Aula 04 - Polinomios

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MATEMÁTICA
Prof. Eduardo Jupi Valério
Polinômios
Definição: um polinômio na variável complexa x é uma
expressão dada por:
𝑎𝑛 ∙ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2 ∙ 𝑥
2+ 𝑎1 ∙ 𝑥+ 𝑎0
Em que:
• 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎2, 𝑎1 , 𝑎0 são números complexos chamados
coeficientes do polinômio.
• n é um número natural.
• O grau do polinômio é o número natural correspondente
ao maior expoente de x, com coeficiente não nulo.
Exemplos
• 4𝑥3 − 5𝑥2 +
1
2
𝑥 − 7
• −
1
6
𝑥5 + 𝑥2 − 3𝑥 + 1
• 2𝑖𝑥2 + 𝑥 − 2
• 𝑥 + 4
• −7
Raiz de um polinômio 
Seja α ∈ ℂ, dizemos que 𝛼 é raiz do polinômio 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑥
𝑛 +
𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2 ∙ 𝑥
2+ 𝑎1 ∙ 𝑥+ 𝑎0 se 𝑝 𝛼 = 0, isto é:
𝑎𝑛 ∙ α
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ α
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2 ∙ α
2+ 𝑎1 ∙ α + 𝑎0 = 0
Exemplo 1: o número 2i é uma raiz do polinômio p(x) = x³ + 3x² + 4x + 
12. 
Exemplo 2: sabendo que x = -4 é uma raiz do polinômio p(x) = 
x² + mx – 3, determine o valor de m. 
• Adição, Subtração e Multiplicação de polinômios 
Dados os polinômios 𝑓 𝑥 = −7𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 4 𝑒 𝑔 𝑥 = −2𝑥2 +
8𝑥 − 7, calcular 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
Dados os polinômios 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 8 𝑒 𝑔 𝑥 = −2𝑥 + 1, 
determinar 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
Divisão de polinômios – Método da Chave
𝑓 𝑥 = 6𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 14𝑥2 + 23𝑥 − 10 por 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5
Briot Ruffini
Duas das raízes da equação 2𝑥4 + 5𝑥3 − 35𝑥2 − 80𝑥 + 48 = 0 são -3 
-4. Quais são as outras duas raízes?
Teoremas
• Teorema do Resto: o resto da divisão de um polinômio f(x) por x – a 
é igual a f(a).
• Teorema de D’Alembert: se a 𝑎 ∈ ℂ é raiz de um polinômio f(x), 
então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível 
por x – a, então a é raiz de f(x). 
• Teorema fundamental da Álgebra (TFA): todo polinômio de grau n, 
n maior ou igual a 1, admite ao menos uma raiz complexa. 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 𝑝 𝑥 =
3𝑥2 − 17𝑥 + 15 por 𝑥 − 2?
Determinar m real de modo que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 +
𝑚𝑥 − 5 seja divisível por 𝑥 − 3.