Prévia do material em texto
, CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL VOLUME 11 Armando Righetto Antonio Sérgio Ferraado Professores do Instituto Politécnico de Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda IBEC - Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. 1982 Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançar certos objetivos. Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em quase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas. Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indis- pensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicina e de Computação. Os dois volumes são ricos em exercícids resolvidos e propostos. Estes, com respostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução. O primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano, com 4 ou 6 'horas aula semanais. ' Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limi- tes, derivadas e diferenciais. Cálculo, 11, no segundo termo letivo, com a mesma duração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais defrnidas, cálculo de áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas. O segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos. Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais, diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Bio- logia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mÚlimos, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries. Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos e funções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores e Números complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto. Procuramos familiarizar o aluno com o pesnamento matemático e a mani- pular modelos por métodos matemáticos. Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for- maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões. OS AUTORES Ribeirão Preto, maio de 1981 ÍNDICE Capítulo 1 Funções de Várias Variáveis '. . . 3 Conceitos Básicos. Limites. Continuidade. Problemas Resolvidos .. Problemas Propostos. Capítulo 2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . . . . . . . . . .. 19 Acréscimos. Derivadas Parciais. Interpretação Geométrica das DerivadasParciais. Derivadas Parciais de Ordem Superior. Invertibilidade da Ordem de Derivação. Exercfcios Resolvidos. Exerdctos Propostos. Capítulo 3 Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51 Diferencial Total. Aplicações. Diferenciais de Ordem Supen'or. Problemas Resol· vidos. Problemas Propostos. Capítulo 4 Funções Compostas 79 Funções Compostas de uma VariávelIndependente. Funções Compostas de duas ou mais VariáveisIndependentes. Diferenciação de Funções Compostas. Funções ImpUcitas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos. Capítulo 5 Máximos e Mínimos 109 Máximos e Minimos Locais. Hessiano. Pontos Extremos de Funções ImpUcitas. Ajustamento de Retas. Máximos e Minimos Condicionados. Problemas Resolvi- dos. Problemas Propostos. Capitulo 6 Derivadas Direcionais 145 Conceitos. Gradiente - Divergente e Rotacional. Campo Vetorial. Curvas de Nevel. Funções de três Variáveis - Derivada Direcional. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos. Capitulo 7 Integrais Múltiplas 175 Integrais Duplos. Integrais Triplos. Aplicações. Transformações das Integrais Múltiplas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos. Capítulo 8 Integrais Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223 Definições. Notação Vetorial das Integrais CurviUneas. Propriedades das Integrais CurviUneas. Teorema de Green no Plono. Teorema de Green no Espaço. Teore- ma de Stokes. Problemas Resolvidos. Probl~masPropostos. Capítulo 9 Séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241 Séries. Convergência Absoluta e Condicional. Critérios de Convergência e Diver- gência. Série~de Potências. Desenvolvimento em Séries de Potências. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos. Capítulo 10 Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269 Definiç6es. Solução de uma Equação Diferencial. Equação Diferencial de Pri- meira Ordem e Primeiro Grau. Aplicações das Equações Diferenciais Lineares. Aplicaç6es das Equações Diferenciais à Biologia. Problemas Resolvidos. Proble- masPropostos. 1 FUNÇÕES DE vÁRIAS VARIÁVEIS Reaqueça a confzança nos irmãos que esmo- recem ao contato dos problemos do mundo e os ajude a refletir na Bondade Divina que nos' acolhe a todos. ,- As funções reais de váriasvariáveisreais aparecem naturalmente em problemas práticos. Quando procuramos a área S de um paralelogramo de base x e altura y, multiplicamos a base pela altura. Então, o valor de S :::::xy depende dos valores da base e da altura. Dizemos que a área S é função das duas variáveisx e y. Da mesma forma concluímos que o volume de um paralelepípedo, de dimensões x, y e z é uma função de 3 variáveis, pois V = xyz e a cada temo de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume. Inúmeras funções podem ser definidas por fórmulas. Assim, z = x + .JY - 4 é função das variáveis x e y. De fato, a cada x par (x, y) de números reais, com x '* O e y ~ 4,. corresponde um valor bem determinado de z. A Física, através de suas fórDulas, também oferece inúmeros exemplos de funções de várias variáveis. Sejam X, Y e Z, conjuntos de números reais, tais que, a cada x E X e a cada y E Y corresponda, mediante certa lei f, um e um só z E Z. 1.1.1 - FUNÇÃO Diremos que o conjunto Z é função dos Y conjuntos X e Y. Se a cada x E X e a cada y E Y corres- ponder mais de um z E Z, diremos que Z é uma relação de X e de Y. Concluímos do exposto que F = {(x, y, z) Ix E X, Y E Y, z E Z Iz = f(x, y)} onde X e Y são denominados domínio e Z contradomínio. Usa-se representar a função apenas pela lei de correspondência: Façamos uma representação gráfica mais conveniente. Tomemos 3 eixos ortogonais 2 a 2. A cada par (x, y) corresponde um z. O terno ordenado (x, y, z) tem por imagem gráfica um ponto do espaço. A função de 2 variáveis reais é defi- nida em certos pontos (x, y) do plano real; portanto, o conjunto D destes pontos, domínio da função, é uma super- fície de R2• Fig. 1.2. Quando a função f é de 3 variáveis x, y, z. A cada terno (x, y, z) corres- ponderá, através da lei f, um valor real w = f (x, y, z). O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) de números reais é o espaço R3 = R X R X R. Logo, toda a função real de 3 variáveis reais é definida em um subconjunto D do espaço tridimensional real. , /// ................................................. 1.. . Deternúnemos o domínio de algumas funções, construindo um esboço do mesmo. Exemplos: /' E1 Seja z = xyx-y A característica da função z é um quociente e ele só é defInido para x - y =1= O, isto é, para x =1= y. O domínio de z é o conjunto D ~ {(x, y) E R21 x =1=y }, conjunto dos pon- tos do plano xOy que não pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares x = y. ./. ./ ./ ./ / Se· f - VX - 2Ja a unçao z = -_-_-_-_-_.yy - 4 Além do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A função z é definida para x-2~O====>x~2 y-4>O===>y>4 D = {(x, y) E IR.2lx ~ 2 y > 4} E3 \ Seja a função z = x2 - 3xy + y2 - 1. \~ Esta função é de.fmidapara \Ix e \ty E IR, então: D.....:R2 o domínio D é todq o plano real R2• E4 Seja a função w = 4xy - 6xz + 8yz. O valor de w é defmido em todo ponto (x, y, z) E R3• Podemos admitir como domínio da função o espaço real R3• D=R3 Es' Seja a função w = J 1- x2 - J 4 - y2 - 2 J 9 - Z2. Para w ser um número real bem definido 1 - x" ~ O, 4 - y" ~ O e 9 - z" ~ O Resolvendo as desigualdades,.resulta -1 :S:;;;x:S:;;;I,-2:S:;;;y:S:;;;2e-3:S:;;;z:S:;;;3 o domínio da função é D = {(x, y, z) E IR31-1 :s:;;; x :s:;;; 1, - 2 :s:;;; y :s:;;; 2, - 3 :s:;;; z :s:;;; 3} D ,-Geometricamente, o domínio D é um // paralelepípedo de faces paralelas aos pla- ,/ nos coordenados., ,/ No Capo 11I do 1Q volume estudamos limite de uma função real de uma variável. Estendamos tal conceito às funções de duas ou mais variáveis. Consideremos a função z = f (x, y) de domínio D C IR" e um ponto (xo, Yo) E D, tais que f seja definida em pontos (x, y) bastante próximos do ponto (xo, yo). Denominamos vizinhança circular de raio 6 do ponto (xo, Yo) ao conjunto dos pontos (x, y), tais que: O < .J (x - XO)2 + (y - Yo)z < 6 o < (x - XO)2 + (y - Yo)" < 6" que constitui o disco aberto de centro (x o, Yo)' Diremos que a constante Q E ]R é o limite da função f, quando o ponto variável (x, y) tende para o ponto (xo, Yo), quando dado um número E: > O, tão pequeno quanto desejarmos, for possível determinarmos em correspondência com ele um outro número ô > O, tal que para todo ponto (x, y) que satisfaça a demgwildade . O < (x - xoi + (y - Yoi < ô2 tenhamos If(x, y) - Q I< E: 1im f(x, y) = Q (x,y) ~(xo,Yo) 1im f(x, y) = Q x-+xo Y-Yo No cálculo de limites de funções de várias variáveis aplicamos as mesmas propriedades estudadas no volume I. Exemplos: Calcule lim (1 + y2) sen 2 x . x-o X y-+l Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ . Levantamos a indeterminação 1irn (l + y2) sen 2x = lim sen 2x x -+0 xy x-o X y-+l y-+l lim 1 + y2 x-o y y-+l FUNÇOES DE VÁRIAS VARIÁVEIS lim (l + y2) sen 2x = 2 [ lim sen 2X] • 1 + 1 x~o xy x~o 2x 1 Y~l Y~l , v .J -1 lim (l + y2) sçn 2x = 2 • 1 • 2 = 4 x~o xy Y~l Calcule lim 2';. x~o X Y y~o Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ . Procuremos levantar a indeterminação. _ O ponto (x, y) está próximo da origem. São ,inúmeros os caminhos de aproximação do ponto (x, y) à origem e sempre através de uma reta. S . 2xy 2y drni' d vizinho d'eJa z = + - e a tin o que, nas anças a ongem, x y 1 +L x o ponto (X, y) tenda a (xo, Yo) através da reta y = mx ====>.L= m x 19 Caminho: Segundo a reta y = x, portanto, m = 1. Daí, lim 2xy = lim 2y = lim 2y = 2 • O = O X ~o x + Y x ~o 1 +.l. x ~o 1 + m 1 + 1 y~o y~o X y~o 29 Caminho: Segundo a reta y = O (eixo dos x) ====>- m = O. Assim, lim 2xy = 1im 2y _ lim 2y =-º-= O (x,y)~(o,o) x + y . (x,y)~(o,o) 1 +1: (x,y)-(O,o) 1 + m 1 - x 39 Caminho: 11' Segundo a reta x = O (eixo dos y) ====> m = tg 2" = 00. Neste caso, lirn 2xy = lim 2y O O (x,y)-+(o,o)X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m - 1 + 00 = 49 Caminho: Segundo a reta y. = - x ==:> m = - 1. Nestas condições, lim _2_x~y_= lim _2 y__ O (x,y)-+(o,o) X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m O Uma função z = [(x, y) diz·se contínua no ponto (xo, Yo) quando lim [(x, y) = f(xo, Yo) X-+Xo y-+Yo Se esta condição não for satisfeita, a função será descontínua no ponto (xo, Yo)' Exemplos: E1 Verifique a continuidade da função z = 2xy - 4 no ponto (2, 1). Calculemos: lim (2xy - 4) = O X-+2 y-+l ~ Verifique se a função [(x, y) = 2 - Y senx é contínua no ponto (O, O). x Calculemos: [(O, O) = 2 ~ O sen O == g (Deixa de existir o valor da função). tim 2 - Y lim (2 ) ti sen x 2 1 2e --senx= -y m--= • = x-o X x-o x-o X y-o y-o y-o Nota: Em casos como este, onde deixa de existir o valor da função, mas existe o valor do limite, podemos modificar a definição da função de modo a tomá-Ia contínua. ~sim: z =f(x. y) { _2_-_y_ senx para x =1=O x .;:) Determine o domínio da função z = Qn (4 - x - 2y) e faça um esboço grá-J fico. Solução: Examinemos a função z = Qn (4 - x - 2y) Existirá z real para 4 - x - 2y > O ou x + 2 Y - 4 < O D = {(x, y) E lR?lx + 2y - 4 < O} Vejamos o esboço gráfico. A desigualdade x + 2 y - 4 = O e não situados sobre a reta. Representemos a reta x + 2y :- 4 = O .paray = O--> x = 4 para x = 0--> y = 2 Experimentemos o ponto (O, O) na desigualdade x + 2y - 4 < < O > O + O - 4 < O. O ponto (O, O) satisfaz a inequação, logo o semi-plano é o hachurado. Ç\ ~ Determine o domínio da função z = .j - x' + 5x - 4 - v' 3Y - y' e repre- sente-o geometricamente. Solução: Examinando a função, notamos que z real acontece quando - x2 + 5 x - 4 ~ O e 3 y - y2 ~ O Resolvendo as inequações:. - x2 + 5 x - 4 ~ O =-~--->- 1 ~ x ~ 4 3y_y2~O_~>O~y~3 Então, D = {(x, y)E R211 ~ x ~ 4 O ~y ~ 3} Representemos graficamente PR3 Calcule o lim _x_ (1 + yl )Y (x,Y)-+-(O,+oo) sen x \ lim x (1 +1..)y . lim 2:.- lim (1 + yl)Y = (x,y)-+-(o,+oo) sen x Y x-+-o sen X x-+-o y-+-+oo y-+-oo J (- 2)2XCalcule lim x (l + x) .-y-2--x-o Y ! - 4 Y-2 Solução: lim x~1 + x) (y - 2)2X = lim (1 + X)l/X (y - 2)2 = x-o V y2_ 4 x-o y2 - 4 Y-+-2 Y-2 PRs Calcule lirn (x 2 + 2x - 3)(y2 - 1) """J/ (x,y)-+( -3,1) xy - x + 3y - 3 Solução: lirn (x2 + 2x - 3xy2 - 1) = (x,Y)-+(-3,l) xy - x + 3Y - 3 _ 1im (x + 3)(x - 1)(y + 1)(y - 1) = (x,:Y)-+(-3,1) x(y - 1) + 3(y - 1) _ lim ..(x-l-3J(x - 1Xv + 1XJz--11 = (x,y)-+(-3,1) ~ PR6 Calcule 1im 1 - cos x Qn (1 + y) x-+o xy senx y-+o Solução: lirn 1 - cosx Qn (1 + y) = lim [1 - cosx] [.1. fln (1 + y)] _ X-+O xy sen x X-+O X sen x y Y-+O y-+o = 1im [1 - cosx] [Qn (1 + y)l/Y] = x-+o X sen x X-+O . y-+o y-+o = lirn (l - cos xXI + cos x) Qn [ lirn (1 + Y)l/Y] _ x-+o (senx(1 + cosx) x-+o, Y-+O y-+o sen2 x----------.. = 1im 1 - cos 2 x Qn [ 1im (1 + Y)l/Y] _ x-+o X senx(1 + cosx) x-+o Y-+O Y-+O = 1im senx 1im 1 Qn [ 1im (1 + y)1/Y] _ x-+o X X-+O 1 + cos x x-+o y-+o· Y-+O Y-+O =1 1 n ·11 + 1 Jt.ne =2" PR 7 Calcule lim x 2y - 2x2 - 5xy + lOx + 4y - 8 x -+ 1 x2y - 2 x2 - y + 2 Y-+2 Solução: ~e passarmos ao linúte chegaremos a ~. Levantemos a indeter- núTIação lim x2 Y - 2 x2 - 5 xy + 10 x + 4Y - 8 = X-+1 x2(y - 2) - (y - 2) Y-+2 = lim x2 (y - 2) - 5x (y - 2) + 4 (y - 2) = x -+ 1 x2 (y - 2) - (y - 2) y-+2 = lim (x2 - 5 x + 4)(;)z.----21= lim (x - 4)(x--t) _ X-+1 (x2 - l~ X-+1 (x + l)(.x----t)- y-+2 y-+2 1 - 4 3 - 1 + 1 = -2'" Estude a continuidade da função z ::: Qn (x2 + y2). SoluçãÓ: Como g (x, y) = x2 + y2 e f(w) = Qnw, podemos considerar a função z = Qn (x2 + y2) como composta de g com f: (fog)(x, y) = f[g(x, y)] = f(x2 + y2) = Qn (x2 + y2) Esta função é descontínua apenas no ponto (O, O). Portanto, é contínua na região R2 - {(O, O)}, aw = sen- (3 A função w é descontínua apenas para [3= O. Portanto, é contínua nos semi-planos abertos D1 = {(a, (3) E R21[3 > O} e D2 = {(a, (3) E R21[3 < O}, conforme o gráfico. PR 10 Estude a continuidade da função w = 4xyz .J 9 - x2 - y2 - Z2 Solução: Existe w = f(x, y, z) se, e somente se, 9 - x2 - y2 - Z2 > O ou x2 + y2 + Z2 < 9. Portanto, a função w é contínua na bola aberta de raio 3. PRll\Verifique se a função f(x, Y) = 1 1 - yX . y 2 - ; é contínua no ponto - x y- (1, 2). Solução: Calculemos: l-I f(l, 2) = I _ I 4-4 O=- 2 - 2 O 1 - . rx y2 - 4lim __ v_~. --- - l-x y-2-X-J Y-2 = lim (1 - vx)(I + vx) lim (y + 2)(y - 2) = X-I (1 - xXl + vx) X-I y - 2 y-2 Y-2 1 = ;~1.L-.(l'---'lI:~)(1 :- vx) X~l (y + 2) = I ~ I (2 + 2) = 2 Y-2 y-2 A função é descontínua no ponto (1, 2). Para torná-Ia contínua teremos que redefini·la, assim: { I - vx- . _y_2_-_4_ para x =1= I e y =1= 2 f (x, y) = 1 - x y - 2 2 para x = 1 ey=2 Determine, em cada caso, o maior subconjunto de R3 no qual são defmidas as funções: PP 2 W = x + y - z + 2 xyz pp4 Z = x - 2y + -J 12 + x - x2 ~4y _y2 PP5 z = -J Iy I - Ix I ~2x -y - 1z= .Jx+3y-4Calcule lim 2y (x,y)-(o,o) x + y Resp.: ~ Calcule 1im y [cotg xl ~n (1 + tg x) (X,y)-(O,o) e2Y - 1 1 Resp.: 2" PP10 Calcule lim 22xy 2 x-o x + Y y-o Resp.: ~ PPu Calcule ~2 (V"X - ~ ;);1 + 2y) y-o V2Resp.: -2- . esen2X - 1 y 3PP12 Calcule 1im ----. -x -o sen x cos x y2 - 7y + 12 y-3 Resp.: -2 f (x, y) = x2 - 4x + 3 • y2 + 4 x2 - 6x + 9 Y - 2 Resp.: Contínua nos pontos {(x, y) E R21x =1=3 e y =1=2} PP13 Descreva o subconjunto de ]R'2 em que a função z = cos ; é contínu.a. Resp.: É contínua nos semi-planos abertos D" = {(x, y) E R"ly < O} Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = x + Y .x-y Resp.~·Semi-planos abertos {(x, y) E ]R" Ix #: y}. PP1S Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = 2n (y - x). Resp.: Semi-planos abertos {(x, y) E]R21y > x}. PP16 A função w = Ix + y - z + 21 é contínua em ]R2. Justifique. PP17 Determine o conjunto de pontos para os quais a função [(x, y, z) - = ~ x2 + y2 + Z2 - 9 não é definida. PP18 Determine o ponto para o qual não é definida a função w = X2y2 fn Izl. Resp.: z = O PP19 Dê o domínio de [(x, y) = arc sen 2x +- y. x Y 1 2X -y!Resp. : x + y =:;;; 1 PP,o Sendo f(x, y) = x3 - 2xy +3 y2, Calcule f(;, ~). 1 4 ]2Resp.:---+-x3 xy y2 2 DERIVADAS PARCIAIS Não te queixes, trabalha. Não te desculpes, aceita. Não te lastimes, age. Não provoques, silencia. Não acuses, ampara. Não te irrites, desculpa. Não grites, pondera e explica. Não reclames, coopera. Não condenes, socorre. Não te perturbes, espera. Nada exijas dos outros, Conta sempre com Deus. Seja a função z = f(x, y) definida na região D C lR? Tomemos o ponto (x, y) E D e atribuamos a x o acréscimo 6.x e a y o acréscimo fj.y, tais que o ponto (x + b,.x,y + fj.y) ED. O acréscimo da função quando passamos do ponto (x, y) ao ponto (x + b,.x, Y + 6.y) é fj.z = f(x + fj.x, y + fj.y) - f(x, y) e se chama acréscimo total da função. A variação das variáveis independentes x e y pode ser aferida através da distância fj.Qentre os pontos (x, y) e (x + fj.x, y + fj.y). A - 6.z f(x + fj.x y + fj.y) - f1x y) - . alrazao - = ' " , é uma razao mcrement efj.Q 6.Q seu limite, para fj.Q ) Q, definiria a derivada de z = f(x, y), no ponto, caso o limite existisse. Entretanto, este limite quase sempre não existe, pois o ponto, (x, y) poderá aproximar-se do ponto (x + ô'x, y + ô.y) de inúmeras maneiras e o limite vai depender da maneira de aproximação, isto é, da direção de aproximação. Estas considerações levar-nos':ão ao conceito de derivada direcional, que estuda- remps mais adiante. I - Acréscimo parcial em x Seja a função z = f(x, y) e o ponto (x, y) ED. Conservemosy constante e atribuamos a x o acréscimo ô'x, tal que o ponto (x + ô'x, y) ED. O acréscimo da função quando passamos do ponto (x, y) para o ponto (x + ô'x, y) é t1xz = f(x + ô'x, y) - f(x, y) I~~"~"T......... iz .II - Acréscimo parcial em y Se na função z = {(x, y) conservarmos x constante e dermos a y o acr~s- cimo 6y, de modo a passarmos do ponto (x, y) ao ponto (x, y + 6y), também pertencente a D, teremos o acréscimo parcial em y, 6yz = {(x, y + 6y) - {(x, y) . ... -_......1"y Z z I 1.<;:::/{li.Y::i (ill.'!'~y Vimos no capítulo anterior que 6xz = {(x + 6x, y) - [(x, y) e 6yz = = {(x, y + 6y) - {(x, y) são os acréscimos parciais em x e y, respectivamente. As razões 6xz = {(x + 6x, y) - {(x, y) e 6yz = {(x, y + 6y) - [(x, y) 6x 6x 6y 6x são as razões incrementais da função z em relação a x e a y. Os limites destas razões para 6x ) O na primeira e 6y ) O na segunda, caso existam, são as derivadas parciais da função Z ={(x, y). Assim: 1im 6xz = {(x + lu, y) - {(x, y) = az =D {( ) = -r' ( ) Ax -+0 6x lu ax x x, y J X x, Y 1im 6yz = {(x, y + 6y) -{(x, y)= az =D {(x ) ={,' ( ) Ax-+o 6)' 6y ay y , y y x, y Exemplos: E1 Determine a derivada parcial de z = X2y2 - 3xy + 4 em relação a variável x. Atribuamos a x o acréscimo 6x e façamos y fIxo, teremos: Valor inicial da função: f(x, y) = xZy2 - 3xy + 4 Valor acrescido da função: f(x + Ôx, y) = (x + ÔX)2y2 - 3 (x + 6.x)y + 4 Valor acrescido Valor inicialr_--- Á , r__---A--- •••••••" ÔxZ == (x + ÔX)2y2 - 3 (x + Ôx)y + 4 - (X2y2 - 3xy + 4) 6.xz _ [x2+ 2x Ôx + (ÔX)2]y2- 3 (x +Ôx)y + 4 _X2y2 + 3xy - 4 Ôx - Ôx 6.xz- =X2y2 + 2xy2ôx +y2(ÔX)2 ,- 3xy - 3y6.x + 4 _X2y2 + 3xy - 4 6x 6.x 6.xz 2xy26.x - 3y 6.x +y2 (6.X)2 E&t d di·--Ô-x-= ------------'-Ô-x- ......•..--.....--· le uan O a Vlsao--> 6.xz=>--= 2xy2 - 3y +y2ôx ÔX Ôxz lim - = lim (2xy2 - 3y + y26.X) tox-o 6.x tox-o '-----v-----' ôz "-=2xy"- 3y ôx Observação: Chegaremos a este resultado de forma mais simples aplicando as regras de derivação estudadas no Cap..N do volume I e considerando y constante quando derivamos parcialmente em relação a x e, x constante, quando derivamos parcialmente em relação a y. Assim: az 2 C-=2XY -3yaxz = X2y2 - 3 xy + 4 az Z-= 2x Y - 3xay Ez DeterIlÚne as derivadas parciais de z = sen (x + 3y) - cos (2 x - y). Solução: Apliquemos a regra prática: der. sen • der. arco der. cos • der. arco __ Á A az' --.., r. ---, ZC aX = COS(X + 3y) + 2sen(2x - y) azay = 3 cos (x + 3y) - sen (2x - y) Uz~ •...2 ~ ~Determine as derivadas parciais de z = Qn x2 - yz com ".2 ~ Y~:> (),'x + Y x -,-y:l. I Solução: Preparemos a função: az x ax = x2 _ yZ _ 2xy2 - x4 _"y4 x = x3 + xy2 _ x3 + xy2 = XZ + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2) az -y ay = xZ _ y2 2x2y- - x4 _ y4 y = _x2y _ y3 _ x2y + y3 _ x2 + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2) 2.3 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Seja z = f(x, y) urna função defInida na região D C R 2 tendo por imagem gráfica a superfície S do R3 que se projeta sobre D no plano xOy. Fixemos x, fazendo-o igual a Xo. A função z = f(xo, y) será unicamente da variável y e representará a curva Cb intersecção do plano x = xo, paralelo ao plano yOz, com a superfície S de equação z = f(x, y). Se fIZermos y = Yo, a função z = f (x, Yo) será unicamente da variável x e representará a curva C2, intersecção do plano y =Yo, paralelo ao plano xOz, com a superfíCie S. Obtemos, assim, o ponto Po(xo, Yo, zo) da superfície Se intersecção das curvas C1 e C2• A derivada parcial aaz nos dá o declive da tangente t2 à curva· C2 no Xo ponto Po (xo, Yo, zo), em relação à reta (7), paralela ao eixo dos x. ~ z-= tgaaxo A derivada p~cial aaz nos dá o declive da tangente ti à curva C1no ponto Yo Po, em relação à reta (s) paralela ao eixo dos y I az ~p Iayo As duas tangentes tI e tz, tangentes à superfície S no ponto Po, determinam um plano tangente à superfície S, cuja equação geral é Como ele passa pelo ponto Po (xo, Yo, zo), sua equação é satisfeita pelas coorde- nadas do ponto, assim: Axo + Byo + CZo + D = O (2) Subtraindo a (2) da (1) > A (x - xo) + B (y - Yo) + C(z - zo) = O. Isolandb o termo em z -> A B. > z - Zo = -C(x - xo) -C(y - Yo) (3) Para y = Yo na (3) ====> z - Zo = - ~ (x - xo), equação da reta tz, tangente -' à S no ponto (xo, Yo, ~o). Portanto, A az--=tga=- C axo Para x = Xo na (3) ====> z - Zo = - ~ (y - Yo), equação da reta th tangente à S no ponto Po. Portanto, B az --=tg{3=-C ayo -Substituindo na (3) - ~ e - ~ pelos seus respectivos valores, resulta az az·z - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo equação do plano (17) tangente à superfície S de equação z =I(x, y), no ponto Po (xo, Yô, zo). Deduzamos agora as equações canônicas (simétricas) da normal à superfície S no ponto Po (XO, Yo, zo). A normal (n) à superfície S no ponto Po (xo, Yo, zo) é perpendicular ao plano (n) tangente à superfície no mesmo ponto e conseqüentemente perpendicular às tangentes tI e tz. O vetor diretor da reta (n), normal à superfície S é, portanto paralelo ao ~ vetor normal do plano (17) Vn = (A, B, C). ~ A normal n = [Po (xo, Yo, zo); Vn = (A, B, C)],terá por equações x - Xo Y - Yo z - Zo - -A B C x - Xo Y - Yo Z - Zo -C--= -C--= -C--A B C x - Xo A -C Y - Yo Z - Zo - -B C -C -C A ôz B ôz CComo --= - -- =- e --= -1 resulta C ôXo' C ôYo C ' x - Xo ôz ôXo Y - Yo z - Zo - -ôz -1 ôYo Exemplos: E1 Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície z = = x2 - 4 y2 no ponto P~(5, - 2). Solução: Determinemos o ponto Po (xo, Yo, zo), determinando Zo = (5)2 - 4 (- 2)2 ~ ~ Xo Yo Zo = 25 - 16 Zo = 9 Então, Po (5, - 2, 9). As funções derivadas parciais são C~=2Xôxz = x2 ~ 4y2 ôz-= -8yôy derivadas--> ====>no ponto ~. ôz C- = 2·5 = 103xo---> ôz- = -8(-2) = 16 ôYo a) Equação do plano tangente: az azz - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo z - 9 = 10 (x - S) + 16 (y + 2) z - 9 = 10x - SO + 16y + 32 110X + 16y - z - 9 = O I b)IEquação da normal: x - Xo az axo x-S_y+2_z-9 10 - 16 - -1 Dada a função z = f (x, y), diferenciável, as suas derivadas, parciais são funções das -mesmas variáveis. Assim, ~: = Ix (x, y) e ~; = I; (x, y). Podemos querer derivar parcialmente estas derivadas. Se for possível, obte- remos as derivadas parciais de segunda ordem da função inicial. As derivadas parciais das derivadas de segunda ordem, se existirem, constituirão as: derivadas parciais de terceira ordem; e assim sucessivamente. Partindo de z= 1(x, y) a (az) a2z 4:"az C ax ax = ax2 = Jx,x (x, y). ax = Ix (x, y) () 2a az a z ,ay ax = axay = Ix,y (X, y) . a (az) a2z r' ( ) C ax ay = ayax =Jy,~ x, Yaz , ( )ay =Iy x, Y 2a (az) a z r'- - =-=Jyy(x,y)ay ay ay2 ' Notamos no dispositivo acima que as derivadas parciais de primeira ordem são Ix e /y. Se essas funçõe~ derivadas admitirem derivadas parciais, iremos obter 4 funções derivadas parciais de segunda ordem: h,x; Ix:y; íJ,x e íJ,y Se as derivadas parciais de 2' ordem admitirem derivadas parciais, iremos obter 8 derivadas parciais de 3' ordem, conforme os dispositivo abaixo. Se for possível continuar derivando, obteremos 16 derivadas de 4' ordem, e assim sucessivamente. A função derivada parcial de 2' ordem a~2:yindica a derivada obtida após derivar duas vezes, a primeira vez em relação a x e a segunda vez em relação a y. Já a função derivada parcial a 3 z indica a derivada obtida após 3 deri·'axay2 váveis sucessivas, a primeira vez em relação a x, a segunda vez em relação a y e a terceira vez em relação a y. Consideremos agora a função w = f (x, y, z) e consideremos possível a sua derivação sucessiva. DElUV ADAS PARCIAIS 29 E4~Xh,x, h,~,y Ix"X,x,Z E4Y,XIx ' . "t'x,y t'x,y,y Ix"x,y,z / E4~Xh,z h,~,y {;."x,z,zE!Y.~.x t;,x 1J,~,y h"Y,X,z ~"E y,y,x w = {(x, y, z) Íy tY.y, !Y.Y,y . "'''" 'y,y,zE!Y.~x t;,zt;,~,y Ii,~z Et.:~,x Íz:x Iz:~,y . t'z"Z,X,z Et.:~.x t;, h,y Iz:'y,y Íz"z,y,z Et.:~x Iz:z . Iz:~,y Iz"Z,Z,z Exemplo: Dada a função z = x4 - 3x3y + 6X2y2 - 4xy3 - 6y4 + 2, determine as derivadas parciais de 3~ ordem ( te) \ - --- .\ '() "I / N d . das Ô 3 Z Ô 3 Z - difiotamos que as enva extremas -3 e -3 sao erentes, enquanto as ôx ôy mistas são iguais 3 a 3, mostrando-nos a invertibilidade da ordem de derivação: 2.5 - INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇAO Conforme o exemplo estudado, notamos que a ordem de derivação é irrele- vante, se as derivadas parciais forem contínuas. Teorema de Schwarz: Se a função f (x, y) admitir todas as derivadas parciais de 2ª, ordem na região D C R2, e se estas derivadas forem funções contínuas em D, então: ô2f ô2f-ô Ô =-ô ô emtodoponto~EDx y' y x Este teorema se estende às derivadas mistas de ordem superior à 2ª, ordem. Assim: ÔSz ôSz ôSz ôxôxôxôxôy - ôxôxôxôyôx - ôxôxôyôxôx - asz ôSz - ôxôyôxôxôx - ôyôxôxôxôx podendo todas estas derivadas serem representadas unicamente por ô:z , indi- ôx ôy cando que a função z deve ser derivada 4 vezes em relação a x ~ em relação ay. O número de derivadas parciais distintas de ordem n nos é dado pelas combinações com repetição de m elementos (número de variáveis independentes) tomados n a n. (CR) - C - (m + n - IXm + n - 2) ... em + 2Xm + 1)mm,n - m+n-l,n - n! Uma função de várias variáveis y = F (x h X2, X3, ••• , xm) dir-se-á de classe Cn em uma região D C Rm, com n inteiro positivo, se e somente se exis- tirem e forem contínuas em D todas as derivadas parciais de F de ordens 1, 2, 3, 4, ... , n. Escrevemos F E Cn (classe de diferenciabilidade). PR1 Deternúne, em cada caso, as derivadas parciais da função: z = (x2 - xy +y2t Solução: Notemos a existência das componentes potência e base. PR2 Z = xy • yX, com x > O e y > O. Solução: Nos dois fatores figuram x e y, teremos então a função produto õz , , C õx = JlxV + JlVxz õz , ,õy = Jlyv + JlVy a) Deternúnação de ~:. Em relação a x Il = xy (potência natural) ====>: Jl~ = yxY-1 V = yX (exponencial) ===.=-.::::.-~> v~ = yX ~n y b) Detenninação de ~;. Em relação a y JJ. = xY (exponencial) --> JJ.~ = xY inx v = yX (potência natural) ====:> Vy = xyX-l PR3 Z = cos2(v'X - y). Solução: Notemos a existência das 3 componentes: potência, co-seno e arco. ~z = [2 cos(vx - y)][-sen(-vfX - y)]" _Ir::-x ,_______ ,;2 v x v - seno do arco duplo sen2(y'X - y) - - 2 v'X az = [2 cos (-vfX - y)][-sen(v'X - y)](-I) = sen2(v'X - y)ay PR4 Z = X3y2 + x22ny - cos(xy). Solução: Na última parcela, quer em x ou y, temos as componentes co-seno e arco zC ::= 3X2y2 + 2x 2ny + y sen(xy) az x2- = 2x3y +- +x sen(xy)ay y PRs z = xex-y +yex+y• Solução: Em relação a x, a primeira parcela é função produto, pois tem x nos dois fatores e, em relação a y, a segunda parcela é função produto. C .az = (1e X-Y + xex-y • 1) +yex+y • 1ax z az = xeX-r(-I) + (1 eX+Y + y~+Y • 1)ay C~:= (l + x)e X-Y + yeX+Y z ÔZ = (l + y)eX+Y _ xeX-Y ôy eX, PR6 w =- - ~nxyz + sen(x - 2z) eY Solução:Preparemos a função: w = eX-Y - ~nx - ~ny - ~nz + sen(x - 2z) ôw = eX-Y • 1 - 1-+ [cos (x - 2z)] 1 ôx x ôw = eX-Y (-1) _1- ôy y ÔW 1 . ôz = - Z + [cos(x - 2z)](- 2) ÔW eX 1 - =- --+ cos(x - 2z) ÔX eY x . ÔW eX 1-=---- ôy eY y ôw 1 ôz =-z-2cos(x-2z) PR7 Z = x2 ~nxy. Solução: Notemos que em relação a x a função é do tipo JlV (produto), pois tem x nos dois fatores. Função preparada: z = x2 (~n x + ~ny) , , + ' Et-z = uv -~> Zx = UxV UVX. n ao, como u = x2 ====:::> u~ = 2x v = ~nx + ~ny ====> v~ =-; , 2 1> zx = 2 x (~n x + ~n y) + x - > x -> z~ = 2xQnxy + x az 2 1 x2-= X -=-ay y y C z~ = 2x Qnxy + xz = x2(Qnx + Qny)- , x2z =-y y PRs z = f(senxy). Solução: Notemos que a derivada da função f é a mesma, quer em relação a x, quer em relação a y. O mesmo acontece com a derivada do seno. Apenas as derivadas do arco são diferentes d . d f derivo d' denv. e d env. o arcoecosaz ---------- ,...-A--... ...----A---- C ax = rr (sen xy )][cos xy J yz = f(sen xy) .-az rray = (senxy)][cosxy]x a -- C a: = y rr (senxy)] cosxy z = f(senxy) ~; = x [f' (sen xy)] cos xy Solução: Preparemos a função: f(x, y) = senx-1 y + Qny - Qnx af [ -1]( -2) 1 C-= cosx Y -x y--ax xf(x, y) af = [cosx-1Y]X-1 +1.-ay y af y y 1 f(x, y) C ax = - x2 cos"X-X" af 1 y 1-=-cos-+-ay x x y PR10 Dada a função z = f(;), verifique se x :~ + y :; = o. Solução: 1. Deternúnemos as derivadas parciais de z x af +yEt=~t(x) _x t(x) =0ax ay y y y Y Sim. _ all all 31l 2 PRu Dada a funçao Il = are sen (xyz), verfique se 3x • 3y • az = see Il tg Il· Solução: 1. Determinação das derivadas parciais _a Il_ = --;:==1==yz 3x v' 1 - (XYZ)2 all = 1 xz 3y .J 1 - (XYZ)2 all 1 -= ---""""'X.Yaz v' 1 - (xYZ)2 2. Verificação da igualdade ~~ • ~; • ~~ = see Il tg2 Jl. Montemos o produto das 3 derivadas '" a Il a Il a Il _ yz • xz • xy ax . 3y • ai - [.J 1 - (XYZ)2]3 31l • all • all = (xYzi 3x 3y ax [v' 1 - (xyz)2]3 De Il = are sen (xyz) > xyz =sen Jl. SubstitUindo em (1) => ap. ap. ap. sen"p. -->_.-.-= ------ ax ay az [y' 1 - sen"p.]3 sen"p. 1 sen" p.=--= __ 0_- cos3 P. COS J.l cos" J.l v COS J.L PR 12 Ache a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície z" = x2 + y2 no ponto (3,4, 5). Solução: Vimos que a equação do plano tangente (1T) à superfície z no ponto Po (xo, Yo, zo) é az az z - Zo = axo (x - xo) + ayo (y - Yo) Determinemos pois as derivadas parciais no ponto. De Z2 = x2 + y" > Z = .J x2 + y2 (z = 5 > O) az 1 -\, az ax = ~y'X2+y2 ""x => axo = _ 1 3=1 v9 + 16 S az 1 -b az ay =.~ y'x2 + y2 ",y => ayo = _ 1 4 =.±.. V9 + 16 S Substit]lipdo na equação do plano (1T) z'- 5 =l(x - 3) +.!(y - 4)5 5 5z - 2S = 3x - 9 + 4Y - 16 13X + 4y - 5z = O I As equações simétricas da normal (n) são: x - Xo Y - Yo z - Zo - -az az -1 axo ayo Então, (n) x-3_y-4_z-5__ x-3_y-4_z-5 3 - 4 - -1 --.> (n) 3 - 4 - -5 - - 5 5 PR 13 Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície x2 + + y2 + Z2 = 38, no ponto que se projeta sobre o plano xOy em (2,3) e tem z > O. Solução: 1. Determinação do ponto Po (xo, Yo, zo). Temos Xo = 2 e Yo = 3. Substituindo na função, vem 4 + 9 + Z2 = = 38 => 1 z 51, pois, z > O 2. Determinação das derivadas parciais em Po• Preparemos a função x2 + y2 + Z2 = 38: z = ..j 38 - x2 _ y2 3. Determinação da equação do plano tangente. Como (1T) -........ az az 2 z - Zo = -ax-o (x - xo) + -ay-o (y - Yo) =-.::=----.> Z - 5 = - "5 (x -.2) - 3-SÓ' - 3) 5z-25=-2x+4-3y+9 \2x + 3 y + 5 z - 38 = O I 4. Determinação das equações canânicas da normal (n). Como (n) x - Xo Y - Yo z - Zo -õz õz -1- -õXo õYo Substituindo em (n) x-2_y-3_ z-5 2 - 3 - -1 -- --5 5 x-2_y-3_z-5 2 - 3 - 5 PR14 Determine o ponto da superfície z = x2 + y2 - 4x - 6y + 9 em que o plano tangente é paralelo ao plano cartesiano xOy. Solução: Se o 'plano tangente à superfície z for paralelo ao plano xOy, as derivadas parciais de z serão nulas. C _õ_z= 2x - 4==:> 2x -4 = 0==> x = 2ÕXz õz- = 2y - 6===>" 2y - 6= 0--> Y = 3õy z=4+9-8-l8+9 z =-4 O ponto procurado é Po (2, 3, - 4). PR 15 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da função y2 x2 z=---- X Y Solução: Preparemos a função: F.P. (função preparada) z = X-1y2 _ x2y-1 a2z 2 2x2- - 2x-1 2x2y-3-2 - - -----ay x y3 PR16 Calcule as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = e2Y sen x no ponto Po(rr/6, O). z[ a2z = vf3 axoayo a2z-=2ayJ . X PR17 Calcule as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = ey + Qn (xy).e Solução: Preparemos a função F.P. => z = eX-Y + Qnx + Qny Aplicaremos a invertibilidade da ordem de derivação, calculando as derivadas parciais extremas e delas as mistas, assim: [ ~: = eX-Y + ~ r z az _ x-y +1.- ay - -e y l PR V 'f' f - 2 xy , h ~.18 en lque se a unçao z = arc tg 2 2 e armomcao x -y Solução: "Uma função z =f (x, y) diz-se harmônica quando satisfaz à equaçãoa2z a2z de Laplace - + - = O",ax2 ay2 a2z a2z Calculemos então --2 e -2 oax ay derivo do arctg ~ 1 4X2y2 1+---(x2 _ y2)2 1 - (x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2 az ax - az-=ay 1 4X2y2 1+---(x2 _ y2)2 derivo do quoçj.ente F .A , 2y (x2 - y2) - 2xy • 2x _ , (x2 _ y2)2 2x2y - 2y3 - 4x2y (x2 _ y2)'1. 2x(x2 - y2) - 2xy(-2y) = (x2 _ y2)2 1 2x3 - 2xy2 + 4xy2- ,-------- (x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2 (x2 _ y2)2 , . , Ob - 2xy • d t' U 1 _ Ux V - UVxservaçao: 2 2 e o lpO-, portanto, em re açao a x ==--=--=....> 2 X -y V V U~V UV~ , r A__ -.., ~ > Ux = 2y 2y(x2 _ y2) - 2xy • 2x =--=----> 2 2 2 V = X2 - y2 ====.> V~ = 2x (X - Y ) , I 2xy U· UyV - UVy 2 2 é do tipo -, portanto, em relação a y --> --v- 2 -- X -y V , UV'UyV Y r A \ ~ 2x(x2 - y2) - 2xy (-2y)-->---------- 2 2 ' 2 (x2 _ y2)2V = X - Y => Vy = - y --> U~ = 2x az -2x2y - 2y3 = -2y(x2 + y2) = ax = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 x4 + 2X2y2 + y4 = -2y(x2 + y2) = _ 2y (x2 + y2i x2 +y2 az 2x3 + 2xy2 2x(x2 + y2) ay = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 - x4 + 2X2y2 + y4 - = 2x(x2 + y2) = 2x (x2 + y2)2 x2 + y2 L a2z- = -2x(x2 + y2)-22y =ay2 4xy= - (x2 + y2l a2z a2z 4xy-+-=---- ax2 ay2 (x2 + y2)2 A função é harmônica. PR19 Determine as derivadas parciais de 4~ ordem da função z = sen (x - y) - cos (2 x + y). Solução: Até às derivadas parciais de 3~ ordem determinamos apenas as extremas e a partir delas achalemos as de 4~ mnp.m. 32zr -2= -sen(x- y) + 4cos(2x + y)axaz C -= cos(x - y) + 2scn(2x + y)ax z = sen(x - y) -- cos(2x + y) az -= -cos(x - y) + sen(2x + y)Lay a2z -2 = ~sen(x - y) + cos(2x + y) ay Resp.: a4z -4::: sen(x - y) - 16cos(2x + y)aX 34z a4z a4z a4Z '--::: --::: --- ---::: -sen(x - y) - 8cos(2x + y) ax3ay ayax3 ax3y3x2 3x23yax 34z-- :::sen(x - y) - 4cos(2x + y) 3x23y2 a4z a4Z a4Z a4Z--::: -- = --- ----::: -sen(x - y) - 2cos(2x + y) 3y3ax ax3y3 ày3xay2 3y23x3y 34z- ::: sen (x - y) - cos (2 x + y)ay4 a4z C 4= sen(x - y) - 16cos(2x + y) a3 ax-4= -cos(x - y) - 8sen(2x + y) a.\" a4z -- = -sen(x - y) - 8cos(2x + y) ax3ay a3z -3 = cos(x - y) - sen(2x + y) ay a4z C -3- = -sen(x - y) - 2cos(2x + y) ay ax a4z4 = sen(x - y) - cos(2x + y) ay PRzo Verifique se a função w = e3X + 4Y cos 5 z é harmônica. Solução: Será harmônica a função w = f(x, y, z) se, e somente se, a2w a2w a2w-+-+-=0 ax2 ay2 az2 aw = 3 e3X + 4Y cos S zax aw = 4 e3X + 4Y cos Szay . a2w j -= -25e3 x+4Y cos 5zaz2 aw = _ 5 e3X + 4Y sen 5 zaz Façamos a verificação: a2w a2w a2w-- + - + - = ge3X+4Y cos 5z + 16e3x+4Y cos 5z - ax2 ay2 az2 - 2S e 3X + 4Y cos 5 z = O PRZ1 Dadaafunçãof(x, y) = eX ~ny + (seny)~nx, determine as derivadas parciais de 2~ ordem no ponto P~ (17/2, 7T). Solução: Derivemos f (x, y) af = eX ~ny + seny Cax x f(x,y) ay y . No ponto P~ (rr/2, rr) as derivadas parciais de 2~ ordem assumem os valores: - 1 ~e 1T/2 cos x e 1T/2 - 2 =-+--=--- rr rr 1T 2 oa2[ e 1T/2 ,,---A---,. rr e 1T/2 - = - - - (sen1T)Qn-= ---~J ~ 2 ~ Solução: Determinemos as derivadas parciais de 3a ordem que figuram na expressão cujo valor procuramos. a2z 1 a3z 1- = -sen(x +y) -- - -- = -cos(x +y) +- ayax x axax2 x2 az- = cos (x + y) - Q nxay a2z C -2- = -cos(x + y) a2z. ay ax -2= -scn(x + y) ay a3z -= -cos(x + y) ay3 a~ a~ a~ 1 --2 - 2 2 + -3 = - cos (x + y) + - + 2 cos (x + y) -ayax ay ax ay x2 1 - cos(x + y) =""""2 x az ·2 2 X2-= xye _.--aX 2= 4xeX '--v--'I função produto em relação a x PR24 Derive z = f(senxy). Solução: Consideremos as componentes f, seno e arco xy ~: = [f' (sen xy)][cos xy]y = y 11' (sen xy)] cos xy ~; = [f' (sen xy)][cos xy] x = x [f' (sen xy)] cos xy Dada a função Jl = Qn (x + Jx2 + y2), verifique se x ~~ + Y ~y= 1. Resp.: Sim. Calcule a Jl • a Jl • a Jl com Jl = arctg (xyz). ax ay az' Resp.: sen2 Jl • cos4 Jl. PP3 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem da função z = f (tg;). Resp.: az = 1. t' [(tg~)] sec2~ax y y y az = _ ~ t' [(tg X).] ay y2 \: y PP4 Determine as derivadas parciais de 1a ordem da função z = 4 sen (; ) - - Qn (~). ôz 4 ·x 1Resp.: _. = - cos - + - ôx y y x ôz 4x x 1-=--cos--- ôy y2 Y y PP 5 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = xyeXY . ôz y Resp.: ôx = yeX (1 + xy) ÔZ = xexy (l + xy) ôy PP 6 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = arc tg (sen xy ). Resp.: ÔZ = Y cos xy ôx 1+ sen2 xy ÔZ xcosxy-=---- ôy 1 + sen2 xy PP, Calcule x ~: + y ~; + z, quando z . ~ f(~). Resp.: O , xY PPs Deterriúne as derivadas parciais de 1a ordem de z =x.y ÔZ xY-1 xY Resp.: - =-- -- ~nyôx yX-l yX ÔZ xY xY+1-=-~nx---ôy yX yX+l PP9 Determine a equação do plano tangente à superfície 3x2 + y2 + Z2 + xy + +yz + z - 4 = Ono ponto P~(1, -1) de cota negativa. Resp.: 5 x - 2Y - 2 z - 5 = O PPutDetermine a equação do plano tangente e o vetor normal da superfície z = = .J x2 - y2 no ponto P~(5, 3). Resp.: (7T) 5x - 3y - 4z = O ~ n = (5, -3, -4) PP11 Calcule as derivadas parciais de 2a ordem da função z = arc sen Y2' com x a2z y ay2 ..j (X4 _ y2)3 a2Z a2Z 2x3--=--=-axay ayax ..j (X4 _ y2)3 a2z y Calcule -a a da função z = (x2 + y2) arc tg-.x Y x . a2z x2 _ y2 Resp.: -a a = 2 2, X Y X + Y PP13 Verifique a função z = eX seny + eY cos x é harmônica. Resp.: Sim 2 a4f Dada a função f (x, y) = yeX , determine 2 2ax ay Resp.: O Resp.: a3z 3 -= -y cosxyax3 a3z-- = - 2y sen xy - xy2 cos xyax2ay a3z -- = -2x senxy - x2y cosxyay2ax a3z -= -x3cosxyay3 , '''\ . ,:: ~ C' -- "',.."'-', PP16 Determine as derivadas parciais de 2éJ.ordem da função z = Qn.J x2 + y2. a2z x2 _ y2 Resp.: - = - ----ax2 (x2 + y2)2 a2z a2z 2xy axay = ayax = - (x2 + y2)2 a2z x2 _ y2 --= --~-ay2 (x2 + y2i Determine as derivadas parciais de H ordem da função z = are tgL... x az -y az xResp'-=--- e -=--- .' ax x2 + v'2 ay x'2 + y2 _ y az az Dada a funçao z = e are sen (x - y), calcule ax + ay' Resp.: eY arc sen (x - y) PP S xy 'fo a 3z 19 e z = e , ven lque que 2 ax ay x2 + y2 az az 3 PP20 Verifique se z = -=====tem-se x ax + y - =-2 z ...j x + y ay x - y _ õz az PP21 Prove que se z = are sen + ' entao, x -a + y -a . = o.x y x y _ / '2 2 PP22 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = Qn x - v x - y .. x + ..j x2 - y'2 a2z 2x Resp.: -2 = '2 2 3/2ãx (x - y ) a2z a2z 2y ãxay = ayax = - (x2 _ y2)312 ã2z = _ 2x (x2 - 2y2) ay2 y2 (x2 _ y2)3/2 PP23 Determine as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = x2seny + y2 senx. a3zResp.: -3 = - y2cosxax a3z ã3z a3z - - axayax = 2 cosy - 2y senxãx2ay ayãx2 a3z ã3z a3z -- - -- - ayaxay = -2xseny + 2cosx ay2ax axay2 a3z- = -x2eosyay3 2 2' aZ aZPP2S Se z = Qn (x + xy + Y ) verIfique que x ax + y ay = 2. . az az Dado z = f(tg xy), deterrmne x ax - y ay' Resp.: O PP27 Determine o ângulo no ponto (3, 4, 5) do parabolóide hiperbólico 5xy - - 12 z = O e a esfera x2 + y2 + Z2 = 50. Resp.: f) :::: 720 11' az az , I PP28 Mostre que x ax + y ay =.xy + z para z = xy + X6Y'x. ax ax ar a<p { X = r cos i{) para y = r sen 'P PP30 Verifique se para w = (x - y)(y - z)(z - x) tem-se aaW + aaW + aaW = o.x y z . DIFERENCIAÇÃO Somos uma família só - a Humanidade. E os companheiros da família mais necessitados de nós são aqueles irmãos sofredores e menos preparados para as lu tas da vida. Seja a função z = f(x, y) definida e contínua na regiâ;oD C 1R2• Atribuamos a x e a y os acréscimos b:.x e b:.y, respectivamente. O acréscimo total, como Vimos no Capo lI, será b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y). Por outro lado, no Capo V do Volume I, para a função de uma variável, y =f (x), vimos que o acréscimo da função b:.y = t' (x) b:.x + 11b:.x '---v-----' '--y--/ parte parte principal secundária dy Então, tiramos para b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y) o valor b:.z = [f~(x, y)] b:.x + 111b:.X+ l(;J (x, y)] b:.y + 112t:.y b:.z = [f~(x, y)] b:.x + [f;(x, y)] b:.y + 111b:.X+ 112b:.y \~-----v /, v--_./ parte principal parte secundária dz Logo a diferencial total da função z = f (x, y) nos é dada por dz - = lf'x (x, y)] ~x + li;(x, y)] ~y ou em que dx e dy são as diferenciais das variáveis livres x e y, respectivamente. Para o caso de função de 3 ou mais variáveis, procedemos da mesma forma. Assim, se aw aw aww = f(x y z) => dw = - dx + . - dy + - rlz, , ax ôy az Exemplos: E1 Determine a diferencial total da função z = 4x2y - tg(2x - y). Solução: Vimos que dz = ~: dx + ~; dy. Determinemos, pois, as derivadas parciais de 1~ ordem de z. az 2ax = 8xy - 2sec (2x - y) dz = [8xy - 2sec2(2x - y)]dx + [4x2 + sec2(2x - y)]dy Ez Determine a diferencial total da função w = eXY - 4 xz + yz _ aw ax aw Soluçao: dw = -dx + - dy + - dzax ax az aw xy 4-=ye - zax aw-=-4x+yaz Então, dw = (yexy - 4z)dx + (xexy + z)dy - (4x - y)dz 3.2 - APLICAÇÕES Seja a barra prismática de dimensões x, y e z fixada num suporte S. Apliquemos à extrenúdade livre uma força F. A barra sofre uma deformação medida pela variação de volume. O volume inicial é xyz. O volume acrescido é (x + .ôx)(y + b-y)(z + .ôz) O acréscimo de volume nos é dado por .ôV = (x' + b-x)(y + .ôy)(z + .ôz) - xyz .ô V ...;~+ xz!::,.y+ yzb-x + z!::"x!::"y+ xy!::"z + + x.ôy.ôz + y!::,.x!::,.z+ !::,.x!::,.y.ôz- ~ .ôV = (yz!::"x+ xz!::"z+ xy.ôz) + + (z.ôx!::,.y+ xb-y.ôz + y!::,.x.ôz + !::"x!::,.y!::"z) .ô V :::yz.ôx + xz.ôy + xy.ôz I CD av-=yzax . ~; = xz e I dV = yz!J.x + xz!J.y + xy!J.z I @ av-=xyaz Comparando CD e (3) Na prática fazemos a deformação igual à diferencial. -~------------- Como vimos no Capo V do Volume I, !J.x = X2 - Xl = dx, erro absoluto na variável x, dx. 1 .. sa- e o erro re atlvo = -x x e 100 dx é o erro percentual = IDOs,x .. E1 Deseja-se medir a distância dos pontos A e B separados por um obstáculo. Mediram-se, então, as distâncias x e y com erro de 3% em cada uma. Deter- mine o erro percentual cometido em AB" AB = ~= f(x, y) z =.J x2 + y2 A Obstáculo ~'<:.. xii' I 7/ ! ~~ IY L/i;i/ ! ----- ~ J B x C 1Q) Cálculo do erro absoluto O erro absoluto é a diferencial dz az azs =dz=-dx+-dy a ax ay Calculemos as derivadas parciais de 1~ ordem _a_z = 1 2x = x ax 2 ~ x2 + y2 ~ x2 + y2 _az_ = 1 2y = Y ay 2 ~ x2 + y2 .J x2 + y2 Ea = dz = _..=-x..=-dx-=--===+ --;=y=d=O'==-v'x2 + y2 .J x2 + y2 29) Cálculo do erro relativo O erro relativo dz .QA...! E =- \..' r Z Dividamos, então, o erro absoluto dz por z xdx + ydy dz _ v' x2 + y2 .J x2 + y2 Z - vx2 + y2 _d_z= xdx + ydy z x2 + y2 x2 + y2 39) Cálculo do erro percentual O erro percentual é o erro relativo multiplicado por 100 dz Ep = 100-z Portanto, E = 100( xdx + ydy \ p x2 + y2 x2 + y2) Como vimos no problema, o erro percentual em x e em y foi de 3%. Logo: 100 dx = 3 => dx = 3x x 100 Substituindo fórmula de Ep E - 100( x ~ + y ifo \ p - x2 + y2 x2 + yi) Ep = 100 [ 3x 2 + 3y2 ] l00(x2 + y2) l00(x2 + y2) Ep = 3C.:y' + x/; yi) x2 + y2 Ep = 3---x2 + y2 Ep = 3% Ez Num triângulo os lados x e y mediram 2 dm e 10 cm com erros de 0,0005 cm e 0,0002 cm, respectivamente, e o ângulo a por eles formado mediu ; rd, com erro de ~ rd. Determine o erro relativo cometido na medida z do lado oposto ao ângulo a. De acordo com o enunciado do problema, x = 2dm= 20 em e dx = 0,0005 em B y = 10 em e dy = 0,0002 em 1T v'3 a =3rd e da = 100 rd A medida z do lado BC depende das medidas x de AC e y de AB e da medida a do ângulo A. Assim, z = f (x, y, z). Determinamos a lei f pela lei dos eo-senos , Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa ==--=--> z = .v x2 + y2 - 2xy cosa O erro absoluto cometido em z nos será dado por dz = ~ dx + ~ d + az daax ay Y aa DIFERENCIAÇÃO 57 oz 1 (2x - 2y cos a)- -ox 2 y'x2 + y2 - 2xycosa oz 1 (2y - 2 x cos a)z - -oy 2 y'x2 + y2 - 2xy cosa oz 1 (- 2xyX- sen a)--oa 2 y'x2 + y2 - 2 xy cos a Tiramos dz = x - y cos a dx + y - x cos a dy + y'x2 + y2 - 2xy cosa y' x2 + y2 - 2xy cosa + xy sen a .--da vi x" + y2 - 2xy cos a x - y cos o: d Y - x cos o: d xy sen o: d -------- X -I- ------- Y + ------- o: dz _.J x2 + y2 - 2xy coso: .J x2 + y" - 2xy coso: J x2 + y" - 2 xy coso: z - J x2 + y2 - 2xy coso: dz _ (x - y COS0:) dx + (y - x COS0:) dy + (xy sen 0:) do: Z - x" + y2 - 2xycoso: 1/2 112 ../3/2 ~ ~ ,,-A-.. dz (20 - 10COS-f) 0,0005 + (10 -, 2ocosi) 0,0002 + (20' 10sen~)~ -= z 20" + 102 - 2 • 20 • 10 cos ; _dz _ 15 • 0,0005 + O + 3 z 400 + 100 - 200 dz 3,0075 1,0025 -= =z 300 100 dz= 0010025 z ' Vimos no item 3.1 que o acréscimo total da função z = f(x, y) é !:lz = f(x + !:lx, y + .6.y) - f(x, y) Então,transpondo f(x, y) --> f(x + .6.x, y + .6.y) = f(x, y) + .6.z CD az az . CDComo ôz = ax dx + ay dy + 17tÔX + 112ÔY a Igualdade 1 fica: az azf(x + ôx, y + ôx) = f(x., y) + ax dx + ay dy + 1hÔX + 1l2l:iy , " \ ./ v infinitésimo dz de ordem superior . az azf(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x,y) + ax dx + ay dy I f(x + Ôx, y + ôy) == f(x, y) + dz I Exemples: E1 Calcule o valor aproximado de J (3,96)3 •V (8,002)2. Solução: 1. Fórmula: f(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x, y) + dz 2. Substituição de f: J(x+ ÔX)3 tt (y + Ôy)2 -::::.# VY2 + dz 3. Determinação de dz: x + D.x = 3,96 x =4 Subtraindo ==--=----"> D.x = - 0,04 --> valor mais aproximado de x + D.x, que admite raiz quadrada exata y + D.y = 8,002 Y = 8 =='> valor mais aproximado de y + D.y, ===> D.y = 0,002 que admite ~~C1JJ?!~ª..~xata Substituindo em CD v' (3,96)'!j (8,002)2:::.,j43W +;.J4W (-0)04) + ; 4#(0,002) .J (3,96)3 V (8,002)2:::: 23 • 22 + ~ 2 • 22 (- 0,04) + ~ 4 ; 2 0,002 .J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,~16 .J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,0053 .J (3,96)3 V (8,002)2 ,.., 31,5253 E2 Calcule o valor aproxfinado de J 36,24 ..tg 44° 40'. ~ Solução: 1. Fórmula: f(x + D.x, y + D.y) ::::f(x, y) + dz 2. Substituição de f: .J (x + D.x) tg (y + D.y) ::::y'; tg Y + dz 3. Determinação de dz: z = f(x, y) = yX tgy x + b.x = 36,24 x = 36 --> b.x = 0,24 e y + b.y = 44° 40' y = 45° (pois tg 45° = 1) ==> b.y = - 20' ===> b.y = - ~~.0,017 = -0,0056 (veja CapoV do Volume I) Substituindo em Q) .j 36,24 tg 44° 40' ::: ../36 tg 45° + C~ tg 45°) 0,24 + + (../36 sec2 45°)(-0,0056) .j 36,24 tg 44° 10' ::: 6 . 1 + 2 ~ 6 1 . 0,24 - 6(.}r)2 0,0056 ~ 36,24 tg 44° 10' ~ 6 + 0,02 - 0,0672 ~ 36,24 tg 44° 10' ,.....,5,9528 A diferencial de uma função z =f (x, y), normalmente é ainda uma função de . , d . d . . ô z .f' ( ) Ô z f' ( ) figx e y, Ja que as enva as parcIaIs. ôx = x x, y e ôy = y x, y que I uram nela são funções de x e y. Se as funções derivadas parciais sucessivas de f (x, y) forem contínuas, pode- remos calcular as diferenciais totais de ordem superior. Desta forma, a diferencial de 2~ ordem é a diferencial de dz: d (dz) = d2z A diferencial de 3~ ordem é a diferencial da de 2~ ordem d (d2z) = d3z Tomemos z = f (x, y) com ÔZ ÔZdz=-dx+-dy ôx ôy d (dz) = d (~~ dx + ~; dY) d2z = d (~~ dx) + d (~; dY) (diferencial de soma) d2z = [ d (;~) ] dx + ;~ [d (dx)] + [ d (;;) ] dy + + ~; [d (dy)] CD (diferencial de produto) ôz ôx = t ôz-=JJ. ôy d (ôz) = dt = E.!.dx + El.. d f2\ ox ôx ôy y \.V ( ô z ) ô JJ. Ô JJ. /i)'-d - = dJJ. = - dx + - dy ( 3 ôy ÔX ôy' . f1\ ôz (;\ ÔZ SubstItuamos em 0 t por ÔX e em 0 JJ. por ôy Q) => d (~~) = [ô~ (~~)] ®=>d(~;) =[ô~ (~~)] 0=> dG~) '3' =-=> d (ÔÔyz) =Ê- dx + ô2z d\.V ôxôy ôy2 y (~:) ] dy (~;) ] dy a2z axay dx dy r A , d2z = a2Z (dx)2 + a2Z d dx + az d2xaX2 ayax Y aX Para x e y variáveis independentes, suas diferenciais de H ordem são constantes e as de 2~ ordem, conseqüentemente, são nulas. dx = constante ==~->- d2x = d (dx) = d (constante) = O dy = constante ====>: d2y = d (dy) = d (constante) = O Com esta simplificação a igualdade 0 se reduz a Para facilitar a memorização da fórmula de d2z, podemos usar o quadrado da soma indicada de 2 parcelas, convencionando-se que o índice 2 seja expoente nas diferenciais dx e dy e seja ordem de derivação nas derivadas parciais. d2z = (az dx + az dY) 2ax ay d2z = a2z (dx)'- + 2 a2z dx d + a2z (d )2ax2 axay Y ay2 Y '------v----" ---v / '------v----" quadrado dobro do 19 quadrado do 19 pelo 29 do 29 Podemos determinar d3z da mesma forma que o fizemos para d2z e com a consideração que dx e dy sejam constantes, d2x = d3x = O e d2y = d3y = O. Então: d3z = (_o_z dx + _o_zdY) 3 ====> d3z = _03_Z(dx)3 +ox oy ox3 '--y-----/ cubo do 19 + 3 03Z (dx)2dy + 3 03Z dx (dy)2 + 03Z (dy)3 02xoy . oxoy2 oy3 ---v .J ~--v I '---v-------" 3 x quadrado 3 X 19 pelo quadrado cubo do 29 do 19 pelo 29 do 29 (o expoente na derivada indica ordem de derivação e na diférencial in~~c3:potência). Exemplos: E1 Determine a diferencial de 2~ ordem da função z = sen (2x - y). Solução: A fórmula de d2z na forma sintética é: d2z = (oz dx + oz dY\" 3x oy) Desenvolvendo, vem: 02. 32 02d2z = -2 (dx)2 + 2 _z_ dx d + --.:. (d )2 3x2 3x oy y oy~ lY . 02Z -2 = -4sen(2x - y) oz . ox-o = 2cos(2x - y) , . x 02Z 02Z oz oxoy oyox -= -cos(2x - y)oy . 02Z - = -sen(2x - y) oy2 Substituindo na fórmula de d2z, resulta d2z = [-4sen(2x - Y)](dx)2 + [4sen(2x - y)ldxdy - - [sen(2x - y)](dYi ~ Determine a diferencial de 3a ordem da função z = eX cos y. Solução: A fórmula de d3z é d3z = (3 z dx + 3Z dY) 33x 3y 3z C -= eXcosy3xz = eX cosy 3z xay = -e senYL Substituindo na fórmula de d3z, resulta: d3z = (eX cosyXdx)3 - 3 [eX seny](dx)2dy - 3 [eX cosy]dx(dy)2 + + [eX seny](dy)3 Para a diferencial de ordem n, podemos tomar a forma sintética e para usá-Ia usamos o desenvolvimento pelo "Binômio de Newton". 3.3.4 - FUNÇÕES DE 3 OU MAIS VARIÁVEIS aw aw aw w = f(x,y, z)--> dw = -a-dx + -a-dy + -a-dzx y z d2w = (~; dx + ~w dy + ~: dZ) 2 (quadrado da soma indicada de y 3 parcelas) [ aw aw aw]nw = f(x,y, z) --> dnw = -a- + -a-dy + - dzy y az Para mais de 3 variáveis, procedemos da mesma forma: Assim, se t = f (xl> X2,X3,... , xm)· n [at at at at]12d t= -dXl+-dx2+-dx3+""+-a-dxmaXl aX2 aX3 Xm Determine as diferenciais totais de 1~ ordem em cada caso. PR 1 z = e2narc1gxy _ az az Soluçao: dz = - dx + - dyax ay F.P. Qnz = Qnarctgxy z = arc tgxy 3z 1 [ 3x = 1 + (xy)2Y ydx + xdy z => dz = --_~- 3z = 1 x 1 + X2y2 3y 1 + (xy)2 .J x2 - y2 PR2 Z = Qn ----. 2xy _ 3z 3z Soluçao: dz = - dx + - dy 3x 3y 1F.P. z =2Qn(x2 - y2) - Qn 2 - Qnx - Qny y2dx x2dydz = ---- ----- X (x2 _ y2) Y (x2 _ y2) y3dx _ x3dy dz=---- xy (x2 _ y2) PR3 w =~ +L+-=-y z x _ 3w 3w 3wSoluçao: dw = - dx + -dy + - dz 3x 3y 3z F.P. w = xy-I + yz-I + zx-I 3w -I -2 1 Z x2_yz-=y -zx =---= 3x Y x2 x2y élw _ . -2 + -I _ X + 1 _ -xz + y2- - -~y Z - - - --ély y2 Z y2z él w _ -2 + -I _ - y + 1 _ - xy + Z2- - -yz x -- -- 3z Z2 X xz2 2 ·2 2 dz = x - yz dx + y - xz dy + z - xy dz x2y y2z XZ2 PR4 W = e2n(Qnxyz) _ aW aW aW Soluçao: dw = - dx + - dy + - dzaX ay aZ F.P. Qnw = Qn(Qnxyz) w = Qnxyz w = Qnx + Qny + Qnz aw 1-=-ax x aw 1 -=-ay y aw -az Logo: -dw = dx +!!l.- + dz . x. y z PR 5 .Na medida da aceleração da gravidade g usou-se a fórmula h = ; gt 2• Calcule o erro percentual resultante das medidas de h e t, com erros de 1%. dh100-= 1% h dt100- = 1% t 2h g=f Procuremos o erro percentual em g, que é Ep = 100dg.g dg = ~ dh + ~dt CDah at 2hDe g ==- t2 Substituamos em CD . 2 4h dg == - dh - - dt t2 t3 dg = dh _ 2 dt g h t O erro percentual é t.p = 100 dg, isto é, o erro relativo multiplicado por 100.g E:p = 100 g = 100 dh - 2 • 100 dth t Nota: Os erros cometidos podem ser por falta ou por excesso, portanto, negativo ou positivo. Para apreciarmos o erro máximo possível, no nosso caso, tomamos o erro dt100 - = -1 t 100 dh == 1 h !00 dg = 1% - 2 (- 1%) == 1 + 2 == 3% g PRó No cálculo do comprimento Q de um pêndulo, usou-se a fórmula T == 211'A, O período da oscilação mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e g, acele- ração da gravidade mediu 10 m/ç2, com erro de 0,01 cm/ç2. Calcule o erro relativo em Q. Solução: Do problema tiramos T = 2 s e dT = 0,001 s g = 10 m/s-2 = 1.000 cm/s-2 e Procuremos dQQ, então, de T = 21Th vem: Como queremos d~, dividamos ambos os membros por Q dQ = 0,01 cm/s-2 + 0,001 s Q 1.000 cm/s-2 2 s ~Q = 0,00001 + 0,0005 dQ = 000051Q , As diagonais de um losango mediram 8 e 6 m com erros de 2 e 3 cm, respec- tivamente. Calcule o erro percentualcometido na sua área. Solução: Do problema tiramos:--~T x =D = 8 m = 800 cm ey = d = 6 m = 600 cm dx=2cm -< Jdy=3cm A =f(x,y)->A =1'I I __.-1._. I i [ ~~=~ . De A = X; Então, da Q) => dA = ~ dx + ~ dy aA x -=-ay 2 Ldx ~dy _dA_ = 2 +_2_ A xy xy 2 2 dA = dx + dy A x y Substituindo pelos valores dados no pro~lema, dA 2 3 A = 800 + 600 dA 1 1 3 A = 400 + 200 = 400 dA Ep = 100 A' logo: Sp = 0,75% PRs Calcule o valor aproximado de (sen 30° 10')(cos 59° 50'). Solução: 1. Fórmula: f(x + !::J.x,y + !::J.y)::::f(x, y) + dz 2. Substituição de f: sen (x + !::J.x)cos (y + !::J.x)::::sen x cosy + dz 3. Determinação de dz: z = f(x, y) = senx cosy ôz Ca = cosx cosyz x=> dz = (cosx cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y =>ôz- = -senx senyôy => sen(x + !::J.x)cos(y + !::J.y)::::senx cosy + (cosx cosy)!::J.x - - (senx seny)!::J.y , x + !::J.x= 30° 10' x = 30° , 10' => !::J.x= 10 ==--==---->!::J.x= 60' • 0,017 = 0,003 e y + !::J.y= 59° 50' y = 60° ===> !::J.y~ - 10' ===.> !::J.y= - 0,003 Substituindo na CD => ==:==>" sen 30° 10' cos 59° 50' ~ sen 30° cos 60° + (cos 30 cos 60)0,003 - (sen 30 sen 60)(- 0,003) 300' o, 1 1 V3 1 1 y'3" sen 10 cos 59 50 :::::.2" 2" + 22"0,003 + 2"-2- 0,003 sen 30° 10' cos 59° 50' =.1 + 2 • 0,003 VI - 4 4 sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,25 + 0,0026 sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,2526 PR9 Calcule o valor aproximado de J (3,86)3 X 36,74 sen 150° 10'. Solução: Temos uma função de 3 variáveis independentes w = f(x, y, z) 1. Fórmula: f(x + 6.x, y + 6.x, z + 6.z) :::::f(x, y, z) + dw 2. Substituição de f: ..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::J x3y senz + dw 3. Determinação de dW: ow ow owdv..: = - b.x + - b.y + - 6.z ox oy oz w = f(x, y, z) =..j x3y senz ow 1 2- = ---3x ysenz ox 2 ..J x3y d 3x2y senz A +=> w = 2..j x3y uX ow r7C:-- = V x3y coszOZ x3senz rr::+ ;-::;:::6.y + V X'Y cosz 6.z -->2vx~ . => ..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::..J x3y senz + 3 2 3+ x y sen z A + x sen Z A + ~ A CD~ uX ~ uy V .~"'Ycosz uZ 2 vx3y 2 vx3y x + 6.x = 3,86 x =4 --> 6.x = - 0,14 y + b:.y = 36,74 y = 36 => 6.y = 0,74 z + 6z = 150°10' z = 1500 10' . => 6z = 10' ==> 6z = 60' • 0,017 = 0,003 Substituindo na CD > => ..j (3,86)336,74 sen 1500 10' '" ..j 43 . 36 sen 1500 + ~ sen 30° 3· 42• 36sen1S0° (-O 14) + 43sen150° 074 + + 2 ..j 43 . 36 ' 2 ..j 43 . 36 ' + (v'43 '36 cos 150°) 0,003 13 . 16 . 36 .- )(3,86)336,74 sen 150° 10' ::::::23 • 6 . ; + .2 •. 2 • 23 • 6 64 • 1. . (-0,14) + 2_ . 0,74 + 23 • 6 . _V3_3. 0,003 2 . 23 . 6 2 )(3,86)336,74 sen 150010' ::::::24 - 1.26 + 0,246 + 0,125 ) (3,86)336,74 sen 150010' ::::::23,111 PI'it Ul Calcule o valor aproximado do número (0,998)4.003. Solução: A função é do tipo z = xY 1. Fórmula: f(x + 6.x, y + 6.)) ::::::f(x, y) + dz 2. Substituição de f: (x + 6.xY'+6y ::::::xY + dz 3. Determinação de dz: az azdz = -::- 6x + - 6yox ay [ ~=YXY_1ax De z = xY =-==--=--> dz = yxY -1 6.x + az Y- = x Qnxay + (xY Qnx)b.y ==> (x + b.x)Y+6Y :::: xY +- yxY-1b.x + + (xY Qnx)b.y CD 4. Adaptação ao exercício: x + b.x = 0,998 x = 1 ====>: b.x = - 0,002 y + b.y = 4,003 Y =4 --> 6.y = 0,003 Substituindo na CD (0,998t,003:::: 14 + 4 • 13(-0,002) + (l4Qn 1)0,003 '--.r-" O (0,998)4,003 :::: 1 - 0,008 (0,998)4,003 '" 0,992 PR 11 Determine a diferencial total, de 2? ordem da função z == x3 + 2 x2y - - 4xy2 - 2y3. Solução: d2z == (az dx + az d ) 2 = a2z (dx)2 + 2 ~ dx d +ax ay Y ax2 axay Y + a2z (d .)2ay2 Y d2z = (6x + 4y)(dx)2 + 2(4x .- 8y)dxdy - (8x + 12y)(dyi x PR 12 Calcule a diferencial total de 3? ordem da função z =!.-.ye Solução: A fórmula de d3z é: d3z = [az dx + az d ] 3 = a3z (dx 3 + 3. a3z . (dx)2d . +ax ay Y ax3) ax2ay y + 3. a3z dx (dy)2 + a3z (dy)3 axa2y ay3 . x Determinemos as derivadas de 3~ ordem da função z = ey = eX - y e .. az _ x-y r - - e 1ax ay Determine as diferenciais totais de 1~ordem em cada caso: PP1 z = e2n J 2xseny-y2 Resp.: dz = (seny)dx + (x cosy - y)dy.J 2x seny _ y2 x+yz~sen-.-- 1 + xy Resp.: dz = [ 1 - y2 cos (1 + xy)2 . x + Y ] dx + [ 1 - x2 x '+ y ] d 1 + xy (1 + xy)2 cos 1 + xy . Y x-yz= x + Y R . d - 2 y dx - 2 x dy esp.. z - (x + y)2 pp4 W = xyeZ - xzeY + yzeX Resp.: dw = (yeZ - zeY + yzeX)dx + (xeY - xzeY + zeX)dy + + (xyeZ - xeY + yeX) dz PPs )Na medida da aceleração da gravidade usou-se a fórmula T = 217' fi,. Vg' tendo o comprimento Q do pêndulo medido 1 m, com erro de 0,01 cm, e o período da oscilação 2 s com erro de 0,001 s. Calcule o erro percentual cometido em g. Resp.: 0,9% , " - ....•.• , ,......•..• , " PP6 Na medida da distância dos pontos A e B, em virtude do obstáculo O, foi necessário medir as distâncias AC = 150 m e BC = 200 m, perpendiculares, com erros de 1% e 2% respectivamente. Determine o erro absoluto em AB = z e o erro percentual em a. da Resp.: dz = 4,1 m e 100 - = 2,2%a PP7 A área de um losango foi medida, determinando-se as medidas de suas diagonais. A diagonal maior mediu 100 cm com erro de 0,002 e a diagonal menor 50 cm com erro de 0,004. Calcule o erm absoluto cometido na área do losango. Resp.: 15 cm2 PPs Na determinação da medida do volume de um cone foi cometido um erro em virtude dos erros de 2 • 10-3 e 1 . 10-3 cometidos, respectivamente, nas medidas do raio e da altura. Calcule o erro percentual no volume. Resp.: 0,5% PP9 Na medida do pe;íodo de oscilação de um pêndulo (T = 2" A)cometeu-se um erro motivado pelos erros cometidos nas medidas do comprimento Q e da aceleração g,que foram de 0,001 e 0,002, respectivamente. Calcule o erro relativo em T. . PP 1. Calcule o erro relativo cometido na medida do volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que nas medidas de suas dimensões foram cometidos os erros de 0,02; 0,04 e 0,04, respectivamente. Resp.: 0,10 sen 29° 55' 'Pu Calcule o valor aproximado de tg 45° 30' Resp.: 0,4903 PP12 Calcule o valor aproximado de -y!57 cos 59° 50'. Sugestão: O número quadrado perfeito bastante próximo de 57 é 56,25. ' Resp.:· 3,793 24,936 81,082 . Resp. 0,5545 PP14 Calcule o valor aproximado de .J (4,99)3 - (2,02)2. Sugestão: x + 6.x = 4,99 Y + 6.x = 2,02 Resp.: 10,96 x=5 y=2 PP1S Calcule o valor aproximado de sen 29 0 cos 610• Resp.: 0,235278 j 1 +x (I + y)(1 + z) Sugestão: Faça corresponder a x + D..x o valor 1 + x, o que dará D.x = 1. Proceda da mesma forma para 1 + Y e 1+ z. Resp.: Ai [1 + ; C - ~ - ~)] PP17 Calcule o valor aproximado de V sen 30° 5' + cos 59° 58'. Resp. : 1,00055 PP18 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função z = x2seny + y2senx. Resp.: d2z = (2 seny - y2 senx)(dx)2 + (2 senx - x2 seny)(dy)2 + + 2(2x cosy + 2y cosx) dxdy PP19 Determine o diferencial de 2:(1 ordem da função w = eXYz. Resp.: d2w = wy2z2(dx)2 + X2Z2W(dy)2 + X2y2W(dz)2 + + 2 w(l + xyz)(z dx dy + ydxdz + x dydz) PP20 Determine a diferencial de 3:(1 ordem da função z = Qn~.y 2 2 Resp.: d3z =3' (dxY -"3 (dy)3 X Y PP21 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função w = eX Qn xy. ( 2ex eX ) 2exResp.: d2z = eX Qnx + -- - 2 + eX Qny (dx)2 + - dxdy - x x Y eX__ (dy)2 y2 4 , j I'-o .I ! I FUNÇÕES COMPOSTAS A esperança e a alegria são remédios preciosos na farmácia da alma. 4.1 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE UMA VARIÃVEL INDEPENDENTE Neste caso, z depende da única variável t e, para calcular sua derivada :' podemos eliminar as variáveis intermediárias x e y, fazendo z = /111 (t), /2 (t)] = = F(t) e derivar diretamente z em relação à t. Procederemos de outra forma, sem eliminar x e y, estabelecendo uma regra de cadeia. Para tanto, no ponto t, atribuamos à variável t um acréscimo D.t. Corres- ponderão os acréscimos ~x e D.y às variáveis x e y, e à função z, oacréscimo D.z. Assim: D.x = /1 (t + D.t) - /1 (t) D.y = /2 (t + D.t) - /2 (t) Como z = / (x, y) é diferenciável ==> az az-> D.z = ax D.x + ay ó,y + 771.6.X + 772D.y ~o ~o -> o ~o I" f::.z dZ}" 6.x + dZ l' 6.y + I' 6.x + 1 f::.y'1m - = - 1m - - 1m - 1m T'/l - im T'/2 A t !H-O f::.t dX 6t-O 6.t dY 6t-"'0 6.t 6t-o 6.[ 6t-o u '--v---" '----y------" '-----v---" ~-v / '-v-------' dz dx dy O O dt dt dt Esta fórmula se estende para o caso de Z = l(xI, X2, X3, .•. , xn) onde cada Xi é função diferenciável da variável t: dz dZ dXl dZ dX2 dZ dxn-=--+--+ +--dt dXl dt dXz dt . . . dXn dt dz In dZ d:xi dt =" dX' d;- I = 1 1 Exemplos: E1 Determine a derivada de Z = x 3 - 4x2y + xy2 - y3 + 1, com x = sent e y = cost. Solução: Notamos que Z = I (x, y) e x = 11 (t) e => z = 1[11 (t), 12(t)] = F (t) Determinamos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de x e y em relação à t az 2 C ax = 3x 2 - 8xy + Y z az 2 2- = - 4x + 2 xy - 3yay dx dt = cos t dy = -sent dt E2 No exercício anterior, calcule a derivada no ponto t = ~. Solução: Como ~~ = (3x2 - 8xy + y2) cos t + (4x2 - 2xy + 3y2) sen t calculemos: 1T 1 x = sen"6=2" 1T -vf3 y=cos-=-- 6 2 Sb' 'd dzu StItUlD o em dt' vem: dz = (3 . 1-_ 8 . 1. . ..j3+1)cos 1T + dt \ 4 2 2 4 6 +4 .l._ 2 .l.. v'3 + 3 .1-)sen!!. \ 4 2 2 4 6 dz = (~_ 2 v'3 + 3) y'3 + (1 _ y'3 + 9) . .l- dt \4 4 2 \ 2 4 2. . dz =~. y'3 -2y'3 . ..j3 +.!i .1._ V3 . .l- dt 4 2 2 4 2 2 2 dz = 3 v'3 _ 3 + 13 _ v'3 ) dt 4 8 4 dz 2..j3 11 -=----dt 4 8 _dz = _4 •..•...Y3_3_-_I_I__ o dz = _(11 - 4 Y3) dt 8 --.> dt \, 8 F 3 Derive w = eXYz, com x = 2 t, Y = 1 - t 2 e z = 1 + t. Solução: Como vemos, w = f (x, y, z) com x = fI (i); y . f2 (t) e z = = f3(t). Então, w = f (fI (t), f2 (t), f3 (t)] ==> w = 'P (t) Logo: dw = aw dx + aw dy + aw dz CD dt ax dt ay dt az dt aw' dx- = yzexyz -=2ax dt aw !!z = -2tw - = xzexyz eay dt aw xy dz-=xye Z -= 1az dt Substituindo em CD => dw==> - = 2yzexyz - 2 txzexyz + xyeXYz dt dw = eXYz (2yz - 2 txz + xy) dt 4.2 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE 2 OU MAIS VARIÃVEIS INDEPENDENTES Seja a função z = f (x, y) uma função diferenciável e suponhamos x = = f1 (s, t) e y = f2 (s, t), também diferenciáveis. Neste caso, z depende das variáveis s e t e,. para calcular suas derivadas ". az az d 1" ., . . d"' . f dparcIaIs a:; e ai' po emos e lmmar as vanavelS mterme lanas x e y, azen o z = fft1 (s, t), f2 (s, t)] ==>- z = F(s, t) e derivar z, parcialmente, em relação à variável s e em relação à t. Procederemos p~la regra de cadeia: az = az ax + az ay as ax as ay as az = az ax + az ay at ax at ay at Exemplo: z = senxy + eX-Y, onde x = p sen O e y = p cos O. Solução: z = f(x, y), onde x = fi (p, O) e y = f2 (p, O) --> z = F (p, O). Logo: az = az ax + az ay ap ax ap ay ap az = az ax + az ay ao ax ao ay ao CD Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadas parciais de x e y em relação às variáveis p e O. C ~~= y cosxy + eX-Y z = senxy + eX-Y az X-Y- =xcosxy - eõy C élx= sene C ély= coseélp élpx = pscne y = pcoseÔX ôyãe=pcose ae= -psene Substituindo nas fórmulas CD --> ;~ = (ycosxy + eX~Y)senO + (xcosxy - eX-Y)cosO ~; = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy - eX-Y)psenO Admitamos a função w = f(x y, z) com x = fi (p, O), Y = f2(P, O) e z = f3(P, O), todas diferenciáveis. w = f Ifl (p, 0),12, (p, O), f3 (p, O)] --> w = F (p, O) As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCIaiS e w sao a p e ao ' aSSImc C a as: Já a função z = f (x, y), onde x = fI (p, (J, a), y = f2 (p, O, a), todas diferen- ClavelS==>.z = f ftl (p, O, a), f2 (p, O, a)] --> z = F (p, O, a) e suas deri- vadas parciais: az = az ax + az ay ao ax ao ay ao az = az ax + az ay aa dX aa ay aa Como vemos, mediante esta regra, podemos estabelecer fórmulas de deri- vação, qualquer que seja o número de variáveis independentes. Exemplo: Determine a~ derivadas parciais de z = 2x2y - 4xy'2 - y3, onde x = p2 Osen a e y = pO cos 2 a. Solução: Em última análise, z = F (p, O, a). Então, suas derivadas parciais az az az . , ap' ao e aa podem ser calculadas pelas formulas az = az ax + az ay ap ax ap ayap az = az ax + az ay ao ax ao ay ao Calculemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadas parciais de x e y em relação às variáveis p, O e a. az 2-. = 4xy - 4yax a .-.!... = 2 x2 - 8 xy - 3y2ay ax ap = 2pOsena ay = O cos2aap ay - = pcos2aao ax 2- = p senaao ax 2-= P Ocosaaa ay = -2pO sen 2aaa Exemplo: z = senxy + eX-Y, onde x = p sen O e y = p cos O. Solução: z = I(x, y), onde x = 11(p, O) e y = 12(p, O) --> z = F(p, O). Logo: az = az ax + az ay ap ax ap ay ap az = az ax + az ay ao ax ao ay ao CD Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadas parciais de x e y em relação às variáveis p e O. C ~~= y cosxy + eX-Y z = senxy + eX-y ÕZ x-y- =xcosxy - eõy ( õX=sen8 ( õy =cos8õp õp x = pscn8 y = pcose õX õy- = p cose - = - p sen eõe õe Substituindo nas fórmulas Q) ==> ~~= (y cosxy + eX~Y)sen O+ (x cosxy - eX-Y) cos O ~~ = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy:"'- eX-Y)psenO Admitamos a função w =I (x y, z) com x = 11(p, O), Y = 12(p, O) e z = /3 (p, O), todas diferenciáveis. w = / [(1 (p, 0),12 (p, O), 13 (p, O)] ==> w = F (p, O) As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCl3.1Se w sao a p e ao ' assun c c a as: O oz= (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap • 4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e y variáveis livres, sua diferencial oz oz dz=-dx+-dy ox oy Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentes p e O. Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) --> ==> z = f [(1 (p, O), f2 (p, O)] ===>" Z = F (p, O) Então a diferencial dz = oz d + àz dO op p 00 CD dx = ox d + ox dOop P õ'e dy = oY dp + oy dOop 00 ® Multipliquemos a0 por ~~ e a0 por ~;: OZ dx = OZ OX d + oz ox dO OX OX op p ox 00 OZ d = az ~ d + az ~ dO ay Y ay ap p ay ao Somanrfo membr-o a membro az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay lY ax ap a~ ap p ax ae ay ae '---v'---/' v ,/ \ V' j az az 6l1"\ dz = ap dp + ae de ~ Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen ~ e y = p2e. az- =y - 8xax ax- = seneap az -=xay ax- = pcos()ae az dz dx dZ ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen () + x 2 p() dp ax ap ayap az az ax az ay 2- = - - + - - = (y - 8 x) p cos () + xpae ax ae ay de dz = [0' - 8x)sene + 2pexld~ + [0' - 8x)pcos() + p2X] de 4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) = = O. Podemos escrever tal equação C01l}.O F [x, f (x)] = O, portanto o 19 membro da equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudo destas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo 2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O. Derivamos a função considerando y = f (x), então a parcela 2 xy3 derivamos como produto, y3 como função de função. Assim: 2y3 + 2x 3y2 dy + 2y dy + dy - 8x - 1 = Odx dx dx aaz = (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap • 4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e y variáveis livres, sua diferencial az az dz=-dx+-dyax ay Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentes p e O. Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) --> ==> z = f VI (p, O), f2 (p, O)] ==> Z = F (p, O) Então a diferencial dz = az d + ~dOap p ao CD dx = ax d + ax dOap P nO dy = ay dp + ay dOap ao ® Multipliquemos a (3) por ~~ e a ® por ~;: az dx = az ax d + az ax dOax ax ap p ax ao az d = az ~ d + az ~ dO ay Y ay ap p ay aoSomanrio membr-o a membro az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay Y ax ap a;: ap p ax ae ay ae V / , V J / V dz az az- -ap ae az azdz = - dp + - deap a8 Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen (j e y = p28. az- =y - 8xax ax- = sen8ap az-=xay ax - = pcoseae az az ax az ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen e + x 2 peap ax ap ayap az az ax az ay _ 2ae = ax ae + ay a8 - (y - 8x)pcose + xp dz = [(y - 8x)sene + 2p8xlélp + [0' - 8x)pcos8 + p2x]d8 4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) = = O. Podemos escrever tal equação corno F [x, f(x)] = O, portanto o 19 membro da equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudo destas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo 2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O. Derivamos a função considerando y = f(x), então a parcela 2xy3 derivamos como produto, y3 como função de função. Assim: 2y3 + 2 x 3 y2 dy + 2y dy + dy - 8 x-I = O dx dx dx Coloquemos : em evidência: (6xy2 + 2y + 1) : + (2y3-_ 8x - 1) = O 2 ) dy (3 8 )(6 xy + 2y + 1 - = - 2y - x-Idx . dy = _ 2y3 - 8x-I dx 6xy2 + 2y + 1 aF dy _ ax dx - - aF ay Com o estudo das funções compostas estamos habilitados a dedüzi. esta fórmula a partir do exemplo genérico F [x, y] = O. Assim: , d aF dx aF dy dx F [x, y] = axdx + ay dx= O (lembremo-nos que y = f(x)) '-v-" 1 aF + aF !lJ!... = O ax ay dx aF dy aF ay dx = - ax aF dy = _ ax dx aF ay Tomemos z = f (x, y) definida implicitamente por F (x, y, z) = O, diferenciável. Como z é função de duas variáveis independentes, ela admitirá 2 derivadas .. az az D . parcIaIs ax e ay' etermmemo-Ias: y constante em relação ax ~ ~ F (x y z) = aF dx + aF ay + aF az = O ax " ax dx ay ax az ax ~ '---y--/ 1 O x constante em relação ay ~ ~ F (x z) = aFax + aF dy + aF az = O ay ,y, ax ay ay dy az ay ~ '-v-' O 1 aF aF + aF az = O __ > _az= __ax_ ax az ax ax aF az aF aF + aF az = O > az = _ ay ay az ay ay aF az Exemplo: Derive 2x2yz - 4xy2z2 + 6xz3 - 4 yz + 1 = O. S I - D . aF aF aF E d d· - d 2o uçao: etermmemos ax' ay e az' m ca a envaçao estas, as outras variáveis são consideradas constantes. aF = 2x2z _ 8xyz2 - 4zay ~~= 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y v •• aF az ax- -- - ----ax aF az 4xyz - 4y2z2 + 6z3 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y oF oz _ õY _ 2x2z - 8xyz2 - 4z oy - - oF - - 2x2y - 8Xy2z + 18xz2 - 4y õz SISTEMAS DE EQUAÇÕES Seja o sistema formado por duas eauações de três variáveis: { f1 (x, y, z) = O 12 (x, y, z) = O onde 11 e /2 são funções diferenciáveis. Cada equação representa, como vimos, uma superfície do R3 e o sistema representa o lugar geométrico dos pontos de R3 comuns às duas superfícies, a curva intersecção das duas superfícies. Procuremos as derivadas de x e de y em relação a z. Se pudermos resolver o sistema de modo a exprimir cada uma das duas prime~ variáveis como função da terceira: x = g (z) e y = h (z), dx = g' (z) dz dY=h'(z) dz Se-não pudermos ou não quisermos explícitar as funções x e y, da variável z, aplicamos as derivadas parciais de funções compostas na determinação de : e : . Assim: r 0/1 dx + 011 dy + 0/1 dz = O ox dz oy dz oz dz--1 0/2 ri» 0/2 dy Õ/2 dz--+--+--=0 ox dz oy dz oz E! 1 af1 dx a/1 dy a/1--+---=-- ox dz oy dz az al2 dx + al2 EJ: = _ 012 ox dz oy dz az Sistema de duas equações cujas incógnitas são : e : . Calcule as derivadas : e : no ponto P (3, 1, 8). Facilmente explicitamos x e y em função de z. Somando as duas equações, membro a membro, => 2x2 + Z2 = Z + 74 j_z2+ z + 74 .x = 2 . (no ponto consIderado x > O) Subtraindo ==> - 2 y2 - Z2 = Z - 74 Y _- j~z2 - z + 74. - 2 (no ponto considerado y > O) 10) dx = 1. -2z + 1 = -16 + 1 = _ IS . dz ~2v'-Z2+Z+74 4.J-64+8+74 4.J18 20) E!l. = 1- - 2z - 1 = 1. -16 - 1 _ _ 17 . dz 2 2 v' -Z2 - Z + 74 2 2 v' -64 - 8 + 74 4 '\Íf I ~=_17j2 E D . dx dz ·t d -2 etermmemos dz e dy no SISema e equaçoes { X2 + 4 y2 + Z2 - 12 = O x2 + y2 - 2 z - 1 = O no ponto A (2, 1, 2). Apliquemos as derivadas parciais de funções compostas. à/1 dx à/1 dy à/1--+--=--àx dz ày dz õz àlz dx + àlz ~ = _ àlz àx dz ày dz àz 2X: + 8y: =-2z dx dy . 2x dz + 2y dz = 2 No ponto A (2, 1, 2) 4 dx + 8 dy = -4 dz dz 4dx+2El.=2 dz dz Subtraindo - > 6 t = - 6 > I t 1 I >1 ~~ 11 Substituindo na 2~ ddzY por - 1 ==.> 4 _dx - 2 '2 ==> I dx 1 Idz dz PR1 Derive z = xZy - 4, onde x = senO e y = cosO. Solução: Como z = I(x, y), onde x = /1(0) e y :- Iz(O) ==>" z = = 1[(1(0),/2(8)] > z = F(O). Então dz àz dx àz dy dO = àx dO + ày dO C àz = 2xyàxz àz 2- =xày dx - = cosOdO !!l... = - sen O dO dz dO = 2xy cos O - x2 sen O ~ PR2 Determine a velocidáde angular do vetar posição OP, sendo O (O,O) e P(x, y), com x = 1 - 2 t2 e y = 4 + t2, no instante t = 1 s. Solução: { X=1-2=-1 No instante t = 1 S ====> --> P(-l, 5) y=4+1=S A velocidade angular do vetar oP é w = ~~' derivada do ângulo O em relação a t, por ser o ângulo descrito na unidade de tempo. Da figura, tiramos tg O = L ==> O = X = are tgL. x Como y = g (t) e x = h (t) e O =f (x, y) > ==-> O = f fg (t), h (t)] ==> O = F (t). dO ao dx ao dyw::;;-=--+-- dt ax dt ay dt J:= -4t 1dy = 2t dt W ====>: W = dO = 4 ty + 2 tx dt x2 + y2 x2 + y2 _4ty+2tx di w- 2 2 r s x + Y { X = -1 No instante t = 1, > y = 5 4 . 1 • S + 2 . 1 (- 1)>w=---------1 + 2S 18 w = 26 9 w = - rd/s 13 De um funil cônico escoa água à razão de 36 7T cm3/s. Sabendo-se que a ge~atriz faz com o eixo do cone um ângulo a = 30°, ache a velocidade com que baixa o nível da água no funil, no instante em que o raio da base do volume líquido for igual a 4 cm. Solução: Consideremos um corte ABC do funil. B 7TR2h O volume do funil é V = -3-' Logo, V = = f(R, h), porém R = fI (t) e h = f2 (t),pois o nível baixa com o. tempo, variando a altura e o raio conforme t. dV = av dR + av dh CD (velocidade de variação do volume) dt aR dt ah dt av 27TRh-= aR 3 av 7TR2-=- ah 3 Do triângulo retângulo ABD tiramos tg a = ~ ou o R ..j3 R 3R tg30 =- >-=- >h=- >h=R..j3h 3 h ..j3 av aRNo instante em que R = r = 4 cm ==> h = 4 -J3 cm, 27T • 4 • 4 ..j3 327T..j3 av 7T. 16 161T - 3 = 3 e ah = 3 = -3- Como, ~~ = 36rrcm3/s, substituindo na CD, vem: 36rr = 32rr .v3 dR + 16rr dh 3 dt 3 dt h = R . ;-:::;-3 ===> dh = ;-:::;-3 dR === dR 1 dhV.:J dt V.:J dt > -dt =-y'3-3 -dt 36rr = 32 rr>p? 1 dh + 16rr dh 3 ~dt 3 dt 108rr = 48rr dh dt dh 108 1T dh 9 . . dt = 48 rr ---> dt = 4" cm/ s, velocIdade com que baixa a altura do líquido no funil, no instante em que r = 4 cm. PR4 Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retân- gulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de 2 cm/s cada uma e a aresta vertical decresce à razão de 1 cm/s, no instante t, em que as arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm. Solução: V = xyz, logo: V = f(x, y, z) e x = g (t), Y = h (t) e z = i (t) ~----------- -- /'~~ Por outro lado, a velocidade de variação do volume é dV , d ddt ' que nos e a a por dV = a V dx + a V ~ + a V dz dt ax dt ay dt az dt CD dx dy - = - = 2cm/s dt dt dz e dt = - 1 cm/s (velocidade decrescente) av -=yzax av = 20 X 60 = 1.200 em2aXt av -=xzay av -=xyaz av - = 30 X 60 = 1.800 em2 aYt av- = 30 X 20 = 600 em2aZt Substituindo na CD c;:; = 1.200 • 2 + 1.800 • 2 + 600(-1) c;:; = 2.400 + 3.600 - 600 dV dt = 5.400 cm3/s PRs Os lados de um triângulo em certo instante mediram 60 cm, 40 em e 70 cm. Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de 1 em/ s-1 e 2 cm/ ç 1, respectivamente, e o 3Q decresce à razão de 2 cm/ç 1, determine a veloci- dade de variação