Aula 15_vad

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Variáveis Aleatórias Discretas
Definição e Exemplos
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Variável Aleatória
Definição 1
Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório E . Uma
função X : Ω→ RX , RX ⊆ R, que associa a cada ponto amostral ω ∈ Ω
um único número real X(ω) é denominada de variável aleatória.
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Observações
O conjunto RX dos posśıveis valores da variável aleatória (v.a.) X, pode ser con-
siderado como um espaço amostral associado à v.a. X.
Seja X : Ω→ RX uma v.a.. Seja B um evento definido em relação a RX , ou seja,
B ⊂ RX , considere um evento A ⊂ Ω definido por A = {ω ∈ Ω;X(ω) ∈ B}.
Neste caso, dizemos que A e B são eventos equivalentes. Dessa forma,
PX(B) = P (A), onde PX denota a probabilidade induzida pela probabilidade
calculada no espaço amostral Ω.
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Exemplo 1
Considere o experimento aleatório E que consiste em jogar duas moedas
honestas, com C simbolizando cara e R coroa. Seja X uma v.a. que
representa o número de caras que aparecerem. Note que,
Ω = {CC,CR,RC,RR} é o espaço amostral de E e
RX = {0, 1, 2} é o espaço amostral associado à v.a. X.
Como calcular probabilidades nesse “novo” espaço amostral RX?
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Exemplo 1
Temos que
P (X = 0) = P ({RR}) = 1/4,
P (X = 1) = P ({CR,RC}) = 2/4,
P (X = 2) = P ({CC}) = 1/4.
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Variável Aleatória Discreta
Definição 2
Uma variável aleatória X : Ω → RX é dita discreta se o conjunto RX
dos posśıveis valores de X é finito ou infinito enumerável, de maneira
que podemos listar todos os resultados como x1, x2, . . . , xi, . . . .
Ilustração:
A v.a. X do Exemplo 1 é discreta, pois RX = {0, 1, 2} é um conjunto finito.
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Função de Probabilidade
Definição 3
Seja X : Ω → RX uma v.a. discreta. A função p : RX → [0, 1] que associa a cada
xi ∈ RX o número real p(xi) = P (X = xi), satisfazendo as condições
(a) p(xi) ≥ 0,∀i e (b)
∞∑
i=1
p(xi) = 1,
é chamada de função de probabilidade (f.p.) da v.a. X.
Definição 4
A coleção de pares ordenados do tipo (xi, p(xi)) para todo i = 1, 2, 3, . . . é denominada
de distribuição de probabilidade da v.a. X.
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Exemplo 2
Seja X uma v.a. que representa o número de caras que aparecem no lançamento de duas
moedas honestas (ver Exemplo 1). Obtenha a função de probabilidade (f.p) da v.a. X.
Temos que
RX = {0, 1, 2},
p(0) = P (X = 0) = P ({RR}) = 1/4,
p(1) = P (X = 1) = P ({CR,RC}) = 2/4 = 1/2,
p(2) = P (X = 2) = P ({CC}) = 1/4.
Logo, a f.p. da v.a. X é
X = xi 0 1 2
p(xi) = P (X = xi) 1/4 1/2 1/4
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Exemplo 3
Considere uma v.a. X cuja função de probabilidade p(xi) é dada por:
p(xi) = P (X = xi) =
1
2xi , xi = 1, 2, 3, . . .
Calcule:
(a) P (X < 3).
(b) P (X ≤ 3).
(c) P (X > 3).
(d) P (X ser par).
(e) P (X ≥ 3 | X é par).
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Exemplo 3(a): Solução.
Podemos exibir a f.p. da v.a. X da seguinte maneira:
X = xi 1 2 3 4 5 6 7 · · ·
p(xi) = P (X = xi) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 · · ·
(a) Temos que
P (X < 3) = P (X = 1 ou X = 2)
= P (X = 1) + P (X = 2)
= p(1) + p(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4 = 0, 75.
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Exemplo 3(b): Solução.
Podemos exibir a f.p. da v.a. X da seguinte maneira:
X = xi 1 2 3 4 5 6 7 · · ·
p(xi) = P (X = xi) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 · · ·
(b) Temos que
P (X ≤ 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
= p(1) + p(2) + p(3)
= 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 ' 0, 88.
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Exemplo 3(c): Solução.
Podemos exibir a f.p. da v.a. X da seguinte maneira:
X = xi 1 2 3 4 5 6 7 · · ·
p(xi) = P (X = xi) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 · · ·
(c) Temos que
P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3)
= 1− [ p(1) + p(2) + p(3) ]
= 1− 7/8 = 1/8 ' 0, 12.
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Exemplo 3(d): Solução.
Podemos exibir a f.p. da v.a. X da seguinte maneira:
X = xi 1 2 3 4 5 6 7 · · ·
p(xi) = P (X = xi) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 · · ·
(d) Temos que
P (X ser par) = p(2) + p(4) + p(6) + · · ·
= 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·
=
1/4
1− 1/4
=
1/4
3/4
= 1/3 ' 0, 33.
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Exemplo 3(e): Solução.
Podemos exibir a f.p. da v.a. X da seguinte maneira:
X = xi 1 2 3 4 5 6 7 · · ·
p(xi) = P (X = xi) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 · · ·
(e) Temos que
P (X ≥ 3 | X é par) = P (X ≥ 3 e X é par)
P (X é par)
=
p(4) + p(6) + · · ·
p(2) + p(4) + p(6) + · · ·
=
1/16 + 1/64 + · · ·
1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·
=
(1/16)/(1− 1/4)
(1/4)/(1− 1/4)
=
1/12
1/3
= 1/4 ' 0, 25.
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Exemplo 4
Um determinado vendedor pode visitar, em um dia, 1 ou 2 clientes, com
probabilidades iguais a 1/4 e 3/4, respectivamente. De cada contato, pode
resultar a venda de um produto por R$ 1500,00 (com probabilidade 1/5)
ou nenhuma venda (com probabilidade 4/5). Seja X uma variável aleatória
que indica o valor total, em reais, de vendas diárias desse vendedor.
(a) Quais os valores posśıveis da v.a. X?
(b) Obtenha a função de probabilidade da v.a. X.
(c) Calcule a probabilidade do valor total de vendas diárias desse vende-
dor ser no ḿınimo R$ 1500,00.
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Exemplo 4(a): Solução.
C1
C2
V1
V c1
V1
V c1
V2
V c2
V2
V c2
X = 1500
X = 0
X = 3000
X = 1500
X = 1500
X = 0
1/4
3/4
1/5
4/5
1/5
4/5
1/5
4/5
1/5
4/5
Considere os seguintes eventos:
Ci: o vendedor visitar i clientes num
determinado dia, i = 1, 2.
Vk: o vendedor conseguir vender o pro-
duto para o k-ésimo cliente, k = 1, 2.
(a) Quais os valores posśıveis da v.a. X?
Temos que: RX = {0, 1500, 3000}.
(b) Obtenha a f.p. da v.a. X.
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Exemplo 4(b): Solução.
C1
C2
V1
V c1
V1
V c1
V2
V c2
V2
V c2
X = 1500
X = 0
X = 3000
X = 1500
X = 1500
X = 0
1/4
3/4
1/5
4/5
1/5
4/5
1/5
4/5
1/5
4/5
p(0) = P (C1 ∩ V c1 ) + P (C2 ∩ V c1 ∩ V c2 )
=
1
4
· 4
5
+
3
4
· 4
5
· 4
5
= 0, 68;
p(1500) = P (C1 ∩ V1) + P (C2 ∩ V1 ∩ V c2 ) + P (C2 ∩ V c1 ∩ V2)
=
1
4
· 1
5
+
3
4
· 1
5
· 4
5
+
3
4
· 4
5
· 1
5
= 0, 29;
p(3000) = P (C2 ∩ V1 ∩ V2)
=
3
4
· 1
5
· 1
5
= 0, 03.
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Exemplo 4(b): Solução.
C1
C2
V1
V c1
V1
V c1
V2
V c2
V2
V c2
X = 1500
X = 0
X = 3000
X = 1500
X = 1500
X = 0
1/4
3/4
1/5
4/5
1/5
4/5
1/5
4/5
1/5
4/5
Portanto, a função de probabilidade (f.p.) da v.a. X é:
X = xi 0 1500 3000
p(xi) = P (X = xi) 0,68 0,29 0,03
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Exemplo 4(c): Solução.
(c) Calcule a probabilidade do valor total de vendas diárias desse vendedor ser no
ḿınimo R$ 1500,00.
Observando a f.p. da v.a. X, temos que:
X = xi 0 1500 3000
p(xi) = P (X = xi) 0,68 0,29 0,03
P (X ≥ 1500) = P (X = 1500) + P (X = 3000)
= 0, 29 + 0, 03
= 0, 32.
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Bibliografia
Estat́ıstica Básica (7ª edição). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin (2011).
Editora Saraiva.
Noções de Probabilidade e Estat́ıstica (4ª edição). Marcos N. Magalhães e Antonio
C. P. de Lima. (2002). Edusp.
Probabilidade, Aplicações à Estat́ıstica (2ª edição). Paul L. Meyer (1995). LTC.
Cora Coralina
O que vale na vida não é o ponto de partida e sim a caminhada. Caminhando e semeando,
no fim terás o que colher.
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