GUIDORIZZI-CALCULO 1-SEÇÃO 6.3 RESOLVIDA

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SOLUÇÕES
Sumário
1 Sobre o documento
2 Introdução
3 Exercícios 6.3
4 Aprofundamento
1 Sobre o documento
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2 Introdução
Neste documento irei resolver todos os exercícios da seção 6.3 do livro Um curso
de cálculo Vol.1. Este documento será o primeiro de vários que estarei publicando
aqui com as resoluções das seções deste livro de Hamiltom Luiz Guidorizzi. Espero
que gostem, compartilhem e curtam! Me motivando a fazer mais resoluções como
esta. Para um contato mais direto tirar alguma dúvida, clique no link acima e será
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Nesta seção, o protagonista é o limite lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
. O limite é apresentado
na forma mais simples utilizando sequências e depois estendido a função real. Além
disso, a seção apresenta outros limites que valem destaque:
L1 lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e
L2 lim
x→0
(1 + x)
1
x = e
L3 lim
x→0
ex − 1
x
= 1
3 Exercícios 6.3
1. Calcule.
(a) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
Solução:
Nosso objetivo é usar L1. Assim, façamos x = 2u como mudança de
variável. Quando x → ∞; u → ∞. Assim
lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
= lim
u→+∞
(
1 +
2
2u
)2u
= lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)2u
= lim
u→+∞
[(
1 +
1
u
)u]2
Por continuidade, sabemos que lim f(x)2 = [lim f(x)]2. Com isso, usando
L1, temos
lim
u→+∞
[(
1 +
1
u
)u]2
=
[
lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u]2
= e2.
(b) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
Solução:
Usando o produto de limites, temos:
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
= lim
x→+∞
[(
1 +
1
x
)x
·
(
1 +
1
x
)2]
= lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
· lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2
Como
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2
=
[
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)]2
=
[
lim
x→+∞
1 + lim
x→+∞
1
x
]2
= (1 + 0)2 = 12 = 1
Temos
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
· lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2
= e · 1 = e
Portanto,
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
= e.
(c) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
Solução:
Façamos a mudança de variável 2x = u. Analogamente ao itens anterio-
res, temos:
lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
= lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u
2 =
[
lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u]1
2
= e
1
2 =
√
e
(d) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x+1
Solução:
Usando o item a, temos
lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x+1
= lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
· lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)
= e2 · 1 = e.
(e) lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
Solução:
Note que para x ̸= −1 temos
x+ 2
x+ 1
=
x+ (1 + 1)
x+ 1
=
(x+ 1) + 1
x+ 1
=
x+ 1
x+ 1
+
1
x+ 1
= 1 +
1
x+ 1
Assim,
lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
= lim
x→+∞
(
1 +
1
x+ 1
)x
Desta forma, fazendo a mudança de variável x+ 1 = u, temos
lim
x→+∞
(
1 +
1
x+ 1
)x
= lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u−1
=
lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u
lim
u→+∞
(
1 +
1
u
) = e
1
= e.
(f) lim
x→0
(1 + 2x)x
Solução:
Façamos 2x = u. Logo,
lim
x→0
(1 + 2x)x = lim
u→0
(1 + u)
u
2 = (1 + 0)
0
2 = 10 = 1.
(g) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
Solução:
A ideia aqui é usar L2. Assim, façamos 2x = u. Logo,
lim
x→0
(1 + 2x)
1
x = lim
u→0
(1 + u)
2
u =
[
lim
u→0
(1 + u)
1
u
]2
= e2.
(h) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
Solução:
Usando o item a, vemos, imediatamente, lim
x→0
(
1 +
1
x
)2x
= e2
2. Seja a > 0, a ̸= 1. Mostre que
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a
Demonstração. Façamos ah − 1 = u. Assim, se h → 0, então u → 0. Além
disso, ah = u+ 1 ⇔ h = loga(u+ 1). Dessa forma,
ah − 1
h
=
u
loga(u+ 1)
=
u
1
u · loga(u+ 1)
=
1
loga
[
(u+ 1)
1
u
]
Logo, usando o limite L2
lim
h→0
ah − 1
h
= lim
u→0
1
loga
[
(u+ 1)
1
u
] = 1
loga e
Para concluirmos nossa demonstração, mudaremos a base do logarítmo para
a base natural. Com isso,
1
loga e
=
1
ln e
ln a
=
1
1
ln a
= ln a
Portanto,
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a
3. Calcule.
(a) lim
x→0
e2x − 1
x
Solução:
Façamos 2x = u e usemos L3.
lim
x→0
e2x − 1
x
= lim
u→0
eu − 1
u
2
= lim
u→0
2 · (e
u − 1)
u
= 2 · lim
u→0
(eu − 1)
u
= 2 · 1 = 1
.
(b) lim
x→0
ex
2 − 1
x
Solução:
Lembre-se que o número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Pen-
sando nisso, multiplicaremos a expressão por 1 inteligentemente. Note
que para x ̸= 0 temos:
ex
2 − 1
x
=
ex
2 − 1
x
· 1 = e
x2 − 1
x
· x
x
=
ex
2 − 1
x2
· x
Disso, fazendo x2 = u e usando L3 vemos que
lim
x→0
ex
2 − 1
x
= lim
u→0
eu − 1
u
· lim
x→0
x = 1 · 0 = 0.
(c) lim
x→0
5x − 1
x
Solução:
Usando a questão 2 obtemos, imediatamente, lim
x→0
5x − 1
x
= ln 5
(d) lim
x→0
3x − 1
x2
Solução:
Usando a questão 2
lim
x→0
3x − 1
x2
= lim
x→0
(
3x − 1
x
· 1
x
)
= lim
x→0
3x − 1
x
· lim
x→0
1
x
= ln 3 · (+∞) = +∞.
4 Aprofundamento
Tendo em mente o aprendizado desses exercícios resolvidos, encontre o valor do
lim
h→±∞
(
h+ r
h
)h
onde r é um racional qualquer.