Aula 16_esperanca_variancia_vad

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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança e Variância
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Introdução
No estudo de variáveis aleatórias algumas caracteŕısticas numéri-
cas (parâmetros) podem nos fornecer uma ideia sobre o comporta-
mento da distribuição de probabilidades.
Nos modelos matemáticos não-determińısticos ou aleatórios, que te-
mos considerado, os parâmetros são o que caracterizam a distribuição
de probabilidade associada a esse modelo.
São exemplos de parâmetros: o valor médio (ou esperança), a va-
riância, o desvio padrão, a assimetria e a curtose.
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Valor Médio (Valor Esperado, Esperança)
Definição 1
Seja X : Ω→ RX uma v.a. discreta que assume os valores x1, . . . , xi, . . .
com probabilidades p(x1), . . . , p(xi), . . . , respectivamente. Definimos o
valor médio de X, e denotamos por µ ou por E(X), da seguinte maneira
µ = E(X) =
∞∑
i=1
xi · p(xi).
Observação: O valor médio de X também é chamado de
valor esperado ou esperança de X.
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Observações
(1) A fim de que uma v.a. discreta X possua valor esperado faz-se necessário que a série da definição
seja convergente.
(2) Caso a série
∑∞
i=1 xip(xi) convirja absolutamente, isto é,
∑∞
i=1 |xi · p(xi)| convirja, o valor
esperado de X existe. Por outro lado, se
∑∞
i=1 xi · p(xi) diverge, então a esperança de X não
existe.
(3) Se a variável X assume um número finito de valores, digamos n, então E(X) existe e o mesmo
se reduz a soma finita dada por
E(X) =
∑n
i=1 xi · p(xi).
(4) Não confunda E(X) com o valor mais provável de X, o qual denominamos de valor modal. Note
que a esperança de X não é necessariamente um dos valores posśıveis de X.
(5) Em geral, E(X) é diferente da média aritmética x. O valor esperado de X, E(X), está relacionado
a uma v.a. X, enquanto que a média aritmética, x, está associada a um conjunto de valores
observados (amostra).
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Exemplo 1
Considere a v.a. X: número de peças produzidas por minuto, cuja função
de probabilidade (f.p.) é dada por
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
Calcule E(X).
Temos que,
µ = E(X) =
4∑
i=1
xi · p(xi) = 1(0, 10) + 2(0, 50) + 3(0, 25) + 4(0, 15)
= 0, 1 + 1 + 0, 75 + 0, 6 = 2, 45 peças por minuto.
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Exemplo 2
Um determinado vendedor pode visitar, em um dia, 1 ou 2 clientes, com
probabilidades iguais a 1/4 e 3/4, respectivamente. De cada contato, pode
resultar a venda de um produto por R$ 1500,00 (com probabilidade 1/5)
ou nenhuma venda (com probabilidade 4/5). Se X é a variável aleatória
que indica o valor total, em reais, de vendas diárias desse vendedor,
obtenha o valor total esperado de vendas diárias do vendedor.
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Exemplo 2: Solução.
Podemos exibir a f.p. da v.a. X da seguinte maneira:
X = xi 0 1500 3000
p(xi) = P (X = xi) 0,68 0,29 0,03
Dáı, µ = E(X) =
3∑
i=1
xi · p(xi)
= 0(0, 68) + 1500(0, 29) + 3000(0, 03)
= 435 + 90 = 525 reais.
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Principais Resultados
1 Dada a v.a. discreta X e a respectiva função de probabilidade p(xi), o valor espe-
rado da função h(X) é dado por
E[h(X)] =
∑∞
i=1 h(xi) · p(xi).
2 Se X é uma v.a. discreta e a e b são constantes reais quaisquer, então
E(aX + b) = aE(X) + b.
E(aX) = aE(X).
E(b) = b.
E(X − µ) = 0, em que µ = E(X).
3 Se tivermos um número finito de v.a. X1, X2, . . . , Xn, então
E(X1 +X2 + · · ·+Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn).
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Exemplo 3
Considere a v.a. X: número de peças produzidas por minuto, cuja função
de probabilidade (f.p.) é dada por
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
Calcule
(a) E(X2).
(b) E(3X + 1).
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Exemplo 3: Solução.
(a) Temos que,
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
E(X2) =
4∑
i=1
x2i · p(xi)
= 12(0, 10) + 22(0, 50) + 32(0, 25) + 42(0, 15)
= 0, 1 + 2 + 2, 25 + 2, 4 = 6, 75 (peças por minuto)2.
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Exemplo 3: Solução.
(b) Temos que,
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
E(3X + 1) = 3 E(X) + 1
= 3(2, 45) + 1
= 7, 35 + 1 = 8, 35 peças por minuto.
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Variância
Definição 2
Seja X : Ω → RX uma variável aleatória cujo valor médio µ = E(X)
existe. Definimos a variância de X, e indicamos Var(X), por
Var(X) = E[(X − µ)2].
A variância de uma v.a. X é um parâmetro associado à distribuição de
probabilidade que traz informações sobre a dispersão dos posśıveis valores
de X em torno do valor esperado E(X), quando o mesmo existe.
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Observações
(1) Dado que (X − µ)2 ≥ 0 segue que Var(X) ≥ 0.
(2) Uma fórmula alternativa para o cálculo da variância é dada por Var(X) = E(X2)− µ2.
De fato,
Var(X) = E[(X − µ)2] = E(X2 − 2Xµ+ µ2)
= E(X2)− E(2Xµ) + E(µ2)
= E(X2)− 2µE(X) + µ2 = E(X2)− 2µ2 + µ2 = E(X2)− µ2.
(3) Se X é uma v.a. discreta com função de probabilidade p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, . . . e
média µ = E(X) então
Var(X) = E(X2)− µ2, em que E(X2) =
∑∞
i=1 x
2
i p(xi).
(4) Dado que Var(X) ≥ 0, definimos o desvio padrão de X por DP(X) =
√
Var(X).
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Exemplo 4
Considere a v.a. X: número de peças produzidas por minuto, cuja função
de probabilidade (f.p.) é dada por
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
Calcule Var(X) e DP(X).
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Exemplo 4: Solução.
Temos que,
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
Var(X) = E(X2)− µ2 = 6, 75− (2, 45)2 = 6, 75− 6, 0025 = 0, 7475 (peças/min)2.
DP(X) =
√
Var(X) =
√
0, 7475 = 0, 86 peças/min.
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Exemplo 5
Um determinado vendedor pode visitar, em um dia, 1 ou 2 clientes, com
probabilidades iguais a 1/4 e 3/4, respectivamente. De cada contato, pode
resultar a venda de um produto por R$ 1500,00 (com probabilidade 1/5)
ou nenhuma venda (com probabilidade 4/5). Seja X uma variável aleatória
que indica o valor total, em reais, de vendas diárias desse vendedor,
calcule a variância e o desvio padrão da v.a. X.
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Exemplo 5: Solução.
Temos que a f.p. da v.a. X é dada por
X = xi 0 1500 3000
p(xi) = P (X = xi) 0,68 0,29 0,03
Assim,
E(X2) = 02(0, 68) + 15002(0, 29) + 30002(0, 03) = 922500 reais2.
Portanto,
Var(X) = E(X2)− µ2 = 922500− (525)2 = 646875 reais2.
Logo, DP(X) =
√
Var(X) =
√
646875 = 804, 29 reais.
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Propriedade de Variância
1 Se X uma v.a. cuja variância existe e a e b são constantes reais
quaisquer, então
Var(aX + b) = a2 · Var(X).
Justificativa: Seja X uma v.a. tal que Var(X) existe. Definamos a variável,
Y = aX + b com a, b ∈ R. Consequentemente,
Var(Y ) = E(Y 2)− [E(Y )]2 = E[(aX + b)2]− [E(aX + b)]2
= E[a2X2 + 2abX + b2]− [aE(X) + b]2
= a2E(X2) + 2abE(X) + b2 − a2E2(X)− 2abE(X)− b2
= a2E(X2)− a2E2(X) = a2[E(X2)− E2(X)]
= a2Var(X).
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Exemplo 6
Considere a v.a. X: número de peças produzidas por minuto, cuja função
de probabilidade (f.p.) é dada por
X = xi 1 2 3 4
p(xi) = P (X = xi) 0,10 0,50 0,25 0,15
Calcule
(a) Var(3X + 1).
(b) Var(
√
5X − 1).
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Exemplo 6: Solução.
De acordo com as propriedades de variância temos,
(a) Var(3X + 1) = 32 Var(X) = 9 Var(X) = 9(0, 7475) = 6, 7275.
(b) Var(
√
5X − 1) = (
√
5)2 Var(X) = 5(0, 7475) = 3, 7375.
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Bibliografia
Estat́ıstica Básica (7ª edição). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin (2011).
Editora Saraiva.
Noções de Probabilidade e Estat́ıstica (4ª edição). Marcos N. Magalhães e Antonio
C. P. de Lima. (2002). Edusp.
Probabilidade, Aplicações à Estat́ıstica (2ª edição). Paul L. Meyer (1995). LTC.
Paulo Freire
Num páıs como o Brasil, manter a esperança viva é em si um ato revolucionário.
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