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EXERCÍCIOS DE FÓRMULA DE BHASKARA Questão 1 (BB – Cesgranrio). Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? (Dado: raíz (76) = 8,7) (A) 7,40% a 7,89% (B) 8,40% a 8,89% (C) 6,40% a 6,89% (D) 6,90% a 7,39% (E) 7,90% a 8,39% Resolução: Vamos considerar que a taxa de juros ao semestre seja i. Seja x = 1+i Sabendo-se que 50 mil foi aplicado por um semestre, 20 mil foram sacados, e após isto a aplicação continuou por mais um semestre, resultando em 36 mil, podemos montar a seguinte equação: (50000.x – 20000).x = 36000 50000x² – 20000x – 36000 = 0 25x² – 10x – 18 = 0 Utilizando a fórmula de Bhaskara: Δ = b² – 4ac Δ = (-10)² – 4.25.(-18) Δ = 100 + 1800 Δ = 1900 Como a aplicação é positiva, a taxa é positiva e x é positivo. x = (10 + 43,6) / 50 x = 53,6 / 50 x = 1,072 Como x = 1 + i i = 0,072 ou 7,2% ao semestre. Resposta: D Questão 2 (Objetiva – SAMAE RS). As raízes da equação -x² + 6x = 5 representam a quantidade de vagas em certo concurso público para os cargos de instalador hidráulico e operador de estação de bombeamento. Sabendo-se que a quantidade de vagas para o cargo de instalador hidráulico foi maior do que a quantidade de vagas para o cargo de operador de estação de bombeamento, quantas são as vagas para o cargo de operador de estação de bombeamento? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução Reorganizando a equação (as raízes não permanecem as mesmas): -x² + 6x = 5 x² – 6x + 5 = 0 Temos uma equação do segundo grau, cujas raízes podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara, onde: a = 1 b = -6 c = 5 Δ = b² – 4ac Δ = (-6)² – 4.1.(5) Δ = 36 – 20 Δ = 16 x’ = (6+4)/2 = 10/2 = 5 x” = (6-4)/2 = 2/2 = 1 Como a quantidade de vagas para o cargo de instalador hidráulico foi maior do que a quantidade de vagas para o cargo de operador de estação de bombeamento, temos: Instalador: 5 Operador: 1 Resposta: A Questão 3 (Petrobrás – Cesgranrio). Qual o maior valor de k na equação log(kx) = 2log(x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz? (A) 0 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (E) 12 Resolução log(kx) = 2log(x+3) Aplicando a propriedade do logaritmo de potências: log(kx) = log(x+3)² kx = (x+3)² kx = x² + 6x + 9 x² + 6x – kx + 9 = 0 x² + (6 – k)x + 9 = 0 Utilizaremos a fórmula de Bhaskara. Calculando o valor de Δ na equação do segundo grau: Δ = b² – 4ac Δ = (6 – k)² – 4.1.9 Δ = 36 – 12k + k² – 36 Δ = k² – 12k Como sabemos, uma equação do segundo grau possui apenas uma raiz quando Δ = 0. Vamos calcular para quais valores de k isto acontece. k² – 12k = 0 k(k – 12) = 0 k = 0 ou k = 12 Veja que a equação possui apenas uma raiz quando k = 0 ou k = 12. Como a questão pede o menor valor, temos que k = 12. Resposta: E Questão 4 (UFMT – COPEL). Dada a equação do segundo grau x² – 3x – 4 = 0, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, os valores de Δ e da soma das raízes dessa equação. a) 25 e 3 b) 25 e 5 c) 36 e 2 d) 36 e 4 Resolução Utilizando a fórmula de Bhaskara, onde: a = 1 b = -3 c = -4 Δ = b² – 4ac Δ = (-3)² – 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25 x’ = (3+5)/2 = 8/2 = 4 x” = (3-5)/2 = -2/2 = -1 x’ + x” = 4 + (- 1) = 3 Resposta: A
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