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Conteúdos: Equação modular Função modular Função par e ímpar Função exponencial e gráficos equações exponenciais Logaritmo e consequências da definição Propriedades dos logaritmos,mudança de base Equações logarítmicas Funções logarítmicas 1. Resolva equação |𝑥 + 2| = − 3𝑥 + 4 ★ Para resolver uma equação modular, é necessário analisar cada uma das possibilidades, ou seja, se o valor entre barras for negativo ou positivo. Depois, aplicamos os conceitos que já devemos saber: a definição de módulo e como calcular equações polinomiais. ★ Nos casos em que existe uma expressão algébrica no 2° membro, precisamos garantir que seu resultado não seja um valor negativo, pois o módulo de qualquer número sempre será positivo! ★ |𝑥| = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢𝑥 =− 𝑎 |𝑥 + 2| = − 3𝑥 + 4 1º condição − 3𝑥 + 4 ≥ 0 − 3𝑥 ≥− 4 𝑥 ≤ −4−3 𝑥 ≤ 43 = 0, 75 2ª condição 𝑥 + 2 =− 3𝑥 + 4 𝑥 + 3𝑥 = 4 − 2 4𝑥 = 2 𝑥 = 24 = 0, 5 𝑥 + 2 =− (− 3𝑥 + 4) 𝑥 + 2 = 3𝑥 − 4 𝑥 − 3𝑥 =− 4 − 2 − 2𝑥 =− 6 𝑥 = −6−2 = 3 a) S = { 1/2, 3} b) S = {1/2, - 3} c) S= {1/2} d) S = {3} e) S = conjunto vazio 2. Sejam dadas as funções f(x) = |x| e g(x) = |x| + 5. Assinale a alternativa CORRETA. a) O gráfico da função g(x) é dado pela translação do gráfico da função f(x). b) As funções modulares não tem utilidade nenhuma no nosso cotidiano. As funções modulares tem utilidade nenhuma no nosso cotidiano, podendo ser empregadas em situações que envolvam juros compostos c) O gráfico de uma função modular sempre tem o formato de "V", formado por duas retas. d) As funções acima são funções modulares e sempre resultam em resultados positivos. e) As funções modulares muitas vezes representam medidas de peso e distância, que podem ter valores positivo 3. Resolva a equação exponencial abaixo e assinale a opção correta ★ Uma equação exponencial deve apresentar a incógnita em um expoente, na qual as bases devem ser números reais positivos diferentes de 1. Ou seja, deve ser da seguinte forma:𝑎𝑥 = 𝑏 Para resolver equações exponenciais, é preciso obter potências de mesma base. Para isso, é necessário relembrar algumas propriedades da potenciação, ➢ Multiplicação de potências de mesma base: repete-se a base e somam-se os expoentes. 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎(𝑚+𝑛) ➢ Divisão de potências de mesma base: repete-se a base e subtraem-se os expoentes. 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎(𝑚−𝑛) ➢ Potência de potência: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎(𝑚.𝑛) ➢ Potência do produto: a potência do produto é o produto das potências. (𝑎 . 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚. 𝑏𝑚 ➢ Potência do quociente: a potência do quociente é o quociente das potências. ( 𝑎𝑏 ) 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑏𝑚 ➢ Potência negativa: inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo, desde que o denominador seja diferente de zero. 𝑎−𝑛 = ( 1𝑎 ) 𝑛 1 𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛 ➢ Potência fracionária: quando o expoente é uma fração, pode-se escrever a operação na forma de radical. Assim, o denominador do expoente passa a ser o índice do radical, enquanto o numerador do expoente passa a ser o expoente do radicando. 𝑎 ( 𝑚𝑛 ) = 𝑛 𝑎𝑚 ➢ Igualdade de potências de mesma base: se duas potências têm a mesma base e são iguais, isso implica que os seus expoentes também sejam iguais. 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ★ Para resolver uma equação exponencial, devemos organizar a expressão algébrica de modo a obter uma igualdade de potências com a mesma base. 2𝑥 2−5𝑥 = 164 64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 2 6 2𝑥 2−5𝑥 = 1 26 2𝑥 2−5𝑥 = 2−6 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦 𝑥2 − 5𝑥 =− 6 equação do 2º grau𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑎 = 1, 𝑏 =− 5, 𝑐 = 6 𝑥 = −(−5)+ − (−5)2−4.1.6 2.1 𝑥 = 5+ − 1 2 = 5+ − 1 2 𝑥 1 = 5+12 = 3 𝑥 2 = 5−12 = 2 a) S = Conjunto vazio b) S = { 2. - 3} c) S = { - 2, - 3} d) S = { -2, 3} e) S = {2, 3} 4. A datação por carbono-14 é um processo que permite determinar a idade de um fóssil com precisão, para idades que variam desde algumas centenas até milhares de anos. O carbono-14 é uma forma radioativa de carbono e é formado em pequenas quantidades em altas camadas da atmosfera, quando o nitrogênio do ar é bombardeado por nêutrons vindos do espaço. A partir das informações da questão e do conteúdo visto em sala de aula, assinale a alternativa INCORRETA. a) A técnica é aplicada em fósseis de seres vivos e de algumas outras matérias orgânicas. b) A sua capacidade de datação depende da concentração de carbono-14 na atmosfera da época. c) As funções exponenciais são úteis na Química e na Biologia. d) A meia-vida do carbono-14 é alta. e) A técnica é adequada para fósseis de todas as idades, sendo sempre perfeita. 5. A seguir, a partir da definição de logaritmo, assinale a alternativa INCORRETA: a) Os logaritmos de base 10 podem ser escritos sem a indicação da base.V 𝑙𝑜𝑔 10 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔 10 2 b) O logaritmo pode assumir qualquer valor real.V 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑥, 0 < 𝑏 ≠ 1 𝑎 > 0 𝑥 ∈ ℜ c) Para resolver um logaritmo geralmente utilizamos equações exponenciais.V 𝑙𝑜𝑔 2 8 = 𝑥 ⇒ 2𝑥 = 8 ⇒ 2𝑥 = 23 ⇒ 𝑥 = 3 𝑙𝑜𝑔 3 27 = 𝑥 ⇒ 3𝑥 = 27 ⇒ 3𝑥 = 33 ⇒ 𝑥 = 3 𝑙𝑜𝑔 4 16 = 𝑥 ⇒ 4𝑥 = 16 ⇒ 4𝑥 = 42 ⇒ 𝑥 = 2 d) A base é dada pela letra b, que pode assumir qualquer valor positivo e diferente de 1. 𝑙𝑜𝑔 𝑏(𝑏𝑎𝑠𝑒) 𝑎(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜) = 𝑥(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜), 0 < 𝑏 ≠ 1 𝑎 > 0 𝑥 ∈ ℜ e) O logaritmando é dado pela letra a, que pode assumir qualquer valor diferente de 1. O logaritmando é dado pela letra a, que pode assumir qualquer valor maior que 0 𝑙𝑜𝑔 𝑏 1 = 0 20 = 1 1. 294. 3470 = 1 1 = 𝑏 𝑚 𝑏𝑚 = 𝑏𝑚−𝑚 = 𝑏0 6. A partir das consequências da definição de logaritmo, determine o valor numérico da expressão abaixo 𝑎𝑚 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎....... 𝑎 = 𝑥 26 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 64 𝑙𝑜𝑔 2 64 = 6 82 = 8. 8 = 64 𝑙𝑜𝑔 8 64 = 2 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑎𝑚 = 𝑥 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑏𝑐 = 𝑎 ; 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 𝑏 > 0 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 1 = 0 ⇔ 𝑏0 = 1 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 1 ⇔ 𝑎1 = 𝑎 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎𝑚 = 𝑚 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎𝑚 = 𝑚. 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑐 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 (𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑐 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 ( 𝑎𝑐 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐 ➢ 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑏 ➢ 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 1 𝑙𝑜𝑔 4 4 = 1 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎𝑚 = 𝑚 𝑙𝑜𝑔 6 62 = 2 𝑙𝑜𝑔 123456789 1234567892 = 2 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑥 3 𝑙𝑜𝑔 3 4 = 4 12345 𝑙𝑜𝑔 12345 6 = 6 𝑙𝑜𝑔 4 4 + 𝑙𝑜𝑔 6 62 − 3 𝑙𝑜𝑔 3 4 1 + 2 − 4 =− 1 a) 3 b) - 3 c) 2 d) 1 e) - 1 7. O gráfico abaixo representa a função f(x) = |x|. Explique como você construiria este gráfico. Para esse gráfico, qualquer valor de x escolhido irá resultar em um valor positivo. Então podemos atribuir valores para x e calcular os valores de y, assim teremos um par ordenado que deverá ser marcado no plano cartesiano e ligá-los para construir o gráfico. Para construir o gráfico analisamos os parâmetro para x maior ou igual a zero (|x| = x) e para x menor do que zero (|- x| = - (-x)). Escolhemos valor de x, aplicamos as funções correspondentes e temos os valor de y. Agora basta marcar os pontos no plano cartesiano e traçar o gráfico. 8. Cite e descreva uma aplicação das funções logarítmicas. Escala Richter, Matemática financeira para o cálculo do tempo de uma aplicação em juros compostos 9. Explique por que f(x) = x² não é uma função exponencial Pois não tem um expoente variável. ★ Uma equação exponencial deve apresentar a incógnita em um expoente, na qual as bases devem ser números reais positivos diferentes de 1. Ou seja, deve ser da seguinte forma:𝑎𝑥 = 𝑏 10.Cite e descreva uma aplicação da função exponencial. Na biologia o crescimento populacional de algumas bactérias podem ser descritos por funções exponenciais. 11. Qual é a principal relação da função exponencial com a função logarítmica? , eles são funções inversas𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑎𝑚 = 𝑥 12.Utilizando a propriedade dos logaritmos descrita abaixo e sabendo que log 2 = 0,301, assinale a alternativa que é a resposta de log 0,2. 𝑙𝑜𝑔 𝑏 ( 𝑎𝑐 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎− 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐 ● 𝑙𝑜𝑔 0, 2 = 𝑙𝑜𝑔( 15 ) = 𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑙𝑜𝑔 5 = 0 − 𝑙𝑜𝑔( 10 2 ) = − [𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔2] =− 𝑙𝑜𝑔10 + 𝑙𝑜𝑔2 =− 1 + 0, 301 =− 0, ● 𝑙𝑜𝑔0, 2 = 𝑙𝑜𝑔( 210 ) = 𝑙𝑜𝑔2 − 𝑙𝑜𝑔10 = 0, 301 − 1 =− 0 a) -0,699 b) 0,301 c) 2,699 d) -0,301 e) 0,699 13.Sabendo que log 3 = 0,4 e log 5 = 0,7, utilizando a mudança de base (apresentada abaixo), calcule o logaritmo a seguir. 𝑙𝑜𝑔 3 45 = 𝑙𝑜𝑔 3 (5. 9) = 𝑙𝑜𝑔 3 5 + 𝑙𝑜𝑔 3 9 ★ 𝑙𝑜𝑔 3 5 = 𝑙𝑜𝑔5𝑙𝑜𝑔3 ★ 𝑙𝑜𝑔 3 9 = 2 𝑙𝑜𝑔 3 5 + 𝑙𝑜𝑔 3 9 = 𝑙𝑜𝑔5𝑙𝑜𝑔3 + 2 = 0,7 0,4 + 2 = 1, 75 + 2 = 3, 75 𝑙𝑜𝑔 3 45 = 𝑙𝑜𝑔 3 (9. 5) = 𝑙𝑜𝑔 3 9 + 𝑙𝑜𝑔 3 5 = 2 + 𝑙𝑜𝑔5𝑙𝑜𝑔3 = 2 + 0,7 0,4 = 2 + 7 10 4 10 = 2 + 710 . 10 4 = 2 + 7 4 = 15 4 a) 2 / 3 b) 15 / 4 c) - 15 / 4 d) 5 / 4 e) - 5 / 4 14.Resolva a equação abaixo, seguindo os três passos para resolução das equações logarítmicas. 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑥, 0 < 𝑏 ≠ 1 𝑎 > 0 𝑥 ∈ ℜ 𝑙𝑜𝑔 5 (𝑥 − 4) = 𝑙𝑜𝑔 5 (− 𝑥 − 12) 1º passo 𝑥 − 4 > 0 𝑥 > 4 − 𝑥 − 12 > 0 − 𝑥 > 12 𝑥 <− 12 2º passo 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑐 𝑙𝑜𝑔 5 (𝑥 − 4) = 𝑙𝑜𝑔 5 (− 𝑥 − 12) ⇔ 𝑥 − 4 =− 𝑥 − 12 𝑥 − 4 =− 𝑥 − 12 𝑥 + 𝑥 =− 12 + 4 2𝑥 =− 8 𝑥 = −82 =− 4 3º passo a) S = - 4 b) S = 0 c) S = 4 d) S = Conjunto vazio e) S = todos os números reais 15.Sobre características das funções pares e ímpares, assinale a alternativa CORRETA a) Na função par o gráfico é simétrico ao eixo y. Na função par o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. b) Na função ímpar o gráfico é simétrico ao eixo x. Na função ímpar o gráfico é simétrico em relação a origem c) Uma função é par se f(-x) = f(x) para todo x do domínio. d) Uma função é ímpar se f(-x) = f(x) para todo x do domínio. Uma função é ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x do domínio. e) A translação do gráfico só pode acontecer no eixo x A translação do gráfico pode acontecer no eixo x e no eixo y 16.Sobre características da função exponencial e da função logarítmica, marque a resposta correta nas colunas à direita. função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 função logarítmica 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 Função exponencial Função logarítmica Geralmente não corta o eixo y. x Geralmente não corta o eixo x. x Se b > 1 é crescente. x Se a > 1 é crescente. x É o inverso da função exponencial x 17.Analise cada afirmação, em seguida, marque na respectiva coluna, se a mesma é verdadeira ou falsa. (F )A função exponencial não depende da potenciação A função exponencial depende da potenciação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 (F) Módulos não têm aplicação na Física. Módulos têm aplicação na Física Vetor(módulo, direção, sentido) módulo=tamanho (V)A função exponencial é útil para verificar meia-vida de medicamentos A meia-vida corresponde ao tempo necessário para que metade dos núcleos radioativos desintegre-se, ou seja, é o tempo que leva para uma amostra radioativa reduzir-se à metade. ( V) A função logarítmica é bijetora. (F) Nunca podemos ter mudança de base em um logaritmo. 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑏 (F)A função f(x) = x² tem resultados negativos A função f(x) = x² tem todos os resultados positivos (V) O módulo é uma distância entre números. (F)Um módulo pode ter resultado negativo. Um módulo não pode ter resultado negativo. (V) A base de um logaritmo pode ser negativa (V)O logaritmo(expoente) pode ter resultado negativo.
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