Abdallah Pedro Civil 1 ano

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
 
 
 
 
Faculdade de Engenharia 
Departamento de Engenharia Civil 
Curso: Engenharia Civil Iº Ano 
 
 
 
Física-I 
Tema: TPC#02 
i. Leis de Kepler (Tarefa 1) 
ii. Dinâmica de Rotação (Tarefa 2) 
iii. Rolamento em um Plano Inclinado (Tarefa 3) 
 
Discente: Abdallah, Pedro 
 
 
Docente: Bartolomeu Joaquim Ubisse 
 
 
 
 
Maputo, Julho de 2021 
 
 
 
Abdallah, Pedro (Eng. Civil 1 º ano Laboral) 1 
TPC#02 de Fisica 1 (Julho de 2021) 
1 
Leis de Kepler 
1ª Lei de Kepler 
 A primeira lei explica como funciona a órbita e a posição do sol: “Cada planeta se move em 
uma órbita elíptica com o sol ocupando um dos focos da 
elipse”. Traduzindo: a trajectória do planeta é elíptica e o sol fica 
localizado num foco ou no outro. 
Fórmulas Matemáticas: 
𝑎 = 1, 𝑏 = 1 −
𝑒2
2
, 𝑒 = 𝐶𝑆 𝑒 𝑃𝑆 = 𝜌 ,após a coleta desses 
dados na Fig.1 podemos escrever a equação de trajectória dos 
planetas (que e elíptica) 
 
 
 
 
2ª Lei de Kepler 
Preocupando se com a velocidade dos planetas, kepler 
verificou que eles movem se mais rapidamente quando estão 
perto do sol, e mais lentamente quando afastados dele. 
 
Figura 2: A velocidade de um planeta torna se maior quando ele se move perto 
do Sol (Fisica Volume 1, MÁXIMO, António & ALVARENGA, Beatriz Pp 209 
“Leis de Kepler”) 
 
Enquanto o planeta se desloca de A para B, a reta que une o planeta ao sol, “varre” a área 𝐴1, 
ao se deslocar de C para D, esta reta “varre” a área 𝐴2, (Fig. 2). Kepler verificou que se o tempo 
que o planeta precisa para sair de A para B, for igual ao tempo para sair de C para D, então as 
áreas 𝐴1 𝑒 𝐴2, são iguais, daí que formula a sua 2ª Lei: 
 
 
 
A lei afirma que, a velocidade com que as áreas são varridas é constante. Para trajetória dos 
planetas ao redor do Sol, o ponto em que eles estão mais próximos da estrela é chamado 
de periélio, e o ponto de maior afastamento é denominado de afélio. 
 
Figura 1: O planeta (P) se move ao 
redor do Sol (S), descrevendo uma 
órbita elíptica. 
Elipse: 𝜌 = 1 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛽 
 
“ A reta que une, um planeta ao sol,”varre” áreas iguais em intervalos de 
tempos iguais” 
 
Equação 1: O movimeto dos planetas 
descreve uma elipse 
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/o-sol.htm
 
 
 
Abdallah, Pedro (Eng. Civil 1 º ano Laboral) 2 
TPC#02 de Fisica 1 (Julho de 2021) 
2 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2
𝑟2
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (velocidade sectorial) 
 𝑣 = 𝑟 𝑑𝜃/𝑑𝑡. (𝑣 é perpendicular ), teremos: 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2
𝑟𝑣 senθ 
(velocidade do sector); 𝑟𝑣 senθ = r⃗ × �⃗� então: O produto 
vectorial é igual a 1 𝑚⁄ vezes o momento angular �⃗⃗� = r⃗ × m�⃗� 
do planeta em relação ao Sol. Asssim obtemos: 
 
 
Portanto, a segunda lei de Kepler, segundo a qual a velocidade setorial é constante, significa 
que o momento angular é constante; taxa de variação de 𝑳 ⃗⃗⃗ ⃗é igual ao torque da força 
gravitacional �⃗⃗⃗� que atua sobre o planeta: 
 
 
3ª Lei de Kepler: para melhor entender esta lei, atente-se na tabela a seguir: 
Na primeira coluna, vemos que os periodos de revolução dos planetas em torno do sol, são 
bastante diferentes, e o mesmo acontece com o raio de suas órbitas. Entretanto, pela 3ª coluna, 
percebemos que se elevamos a 2ª potência o periodo (𝑇2), e dividirmos pelo cubo do raio da 
sua órbita (𝑟3), o quociente 
𝑇2
𝑟3
 terá o mesmo valor para qualquer planeta (as pequenas 
diferencas verificadas na 3ª coluna, são completamente justificadas por erros experimentais). 
Este resultado é o conteudo da 3ª lei de Kepler, expressa matematicamente por: 
 Onde: 
 
Isolando o T na eq. 4 temos: 
𝑇2
𝑟3
= 𝐾 ↔ 
 
 
 
 
Figura 3Figura 1: Em um intervalo dt, a 
linha SP varre uma área 𝑑𝐴 =
1
2
𝑟2𝜙 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2𝑚
|𝑟 × 𝑚�⃗�| =
𝐿
2𝑚
 
 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= τ⃗⃗ = 𝑟 × �⃗� 
 
Equação 2 
Equação 3: Segunda Lei de Kepler e 
Momento Angular 
Tabela 1: Tabelas de Tycho Brahe (onde Kepler 
realizou estudos para sua terceira Lei) 
𝑇2
𝑟3
= 𝐾 
K- é uma constante para todos planetas 
Equação 4 
𝑇2 = 𝐾 × 𝑟3 Equação 5: Terceira Lei de 
Kepler 
Enunciado da 3ª Lei: “os quadrados dos periodos de Revolução dos 
planetas, são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas” 
 
 
 
Abdallah, Pedro (Eng. Civil 1 º ano Laboral) 3 
TPC#02 de Fisica 1 (Julho de 2021) 
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Tarefa 2: Duas partículas, ambas de massa m = 850g estão ligadas uma à outra e a um eixo de 
rotação em O por duas barras finas, ambas de comprimento d = 5.6cm e massa M= 1.2kg. O 
conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular 𝜔 =0.3 rad/s. Em relação 
ao O, quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a energia cinética do conjunto? 
Resolução: 
Pegando Logo o ultimo caso, achamos o primeiro dentro dele: 
b) Temos que 𝐾 =
1
2
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 𝜔
2, sabemos que 𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑𝐼, (somatório dos momentos de 
inércia de cada partcula e barra). 
𝑲 =
𝟏
𝟐
× (𝑰𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂(𝒅𝟏) + 𝑰𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 + 𝑰𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂(𝒅𝟐) + 𝑰𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂) × 𝝎
𝟐 , partindo deste racíocinio, 
podemos considerar que as duas hastes (barras finas) são uma só unicá barra, (Barra x) ficamos 
com: 
𝑲 =
𝟏
𝟐
× (𝑰𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂(𝒙) + 𝑰𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 + 𝑰𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂) × 𝝎
𝟐 
Sendo uma Barra fina com eixo de rotação numa das extremidades, o seu momento e dado por 
𝐼 =
1
3
𝑀𝑑2, e o momento de cada particula e dado por 𝐼 = 𝑚(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎) × 𝑑
2, podemos 
escrever: 
𝑲 =
𝟏
𝟐
× [
𝟏
𝟑
(𝟐𝑴 × (𝟐𝒅)𝟐) + 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 × 𝒅
𝟐 + 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 × (𝟐𝒅)
𝟐] × 𝝎𝟐 
𝑲 =
𝟏
𝟐
× [
𝟐𝑴 × 𝟒𝒅𝟐
𝟑
+ 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 × 𝒅
𝟐 + 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 × 𝟒𝒅
𝟐] × 𝝎𝟐 
𝑲 =
𝟏
𝟐
× [𝒅𝟐 (
𝟖𝑴
𝟑
+ 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 + 𝟒𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂)] × 𝝎
𝟐 
Apartir daqui, podemos calcular o Momento de Inércia total, que é dado por: 
 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒅
𝟐 (
𝟖𝑴
𝟑
+ 𝟓𝒎) ↔ 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = (𝟎, 𝟎𝟓𝟔)
𝟐 (
𝟖×𝟏,𝟐
𝟑
+ 𝟓 × 𝟎, 𝟖𝟓) ↔ 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 ≈ 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟑 
Pegando esse valor e substituindo na Energia Cinética, temos: 
 𝑲 =
𝟏
𝟐
× 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝝎
𝟐 ↔ 𝑲 =
𝟏
𝟐
× 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟑(𝟎, 𝟑)𝟑 ↔ 𝑲 ≈ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 
 
 
Soluções: Momento de Inercia ( I= 
0,0233) e Energia Cinética (K= 
0,001) 
 
 
 
Abdallah, Pedro (Eng. Civil 1 º ano Laboral) 4 
TPC#02 de Fisica 1 (Julho de 2021) 
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Tarefa 3: Um corpo redondo e uniforme de massa M e raio R, rola para baixo ao longo de um 
plano inclinado com a inclinação 𝜙. As forças atuantes são: força de gravidade, força normal 
e força de atrito de rolamento. Obter a expressão para a velocidade do centro de massa do corpo 
em função do tempo, supondo que este é uma esfera maciça. 
 
 
Figure 1https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/131950/mod_resource/content/1/10_Rolamento_Momento_angular.pdf 
𝑬𝑴𝒇 = 𝑬𝑴𝒊 ↔ 𝑲𝒇 + 𝑼𝒇 = 𝑲𝒊 + 𝑼𝒊 Logo ficamos com: 𝑲𝒇 = 𝑼𝒊. O momento de Inércia do 
corpo e dado por 𝐼𝐶𝑀 =
2
5
𝑀𝑅2. Nota: a energia cinética no fim, (𝐾𝑓) envolve translação e 
rotação, assume a fórmula: 
𝟏
𝟐
𝑴𝑽𝑪𝑴
𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑰𝑪𝑴𝝎
𝟐, logo temos: 
𝟏
𝟐
𝑴𝑽𝑪𝑴
𝟐 +
𝟏
𝟐
×
𝟐
𝟓
𝑴𝑹𝟐𝝎𝟐 = 𝑴𝒈𝒉 
Substituindo 𝜔2 por (
𝑉𝐶𝑀
𝑅
)
2
 e isolando 𝑉𝐶𝑀, temos: 
 𝑽𝑪𝑴
𝟐 (
𝟏
𝟐
𝑴 +
𝟏
𝟓
𝑴) = 𝑴𝒈𝒉 ↔ 𝑽𝑪𝑴 = √
𝒈𝒉
𝟕
𝟏𝟎
 , lembrando que ℎ =
1
2
𝑔𝑡2, assim ficamos com a 
nossa expressão: 
 
 
Achando a expressão da 𝒂𝑪𝑴, temos: 𝒇𝒔 − 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝝓 = 𝑴𝒂𝑪𝑴,𝒙 (A força de atrito possui um 
braço de alavanca R e, portanto, produz um torque 𝑅𝑓𝑠 que é positivo) Assim, podemos escrever 
a forma angular da segunda lei de Newton (𝜏𝑟𝑒𝑠 = 𝐼𝛼) em relação a um eixo horizontal passa 
ndo do CM: 𝑹𝒇𝒔 = 𝑰𝑪𝑴𝜶, substituindo o 𝒇𝒔, acima, temos 
𝑓𝑠 = −
𝐼𝐶𝑀𝑎𝐶𝑀𝑥
𝑅2
 
𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙 −
𝐼𝐶𝑀𝑎𝐶𝑀𝑥
𝑅2
= 𝑀𝑎𝐶𝑀𝑥 
𝑎𝐶𝑀 =
𝑅2𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑅2𝑀 + 𝐼𝐶𝑀
↔ 𝒂𝑪𝑴 =
𝒈𝒔𝒆𝒏𝝓
𝟏 +
𝑰𝑪𝑴𝑹𝟐𝑴
 
 
Equação para a translação aplicada ao centro de massa CM: 
→ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝑴 × 𝒂𝑪𝑴 
Equação para a rotação em realação ao eixo horizontal que 
passa pelo CM: → 𝝉𝒆𝒙𝒕 = 𝑰𝑪𝑴 × 𝜶 = 𝒇𝒔 × 𝑹 
{
𝑉𝐶𝑀 = 𝑅 × 𝜔
𝑎𝐶𝑀 = 𝑅 × 𝛼
 
Para achar a expressão da velocidade em função do tempo, é 
só usar a Lei de conservação de Energia Mecânica. 
 
 
𝑽𝑪𝑴(𝒕) = √
𝟓
𝟕
× 𝒈𝒕