Aula Abordagem_Classica

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Teoria das Probabilidades
Abordagem Clássica
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Introdução
Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de
técnicas numéricas e gráficas permite que tenhamos uma boa ideia
da distribuição desse conjunto.
Em particular, a distribuição de frequências é um instrumento im-
portante para avaliarmos o comportamento dos resultados de um
fenômeno aleatório.
Em particular, as frequências relativas são estimativas de probabili-
dades de ocorrências de certos eventos de interesse.
Com suposições adequadas, é posśıvel modelar um fenômeno aleatório
através de um modelo teórico que denominamos de modelo pro-
babiĺıstico.
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Modelo Probabiĺıstico
Em resumo, todo fenômeno aleatório terá seu modelo probabiĺıstico es-
pecificado quando estabelecermos:
(a) um espaço amostral, Ω, que consiste, no caso discreto, da enume-
ração (finita ou infinita) de todos os resultados posśıveis do fenômeno
em questão:
Ω = {ω1, ω2, ..., ωn, ...}.
(b) uma probabilidade, P (ωi), para cada ponto amostral ωi, de modo
que seja posśıvel encontrar a probabilidade P (A) de qualquer sub-
conjunto (evento) A de Ω.
Mais adiante, veremos algumas abordagens para definir probabilidade de
um evento A ⊂ Ω.
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Exemplo 1
Lançamos uma moeda duas vezes. Se C indicar cara e R indicar
coroa, então um espaço amostral será
Ω = {(C,C)︸ ︷︷ ︸
ω1
, (C,R)︸ ︷︷ ︸
ω2
, (R,C)︸ ︷︷ ︸
ω3
, (R,R)︸ ︷︷ ︸
ω4
}.
É razoável supor que cada evento simples Ai = {ωi} tenha proba-
bilidade 1/4, se a moeda for perfeitamente simétrica e homogênea.
Observação: O espaço amostral do Exemplo 1 é chamado de Espaço
Finito e Equiprovável.
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Abordagem Clássica
Se Ω for um Espaço Finito e Equiprovável podemos utilizar a abor-
dagem clássica para definir a probabilidade de um evento A ⊂ Ω.
Definição Clássica de Probabilidade
Seja Ω um espaço amostral finito, Ω = {ω1, ..., ωn}, em que todos os
pontos amostrais têm mesma probabilidade 1/n. Se A for um evento
com m pontos amostrais, então
P (A) =
número de casos favoráveis à ocorrência do evento A
número de casos posśıveis
=
m
n
=
#A
#Ω
.
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Exemplo 2
Considere o lançamento de dois dados honestos. Considere os seguintes
eventos:
A: soma dos números obtidos igual a 9 e
B: número no primeiro dado maior do que o segundo.
(a) Enumere os elementos de A, B, A ∩B e A ∪B.
(b) Calcule a probabilidade dos eventos dados no item (a).
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Exemplo 2: Solução.
O espaço amostral associado ao experimento aleatório é dado por
Ω = {(1, 1); (1, 2); . . . (1, 6); (2, 1); (2, 2); . . . ; (2, 6); . . . ; (6, 1); (6, 2); . . . ; (6, 6)}.
(a) Os eventos de interesse são:
A = {(3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3)}.
B = {(2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2); (4, 3);
(5, 3); (6, 3); (5, 4); (6, 4); (6, 5)}.
A ∩B = {(6, 3); (5, 4)}.
A ∪B = {(2, 1); (3, 1); (3, 6); (4, 1); (4, 5); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2);
(6, 2); (4, 3); (5, 3); (6, 3); (5, 4); (6, 4); (6, 5)}.
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Exemplo 2: Solução.
(b) As probabilidades dos eventos de interesse são:
P (A) =
#A
#Ω
=
4
36
.
P (B) =
#B
#Ω
=
15
36
.
P (A ∩B) = #(A ∩B)
#Ω
=
2
36
.
P (A ∪B) = #(A ∪B)
#Ω
=
17
36
.
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Espaços Amostrais Finitos
Vamos considerar agora, experimentos para os quais o espaço amos-
tral Ω seja um conjunto finito, não necessariamente equiprovável.
Ou seja, o espaço Ω é da forma
Ω = {ω1, ω2, ..., ωk}.
A fim de caracterizar P (A) para este espaço, devemos inicialmente
considerar o evento formado por um resultado simples, do tipo {ωi}.
A cada evento simples {ωi} associaremos um número pi, denominado
probabilidade de {ωi}, que satisfaça as seguintes condições:
a) pi ≥ 0, i = 1, ..., k,
b) p1 + p2 + · · ·+ pk = 1.
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Espaços Amostrais Finitos
Em seguida, suponha que um evento A seja constitúıdo por r resul-
tados, 1 ≤ r ≤ k, a saber
A = {ωj1, ωj2, ..., ωjr},
onde j1, j2, ..., jr representam qualquer um dos r ı́ndices, de 1 até k.
Consequentemente,
P (A) = pj1 + pj2 + · · ·+ pjr .
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Exemplo 3
Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo
ponto é dada pela expressão pi = P ({i}) = i/21 com i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Calcule a probabilidade dos seguintes eventos.
(a) A: sair um número par;
(b) B: sair um número ı́mpar;
(c) C: sair um número maior do que 4.
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Exemplo 3: Solução.
O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser
representados pelos seguintes conjuntos:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
B = {1, 3, 5}
C = {5, 6}
Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável, portanto,
(a) P (A) = p2 + p4 + p6 = P ({2}) + P ({4}) + P ({6}) =
2
21
+
4
21
+
6
21
=
12
21
.
(b) P (B) = p1 + p3 + p5 = P ({1}) + P ({3}) + P ({5}) =
1
21
+
3
21
+
5
21
=
9
21
.
(c) P (C) = p5 + p6 = P ({5}) + P ({6}) =
5
21
+
6
21
=
11
21
.
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Bibliografia
Estat́ıstica Básica (7ª edição). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin (2011).
Editora Saraiva. (livro texto)
Noções de Probabilidade e Estat́ıstica. Marcos N. Magalhães e Antonio C. P. de
Lima (2002). Edusp.
Nelson Mandela
Não há qualquer paixão a atingir vivendo de forma minimalista - vivendo
de uma forma que é menos do que aquela que nós seŕıamos capaz de
viver.
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