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1 Sistemas de equações lineares 1.1 Matrizes Chamamos de matriz a qualquer tabela retangular de números reais, ou de outro tipo de objetos matemáticos, que pretendemos operar em bloco. Esses números são chamados entradas da matriz. Representamos as entradas de uma matriz A por aij, sendo que os índices i; j indicam, nessa ordem, a linha e a coluna onde a entrada está. Temos assim A = 0BB@ a11 a12 ::: a1n a21 a22 ::: a2n am1 am2 ::: amn 1CCA sendom o número de linhas, n o número de colunas. Vamos também anotá-la por (aij)m�n. O símboloM(m;n) indica o conjunto das matrizes m por n: Dizemos que A = (aij)n�n é matriz quadrada de ordem n. Neste caso as entradas aii, com1 � i � n; constituem a diagonal principal de A: Dizemos que as matrizes A = (aij)m�n e B = (bij)m�n são iguais se aij = bij para todo i e j: Exemplos 1) A matriz A = 0@ 1 �1 2 �35 7 8 9 �7 8 10 11 1A tem ordem 3� 4. 2) A matriz A = (1;�10; 1; 5) tem ordem 1�4: Uma matriz dessa forma é chamada matriz linha. 3) A matriz A = 0@ 122 �4 1A tem ordem 3 � 1. Uma matriz dessa forma é chamada matriz coluna. Vejamos como de�nir operações entre matrizes. a) Adição de matrizes. Sejam as matrizes A = (aij)m�n e B = (bij). A soma da matrizes A e B é a matriz C = (cij) onde a entrada cij é de�nida por cij = aij + bij. Usamos a notação C = A+B: 1 Exemplos 1) � 2 4 1 �1 � + � 3 2 0 1 � = � 5 6 1 0 � : 2) � 3 1 �2 1 2 0 � + � 4 1 1 0 3 2 � = � 7 2 �1 1 5 2 � : b) Multiplicação de matriz por número real. Sejam a matrizA = (aij)m�n e a um número real. O produto da matriz A pelo número a é a matriz aA = (cij)m�n cuja entrada cij = aaij, isto é, a matriz aA é obtida de Amultiplicando-se cada entrada aij de A pelo número real a: Exemplos 1) 3 � 2 4 1 �1 � = � 6 12 3 �3 � 2) (�2) � 3 1 �2 1 2 0 � = � �6 �2 4 �2 �4 0 � : c) Multiplicação de matrizes. Temos a seguinte de�nição de multiplicação de matrizes. Sejam A = (aij) matriz m� n e B = (bij) matriz n� d: Então o produto de A por B é a matriz C = (cij) de ordem m� d, onde a entrada cij é de�nida por cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + :::+ ainbnj. Em palavras, para obtermos a entrada cij do produto de A por B; primeira- mente multiplicamos ordenadamente os elementos da linha i de A pelos el- ementos da coluna j de B : o primeiro elemento da linha i de A com o primeiro elemento da coluna j de B; o segundo elemento dessa linha i com o segundo elemento da coluna j de B, e assim por diante. Depois somamos os números assim obtidos. Vamos usar a notação AB para o produto de A por B. Escreveremos A2 = AA; A3 = AAA; etc. Exemplos 1) � 1 2 3 4 �� 5 6 7 8 � = � 1 � 5 + 2 � 7 1 � 6 + 2 � 8 3 � 5 + 4 � 7 3 � 6 + 4 � 8 � = � 19 22 43 50 � � 5 6 7 8 �� 1 2 3 4 � = � 23 34 31 46 � 2 2) � 1 2 �� 3 4 � = � 11 � ; � 1 2 �� 3 4 � = � 3 4 6 8 � 3) � 3 4 5 6 �� 1 2 � = � 11 17 � 4) � 1 2 �� 3 4 5 6 �� 1 2 � = � 1 2 �� 11 17 � = � 45 � � 1 2 �� 3 4 5 6 �� 1 2 � = � 13 16 �� 1 2 � = � 45 � 5) 0@ 2 0 �11 2 4 3 �1 0 1A0@ 21 5 1A = 0@ 2 � 2 + 0 � 1 + (�1) � 51 � 2 + 2 � 1 + 4 � 5 3 � 2 + (�1) � 1 + 0 � 5 1A = 0@ �124 5 1A 6) 0@ 1 30 �2 2 1 1A� 4 �1 2 0 1 3 1 �3 � = 0@ 7 8 5 �9�2 �6 �2 6 9 1 5 �3 1A : O exemplo 1 mostra que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, não vale em geral que AB = BA. O exemplo 4 pode ser generalizado, isto é, vale a associatividade para o produto de matrizes. Precisamente, (AB)C = A (BC) desde que possamos multiplicar essas matrizes. A matriz de ordem n I = 0BB@ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1CCA é chamada matriz identidade. Temos que AI = IA = A para qualquer matriz A de ordem n. Além disso, IX = X 3 para qualquer matriz coluna X = 0BB@ x1 x2 xn 1CCA. 1.2 Resolução de sistemas de equações lineares. O método de Gauss Um sistema de equações na forma8>><>>: a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = d1 a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = d2 ::: am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = dm é chamado sistema de equações lineares. Temos m equações lineares de n incógnitas x1, x2; :::; xn:Os números aij são chamados coe�cientes do sistema linear. Uma n -upla de números reais ( s1; s2; :::; sn) é dita uma solução do sis- tema linear se é solução de cada uma das equações do sistema. Exemplos 1) O sistema linear 2� 2 � 3x1 + 2x2 = 7 �x1 + x2 = 6 tem a solução (�1; 5). 2) O sistema linear 3� 38<: x+ y = 0 2x� y + 3z = 3 x� 2y � z = 3 tem a solução (1; �1; 0). Dado um sistema de equações lineares8>><>>: a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = d1 a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = d2 ::: am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = dm 4 queremos determinar o conjunto S de todas as suas soluções. Vejamos nos exemplos seguintes o método de eliminação de Gauss para a resolução de sistemas lineares. 1) Seja resolver o sistema linear8<: x+ y = 0 2x� y + 3z = 3 x� 2y � z = 3 i) Substituimos a eq2 por eq2 � 2eq1 e a eq3 por eq3 � eq1. Com tal procedimento eliminamos a variável x na eq2 e eq3, obtendo o novo sistema linear 8<: x+ y = 0 �3y + 3z = 3 �3y � z = 3 ii) Usando a nova eq2, eliminamos agora a variável y na nova eq3. Sub- stituimos eq3 por eq3� eq2 :8<: x+ y = 0 �3y + 3z = 3 �4z = 0 iii) Agora usamos substituição de baixo para cima para resolver o sistema linear obtido. Da eq3 obtemos z = 0, substituindo na eq2 obtemos y = �1 e substituindo na eq1 obtemos x = 1. Todos os sistemas obtidos com as operações acima são equivalentes, isto é, possuem as mesmas soluções. Logo, a solução do sistema dado é (x; y; z) = (1; �1; 0): 2) Resolver o sistema linear8<: x+ y + z = 9 2x+ 4y � 3z = 1 3x+ 6y � 5z = 0 i) Fazemos eq2� 2eq1 e eq3� 3eq1; obtendo8<: x+ y + z = 9 2y � 5z = �17 3y � 8z = �27 5 ii) Fazemos eq3� 3 2 eq2 : 8<: x+ y + z = 9 2y � 5z = �17 �1 2 z = �3 2 E daí obtemos, z = 3; y = �1; x = 7: A solução é (7; � 1; 3) : 3) Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss.8>><>>: x� y = 0 2x� 2y + z + 2t = 4 y + t = 0 2z + t = 0 Solução: i) Substituimos a eq2 por eq2� 2eq1 e assim eliminamos a variável x na eq2, obtendo o sistema linear 8>><>>: x� y = 0 z + 2t = 4 y + t = 0 2z + t = 0 ii) Trocamos a eq2 e a eq3 ( De modo a ter o coe�ciente de y diferente de 0 na segunda equação): 8>><>>: x� y = 0 y + t = 0 z + 2t = 4 2z + t = 0 iii) Substituimos a eq4 por eq4 � 2eq3 ( De modo a eliminar a incógnita z na quarta equação): 8>><>>: x� y = 0 y + t = 0 z + 2t = 4 �3t = �8 iv) Agora usamos substituição de baixo para cima para resolver o sistema linear obtido. A resposta é x = �8 3 ; y = �8 3 ; t = 8 3 e z = �4 3 , isto é, � �8 3 ; �8 3 ; �4 3 ; 8 3 � é a solução do sistema. 6 4) Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss.8<: x+ 3y = 1 2x+ y = �3 2x+ 2y = �2 Solução: i) Substituimos a eq2 por eq2� 2eq1 e a eq3 por eq3� 2eq1 assim elimi- namos a incógnita x nas eq2, eq3, obtendo o sistema linear8<: x+ 3y = 1 �5y = �5 �4y = �4 ii) Substituimos a eq3 por eq3� 4 5 eq2 :8<: x+ 3y = 1 �5y = �5 0y = 0 Como a eq3 é verdadeira para qualquer valor de y, basta resolver por substituição o sistema formado pelas duas primeiras equações. A solução do sistema é (x; y) = (�2; 1) : 5) Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss.8<: x+ 3y = 1 2x+ y = �3 2x+ 6y = 0 Solução: Procedendo como no exemplo anterior obtemos o sistema linear:8<: x+ 3y = 1 �5y = �5 0y = �2 Como a eq3 não é satisfeita para nenhum valor y, obtemos que não existem soluções para o sistema. Portanto,S = ;. O teorema a seguir justi�ca o método de Gauss. Se um sistema linear é modi�cado por qualquer uma das seguintes oper- ações, chamadas operações elementares, 7 (1) Uma equação é multiplicada por constante não nula (2) Uma equação é substituida pela soma dela com um múltiplo de outra (3) Uma equação é permutada por outra então os dois sistemas lineares são equivalentes, isto é, têm o mesmo conjunto solução. Em cada equação de um sistema linear, o primeiro coe�ciente não-nulo é dito coe�ciente líder ou pivô da equação. Um sistema está na forma escalon- ada se cada coe�ciente líder está à esquerda do coe�cientelíder da equação seguinte. Exemplos. 1) O sistema linear 8<: x+ y = 0 2x� y + 3z = 3 x� 2y � z = 3 não está na forma escalonada. 2) O sistema linear 8<: x+ y + 0z = 0 0x� 3y + 3z = 3 0x+ 0y � 4z = 0 está na forma escalonada. Como vimos o método de Gauss consiste em, através de operações ele- mentares, transformar o sistema linear dado em um na forma escalonada que então é resolvido usando-se substituição. 8
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