫
du
(u2 + 1)1/2
= ln
(
u+
√
u2 + 1
)
,
∫
du
u2 + 1
= arctanu ,
∫
du
(u2 + 1)3/2
=
u√
u2 + 1
∫
udu
(u2 + 1)1/2
=
√
u2 + 1 ,
∫
udu
u2 + 1
=
1
2
ln(u2 + 1) ,
∫
udu
(u2 + 1)3/2
=
−1√
u2 + 1
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um condutor com uma cavidade encontra-se em equiĺıbrio
eletrostático e possui uma carga total q = −20 mC. No
interior da cavidade, existe uma part́ıcula em repouso, de
carga também q = −20 mC. Quais são as cargas nas su-
perf́ıcies interna e externa do condutor, respectivamente?
(a) 20 mC e −40 mC.
(b) −20 mC e 0 mC.
(c) −10 mC e −10 mC.
(d) 0 mC e −20 mC.
(e) −40 mC e 20 mC.
2. Dois fios (1 e 2) condutores, ciĺındricos circulares, ho-
mogêneos, de mesmos comprimento e área de seção reta,
são unidos em série. A resistividade elétrica do fio 1 é o
dobro da do fio 2. Existe uma diferença de potencial entre
as extremidades do fio combinado. Quais são as razões
J1/J2 e E1/E2 entre os módulos das densidades de cor-
rente (estacionárias) e dos campos elétricos nos fios 1 e 2,
respectivamente?
(a) 2 e 1.
(b) 1 e 2.
(c) 2 e 2
(d) 1 e 1.
(e) 1/2 e 1.
(f) 1 e 1/2.
(g) 1/2 e 1/2.
1
3. Uma casca condutora esférica, espessa, de raios interno
e externo iguais a a e b, respectivamente, encontra-se em
equiĺıbrio eletrostático e possui carga q. Uma part́ıcula, de
carga q/2 está situada, em repouso, no centro de tal casca.
Que relação é válida entre os potenciais Va := V (r = a) e
Vb := V (r = b)?
(a) Vb = 2Va.
(b) Va = 2Vb.
(c) Vb = Va.
(d) Vb = −2Va.
(e) Va = −2Vb.
4. Uma chapa paralelepipedal de cobre, de espessura b é in-
troduzida em um capacitor ideal de placas retangulares,
paralelas, separadas por uma distância L e possuindo am-
bas área A. Mantendo a carga em cada placa constante,
qual é a capacitância após a introdução da chapa e qual
é a razão entre as energias armazenadas antes e depois da
introdução da placa?
(a) ε0A/(L− b) e L2/(L− b)2.
(b) ε0(L− b)/A e L2/(L− b)2.
(c) ε0(L− b)/A e L/(L− b).
(d) ε0A/(L− b) e (L− b)/L.
(e) ε0A/(L− b) e L/(L− b).
5. Considere as seguintes três afirmações: (I) a lei de Gauss
só vale para distribuições estacionárias de carga; (II) todo
campo eletrostático pode ser escrito como o gradiente de
uma função escalar, e (III) ao dobrarmos o módulo da
carga de um dado capacitor vazio, preservando sua geo-
metria e mantendo-o vazio, dobramos sua capacitância.
Qual(is) dessas afirmações é(são) correta(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Todas.
(c) I e II.
(d) I e III.
(e) II e III.
(f) Somente I.
(g) Somente II.
(h) Somente III.
6. Duas part́ıculas, de carga q, encontram-se, em repouso, em
vértices opostos de um quadrado com aresta de compri-
mento L. Uma terceira part́ıcula, de carga q0, é colocada,
também em repouso, em um dos vértices originalmente
vazios. Qual é a energia potencial elétrica desse sistema
completo de três part́ıculas e qual é o trabalho realizado
pela força elétrica, devida às duas primeiras part́ıculas,
quando a terceira é deslocada de um dos vértices original-
mente vazios para o outro, respectivamente?
(a) 2k0q0q/L e 0.
(b) k0q
2/(
√
2L) + 2k0q0q/L e 0.
(c) 2k0q0q/L+ 2k0q
2/(
√
2L) e 4k0q0q/L.
(d) 2k0q0q/(
√
2L) e −4k0q0q/L.
(e) −2k0q0q/L e 0.
7. Considere os seguintes dois sistemas: (a) circunferência
de ćırculo com uma metade uniformemente carregada com
densidade linear λ > 0 e a outra metade com densidade
−λ < 0; (b) circunferência de ćırculo com um quarto
uniformemente carregado com densidade linear 2λ > 0
e o outro quarto, diametralmente oposto, com densidade
−2λ < 0. Quais são os campos elétricos no centro O
dos sistemas (a) e (b), respectivamente? (Sugestão: use o
prinćıpio de superposição.)
(a) − λ
πε0R
ŷ e
λ
πε0R
(x̂− ŷ).
(b) − λ
2πε0R
ŷ e
λ
2πε0R
(x̂− ŷ).
(c) − λ
πε0R
ŷ e
2λ
πε0R
(x̂− ŷ).
(d) − 2λ
πε0R
ŷ e
2λ
πε0R
(x̂− ŷ).
(e) − λ
4πε0R
ŷ e
λ
4πε0R
(x̂− ŷ).
2
8. Considere uma casca ciĺındrica, muito longa, uniforme-
mente carregada, cujo raio cresce, desde um valor Rini até
um valor Rfin. Neste processo (“de crescimento”), em que
a carga permanece constante, o que ocorre com o módulo
do campo elétrico em cada um dos três pontos fixos, 1, 2
e 3, respectivamente: aumenta, diminui ou permanece o
mesmo?
(a) 1: permanece o mesmo; 2: permanece o mesmo, e
3: aumenta.
(b) 1: permanece o mesmo; 2: aumenta, e 3: au-
menta.
(c) 1: diminui; 2: diminui, e 3: aumenta.
(d) 1: permanece o mesmo; 2: diminui, e 3: perma-
nece o mesmo.
(e) 1: diminui; 2: diminui, e 3: permanece o mesmo.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere um bastão retiĺıneo, fino, de compri-
mento 2L, com densidade linear de carga constante λ0, situ-
ado no intervalo (−L,L) do eixo Z, conforme mostra a figura.
(a) Determine o campo elétrico ~E(s) devido a tal bastão, em
um ponto genérico, a uma distância s do bastão, de seu plano
médio perpendicular de simetria (z = 0). [1,0 ponto]
Considere, agora, um segundo bastão retiĺıneo, fino, de
comprimento L, situado no referido plano médio perpendicular
de simetria do primeiro bastão. Na verdade, o eixo desse novo
bastão é perpendicular ao eixo do primeiro, conforme mostra
a figura. Finalmente, esse novo bastão possui densidade linear
de carga estacionária, mas não uniforme, dada por
λ(s) = Cs2 ,
onde C é uma constante e s continua sendo a distância até o
eixo do primeiro bastão.
(b) Determine a carga total desse segundo bastão. [0,6 ponto]
(c) Determine a força eletrostática do primeiro bastão sobre o
segundo. [1,0 ponto]
2. [2,6 pontos] Um balão esférico, feito de um material elástico não-condutor, sofre uma expansão que dobra o seu raio inicial
R0. A distribuição superficial de carga nobalão é sempre uniforme e, inicialmente, sua densidade (superficial) é igual a σ0.
(a) Determine o campo elétrico em um ponto arbitrário da região externa do balão, antes da expansão. [1,2 ponto]
(b) Determine a densidade superficial de carga no balão, após a expansão. [0,2 ponto]
3
(c) Determine o potencial elétrico na superf́ıcie do balão após a expansão, supondo que o potencial se anula no infinito. [0,6
ponto]
(d) Determine a variação da energia potencial elétrica causada pela expansão, ou seja, a diferença entre os seus valores final
e inicial. [0,6 ponto]
4
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (c)
4. (e)
5. (g)
6. (b)
7. (a)
8. (d)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para campos elétricos.
Um determinado elemento infinitesimal do bastão, com carga dq, contribui com o seguinte campo elétrico no ponto de
observação:
d~E(s) =
k0dq
r2
r ,
onde
r
2 = s2 sec2 α .
Ora, por simetria, o campo resultante só terá componente s, que será a integral de
.dEs(s) =
k0λ0sdz
r3
=
k0λ0sdz
(s2 + z2)3/2
(1)
ou de
dEs(s) =
k0λ0dz
r2
cosα .
Como
z = s tanα ⇒ dz = s sec2 αdα ,
temos ainda
dEs(s) =
k0λ0s sec
2 αdα
s2 sec2 α
cosα.
Logo, seja integrando direto (1) pelo formulário, seja integrando essa expressão acima, encontramos
~E(s) =
2k0λ0
s
senα0 ŝ ,
onde
senα0 = L/
√
L2 + s2 .
�
(b) Para tal bastão, por ser não uniformemente carregado, devemos, necessariamente, integrar λ para obter a carga total.
Logo,
Qtot =
∫ a+L
s=a
Cs2 ds
=
1
3
C
[
(a+ L)3 − a3
]
,
1
e, portanto,
Qtot =
1
3
C
[
3a2L+ 3aL2 + L3
]
.
�
(c) Sobre um elemento infinitesimal do segundo bastão, situado a uma distância s do primeiro bastão e com carga dq, atuará
uma força
d~F = dq ~E(s)
= Cs2 ds
2k0λ0L
s
√
s2 + L2
ŝ
=
2k0λ0CLs ds√
s2 + L2
ŝ .
Logo, a força resultante é
~F = 2k0λ0CL
(
√
(a+ L)2 + L2 −
√
a2 + L2
)
ŝ .
�
2. Resolução:
(a) Devido à simetria esférica do problema, é mais conveniente encontrarmos o campo elétrico usando a lei de Gauss. Esta
última diz que
∮
S
~E · d~A = Qenc
ε0
,
onde S é a superf́ıcie gaussiana escolhida e Qenc é a carga total no interior de S. Graças à simetria esférica, sabemos que o
campo só depende da coordenada radial r e só tem componente na direção radial r̂, de modo que
~E(r, θ, φ) = Er(r)r̂.
Escolhendo-se então uma superf́ıcie gaussiana esférica concêntrica ao balão e maior do que ele, temos d~A = dA r̂ =
r2senθdθdφ r̂, e então
∮
S
~E · d~A =
∫ π
θ=0
∫
2π
φ=0
Er(r) r
2senθdθdφ = 4πr2Er(r) =
Qenc
ε0
.
Como a densidade σ0 é constante, temos
Qenc =
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0
σ0 R
2
0senθdθdφ = 4πR
2
0 σ0
e então
4πr2Er(r) =
4πR20 σ0
ε0
⇒ Er(r) =
σ0R
2
0
ǫ0r2
,
ou seja,
~E =
σ0R
2
0
ε0r2
r̂.
�
(b) Como o balão apenas se expandiu, sua carga Q0 continua a mesma. Como a densidade superficial se mantém uniforme,
temos, para um balão de raio 2R0 (e portanto área 16πR
2
0)
σ1 =
Q0
16πR20
=
1
4
Q0
4πR20
=
σ0
4
,
onde σ1 é a densidade superficial após a expansão.
�
2
(c) Sabendo-se que, na região externa ao balão, o campo elétrico após a expansão é idêntico ao campo elétrico anterior à
expansão, podemos utilizar o resultado do item (a) aqui. O potencial em um ponto de posição ~r é dado por
V (~r)− V (∞) = V (~r) =
∫
C
~E · d~ℓ,
onde C é uma linha qualquer que leve de ~r ao infinito, e já usamos o fato de que V (∞) = 0. Como o campo é radial, é mais
conveniente integrá-lo ao longo de uma reta radial, logo,
V (~r) =
∫
C
~E · d~ℓ =
∫
∞
~r
Er dr =
σ0R
2
0
ε0
∫
∞
~r
dr
r2
=
σ0R
2
0
ε0r
,
onde r = |~r|. Escolhendo um ponto de posição ~r1 na superf́ıcie do balão expandido, temos |~r1| = 2R0 e, portanto,
V (~r1) =
σ0R
2
0
2ε0R0
=
σ0R0
2ε0
.
�
(d) A variação da energia potencial é dada por ∆U = U1 − U0, onde U1 (U0) é a energia potencial eletrostática depois
(antes) da expansão. Temos, pelo menos, 3 diferentes maneiras de resolver tal item.
• trabalho através de uma ddp:
Para calcularmos o trabalho para carregarmos o balão (com raio fixo R, por exemplo), desde uma carga inicial q = 0
até uma carga final q = Q, imaginamos um instante t́ıpico intermediário em que o balão tem carga q entre 0 e Q e
potencial v = k0q/R entre 0 e V = k0Q/R. Nesse instante, trazemos uma carga infinitesimal adicional dq, desde o
infinito até a superf́ıcie do balão e o correspondente trabalho infinitesimal para tanto, visto que o potencial foi feito
zero no infinito, é
dU = dqv = dqk0q/R .
Logo, o trabalho total para carregar o baão é:
U =
1
2
k0Q
2
R
.
Agora, temos somente que subtrair o valor de tal expressão quando R = R0 do seu valor quando R = 2R0, para obter:
∆U = −1
4
k0Q
2
R0
= −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
• OU energia de uma distribuição superficial genérica:
A energia potencial associada a uma distribuição superficial de carga é dada por
U =
1
2
∫
S
σ(~r)V (~r) dA,
onde S é uma superf́ıcie dada. No nosso caso, então, temos
Ui =
1
2
∫
Si
σiV (~ri)dA =
V (~ri)
2
∫
Si
σi dA =
Q0V (~ri)
2
onde i = 0, 1 e S0 (S1) é a superf́ıcie do balão antes (depois) da expansão. Usamos ainda o fato de que superf́ıcies
esféricas são equipotenciais de V (~r). Sabendo-se então que
V (~r0) =
σ0R0
ǫ0
e usando o resultado do item (c), temos finalmente
∆U =
Q0
2
(V (~r1)− V (~r0)) = −
πσ20R
3
0
ε0
.
3
• OU energia armazenada em um campo elétrico:
Uma superf́ıcie esférica, de raio R e carga total Q uniformemente distribúıda gera, no seu exterior e somente no seu
exterior, um campo elétrico de módulo igual a
E(r) = k0
|Q|
r2
(r > R) .
Logo, a energia total armazenada no correspondente campo elétrico é
U =
∫
∞
r=R
1
2
ε0E
2(r)4πr2dr
= 2πε0
∫
∞
r=R
k20Q
2
r4
r2dr
=
1
2
k0Q
2
∫
∞
r=R
1
r2
dr
=
1
2
k0Q
2
R
.
Portanto, assim como na primeira maneira de resolução acima,
∆U = −1
4
k0Q
2
R0
= −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/2 – Primeira Prova: 27/09/2013
Versão: A
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as três seguintes afirmações: (I) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (II) A densidade de energia em um campo
elétrico é linearmente proporcional ao módulo de tal
campo. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
2. Considere dois sistemas carregados: (i) uma part́ıcula
de teste, 1, de carga q, (ii) uma barra ŕıgida de fonte,
com carga total Q, devida a part́ıculas em suas extre-
midades, 2 e 3, de cargas −q e q+Q, respectivamente.
Mostre que, mesmo com os dois sistemas tendo car-
gas de mesmo sinal (qQ > 0), eles podem se atrair
eletricamente, contanto que
(a) Corpos com cargas de mesmo sinal jamais po-
dem se atrair.
(b) Q < 2q.
(c) Q > 2q.
(d) Q > 3q.
(e) Q < 3q.
1
3. Das seguintes afirmativas, qual é a única verda-
deira?
(a) O módulo do potencial é maior onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(b) O módulo do potencial é menor onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(c) O módulo do gradiente do potencial é menor
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(d) O módulo do gradiente do potencial é maior
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(e) O módulo do campo elétrico é linearmente pro-
porcional ao módulodo potencial elétrico.
4. Um condutor esférico contém, em seu interior, uma ca-
vidade esférica concêntrica. Uma part́ıcula com carga
q encontra-se no centro da cavidade e o condutor, em
equiĺıbrio eletrostático, possui carga elétrica total −q.
Sendo ~E o campo elétrico resultante em um ponto P
fora do sistema, assinale o único item correto.
(a) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
(b) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(c) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é q.
(d) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(e) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
5. Temos duas part́ıculas com cargas q e −q. Aquela de
carga q está no centro de uma superf́ıcie (gaussiana)
cúbica, com aresta de comprimento a. Um segmento
de reta, também de comprimento a, perpendicular a
uma das faces do cubo, une as duas part́ıculas. Para
tal arranjo, o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie gaussiana é igual a
(a) q/ε0.
(b) 2q/ε0.
(c) 0.
(d) q/(3ε0).
(e) q/(6ε0).
6. A maioria das aplicações práticas de capacitores tira
proveito da sua capacidade de armazenar e liberar
energia. Para uma dada voltagem ou diferença de po-
tencial V , como devemos associar N capacitores com
a mesma capacitância C de modo a maximizar a ener-
gia armazenada? E quanto será essa energia?
(a) Associação em série. U = CV 2/(2N).
(b) Associação em paralelo. U = CV 2/(2N).
(c) Associação em paralelo. U = NCV 2/2.
(d) Associação em série. U = NCV 2/2.
(e) Associação em série ou em paralelo dá a mesma
energia, igual a U = CV 2/2.
2
7. Um “catavento”, com configuração inicial mostrada
na figura, imerso totalmente em um campo elétrico
~E constante (uniforme e estacionário), é constitúıdo
por 2 dipolos, perpendiculares, com centro comum.
O comprimento de cada dipolo é o mesmo, igual a L,
e suas cargas positivas são q e 2q. Quando tal “ca-
tavento” for girado de 90◦, no sentido horário, como
sugerido pelo arco tracejado, qual é o trabalho reali-
zado pela força elétrica?
(a) 3qLE.
(b) −3qLE.
(c) −qLE.
(d) qLE.
(e) 0.
8. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
(a) 3
√
2q2/(8πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c)
√
10q2/(8πε0a
2).
(d) (4−
√
2)q2/(8πε0a
2).
(e) 0.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma esfera de raio R, com uma densidade volumar de carga estacionária, mas não uniforme,
dada por
ρ(r) =
{
C(R− r) , se 0 ≤ r ≤ R;
0 , se R < r < ∞ ,
onde C é uma constante.
(a) Determine a carga total Q da distribuição. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço, escolhendo-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] Um bastão fino, de comprimento a, está no eixo y, com uma extremidade na origem (y = 0), como
indica a figura. A densidade linear de carga do bastão é igual λ(y) = Cy, sendo C uma constante.
(a) Determine a carga total do bastão. [0,4 ponto]
(b) Determine o potencial elétrico V num ponto genérico P do eixo X, com abscissa x, escolhendo tal potencial
como zero no infinito. [1,0 ponto]
(c) Com base no resultado do item (b), determine a componente Ex do campo elétrico no ponto P (suponha que
x ≥ 0). [1,0 ponto]
(d)Podemos dizer que a componente y do campo, no ponto P, é nula? [0,2 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (d)
4. (e)
5. (a)
6. (c)
7. (c)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, é conveniente trabalharmos com coordenadas esféricas
(r, θ, ϕ), como sugerido pelo próprio enunciado do problema. Sendo assim, uma região infinitesimal t́ıpica, de
volume dV′, terá, por definição de densidade volumar de carga, carga infinitesimal igual a
dq′ = ρ dV′
= ρ(r′) dr′ r′ dθ′ r′sen θ′ dϕ′ .
Dentro, pois, de uma casca esférica infinitesimal, de raio r′ e espessura dr′, concêntrica com o centro da distribuição,
a carga infinitesimal será
dq =
∫ π
θ′=0
∫ 2π
ϕ′=0
ρ(r′)r′ dr′ r′dθ′ r′sen θ′ dϕ′
= ρ(r′) 4πr′2 dr′ .
Logo, a carga total dentro de uma esfera, de raio r, concêntrica com o centro da distribuição, será
q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 4πr′2 dr′
= 4πC
∫ r
r′=0
(R − r′) r′2 dr′
= 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
. (1)
Por fim, na esfera carregada completa, a carga total será, pois, Q = q(R), ou seja,
Q = 4πC
(
R4
3
− R
4
4
)
,
ou
Q =
1
3
πCR4 . (2)
�
(b) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, o campo elétrico deve ter a forma, em coordenadas esféricas,
~E(~r) = Er(r)r̂ . (3)
1
Com isso, sugere-se, naturalmente, resolver o item por intermédio da lei de Gauss, escolhendo, como gaussiana
S, uma superf́ıcie esférica, concêntrica com o centro da distribuição de carga, de raio genérico r. Através de tal
gaussiana, o fluxo de campo elétrico será, pois, para qualquer uma das duas regiões t́ıpicas, dado por
Φ~E [S] :=
∮
S
~E · dA
= 4πr2Er(r) .
Por sua vez, a carga encerrada pela gaussiana terá expressões diferentes em cada região.
• R ≤ r < ∞:
Neste caso, a carga no interior da gaussian será toda a carga da distribuição, dada por (2):
Qint(r) = Q =
1
3
πCR4 .
Logo,
~E =
Q
4πε0r2
r̂ =
CR4
12ε0r2
r̂ . (4)
• 0 ≤ r ≤ R:
Neste caso, a carga encerrada pela gaussiana será dada por (1):
Qint(r) = q(r) = 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
.
Logo,
~E =
C
ε0
(
Rr
3
− r
2
4
)
r̂ . (5)
�
(c) Como foi solicitado, no enunciado, que façamos o potencial zero no infinito, vamos começar calculando o
potencial justamente na região de fora.
• R ≤ r < ∞:
Obviamente, devido a (4), o potencial tem de ter a expressão
V (r) =
Q
4πε0r
+ c1 ,
onde c1 é uma constante de integração. Como devemos ter V (r → ∞) = 0, conclúımos que tal constante é
zero, e, portanto,
V (r) =
Q
4πε0r
=
CR4
12ε0r
.
• o ≤ r ≤ R:
Obviamente, devido a (5), o potencial tem de ter a expressão
V (r) = −C
ε0
(
Rr2
6
− r
3
12
)
+ c2
= − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 + c2 ,
2
onde c2 é uma outra constante de integração. Como o potencial deve ser cont́ınuo na fronteira dessas duas
regiões, devemos ter
V (r → R−) = V (r → R+)
−CR
3
12ε0
+ c2 =
CR3
12ε0
,
o que implica
c2 =
CR3
6ε0
.
Então, finalmente,
V (r) = − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 +
CR3
6ε0
.
�
2. Resolução:
(a)
dQ = λ(y) dy
Q =
∫ a
y=0
λ(y) dy (limites de integração)
Q =
Ca2
2







�
(b)
• Tomando a origem do potencial no infinito,
dV (P ) =
dQ
4πǫ0r
,
onde,
dQ = λ(y) dy
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
.
• Resolvendo a integral,
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
=
C
4πε0
∫ (x2+a2)
x2
du
u1/2
=
C
4πε0
(
u1/2
)
∣
∣
(x2+a2)1/2
u=x2
=
C
4πε0
(
(x2 + a2)1/2 − |x|
)
3
�
(c) Determinar a componente x do campo elétrico,
~E = − ~∇V, Ex = −
∂V
∂x
Resolver a derivada
∂V
∂x
=
C
4πε0
(
x
(x2 + a2)1/2
− 1
)
e
Ex =
C
4πε0
(
1− x
(x2 + a2)1/2
)
�
(d) A componente y do campo elétrico não é nula em P, pois, nitidamente, se C > 0, apontará para baixo.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/2 – Primeira Prova: 27/09/2013
Versão: B
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Temos duas part́ıculas com cargas q e −q. Aquela de
carga q está no centro de uma superf́ıcie (gaussiana)
cúbica, com aresta de comprimento a. Um segmento
de reta, também de comprimentoa, perpendicular a
uma das faces do cubo, une as duas part́ıculas. Para
tal arranjo, o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie gaussiana é igual a
(a) q/ε0.
(b) 2q/ε0.
(c) 0.
(d) q/(3ε0).
(e) q/(6ε0).
2. Um condutor esférico contém, em seu interior, uma ca-
vidade esférica concêntrica. Uma part́ıcula com carga
q encontra-se no centro da cavidade e o condutor, em
equiĺıbrio eletrostático, possui carga elétrica total −q.
Sendo ~E o campo elétrico resultante em um ponto P
fora do sistema, assinale o único item correto.
(a) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
(b) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(c) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é q.
(d) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(e) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
1
3. Considere as três seguintes afirmações: (I) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (II) A densidade de energia em um campo
elétrico é linearmente proporcional ao módulo de tal
campo. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
4. Considere dois sistemas carregados: (i) uma part́ıcula
de teste, 1, de carga q, (ii) uma barra ŕıgida de fonte,
com carga total Q, devida a part́ıculas em suas extre-
midades, 2 e 3, de cargas −q e q+Q, respectivamente.
Mostre que, mesmo com os dois sistemas tendo car-
gas de mesmo sinal (qQ > 0), eles podem se atrair
eletricamente, contanto que
(a) Corpos com cargas de mesmo sinal jamais po-
dem se atrair.
(b) Q < 2q.
(c) Q > 2q.
(d) Q > 3q.
(e) Q < 3q.
5. Um “catavento”, com configuração inicial mostrada
na figura, imerso totalmente em um campo elétrico
~E constante (uniforme e estacionário), é constitúıdo
por 2 dipolos, perpendiculares, com centro comum.
O comprimento de cada dipolo é o mesmo, igual a L,
e suas cargas positivas são q e 2q. Quando tal “ca-
tavento” for girado de 90◦, no sentido horário, como
sugerido pelo arco tracejado, qual é o trabalho reali-
zado pela força elétrica?
(a) 3qLE.
(b) −3qLE.
(c) −qLE.
(d) qLE.
(e) 0.
6. Das seguintes afirmativas, qual é a única verda-
deira?
(a) O módulo do potencial é maior onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(b) O módulo do potencial é menor onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(c) O módulo do gradiente do potencial é menor
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(d) O módulo do gradiente do potencial é maior
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(e) O módulo do campo elétrico é linearmente pro-
porcional ao módulo do potencial elétrico.
7. A maioria das aplicações práticas de capacitores tira
proveito da sua capacidade de armazenar e liberar
energia. Para uma dada voltagem ou diferença de po-
tencial V , como devemos associar N capacitores com
a mesma capacitância C de modo a maximizar a ener-
gia armazenada? E quanto será essa energia?
(a) Associação em série. U = CV 2/(2N).
(b) Associação em paralelo. U = CV 2/(2N).
(c) Associação em paralelo. U = NCV 2/2.
(d) Associação em série. U = NCV 2/2.
(e) Associação em série ou em paralelo dá a mesma
energia, igual a U = CV 2/2.
2
8. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
(a) 3
√
2q2/(8πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c)
√
10q2/(8πε0a
2).
(d) (4−
√
2)q2/(8πε0a
2).
(e) 0.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma esfera de raio R, com uma densidade volumar de carga estacionária, mas não uniforme,
dada por
ρ(r) =
{
C(R− r) , se 0 ≤ r ≤ R;
0 , se R < r < ∞ ,
onde C é uma constante.
(a) Determine a carga total Q da distribuição. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço, escolhendo-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] Um bastão fino, de comprimento a, está no eixo y, com uma extremidade na origem (y = 0), como
indica a figura. A densidade linear de carga do bastão é igual λ(y) = Cy, sendo C uma constante.
(a) Determine a carga total do bastão. [0,4 ponto]
(b) Determine o potencial elétrico V num ponto genérico P do eixo X, com abscissa x, escolhendo tal potencial
como zero no infinito. [1,0 ponto]
(c) Com base no resultado do item (b), determine a componente Ex do campo elétrico no ponto P (suponha que
x ≥ 0). [1,0 ponto]
(d)Podemos dizer que a componente y do campo, no ponto P, é nula? [0,2 ponto]
4
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (a)
4. (e)
5. (c)
6. (d)
7. (c)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, é conveniente trabalharmos com coordenadas esféricas
(r, θ, ϕ), como sugerido pelo próprio enunciado do problema. Sendo assim, uma região infinitesimal t́ıpica, de
volume dV′, terá, por definição de densidade volumar de carga, carga infinitesimal igual a
dq′ = ρ dV′
= ρ(r′) dr′ r′ dθ′ r′sen θ′ dϕ′ .
Dentro, pois, de uma casca esférica infinitesimal, de raio r′ e espessura dr′, concêntrica com o centro da distribuição,
a carga infinitesimal será
dq =
∫ π
θ′=0
∫ 2π
ϕ′=0
ρ(r′)r′ dr′ r′dθ′ r′sen θ′ dϕ′
= ρ(r′) 4πr′2 dr′ .
Logo, a carga total dentro de uma esfera, de raio r, concêntrica com o centro da distribuição, será
q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 4πr′2 dr′
= 4πC
∫ r
r′=0
(R − r′) r′2 dr′
= 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
. (1)
Por fim, na esfera carregada completa, a carga total será, pois, Q = q(R), ou seja,
Q = 4πC
(
R4
3
− R
4
4
)
,
ou
Q =
1
3
πCR4 . (2)
�
(b) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, o campo elétrico deve ter a forma, em coordenadas esféricas,
~E(~r) = Er(r)r̂ . (3)
1
Com isso, sugere-se, naturalmente, resolver o item por intermédio da lei de Gauss, escolhendo, como gaussiana
S, uma superf́ıcie esférica, concêntrica com o centro da distribuição de carga, de raio genérico r. Através de tal
gaussiana, o fluxo de campo elétrico será, pois, para qualquer uma das duas regiões t́ıpicas, dado por
Φ~E [S] :=
∮
S
~E · dA
= 4πr2Er(r) .
Por sua vez, a carga encerrada pela gaussiana terá expressões diferentes em cada região.
• R ≤ r < ∞:
Neste caso, a carga no interior da gaussian será toda a carga da distribuição, dada por (2):
Qint(r) = Q =
1
3
πCR4 .
Logo,
~E =
Q
4πε0r2
r̂ =
CR4
12ε0r2
r̂ . (4)
• 0 ≤ r ≤ R:
Neste caso, a carga encerrada pela gaussiana será dada por (1):
Qint(r) = q(r) = 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
.
Logo,
~E =
C
ε0
(
Rr
3
− r
2
4
)
r̂ . (5)
�
(c) Como foi solicitado, no enunciado, que façamos o potencial zero no infinito, vamos começar calculando o
potencial justamente na região de fora.
• R ≤ r < ∞:
Obviamente, devido a (4), o potencial tem de ter a expressão
V (r) =
Q
4πε0r
+ c1 ,
onde c1 é uma constante de integração. Como devemos ter V (r → ∞) = 0, conclúımos que tal constante é
zero, e, portanto,
V (r) =
Q
4πε0r
=
CR4
12ε0r
.
• o ≤ r ≤ R:
Obviamente, devido a (5), o potencial tem de ter a expressão
V (r) = −C
ε0
(
Rr2
6
− r
3
12
)
+ c2
= − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 + c2 ,
2
onde c2 é uma outra constante de integração. Como o potencial deve ser cont́ınuo na fronteira dessas duas
regiões, devemos ter
V (r → R−) = V (r → R+)
−CR
312ε0
+ c2 =
CR3
12ε0
,
o que implica
c2 =
CR3
6ε0
.
Então, finalmente,
V (r) = − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 +
CR3
6ε0
.
�
2. Resolução:
(a)
dQ = λ(y) dy
Q =
∫ a
y=0
λ(y) dy (limites de integração)
Q =
Ca2
2







�
(b)
• Tomando a origem do potencial no infinito,
dV (P ) =
dQ
4πǫ0r
,
onde,
dQ = λ(y) dy
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
.
• Resolvendo a integral,
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
=
C
4πε0
∫ (x2+a2)
x2
du
u1/2
=
C
4πε0
(
u1/2
)
∣
∣
(x2+a2)1/2
u=x2
=
C
4πε0
(
(x2 + a2)1/2 − |x|
)
3
�
(c) Determinar a componente x do campo elétrico,
~E = − ~∇V, Ex = −
∂V
∂x
Resolver a derivada
∂V
∂x
=
C
4πε0
(
x
(x2 + a2)1/2
− 1
)
e
Ex =
C
4πε0
(
1− x
(x2 + a2)1/2
)
�
(d) A componente y do campo elétrico não é nula em P, pois, nitidamente, se C > 0, apontará para baixo.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/2 – Primeira Prova: 27/09/2013
Versão: C
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um condutor esférico contém, em seu interior, uma ca-
vidade esférica concêntrica. Uma part́ıcula com carga
q encontra-se no centro da cavidade e o condutor, em
equiĺıbrio eletrostático, possui carga elétrica total −q.
Sendo ~E o campo elétrico resultante em um ponto P
fora do sistema, assinale o único item correto.
(a) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
(b) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(c) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é q.
(d) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(e) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
2. Considere as três seguintes afirmações: (I) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (II) A densidade de energia em um campo
elétrico é linearmente proporcional ao módulo de tal
campo. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
1
3. Temos duas part́ıculas com cargas q e −q. Aquela de
carga q está no centro de uma superf́ıcie (gaussiana)
cúbica, com aresta de comprimento a. Um segmento
de reta, também de comprimento a, perpendicular a
uma das faces do cubo, une as duas part́ıculas. Para
tal arranjo, o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie gaussiana é igual a
(a) q/ε0.
(b) 2q/ε0.
(c) 0.
(d) q/(3ε0).
(e) q/(6ε0).
4. A maioria das aplicações práticas de capacitores tira
proveito da sua capacidade de armazenar e liberar
energia. Para uma dada voltagem ou diferença de po-
tencial V , como devemos associar N capacitores com
a mesma capacitância C de modo a maximizar a ener-
gia armazenada? E quanto será essa energia?
(a) Associação em série. U = CV 2/(2N).
(b) Associação em paralelo. U = CV 2/(2N).
(c) Associação em paralelo. U = NCV 2/2.
(d) Associação em série. U = NCV 2/2.
(e) Associação em série ou em paralelo dá a mesma
energia, igual a U = CV 2/2.
5. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
(a) 3
√
2q2/(8πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c)
√
10q2/(8πε0a
2).
(d) (4−
√
2)q2/(8πε0a
2).
(e) 0.
6. Um “catavento”, com configuração inicial mostrada
na figura, imerso totalmente em um campo elétrico
~E constante (uniforme e estacionário), é constitúıdo
por 2 dipolos, perpendiculares, com centro comum.
O comprimento de cada dipolo é o mesmo, igual a L,
e suas cargas positivas são q e 2q. Quando tal “ca-
tavento” for girado de 90◦, no sentido horário, como
sugerido pelo arco tracejado, qual é o trabalho reali-
zado pela força elétrica?
(a) 3qLE.
(b) −3qLE.
(c) −qLE.
(d) qLE.
(e) 0.
2
7. Das seguintes afirmativas, qual é a única verda-
deira?
(a) O módulo do potencial é maior onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(b) O módulo do potencial é menor onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(c) O módulo do gradiente do potencial é menor
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(d) O módulo do gradiente do potencial é maior
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(e) O módulo do campo elétrico é linearmente pro-
porcional ao módulo do potencial elétrico.
8. Considere dois sistemas carregados: (i) uma part́ıcula
de teste, 1, de carga q, (ii) uma barra ŕıgida de fonte,
com carga total Q, devida a part́ıculas em suas extre-
midades, 2 e 3, de cargas −q e q+Q, respectivamente.
Mostre que, mesmo com os dois sistemas tendo car-
gas de mesmo sinal (qQ > 0), eles podem se atrair
eletricamente, contanto que
(a) Corpos com cargas de mesmo sinal jamais po-
dem se atrair.
(b) Q < 2q.
(c) Q > 2q.
(d) Q > 3q.
(e) Q < 3q.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma esfera de raio R, com uma densidade volumar de carga estacionária, mas não uniforme,
dada por
ρ(r) =
{
C(R− r) , se 0 ≤ r ≤ R;
0 , se R < r < ∞ ,
onde C é uma constante.
(a) Determine a carga total Q da distribuição. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço, escolhendo-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] Um bastão fino, de comprimento a, está no eixo y, com uma extremidade na origem (y = 0), como
indica a figura. A densidade linear de carga do bastão é igual λ(y) = Cy, sendo C uma constante.
(a) Determine a carga total do bastão. [0,4 ponto]
(b) Determine o potencial elétrico V num ponto genérico P do eixo X, com abscissa x, escolhendo tal potencial
como zero no infinito. [1,0 ponto]
(c) Com base no resultado do item (b), determine a componente Ex do campo elétrico no ponto P (suponha que
x ≥ 0). [1,0 ponto]
(d)Podemos dizer que a componente y do campo, no ponto P, é nula? [0,2 ponto]
4
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (a)
3. (a)
4. (c)
5. (b)
6. (c)
7. (d)
8. (e)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, é conveniente trabalharmos com coordenadas esféricas
(r, θ, ϕ), como sugerido pelo próprio enunciado do problema. Sendo assim, uma região infinitesimal t́ıpica, de
volume dV′, terá, por definição de densidade volumar de carga, carga infinitesimal igual a
dq′ = ρ dV′
= ρ(r′) dr′ r′ dθ′ r′sen θ′ dϕ′ .
Dentro, pois, de uma casca esférica infinitesimal, de raio r′ e espessura dr′, concêntrica com o centro da distribuição,
a carga infinitesimal será
dq =
∫ π
θ′=0
∫ 2π
ϕ′=0
ρ(r′)r′ dr′ r′dθ′ r′sen θ′ dϕ′
= ρ(r′) 4πr′2 dr′ .
Logo, a carga total dentro de uma esfera, de raio r, concêntrica com o centro da distribuição, será
q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 4πr′2 dr′
= 4πC
∫ r
r′=0
(R − r′) r′2 dr′
= 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
. (1)
Por fim, na esfera carregada completa, a carga total será, pois, Q = q(R), ou seja,
Q = 4πC
(
R4
3
− R
4
4
)
,
ou
Q =
1
3
πCR4 . (2)
�
(b) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, o campo elétrico deve ter a forma, em coordenadas esféricas,
~E(~r) = Er(r)r̂ . (3)
1
Com isso, sugere-se, naturalmente, resolver o item por intermédio da lei de Gauss, escolhendo, como gaussiana
S, uma superf́ıcie esférica, concêntrica com o centro dadistribuição de carga, de raio genérico r. Através de tal
gaussiana, o fluxo de campo elétrico será, pois, para qualquer uma das duas regiões t́ıpicas, dado por
Φ~E [S] :=
∮
S
~E · dA
= 4πr2Er(r) .
Por sua vez, a carga encerrada pela gaussiana terá expressões diferentes em cada região.
• R ≤ r < ∞:
Neste caso, a carga no interior da gaussian será toda a carga da distribuição, dada por (2):
Qint(r) = Q =
1
3
πCR4 .
Logo,
~E =
Q
4πε0r2
r̂ =
CR4
12ε0r2
r̂ . (4)
• 0 ≤ r ≤ R:
Neste caso, a carga encerrada pela gaussiana será dada por (1):
Qint(r) = q(r) = 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
.
Logo,
~E =
C
ε0
(
Rr
3
− r
2
4
)
r̂ . (5)
�
(c) Como foi solicitado, no enunciado, que façamos o potencial zero no infinito, vamos começar calculando o
potencial justamente na região de fora.
• R ≤ r < ∞:
Obviamente, devido a (4), o potencial tem de ter a expressão
V (r) =
Q
4πε0r
+ c1 ,
onde c1 é uma constante de integração. Como devemos ter V (r → ∞) = 0, conclúımos que tal constante é
zero, e, portanto,
V (r) =
Q
4πε0r
=
CR4
12ε0r
.
• o ≤ r ≤ R:
Obviamente, devido a (5), o potencial tem de ter a expressão
V (r) = −C
ε0
(
Rr2
6
− r
3
12
)
+ c2
= − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 + c2 ,
2
onde c2 é uma outra constante de integração. Como o potencial deve ser cont́ınuo na fronteira dessas duas
regiões, devemos ter
V (r → R−) = V (r → R+)
−CR
3
12ε0
+ c2 =
CR3
12ε0
,
o que implica
c2 =
CR3
6ε0
.
Então, finalmente,
V (r) = − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 +
CR3
6ε0
.
�
2. Resolução:
(a)
dQ = λ(y) dy
Q =
∫ a
y=0
λ(y) dy (limites de integração)
Q =
Ca2
2







�
(b)
• Tomando a origem do potencial no infinito,
dV (P ) =
dQ
4πǫ0r
,
onde,
dQ = λ(y) dy
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
.
• Resolvendo a integral,
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
=
C
4πε0
∫ (x2+a2)
x2
du
u1/2
=
C
4πε0
(
u1/2
)
∣
∣
(x2+a2)1/2
u=x2
=
C
4πε0
(
(x2 + a2)1/2 − |x|
)
3
�
(c) Determinar a componente x do campo elétrico,
~E = − ~∇V, Ex = −
∂V
∂x
Resolver a derivada
∂V
∂x
=
C
4πε0
(
x
(x2 + a2)1/2
− 1
)
e
Ex =
C
4πε0
(
1− x
(x2 + a2)1/2
)
�
(d) A componente y do campo elétrico não é nula em P, pois, nitidamente, se C > 0, apontará para baixo.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/2 – Primeira Prova: 27/09/2013
Versão: D
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere dois sistemas carregados: (i) uma part́ıcula
de teste, 1, de carga q, (ii) uma barra ŕıgida de fonte,
com carga total Q, devida a part́ıculas em suas extre-
midades, 2 e 3, de cargas −q e q+Q, respectivamente.
Mostre que, mesmo com os dois sistemas tendo car-
gas de mesmo sinal (qQ > 0), eles podem se atrair
eletricamente, contanto que
(a) Corpos com cargas de mesmo sinal jamais po-
dem se atrair.
(b) Q < 2q.
(c) Q > 2q.
(d) Q > 3q.
(e) Q < 3q.
2. Considere as três seguintes afirmações: (I) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (II) A densidade de energia em um campo
elétrico é linearmente proporcional ao módulo de tal
campo. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
1
3. Um condutor esférico contém, em seu interior, uma ca-
vidade esférica concêntrica. Uma part́ıcula com carga
q encontra-se no centro da cavidade e o condutor, em
equiĺıbrio eletrostático, possui carga elétrica total −q.
Sendo ~E o campo elétrico resultante em um ponto P
fora do sistema, assinale o único item correto.
(a) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
(b) ~E 6= ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(c) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é q.
(d) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é −q.
(e) ~E = ~0 e a carga total na superf́ıcie externa do
condutor é zero.
4. Um “catavento”, com configuração inicial mostrada
na figura, imerso totalmente em um campo elétrico
~E constante (uniforme e estacionário), é constitúıdo
por 2 dipolos, perpendiculares, com centro comum.
O comprimento de cada dipolo é o mesmo, igual a L,
e suas cargas positivas são q e 2q. Quando tal “ca-
tavento” for girado de 90◦, no sentido horário, como
sugerido pelo arco tracejado, qual é o trabalho reali-
zado pela força elétrica?
(a) 3qLE.
(b) −3qLE.
(c) −qLE.
(d) qLE.
(e) 0.
5. A maioria das aplicações práticas de capacitores tira
proveito da sua capacidade de armazenar e liberar
energia. Para uma dada voltagem ou diferença de po-
tencial V , como devemos associar N capacitores com
a mesma capacitância C de modo a maximizar a ener-
gia armazenada? E quanto será essa energia?
(a) Associação em série. U = CV 2/(2N).
(b) Associação em paralelo. U = CV 2/(2N).
(c) Associação em paralelo. U = NCV 2/2.
(d) Associação em série. U = NCV 2/2.
(e) Associação em série ou em paralelo dá a mesma
energia, igual a U = CV 2/2.
6. Das seguintes afirmativas, qual é a única verda-
deira?
(a) O módulo do potencial é maior onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(b) O módulo do potencial é menor onde o módulo
do campo elétrico é maior.
(c) O módulo do gradiente do potencial é menor
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(d) O módulo do gradiente do potencial é maior
onde o módulo do campo elétrico é maior.
(e) O módulo do campo elétrico é linearmente pro-
porcional ao módulo do potencial elétrico.
7. Temos duas part́ıculas com cargas q e −q. Aquela de
carga q está no centro de uma superf́ıcie (gaussiana)
cúbica, com aresta de comprimento a. Um segmento
de reta, também de comprimento a, perpendicular a
uma das faces do cubo, une as duas part́ıculas. Para
tal arranjo, o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie gaussiana é igual a
(a) q/ε0.
(b) 2q/ε0.
(c) 0.
(d) q/(3ε0).
(e) q/(6ε0).
2
8. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
(a) 3
√
2q2/(8πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c)
√
10q2/(8πε0a
2).
(d) (4−
√
2)q2/(8πε0a
2).
(e) 0.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma esfera de raio R, com uma densidade volumar de carga estacionária, mas não uniforme,
dada por
ρ(r) =
{
C(R− r) , se 0 ≤ r ≤ R;
0 , se R < r < ∞ ,
onde C é uma constante.
(a) Determine a carga total Q da distribuição. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço, escolhendo-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] Um bastão fino, de comprimento a, está no eixo y, com uma extremidade na origem (y = 0), como
indica a figura. A densidade linear de carga do bastão é igual λ(y) = Cy, sendo C uma constante.
(a) Determine a carga total do bastão. [0,4 ponto]
(b) Determine o potencial elétrico V num ponto genérico P do eixo X, com abscissa x, escolhendo tal potencial
como zero no infinito. [1,0 ponto]
(c) Com base no resultado do item (b), determine a componente Ex do campo elétrico no ponto P (suponha que
x ≥ 0). [1,0 ponto]
(d)Podemos dizer que a componente y do campo, no ponto P, é nula? [0,2 ponto]
4
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (a)3. (e)
4. (c)
5. (c)
6. (d)
7. (a)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, é conveniente trabalharmos com coordenadas esféricas
(r, θ, ϕ), como sugerido pelo próprio enunciado do problema. Sendo assim, uma região infinitesimal t́ıpica, de
volume dV′, terá, por definição de densidade volumar de carga, carga infinitesimal igual a
dq′ = ρ dV′
= ρ(r′) dr′ r′ dθ′ r′sen θ′ dϕ′ .
Dentro, pois, de uma casca esférica infinitesimal, de raio r′ e espessura dr′, concêntrica com o centro da distribuição,
a carga infinitesimal será
dq =
∫ π
θ′=0
∫ 2π
ϕ′=0
ρ(r′)r′ dr′ r′dθ′ r′sen θ′ dϕ′
= ρ(r′) 4πr′2 dr′ .
Logo, a carga total dentro de uma esfera, de raio r, concêntrica com o centro da distribuição, será
q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 4πr′2 dr′
= 4πC
∫ r
r′=0
(R − r′) r′2 dr′
= 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
. (1)
Por fim, na esfera carregada completa, a carga total será, pois, Q = q(R), ou seja,
Q = 4πC
(
R4
3
− R
4
4
)
,
ou
Q =
1
3
πCR4 . (2)
�
(b) Devido à simetria esférica da distribuição de carga, o campo elétrico deve ter a forma, em coordenadas esféricas,
~E(~r) = Er(r)r̂ . (3)
1
Com isso, sugere-se, naturalmente, resolver o item por intermédio da lei de Gauss, escolhendo, como gaussiana
S, uma superf́ıcie esférica, concêntrica com o centro da distribuição de carga, de raio genérico r. Através de tal
gaussiana, o fluxo de campo elétrico será, pois, para qualquer uma das duas regiões t́ıpicas, dado por
Φ~E [S] :=
∮
S
~E · dA
= 4πr2Er(r) .
Por sua vez, a carga encerrada pela gaussiana terá expressões diferentes em cada região.
• R ≤ r < ∞:
Neste caso, a carga no interior da gaussian será toda a carga da distribuição, dada por (2):
Qint(r) = Q =
1
3
πCR4 .
Logo,
~E =
Q
4πε0r2
r̂ =
CR4
12ε0r2
r̂ . (4)
• 0 ≤ r ≤ R:
Neste caso, a carga encerrada pela gaussiana será dada por (1):
Qint(r) = q(r) = 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
.
Logo,
~E =
C
ε0
(
Rr
3
− r
2
4
)
r̂ . (5)
�
(c) Como foi solicitado, no enunciado, que façamos o potencial zero no infinito, vamos começar calculando o
potencial justamente na região de fora.
• R ≤ r < ∞:
Obviamente, devido a (4), o potencial tem de ter a expressão
V (r) =
Q
4πε0r
+ c1 ,
onde c1 é uma constante de integração. Como devemos ter V (r → ∞) = 0, conclúımos que tal constante é
zero, e, portanto,
V (r) =
Q
4πε0r
=
CR4
12ε0r
.
• o ≤ r ≤ R:
Obviamente, devido a (5), o potencial tem de ter a expressão
V (r) = −C
ε0
(
Rr2
6
− r
3
12
)
+ c2
= − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 + c2 ,
2
onde c2 é uma outra constante de integração. Como o potencial deve ser cont́ınuo na fronteira dessas duas
regiões, devemos ter
V (r → R−) = V (r → R+)
−CR
3
12ε0
+ c2 =
CR3
12ε0
,
o que implica
c2 =
CR3
6ε0
.
Então, finalmente,
V (r) = − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 +
CR3
6ε0
.
�
2. Resolução:
(a)
dQ = λ(y) dy
Q =
∫ a
y=0
λ(y) dy (limites de integração)
Q =
Ca2
2







�
(b)
• Tomando a origem do potencial no infinito,
dV (P ) =
dQ
4πǫ0r
,
onde,
dQ = λ(y) dy
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
.
• Resolvendo a integral,
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
=
C
4πε0
∫ (x2+a2)
x2
du
u1/2
=
C
4πε0
(
u1/2
)
∣
∣
(x2+a2)1/2
u=x2
=
C
4πε0
(
(x2 + a2)1/2 − |x|
)
3
�
(c) Determinar a componente x do campo elétrico,
~E = − ~∇V, Ex = −
∂V
∂x
Resolver a derivada
∂V
∂x
=
C
4πε0
(
x
(x2 + a2)1/2
− 1
)
e
Ex =
C
4πε0
(
1− x
(x2 + a2)1/2
)
�
(d) A componente y do campo elétrico não é nula em P, pois, nitidamente, se C > 0, apontará para baixo.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F́ısica
F́ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: A
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromo-
triz constante. Se a distância entre as placas do ca-
pacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) não se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o poten-
cial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas são verdadeiras.
(h) Nenhuma é verdadeira.
1
3. Qual é o trabalho necessário para formamos a confi-
guração de três part́ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part́ıculas estão, de ińıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
4. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribúıda é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
5. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
6. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas part́ıculas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
2
7. Considere um eneágono (poĺıgono de nove lados) re-
gular, com part́ıculas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
part́ıcula, de carga −q, no centro do poĺıgono?
(a) −9k0q
2
a2
x̂ .
(b)
9k0q
2
a2
x̂ .
(c) −8k0q
2
a2
x̂ .
(d)
8k0q
2
a2
x̂ .
(e)
k0q
2
a2
x̂ .
(f) −k0q
2
a2
x̂ .
8. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incor-
reta.
(a) O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c) O campo elétrico entre as placasde um ca-
pacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d) Quando um material dielétrico é inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf́ıcies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e) Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é posśıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribúıda.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
3
Figura 1: Questão discursiva 1
Figura 2: Questão discursiva 2.
(c) Considere agora uma part́ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa part́ıcula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
4
Figura 3: Gabarito da questão discursiva 1.
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (h)
3. (e)
4. (b)
5. (a)
6. (c)
7. (f)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · ŷ
=
k0 dq
r2
r̂ · ŷ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ
y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ
u−1/2
(−1/2)
∣
∣
∣
∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
ŷ . (2)
�
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o prinćıpio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
ŷ
= 2k0 λ
[
1
|x|
√
1 + (L/x)2
− 1|x|
]
ŷ
=
2k0 λ
|x|
{
[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1
}
ŷ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
ŷ .
2
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
ŷ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q
√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q
√
L2 + (x− L)2
.
Logo, o potencial resultante é
V (x, y = z = 0) = k0Q
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
. (3)
�
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −
∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)
[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)
[
L2 + (x− L)2
]−3/2
2(x− L)
}
,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
x̂ .
�
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part́ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
.
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F́ısica
F́ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: B
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
2. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribúıda é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
1
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromo-
triz constante. Se a distância entre as placas do ca-
pacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) não se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o poten-
cial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenasa I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas são verdadeiras.
(h) Nenhuma é verdadeira.
5. Considere um eneágono (poĺıgono de nove lados) re-
gular, com part́ıculas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
part́ıcula, de carga −q, no centro do poĺıgono?
(a) −9k0q
2
a2
x̂ .
(b)
9k0q
2
a2
x̂ .
(c) −8k0q
2
a2
x̂ .
(d)
8k0q
2
a2
x̂ .
(e)
k0q
2
a2
x̂ .
(f) −k0q
2
a2
x̂ .
6. Qual é o trabalho necessário para formamos a confi-
guração de três part́ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part́ıculas estão, de ińıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
2
7. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas part́ıculas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
8. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incor-
reta.
(a) O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c) O campo elétrico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d) Quando um material dielétrico é inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf́ıcies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e) Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é posśıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
Figura 4: Questão discursiva 1
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
3
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribúıda.
Figura 5: Questão discursiva 2.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part́ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa part́ıcula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
4
Figura 6: Gabarito da questão discursiva 1.
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (d)
4. (h)
5. (f)
6. (e)
7. (c)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · ŷ
=
k0 dq
r2
r̂ · ŷ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ
y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ
u−1/2
(−1/2)
∣
∣
∣
∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
ŷ . (2)
�
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o prinćıpio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
ŷ
= 2k0 λ
[
1
|x|
√
1 + (L/x)2
− 1|x|
]
ŷ
=
2k0 λ
|x|
{
[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1
}
ŷ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
ŷ .
2
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
ŷ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q
√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q
√
L2 + (x− L)2
.
Logo, o potencial resultante é
V (x, y = z = 0) = k0Q
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
. (3)
�
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −
∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)
[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)
[
L2 + (x− L)2
]−3/2
2(x− L)
}
,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
x̂ .
�
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part́ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
.
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F́ısica
F́ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: C
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribúıda é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromo-
triz constante. Se a distância entre as placas do ca-
pacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado abateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) não se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
1
3. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
4. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas part́ıculas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
5. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incor-
reta.
(a) O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c) O campo elétrico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d) Quando um material dielétrico é inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf́ıcies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e) Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é posśıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
2
6. Considere um eneágono (poĺıgono de nove lados) re-
gular, com part́ıculas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
part́ıcula, de carga −q, no centro do poĺıgono?
(a) −9k0q
2
a2
x̂ .
(b)
9k0q
2
a2
x̂ .
(c) −8k0q
2
a2
x̂ .
(d)
8k0q
2
a2
x̂ .
(e)
k0q
2
a2
x̂ .
(f) −k0q
2
a2
x̂ .
7. Qual é o trabalho necessário para formamos a confi-
guração de três part́ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part́ıculas estão, de ińıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
8. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o poten-
cial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas são verdadeiras.
(h) Nenhuma é verdadeira.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribúıda.
3
Figura 7: Questão discursiva 1
Figura 8: Questão discursiva 2.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part́ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa part́ıcula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
4
Figura 9: Gabarito da questão discursiva 1.
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (d)
3. (a)
4. (c)
5. (b)
6. (f)
7. (e)
8. (h)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · ŷ
=
k0 dq
r2
r̂ · ŷ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ
y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ
u−1/2
(−1/2)
∣
∣
∣
∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
ŷ . (2)
�
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o prinćıpio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
ŷ
= 2k0 λ
[
1
|x|
√
1 + (L/x)2
− 1|x|
]
ŷ
=
2k0 λ
|x|
{
[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1
}
ŷ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
ŷ .
2
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
ŷ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q
√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q
√
L2 + (x− L)2
.
Logo, o potencial resultanteé
V (x, y = z = 0) = k0Q
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
. (3)
�
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −
∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)
[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)
[
L2 + (x− L)2
]−3/2
2(x− L)
}
,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
x̂ .
�
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part́ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
.
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F́ısica
F́ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: D
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o poten-
cial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas são verdadeiras.
(h) Nenhuma é verdadeira.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromo-
triz constante. Se a distância entre as placas do ca-
pacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) não se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
1
3. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribúıda é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
4. Considere um eneágono (poĺıgono de nove lados) re-
gular, com part́ıculas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
part́ıcula, de carga −q, no centro do poĺıgono?
(a) −9k0q
2
a2
x̂ .
(b)
9k0q
2
a2
x̂ .
(c) −8k0q
2
a2
x̂ .
(d)
8k0q
2
a2
x̂ .
(e)
k0q
2
a2
x̂ .
(f) −k0q
2
a2
x̂ .
5. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas part́ıculas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
6. Qual é o trabalho necessário para formamos a confi-
guração de três part́ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part́ıculas estão, de ińıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
2
7. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
8. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incor-
reta.
(a) O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c) O campo elétrico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d) Quando um material dielétrico é inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf́ıcies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e) Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é posśıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
Figura 10: Questão discursiva 1
3
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribúıda.
Figura 11: Questão discursiva 2.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part́ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa part́ıcula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
4
Figura 12: Gabarito da questão discursiva 1.
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (h)
2. (d)
3. (b)
4. (f)
5. (c)
6. (e)
7. (a)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · ŷ
=
k0 dq
r2
r̂ · ŷ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ
y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ
u−1/2
(−1/2)
∣
∣
∣
∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
ŷ . (2)
�
(b)Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o prinćıpio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
ŷ
= 2k0 λ
[
1
|x|
√
1 + (L/x)2
− 1|x|
]
ŷ
=
2k0 λ
|x|
{
[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1
}
ŷ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
ŷ .
2
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
ŷ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resolução:
(a) Usaremos o prinćıpio de superposição para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q
√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q
√
L2 + (x− L)2
.
Logo, o potencial resultante é
V (x, y = z = 0) = k0Q
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
. (3)
�
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −
∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)
[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)
[
L2 + (x− L)2
]−3/2
2(x− L)
}
,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
x̂ .
�
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part́ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{
[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2
]−1/2
}
.
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: A
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
2. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétrico no infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
1
3. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
4. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
6. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
2
7. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
8. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tantopara z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (c)
3. (f)
4. (h)
5. (b)
6. (d)
7. (b)
8. (f)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente radial (ciĺındrica) s, dada por
dEs = d ~E · ŝ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2×
As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
ŝ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s ≫ L, ou seja, para L/s → 0. Obtemos, então,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
ŝ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2
]
ŝ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
ŝ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
ŝ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
ŝ .
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
ŝ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
ŝ .
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de uma part́ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distância s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo elétrico está tão longe da barra que ele a “vê”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resolução:
(a) Devido ao prinćıpio da superposição , podemos calcular o campo elétrico devido a cada plano e depois somá-los.
Começando então pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translações paralelas ao plano, podemos concluir que o campo não depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z) → ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotações em torno do eixo z, podemos concluir que o campo não tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z) → E(z)ẑ.
• Passo 3: devido a simetria de reflexão com relação ao plano, podemos concluir que o campo é antissimétrico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf́ıcie
gaussiana S ciĺındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo elétrico ΦE sobre
S
ΦE =
∮
S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma única tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 é função de z apenas
(ver passo 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada é dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = −
σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = −
σ
2ǫ0
ẑ (6)
e a simetria de reflexão em relação ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
ẑ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente análoga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localizá-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado é
~E2(z < d) = −
2σ
2ǫ0
ẑ = − σ
ǫ0
ẑ (8)
E então temos, na região 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
ẑ .
(c) A diferença de potencial VP1 − VP2 é dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitrária (uma vez que o campo eletrostático é conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzẑ e então
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
ẑ
)
· (dzẑ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: B
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
2. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
1
3. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétrico no infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
4. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
2
6. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativasabaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
7. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
8. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (h)
3. (c)
4. (b)
5. (f)
6. (f)
7. (d)
8. (b)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente radial (ciĺındrica) s, dada por
dEs = d ~E · ŝ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2×
As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
ŝ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s ≫ L, ou seja, para L/s → 0. Obtemos, então,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
ŝ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2
]
ŝ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
ŝ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
ŝ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
ŝ .
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
ŝ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
ŝ .
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de uma part́ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distância s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo elétrico está tão longe da barra que ele a “vê”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resolução:
(a) Devido ao prinćıpio da superposição , podemos calcular o campo elétrico devido a cada plano e depois somá-los.
Começando então pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translações paralelas ao plano, podemos concluir que o campo não depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z) → ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotações em torno do eixo z, podemos concluir que o campo não tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z) → E(z)ẑ.
• Passo 3: devido a simetria de reflexão com relação ao plano, podemos concluir que o campo é antissimétrico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf́ıcie
gaussiana S ciĺındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo elétrico ΦE sobre
S
ΦE =
∮
S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma única tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 é função de z apenas
(ver passo 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada é dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = −
σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = −
σ
2ǫ0
ẑ (6)
e a simetria de reflexão em relação ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
ẑ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente análoga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localizá-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado é
~E2(z < d) = −
2σ
2ǫ0
ẑ = − σ
ǫ0
ẑ (8)
E então temos, na região 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
ẑ .
(c) A diferença de potencial VP1 − VP2 é dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitrária (uma vez que o campo eletrostático é conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzẑ e então
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
ẑ
)
· (dzẑ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: C
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétricono infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
2. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
1
3. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
4. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
6. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
2
7. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
8. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (f)
3. (d)
4. (h)
5. (f)
6. (b)
7. (c)
8. (b)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente radial (ciĺındrica) s, dada por
dEs = d ~E · ŝ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2×
As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
ŝ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s ≫ L, ou seja, para L/s → 0. Obtemos, então,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
ŝ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2
]
ŝ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
ŝ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
ŝ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
ŝ .
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
ŝ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
ŝ .
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de uma part́ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distância s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo elétrico está tão longe da barra que ele a “vê”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resolução:
(a) Devido ao prinćıpio da superposição , podemos calcular o campo elétrico devido a cada plano e depois somá-los.
Começando então pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translações paralelas ao plano, podemos concluir que o campo não depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z) → ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotações em torno do eixo z, podemos concluir que o campo não tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z) → E(z)ẑ.
• Passo3: devido a simetria de reflexão com relação ao plano, podemos concluir que o campo é antissimétrico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf́ıcie
gaussiana S ciĺındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo elétrico ΦE sobre
S
ΦE =
∮
S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma única tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 é função de z apenas
(ver passo 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada é dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = −
σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = −
σ
2ǫ0
ẑ (6)
e a simetria de reflexão em relação ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
ẑ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente análoga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localizá-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado é
~E2(z < d) = −
2σ
2ǫ0
ẑ = − σ
ǫ0
ẑ (8)
E então temos, na região 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
ẑ .
(c) A diferença de potencial VP1 − VP2 é dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitrária (uma vez que o campo eletrostático é conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzẑ e então
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
ẑ
)
· (dzẑ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: D
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
2. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
1
3. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
4. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétrico no infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
6. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
2
7. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
8. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (f)
2. (b)
3. (c)
4. (h)
5. (c)
6. (f)
7. (d)8. (b)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente radial (ciĺındrica) s, dada por
dEs = d ~E · ŝ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2×
As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
ŝ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s ≫ L, ou seja, para L/s → 0. Obtemos, então,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
ŝ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2
]
ŝ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
ŝ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
ŝ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
ŝ .
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
ŝ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
ŝ .
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de uma part́ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distância s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo elétrico está tão longe da barra que ele a “vê”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resolução:
(a) Devido ao prinćıpio da superposição , podemos calcular o campo elétrico devido a cada plano e depois somá-los.
Começando então pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translações paralelas ao plano, podemos concluir que o campo não depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z) → ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotações em torno do eixo z, podemos concluir que o campo não tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z) → E(z)ẑ.
• Passo 3: devido a simetria de reflexão com relação ao plano, podemos concluir que o campo é antissimétrico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf́ıcie
gaussiana S ciĺındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo elétrico ΦE sobre
S
ΦE =
∮
S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma única tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 é função de z apenas
(ver passo 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada é dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = −
σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = −
σ
2ǫ0
ẑ (6)
e a simetria de reflexão em relação ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
ẑ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente análoga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localizá-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado é
~E2(z < d) = −
2σ
2ǫ0
ẑ = − σ
ǫ0
ẑ (8)
E então temos, na região 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
ẑ .
(c) A diferença de potencial VP1 − VP2 é dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitrária (uma vez que o campo eletrostático é conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzẑ e então
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
ẑ
)
· (dzẑ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: A
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
2. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétrico no infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
1
3. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
4. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
6. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétricaneste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
2
7. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
8. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (c)
3. (f)
4. (h)
5. (b)
6. (d)
7. (b)
8. (f)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente radial (ciĺındrica) s, dada por
dEs = d ~E · ŝ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2×
As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
ŝ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s ≫ L, ou seja, para L/s → 0. Obtemos, então,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
ŝ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2
]
ŝ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
ŝ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
ŝ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
ŝ .
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
ŝ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
ŝ .
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de uma part́ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distância s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo elétrico está tão longe da barra que ele a “vê”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resolução:
(a) Devido ao prinćıpio da superposição , podemos calcular o campo elétrico devido a cada plano e depois somá-los.
Começando então pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translações paralelas ao plano, podemos concluir que o campo não depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z) → ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotações em torno do eixo z, podemos concluir que o campo não tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z) → E(z)ẑ.
• Passo 3: devido a simetria de reflexão com relação ao plano, podemos concluir que o campo é antissimétrico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf́ıcie
gaussiana S ciĺındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo elétrico ΦE sobre
S
ΦE =
∮
S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma única tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 é função de z apenas
(ver passo 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada é dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = −
σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = −
σ
2ǫ0
ẑ (6)
e a simetria de reflexão em relação ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
ẑ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente análoga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localizá-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado é
~E2(z < d) = −
2σ
2ǫ0
ẑ = − σ
ǫ0
ẑ (8)
E então temos, na região 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
ẑ .
(c) A diferença de potencial VP1 − VP2 é dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitrária (uma vez que o campo eletrostático é conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzẑ e então
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
ẑ
)
· (dzẑ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: B
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
2. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetriado sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
1
3. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétrico no infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
4. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
2
6. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
7. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
8. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (h)
3. (c)
4. (b)
5. (f)
6. (f)
7. (d)
8. (b)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente radial (ciĺındrica) s, dada por
dEs = d ~E · ŝ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2×
As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣
∣
s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
ŝ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s ≫ L, ou seja, para L/s → 0. Obtemos, então,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
ŝ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2
]
ŝ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
ŝ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
ŝ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
ŝ .
Finalmente, então,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
ŝ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
ŝ .
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de uma part́ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distância s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo elétrico está tão longe da barra que ele a “vê”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resolução:
(a) Devido ao prinćıpio da superposição , podemos calcular o campo elétrico devido a cada plano e depois somá-los.
Começando então pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translações paralelas ao plano, podemos concluir que o campo não depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z) → ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotações em torno do eixo z, podemos concluir que o campo não tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z) → E(z)ẑ.
• Passo 3: devido a simetria de reflexão com relação ao plano, podemos concluir que o campo é antissimétrico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf́ıcie
gaussiana S ciĺındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo elétrico ΦE sobre
S
ΦE =
∮S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma única tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 é função de z apenas
(ver passo 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada é dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = −
σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = −
σ
2ǫ0
ẑ (6)
e a simetria de reflexão em relação ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
ẑ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente análoga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localizá-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado é
~E2(z < d) = −
2σ
2ǫ0
ẑ = − σ
ǫ0
ẑ (8)
E então temos, na região 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
ẑ .
(c) A diferença de potencial VP1 − VP2 é dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitrária (uma vez que o campo eletrostático é conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzẑ e então
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
ẑ
)
· (dzẑ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versão: C
Formulário
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial elétrico no infinito é igual a zero, qual a única
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
2. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
(a) O campo elétrico sempre aponta na direção ŝ.
(b) O campo elétrico só depende da coordenada s.
(c) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
(d) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada z.
(e) A direção do campo elétrico independe da co-
ordenada s
(f) O módulo do campo elétrico independe da co-
ordenada φ
1
3. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 2,00 × 1018
elétrons e 1,00×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o módulo da carga do elétron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) prótons e elétrons tem carga de mesmo módulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
4. Seja um cubo isolante e uniformememente carre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmações (I) A lei de Gauss só se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf́ıcies gaussianas cúbicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos
superf́ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente não se aplica
a esse problema; qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
5. A figura mostra duas part́ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas despreźıveis, colocadas sobre os
braços (também de massas despreźıveis) de mesmo
comprimento de uma balança nas distâncias indica-
das. A balança está em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balança permaneça
em equiĺıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
6. Considere as três seguintes afirmações: (I) A densi-
dade de energia em um campo elétrico é linearmente
proporcional ao módulo de tal campo. (II) O trabalho
necessário para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessário para criar um campo
elétrico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citância também dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmação(ões) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
2
7. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part́ıculas carregadas em todos os seus 4
vértices, conforme mostra a figura. Qual é o módulo
da força elétrica resultante sobre a part́ıcula no vértice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−
√
2)q2/(4πε0a
2).
8. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part́ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retiĺınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuição de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico resultante (devido à barra) em um ponto de seu plano médio, a uma distância s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressão assintótica de tal campo, no limite em que s ≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), estão
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (f)
3. (d)
4. (h)
5. (f)
6. (b)
7. (c)
8. (b)
1
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Como a distribuição de cargas apresenta simetria de reflexão, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣
∣
∣
∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o prinćıpio de superposição para calcular o campo elétrico resultante