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Sistemas de Bombeamento - Prof. Villar

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SISTEMAS 
FLUIDOMECÂNICOS 
Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 
2011 
 
 
Sumário 
 
 ii 
 
 
 
 
SISTEMAS 
FLUIDOMECÂNICOS 
 
Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 
Março de 2011 
Sumário 
 
 iii 
 
 
 PREFÁCIO 
 
 
 Nesta material são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas de 
Bombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de Engenharia 
Mecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas de 
Máquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso de 
Engenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdos 
e fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim o 
conteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilação 
industrial é fornecido adicionalmente. 
 
 O Cap.1 apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap.2 é apresentada a equação 
geral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do número 
de pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3 
são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelas 
máquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assim 
como os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadas 
as leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitos 
de rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemas 
de bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferida 
nos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas de 
bombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente o 
fenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material também 
inclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitar 
as atividades de aprendizado. 
 
 Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunos 
devem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de tal 
forma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. 
 
 A primeira versão desta apostila foi lançada em 2001, modificada posteriormente em agosto 
de 2003 e sendo lançada em 2010 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cada 
capítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Foram 
preparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos que 
eventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar as 
correções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material. 
 
Porto Alegre, março 2010 
 
Prof. Jorge Villar Alé 
villar@ee.pucrs.br 
www.pucrs.br/ce-eolica 
 
Sumário 
 
 iv 
 
 
 
 
 
CAPÍTULOS 
 
 
Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas 
 
Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo 
 
Capítulo 4 – Coeficientes Adimensionais e Leis de Semelhança 
 
Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
 
Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento 
 
Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Capítulo 8 – Cavitação 
 
Referencias Bibliográficas 
 
Anexo – Tabelas e Propriedades dos Fluidos 
Sumário 
 
 v 
 
 SUMÁRIO 
 
 
Cap.1 Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Item Conteúdo Pag. 
 Introdução 3 
1. Máquinas de Fluxo 4 
1.1 Máquinas Motrizes 5 
1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 5 
1.3 Ventiladores e Compressores 6 
1.4 Turbinas 7 
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 7 
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 8 
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 8 
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 9 
1.5 Bombas Hidráulicas 9 
1.6 Bombas Volumétricas 10 
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 10 
1.6.2 Bombas Rotativas 10 
1.7 Turbobombas 11 
1.7.1 Bombas Centrífugas 12 
1.7.2 Bombas Axiais 13 
 
Cap.2 Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Item Conteúdo Pag. 
2.1 Introdução 3 
2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 4 
2.2.1 Simplificações 4 
2.3 Potência e Energia Específica 7 
2.4 Equação de Euler 7 
2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 8 
2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 9 
2.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 12 
2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 13 
2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 14 
2.9 Grau de Reação 15 
2.10 Influência da Curvatura das Pás 16 
 Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 17 
 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 18 
 Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 18 
 Resumo Gráfico dos Resultados. 19 
 Recomendações para Ângulo das Pás 19 
2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 20 
2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) 22 
 Resumo das curvas H-Q e P-Q 23 
2.13 Representação da Curva Carasterístistica Teórica 24 
2.14 Importância do Número Finito de Pás 25 
 Escoamento com Número Finito de Pás 25 
 Desvio da Velocidade Relativa 26 
Sumário 
 
 vi 
 Dependência do Número de Pás 26 
2.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás 27 
 Fator de Correção do número finito de pás 27 
2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 28 
 Análise na entrada do canal das pás 28 
 Análise na saída do canal das pás: 29 
2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 31 
2.18 Exemplos Resolvidos 33 
 
 
Cap.3 Curvas Características e Associação de 
 BBoommbbaass SSéérriiee ee eemm PPaarraalleelloo 
Item Conteúdo Pag. 
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos 3 
3.2 Rendimentos 3 
 Rendimento Mecânico 3 
 Rendimento Hidráulico 
 Rendimento Volumétrico 
 Rendimento Total ou Global 
 Potência de acionamento 
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 5 
3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 6 
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas 6 
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) 7 
3.7 Ponto de Operação das Bombas 8 
3.8 Outras Representações de Curvas Características 9 
3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. 10 
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores 12 
3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga 13 
3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro 15 
3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff 16 
3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 17 
3.11 Associação de Bombas em Série 19 
3.11.1 Curva característica de bombas em serie 20 
3.11.2 Rendimento de duas bombas em série 21 
3.12 Associação de Bombas em Paralelo 22 
3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: 23 
3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo 24 
3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo 25 
3.14 Exemplo - Conexão Paralelo 26 
3.15 Exemplo - Conexão Série 27 
3.16 Outros Exemplos 28 
3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta 29 
3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida 30 
3.19 Problemas Propostos 34 
 
Sumário 
 
 vii 
 
Cap.4 Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
Item Conteúdo Pag. 
4.1 Coeficientes Adimensionais 3 
4.1.1 Número de Reynolds 4 
4.1.2 Número de Mach 4 
4.1.3 Rugosidade Relativa 5 
4.1.4 Coeficiente de Pressão ou AlturaEspecífica 5 
4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica 5 
4.1.6 Coeficiente de Potência 5 
4.2 Efeitos de Escala 8 
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds 8 
4.2.2 Efeito do Número de Mach 8 
4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa 8 
4.2.4 Efeito de Espessura 8 
4.3 Leis de Similaridade 9 
4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 9 
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade 10 
4.5 Modificação do Tamanho da Bomba 12 
4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: 13 
4.7 Rendimento Global Variando a Rotação 14 
4.8 Determinação da Rotação Especifica 14 
4.9 Rotação Específica Característica - nq 15 
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto 17 
4.10.1 Relação entre ns - nq 17 
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios 18 
4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) 18 
4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral 18 
4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas 18 
4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência 19 
4.11.5 Outras Relações 19 
4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 20 
4.12 Exemplos Resolvidos 20 
4.13 Atividade de Aprendizado 27 
4.14 Atividade Proposta No1 31 
4.15 Atividade Proposta No2 32 
 
Cap.5 Curvas Operacionais 
 DDee SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo 
Item Conteúdo Pag. 
5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento 3 
5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula 4 
5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula 4 
5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva 5 
5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa 5 
5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga 6 
5.2 Controle de Desempenho das Bombas. 7 
5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula 8 
5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) 9 
5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação 10 
5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 12 
5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás 14 
5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão 15 
5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo 17 
Sumário 
 
 viii 
5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas 19 
5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas 19 
5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas 20 
5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas 21 
5.5 Exemplo do Procedimento 22 
5.6 Equações Complementares 27 
 
 
Cap.6 Sistemas de Bombeamento 
 
Item Conteúdo Pag. 
6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos 4 
6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 5 
6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento 6 
6.3 Definição de Alturas Estáticas 7 
6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 8 
6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha 8 
6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr 9 
6.5 Altura Manométrica 10 
6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 12 
6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada 12 
6.5.3 Altura Útil de Elevação 13 
6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 13 
6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento 15 
6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 16 
6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento 17 
6.8.1 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 18 
6.8.2 
 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do 
Sistema 19 
6.9 Exemplos Resolvidos 20 
6.10 Atividade de Aprendizado 25 
6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 26 
6.12 Exemplo de Resultados 27 
 
 
Cap. 7 Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Item Conteúdo pag 
7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 3 
7.2 Perda de Carga Total 3 
7.3 Perda de por Tubulações 4 
7.4 Diagrama de Moody 5 
7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 8 
7.5.1 Método do comprimento equivalente 8 
7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga 9 
7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento 10 
7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 11 
7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 12 
7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. 13 
7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 15 
 
 
 
 
Capítulo 8 – Cavitação 
Sumário 
 
 ix
 
Cap. 8 Conceitos de Cavitação 
 
Item Conteúdo Pag. 
 Introdução 3 
8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível 5 
8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível 7 
8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível 8 
8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba 9 
8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração 10 
8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 11 
8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração 11 
8.4.2 Margem prática de segurança 12 
8.5 Exemplos de Cavitação 13 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IInnttrroodduuççããoo ààss MMááqquuiinnaass ddee FFlluuxxoo 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-2 
 
 
 
Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO.............................................................................................................................................. 3 
1. MÁQUINAS DE FLUXO...................................................................................................................... 4 
1.1 MÁQUINAS MOTRIZES ............................................................................................................................ 5 
1.2 MÁQUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES ............................................................................................ 5 
1.3 VENTILADORES E COMPRESSORES......................................................................................................... 6 
1.4 TURBINAS ............................................................................................................................................. 7 
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) ........................................................... 7 
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) ....................................................................................... 8 
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento ............................................................................. 8 
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás............................................................................................. 9 
1.5 BOMBAS HIDRÁULICAS........................................................................................................................... 9 
1.6 BOMBAS VOLUMÉTRICAS ..................................................................................................................... 10 
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo ........................................................................................... 10 
1.6.2 Bombas Rotativas...................................................................................................................... 10 
1.7 TURBOBOMBAS.................................................................................................................................... 11 
1.7.1 Bombas Centrífugas ................................................................................................................. 12 
1.7.2Bombas Axiais .......................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-3 
Introdução 
 
Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentação 
e transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos de 
transformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento de 
máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada para 
acionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores para 
movimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em que 
esteja inserido. 
 
As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânica 
possibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que 
pode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada 
energia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradores 
elétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho 
mecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendo 
desníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gases 
ou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com 
pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas da 
variação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. 
 
 Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam o 
movimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momento 
da quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo das 
leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições de 
operação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconhecer 
as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter uma 
noção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar o 
tipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potência 
requerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o ponto 
de operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. 
 
 O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade do 
assunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios de 
funcionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma família 
ou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia mais 
especializada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-4 
1. Máquinas de Fluxo 
 
As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem ser 
dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas 
volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente na 
câmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente do 
fluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadas 
segundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.1.1 
apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo. 
 
 
Pistão
Diafragma
Alternativas
Parafuso
Palhetas
Lóbulos
Engrenagens
Rotativas
Volumétricas
Centrífugas
Axiais
Mistas
Bombas
Centrífugas
Axiais
Mistas
Ventiladores
Hidráulicas
Vapor
Gás
Eólicas
Turbinas
Turbomáquinas
Máquinas de Fluxo
 
 
Figura 1.1 Esquema dos tipos de máquinas de fluxo 
 
As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor. 
• Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando. 
• Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina. 
• Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos 
do rotor sobre a corrente de fluido. 
• As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas) 
 
As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos. 
• Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção) 
• Rotor Impulso ou Impelidor 
• Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor. 
• Corpo, voluta ou coletor em caracol 
• Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga) 
 
 
Tabela 1.1 Máquinas de Fluxo 
Designação Fluido de trabalho 
Turbina hidráulica e bomba centrífuga Líquido 
Ventilador, turbocompressor Gás (neutro) 
Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Vapor (água, freon, etc) 
Turbina a gás, motor de reação Gás de combustão 
 
 
Tabela 1.2. Máquinas de Deslocamento 
Designação Fluido de trabalho 
Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Líquido 
Compressor (alternativo, rotativo) Gás (neutro) 
Compressor (alternativo, rotativo) Vapor (freon, amônia) 
Motor alternativo de pistão Gás de combustão 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-5 
1.1 Máquinas Motrizes 
 
 Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamento 
posterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica. 
 
 
Tabela 1.3 Quadro resumo dos tipos de máquinas motrizes 
Máquinas Motrizes Característica Exemplos 
Turbinas hidráulicas • Transformam a energia hidráulica em 
trabalho mecânico. 
• A energia potencial se obtém por um desnível 
natural ou por embalse. 
• Utilizadas para gerar energia elétrica. 
• Turbinas Francis, Propeller, 
Kaplan, Dériaz 
• Rodas hidráulicas ou rodas de 
água. 
Turbinas a vapor • Transformam a energia recebida por um 
vapor em trabalho mecânico. 
• Utilizadas para gerar energia elétrica. 
• Turbinas a vapor. 
• Turbinas a gás. 
• Máquinas a vapor de 
descolamento positivo. 
Turbinas eólicas • Transforma a energia cinética dos ventos 
(eólica) em trabalho mecânico. 
• Utilizadas para gerar energia elétrica. 
• Turbinas eólicas 
• Turbinas Darreius 
• Turbinas Savonius. 
1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 
 
 Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e o 
transformam em energia de pressão. 
 
Tabela 1.4 Quadro resumo dos tipos de máquinas operatrizes 
Máquinas Operatrizes Característica Classificação 
• Bombas são máquinas utilizadas para transporte 
de líquidos vencendo a resistências de tubulações 
e acessórios. 
 
 
Turbobombas 
• Centrífugas 
• Helicocentrífugas 
• Axiais 
Bombas Hidráulicas 
 
• Bombas de deslocamento positivo 
• Altas pressões 
• Alternativos 
• Rotativos 
Ventiladores 
 
 
• Fluido incompressível com gases a baixas 
pressões. 
• Geralmente o fluido utilizado é ar. 
• Transportam o gás por tubulaçõesvencendo as 
resistências de dutos e elementos da instalação. 
• Utilizados em sistemas de exaustão ou em 
sistemas diluidores. 
• Para compressões superiores a 2,5 atm se utilizam 
os turbocompressores. 
Turboventiladores 
 
• Centrífugos 
• Helicocentrífugos 
• Axiais 
• Trabalha com gases compressíveis a altas 
pressões e temperaturas 
• Elevam a pressão de uma gás desde 1,0 atm até 
milhares de atmosferas. 
 
Turbocompressores 
• Centrífugos 
• Helicocentrífugos 
• Axiais 
Compressores 
 
 
 
• Compressores de deslocamento positivo 
 
• Alternativos 
• Rotativos 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-6 
Tabela 1.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento 
Máquinas de fluxo 
 
Máquinas de deslocamento 
• Alta rotação 
 
• Baixas e médias rotações 
• Potência específica elevada (potência/peso) 
 
• Potência específica média p/ baixa (potência/peso) 
• Não há dispositivos com movimento alternativo 
 
• Várias têm dispositivos com movimento alternativo 
• Médias e baixas pressões de trabalho 
 
• Altas e muito altas pressões de trabalho 
• Não operam eficientemente com fluidos de 
viscosidade elevada 
 
• Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada 
• Vazão contínua 
 
• Na maior parte dos casos vazão intermitente 
• Energia cinética surge no processo de 
transformação de energia 
 
• Energia cinética não tem papel significativo no processo de 
transformação de energia 
• Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e 
características construtivas mais complexas que 
as máquinas de deslocamento. 
• Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e 
características construtivas mais simples que as máquinas 
de fluxo. 
 
1.3 Ventiladores e Compressores 
 
Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases, 
contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizados 
para aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específica 
do gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão e 
insuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de ar 
comprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo. 
Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento de 
areia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também para 
acionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores e 
os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem ter 
rotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde o 
movimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem ser 
rotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso. 
 
 
 
Figura 1.2 Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial 
 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-7 
1.4 Turbinas 
 
As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminas 
integrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos ou 
para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas 
(água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig. 1.3. mostra-se turbinas eólicas de eixo 
vertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gás 
ou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais, 
centrífugos ou helicocentrífugos. 
. 
 
(a) 
 
( b ) ( c ) 
Figura 1.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b). 
 
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 
Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosférica 
por meio de um bocal. 
 
• São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade. 
• A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor. 
• A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina. 
• O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido. 
• As turbinas Pelton (Fig. 1.4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que 
permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás 
com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos. 
 
 
 
Figura 1.4 Turbina hidráulica Pelton 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-8 
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 
• Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás. 
• A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um 
conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor. 
• A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio 
da turbina. 
• Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume 
do que as turbinas de impulsão. 
• As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e 
grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente. 
• As turbinas Kaplan (Fig.1.5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de 
variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos. 
 
 
 
Figura 1.5 Turbina hidráulica Kaplan 
 
• Nas turbinas Francis (Fig. 1.6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de 
fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor 
constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle 
permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com 
alturas de 5m a 500m. 
 
 
 
Figura 1.6 Turbina hidráulica Francis 
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 
 
 As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: 
 
 Turbinas radial (Centrífugas) 
 Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), 
 Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) 
 Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz). 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-9 
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 
 
As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. O 
escoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. 
A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores 
elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas, 
bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou de 
ação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nas 
turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que a 
pressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam com 
gases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com ar 
comprimido.São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústria 
aeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas. 
 
1.5 Bombas Hidráulicas 
 
 Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aos 
ventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com 
o fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam a 
movimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicas 
retiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas. 
 
 
Rotor
aberto
semi-aberto
fechado
Aspiração simples
Aspiração dupla
Radiais
(centrífugas)
Pás
fixas
variáveis
Rotor
aberto
fechado
Axias e Mistas
Turbobombas
 
 
 
 
Pistão Diafragma
Alternativas
Palhetas Lóbulos Engrenagem Parafuso
Rotativas
Bombas Volumétricas
 
 
Figura 1.7 Classificação de bombas hidráulicas 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-10 
1.6 Bombas Volumétricas 
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 
 
Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. No 
seu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de 
admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seu 
funcionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas 
podem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros. 
1.6.2 Bombas Rotativas 
 
Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento positivo estas não 
apresentam válvulas que permitam controlar o fluido na aspiração e na descarga. Podem trabalhar com 
líquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas até de 
3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes, 
argamassas e outros. 
 
( a ) Bomba de Engrenagem 
A Fig. 1.8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham no 
interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pela 
tubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes. 
 
Figura 1.8 Bomba de Engrenagem 
 
( b ) Bombas de Lóbulos 
As bombas de lóbulos (Fig.1.9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas para 
movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de 
líquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque. 
 
 
Figura 1.9 Bombas de Lóbulos 
 
( c ) Bombas de Palhetas 
As bombas de palhetas (Fig.1.10) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocam-
se em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade é 
limitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos. 
 
Figura 1.10 Bombas de Palhetas 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-11 
1.7 Turbobombas 
 
Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsor 
ou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpo 
denominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido ao 
passar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca de 
recalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombas 
axiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o 
qual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios. 
Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em 
suspensão. 
 
 
 
Figura 1.11 Tipos bombas hidráulicas 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axial 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-12 
1.7.1 Bombas Centrífugas 
 
As bombas centrífugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentam 
capacidade de 0,5 m3/h até 20.000 m3/h e trabalham com alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metros 
de coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotor 
com pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através de 
uma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidade 
elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energia 
cinética em energia de pressão. 
 
 
Figura 1.14 Componentes de bombas centrífugas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 Detalhe de elementos de uma Bomba Centrífuga 
 
As bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões até 
de 160 mca. e temperatura de até 1400C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas para 
trabalhar com água até 3000C e pressões de até 250 mca. Bombas de processo podem operar com 
temperaturas de até 4000C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Para 
líquidos com temperatura de até 2500C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos 
com temperaturas de trabalha de até 4500C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 10 MPa) 
emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casos 
especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol. O eixo da bomba 
centrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035, SAE 4414, e 
SAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo. 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-13 
Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig.1.16). Os rotores fechados 
têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados para 
bombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos não 
apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos em 
suspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ou 
inox. Também são fabricados em material plástico ou borracha. 
 
 
 
Figura 1.16 Tipos de rotores de bombas centrífugas 
 
1.7.2 Bombas Axiais 
 
Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas. 
Tipicamente 500 m3/h ou mais e alturas manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maiores 
que os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (forma 
helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidades 
menores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica até 30 
mca. 
 
 
 
 
 
Figura 1.17 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axialCapítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-2 
 
Teoria de Bombas Centrífugas 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO......................................................................................................................................... 3 
2.2 EQUAÇÃO DO MOMENTO DA QUANTIDADE PARA TURBOMÁQUINAS (AXIAL - RADIAL )................................. 4 
2.2.1 Simplificações.................................................................................................................................... 4 
2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA......................................................................................................... 7 
2.4 EQUAÇÃO DE EULER.............................................................................................................................. 7 
2.5 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS ...................................................................... 8 
2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA ......................................................... 9 
3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente...................................................... 12 
2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS ............................................... 13 
2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA.............................................................. 14 
2.9 GRAU DE REAÇÃO ............................................................................................................................... 15 
2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS ................................................................................................... 16 
CASO 1 - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS .............................................................................................................. 17 
CASO 2 - PÁS RADIAIS NA SAÍDA ..................................................................................................................... 18 
CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE.......................................................................................................... 18 
RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS. ............................................................................................................ 19 
RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS...................................................................................................... 19 
2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO (HT-Q) ......................................... 20 
2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q)........................................................... 22 
RESUMO DAS CURVAS H-Q E P-Q ................................................................................................................. 23 
2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA................................................................... 24 
2.14 IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS ............................................................................................ 25 
Escoamento com Número Finito de Pás.................................................................................................. 25 
Desvio da Velocidade Relativa................................................................................................................. 26 
Dependência do Número de Pás ............................................................................................................. 26 
2.15 ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS ................................................................................... 27 
Fator de Correção do número finito de pás ............................................................................................. 27 
2.16 INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES................................................... 28 
Análise na entrada do canal das pás ....................................................................................................... 28 
Análise na saída do canal das pás:.......................................................................................................... 29 
2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO ......................................................... 31 
2.18 EXEMPLOS RESOLVIDOS ...................................................................................................................... 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-3 
 
2.1 Introdução 
 
As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladores 
e compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas a 
gás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental que 
representa esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é um 
caso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada com 
simplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra que 
tal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais, 
semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, é 
originada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Tais 
efeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presente 
capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombas 
centrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na energia transferida do 
rotor ao fluido. 
 
 
 
 
Rotor axial 
 
 
Rotor helico centrífugo 
 
 
Rotor centrífugo 
(a) Tipos de rotores de turbomáquinas 
 
 
(b) Bomba centrífuga 
 
( c ) Rotor de bomba centrífuga 
 
Figura 2.1. Rotores de máquinas de fluxo. 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-4 
 
2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 
 
A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada 
por: 
 
∫ ×+∫ ×=+×∫+× ∀∀ scvceixos AdVVrdVrtTrFr dBvc
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
ρρ∂
∂
 
 
 
 Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig.2.2) envolvendo o 
elemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidade 
angular constante (ω). 
 
2.2.1 Simplificações 
 
(1) Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxFs=0 
 
(2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxB=0 (por simetria) 
 
(3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z) 
 
(4) Eixo z alinhadocom o eixo de rotação da máquina. 
 
(5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice 1) e a saída ( subíndice 2). 
 
 
(6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. 
 
Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios 
 
 
Figura 2.2. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle. 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-5 
 
 
 
Com as simplificações: 
 0 (2) 0 (1) 0 (3) 
∫ ×+∫ ∀×=+×∫+× ∀ scvceixos AdVVrdVrtTrFr dBvc
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
ρρ∂
∂
 
 
 
∫ ×= sceixo AdVVrT
rrr
r
r
ρ 
 
No sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque será 
zeixo TT =
r
 o qual denominamos Teixo (escalar). Desta forma: 
 
∫ ×= sceixo AdVVrT z )()(
rrr
r ρ 
 
O fluido entra no rotor (Fig 2.3) na posição radial r1 com velocidade absoluta uniforme 1V
r
 e sai na posição 
radial r2 com velocidade absoluta 2V
r
. O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y 
como jviuV ˆˆ +=r , onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser 
dado como nVtVV nt ˆˆ +=
r
 onde Vt é a componente na direção tangencial ao raio e Vn a componente na 
direção normal ao raio. 
 
 
 
 
Figura 2.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controle 
 
Aplicamos a equação considerando as regiões de entrada (1) e saída do fluido (2): 
 ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=
2
22222
1
11111
A
z
A
z
sc
z AdVVxrAdVVxrAdVVxr
rrr
r
rrr
r
rrr
r ρρρ 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-6 
 
 
As integrais de área das seções de (1) e (2) podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintes 
considerações: 
 
• O produto vetorial ( )zVxr rr é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da 
integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor. 
 ( ) ( ) tyxz rVkurvrVr =−=× ˆrr 
 
• Da equação da conservação da massa sabemos que: 
 
mAdV
A
&
rr
±=∫ ρ 
 
onde fluxo de massa ( m& ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se o 
fluido esta entrando v.c. Desta forma. 
 ( ) mVrAdVVxr t
A
z
&
rrrr
11
1
11211 −=∫ ρ ( ) mVrAdVVxr t
A
z
&
rrrr
22
2
22222 +=∫ ρ 
 
Com as considerações acima obtemos: 
 
 ( ) ( ) mVrmVrAdVVxrAdVVxr tt
A
z
A
z
&&
rrrrrrrr
2211
2
22222
1
11111 +−=+ ∫∫ ρρ 
 
Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente: 
 ( )mVrVrT tteixo &1122 −= 
 
Também sabemos que o fluxo de massa é dada por Qm ρ=& , onde ρ é a massa específica do fluido e Q a 
vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como: 
 ( ) ( ) QVrVrmVrVrT tttteixo ρ11221122 −=−= & 
 
 
Unidades (torque): ( ) ( )kg
s
m
m
s
kgm
s
m N m Joule





 =



 = =2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-7 
2.3 Potência e Energia Específica 
 
( )mVrVrTW tteixo && 1122 −== ωω 
 
Considerando as velocidades tangenciais atuando no rotor: rU ω= ou também 
60
DnU pi= 
 
U Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s) 
ω Velocidade angular do rotor (rad/s) 
D, R Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m). 
n Rotação do rotor (rpm) 
 
mantendo os índices “1” para a entrada e “2” para a saída temos que: 
 
( )mVUVUW tt && 1122 −= 
 
 
Unidades (potência): ( )kg
s
m
s
m
s
kgm
s
m
s
N m
s
J
s
Watts









 =







 =



 = =2 
2.4 Equação de Euler 
 
Para turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como: 
 
 
∞∞ = tt gQHW ρ 
 
 
 
Htoo é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros de 
coluna de fluido. 
 
Unidades (potência): ( ) ( )kg
m
m
s
m
s
m
kgm
s
m
s
N m
s
J
s
Watts3 2
3
2











 =







 =



 = = 
 
 Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquina 
conhecida como altura de carga teórica: 
 
 
( )11221 tttt VUVUggm
W
H −== ∞∞
&
&
 
 
 
Tal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 1754) para turbomáquinas. A equação é 
dada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válida 
para o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características do 
tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido. 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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2-8 
 
2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 
 
Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C. 
Desta forma o vetor da velocidade absoluta 1V
r
 é dada como C
r
 , a componente tangencial da velocidade 
absoluta ( tV ) é dada por Cu e a componente normal (Vn) é dada por Cm. Na forma vetorial nCtCC mu ˆˆ +=
r
. 
Utilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por: 
 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
 
A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no ponto 
operacional para a qual foi projetada. 
 
Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler: 
 
• Número Infinito de álabes (pás, palhetas). 
• Espessura das pás desprezível. 
• Simetria central do escoamento. 
• Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás. 
• Escoamento em regime permanente. 
• Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. 
• Efeitos de atrito desprezíveis. 
 
Da mesma forma o Torque no eixo é dado por: 
 
 ( )mCrCrT uueixo &1122 −= 
 
e a Potência Teórica como: 
 
 
( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω 
 
 
Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido. 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
Para Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo do rotor. 
Neste caso U1Vt1 > U2Vt2 desta forma é dada como 
 
( )22111 uut CUCUgH −=∞ 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-9 
2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 
 
 A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária para 
o cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinas 
radiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entradae 
saída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes e 
divergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm como 
nomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C’ para uma velocidade real. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotor 
 
No impelidor ou rotor (Fig.2.4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,C, 
ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidor 
com uma velocidade angular ω=U/r, onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta pode 
ser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local. 
 
UWC
rrr
+= 
 
Para determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos de 
velocidade (Fig. 3.5). O subíndice “1” representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice 
“2” representa as variáveis envolvidas na saída do rotor. 
 
As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominada 
componente meridianas (Cm, Wm). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade 
relativa são denominadas velocidades periféricas (Cu, Wu). 
 
O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor. 
O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica 
do rotor (-U). É denominado ângulo da pá. 
 
 
 
Pás 
Corpo 
Pás guias 
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2-10 
 
 
Figura 2. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífuga 
 
Na Fig. 2.6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridiana 
da velocidade relativa (Cm=Wm). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares à 
velocidade periférica (U). 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor. 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-11 
A componente periférica da velocidade absoluta ( Cu ) e a componente periférica da velocidade relativa ( Wu ) 
são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa que 
são velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U). 
 
Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades 
 
D Diâmetro do rotor 
b Largura do canal 
C Velocidade absoluta do fluido 
Cu Componente de C na direção da velocidade tangencial U 
Cm Componente meridional de C (na direção radial) 
W Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor 
Wu Componente de W na direção da velocidade tangencial U. 
U Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabe 
α ângulo entre (C,U) 
β ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da pá 
 
A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por: 
 
 A D b1 1 1= pi A D b2 2 2= pi 
 
Pela equação da conservação da massa temos que: 
 
&m D b C D b Cm m= =ρ pi ρ pi1 1 1 1 2 2 2 2 
 
Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por: 
 
Q D b C D b Cm m= =pi pi1 1 1 2 2 2 
 
Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor. 
 
 U D n1 160
=
pi
 U D n2 260
=
pi
 
 
Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm. 
 
Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energia 
transferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás. 
 
Tabela 2.1 Resumo de Equações Básicas 
Termo Equação Unidades 
Altura teórica 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
m 
Torque teórico ( )mCrCrT uueixo &1122 −= 
 
Joule 
Potência teórica ( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω 
 
Watt 
 
 
 
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2-12 
3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 
 
 Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás se 
estendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito de 
pré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal como 
mostra a Fig. 2.7 (b) 
Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C1=Cm1 e ângulo 
formado entre (C1,U1) será α1=900 . Em tal condição Cu1=0. 
 
Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entrada 
radial. 
 
Nestas condições ideais (α1=900) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momento 
angular na entrada porque Cm1=C1 e Cu1=0 e, portanto r x Cu1 =0 desta forma a Equação de Euler fica 
simplificada dependendo das condições de saída do rotor. 
 
 
 
Equação de Euler para entrada ideal 
(entrada radial ou sem pré-rotação) 
 
 
22
1
ut CUg
H =∞ 
 
 
 
 
 
 
(a ) Polígono com entrada radial. 
 
(b) Bomba com indutor 
 
Figura 2.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-13 
2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 
 
 Podem-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma de 
energia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia total 
ou altura de carga teórica: 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
Do polígono de velocidades, a componente Cm da velocidade absoluta pode ser determinada como: 
 
 
222
um CCC −= 
ou também como: 
( )
222
22
222
2 
 
uu
u
um
CUCUW
CUW
WWC
−+−=
−−=
−=
 
 
Igualando os termos: 
 
 Figura 2.8 Polígono e velocidades na entrada 
 
W U UC C C C
UC C U W
u u u
u
2 2 2 2 2
2 2 2
2
1
2
− + − = −
= + −( ) 
Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém: 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
)(
2
1)(
2
1 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 WUCWUCH oot −+−−+= 
{ } { } { }3 2 1 
222
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
++



 −+



 −+



 −=∞ g
WW
g
UU
g
CCH t
 
 
 
(1): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação da 
velocidade absoluta. 
 
(2): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimento 
circular em torno do eixo. 
 
(3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canal 
divergente (difusor)do rotor. Representa a variaçãode pressão estática dentro do rotor. 
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2-14 
2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 
 
Aplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor: 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
phHz
g
u
g
p
LA ++=−+++ ρρ
 
 
HA Energia adicionada ao fluido pela bomba. 
hL Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina. 
 
Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht00), as velocidades absolutas na entrada e saída 
do rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (hL=0): 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
C
g
pHz
g
C
g
p
t ++=+++ ∞ ρρ
 
 
explicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba: 
 
( )



 −+


 −+−=∞ g
CC
zz
g
pp
H t 2
2
1
2
2
12
12
ρ
 
 
Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra de 
energia cinética: 
 
cpt HHH +=∞ 
 
 
 
 
Onde Hp é a altura representativa da energia de pressão e Hc a altura representativa da energia cinética. 
 
 
Por comparação da Eq. de Euler 
 



 −+−+



 −=∞ g
WW
g
UU
g
CC
H t 222
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
 
 



 −=
g
CC
H c 2
2
1
2
2
 
 
( )1212
2
2
2
1
2
1
2
2
22
zz
g
pp
g
WW
g
UUH p −+−=


 −+−= 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-15 
2.9 Grau de Reação 
 
A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação. 
 
∞
=
t
p
H
H
G 
 
G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido. 
 
O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no 
processo de transferência de energia: 
 
 
Ângulo da pá na saída Grau de reação 
 β2 < 90º G > ½ 
β2 = 90º G = ½ 
β2 > 90º G < ½ 
 
 
O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo. 
 
Turbomáquinas de Reação: 
 
Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação é 
maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. 
Representa o caso geral das bombas. 
 
Turbomáquinas de Ação: 
 
Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), a máquina de fluxo é 
denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2-16 
2.10 Influência da Curvatura das Pás 
 
A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função do 
ângulo das pás na saída (β2) com as seguintes relações e simplificações: 
 
• Escoamento com entrada radial: α1=900 
• Seções iguais na entrada e saída com o qual Cm1=Cm2 e também Cu1=0, como é mostrado na Fig.2.9. 
 
As relações obtidas com tais simplificações são: 
 
ctp
u
c
ut
cPt
HHH
g
C
H
CU
g
H
HHH
−=
=
=
+=
∞
∞
∞
2
1
2
2
22
 
 
Obs: Em anexo encontra-se a dedução de Hc . 
 
 
Htoo: Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que 
atravessa uma bomba ideal. 
 
Hp: Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão. 
 
Hc: Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética. 
 
 
 
Figura 2.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico. 
 
No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig. 2.10) designados em relação 
ao sentido de rotação do rotor. 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-17 
 
 
 
Figura 2.10 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga. 
 
(1) Pás voltadas para trás: 
Caso em que β2 < 900 
Situação limite Cu2=0. 
(2) Pás radiais na saída: 
Caso em que β2=900 
Desta forma: Cu2=U2. 
(3) Pás voltadas para frente: 
Caso em que β2 > 900 
Situação limite: Cu2=2U2 
 
Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 
 Considerando que β2 é menor que 900 e na situação limite em a componente periférica da velocidade 
absoluta seja nula (Cu2=0). Para satisfazer esta condição α2=900. 
 
 
0
0
2
01
2
2
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
ctp
u
c
ut
cPt
HHH
g
C
H
CU
g
H
HHH
 
 
Figura 2.11 Polígono de velocidade na saída do rotor (α2=900) 
 
Conclusão: Quando, β2 < 900 tal que α2=900, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e de 
energia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula. 
• Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior. 
 
Do livro de Macintyre: “Não é prático e não se devem projetar pás com β2 < 900 para as quais α2=900 já que 
o líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento”. 
 
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2-18 
 
 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 
 
Quando β2 = 900 se obtém um polígono de velocidades em que Cu2=U2. Neste caso: 
 
 
 
g
U
HHH
g
U
g
C
H
g
UCU
g
H
HHH
ctp
u
c
ut
cPt
2
22
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
 
 
Figura 2.12 Polígono de velocidade pás radiais na saída (β2=900) 
 
 
Conclusão: Na situação em que β2 = 900 a componente periférica da velocidade absoluta na saída Cu2 torna-
se a velocidade tangencial do rotor (Cu2=U2). 
• Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão 
e 50% na forma de energia cinética. 
Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 
 
Escolhemos na análise um valor de β2 > 900 na condição limite em que torne CU2=2U2. 
 
 
 
 
 
0
2
2
21
2
2
2
2
2
2
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
ctp
u
c
ut
cPt
HHH
g
U
g
C
H
g
UCU
g
H
HHH
 
 
Figura 2.13 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β2 > 900) 
 
Conclusão: Na situação em que β2 >900 de tal forma que torne Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e a 
energia total é igual a energia cinética. Em tal situação β2 : ângulo crítico superior 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-19 
ResumoGráfico dos Resultados. 
 
Com auxílio da Fig.2.14 podemos observar resumo dos resultados obtidos: 
(1) Pás voltadas para Trás: β2 < 900 
[Hp > Hc] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão. 
 
(2) Pás Radiais na Saída: β2= 900 
[Hp= Hc]: A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energia 
cinética. 
 
(3) Pás voltadas para Frente. β2 > 900 
[Hc > HP]: A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética. 
Figura 2.14 Energia teórica cedida por um rotor com diferentes tipos de pás. 
Recomendações para Ângulo das Pás 
• As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia 
de pressão e não da energia cinética. 
• Pás com β2 > 900 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o 
que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga. 
• Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2 < 900) encontradas nas seguintes faixas: 
Bombas Centrífugas 
 Faixa de Operação: 15 400 2 0≤ ≤β
 
 Normalmente: 20 250 2 0≤ ≤β 
Ventiladores 
 Normalmente: 40 450 2 0≤ ≤β 
 
Para bombas o ângulo da pá na entrada β1 pode ter a seguinte faixa: 15 500 1 0≤ ≤β 
 
Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombas 
centrífugas, estando β2 compreendido entre 170 e 300, sendo aconselhado como regra o valor de 22,30” 
 
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2-20 
 
2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 
 
Considerando um rotor com velocidade angular constante (ω=cte) e com entrada radial (α1=900) a equação 
de Euler é dada de maneira simplificada: 
 
 
H
g
U Ct u∞ =
1
2 2 
do polígono de velocidades: 
 
C U Wu u2 2 2= − 
 
 
W Cu m2 2
2
=
tan β
 
 
Substituindo Wu2 em Cu2: 
 
C U Cu m2 2 2
2
= −
tan β
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 Polígono de velocidade na saída do rotor 
Onde: 
C Q
D bm2 2 2
= pi 
 
Substituindo Cu2 e U2 em Htoo 
 
2
222
2 tan
1 U
bDg
QU
g
H t 

 −=∞ βpi 
 
 
Q
bDg
U
g
U
H t
222
2
2
2
tan βpi−=∞ 
 
A expressão pode ser simplificada considerando U2 proporcional à rotação, n, que é constante. D2 e b2 
também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e do ângulo da pá β2. 
 
QkkH t 21 −=∞ 
 
 
Onde: 
 
g
Uk
2
2
1 = 
222
2
1 tan βpi bDg
Uk = 
 
 
Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pás 
quando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente. 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-21 
 
Rotor com pás radiais na saída 
 
β2=900 o termo 1/tanβ2 tende a zero sendo assim k2=0. Desta forma: 1kH t =∞
 
 
Htoo torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de H 
no ponto gU /22 . 
 
Rotor com pás inclinadas para trás 
 
β2 <900 o termo 1/tanβ2 dá um valor positivo (+). Desta forma: QkkH t 21 −=∞
 
 
Htoo diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando 
pela ordenada no ponto gU /22 . 
 
Rotor com pás inclinadas para frente 
 
β2 >900 o termo 1/tanβ2 dá um valor negativo (-). Desta forma: QkkH t 21 +=∞
 
 
Htoo aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig.2.16) que cruza 
na origem o ponto gU /22 . 
 
Figura 2.16 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação. 
 
• Observamos que as pás inclinadas para frente (β2 >900) cedem mais energia cinética que energia de 
pressão. 
• Da curva Htoo - Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás. 
• O aumento de Htoo apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios 
em bancadas de laboratório. 
• A instabilidade do funcionamento para pás com β2>900 é outro motivo para evitar trabalhar com 
bombas centrífugas com pás voltadas para frente. 
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 PUCRS 
 
2-22 
2.12 Efeito da Curvatura das Pás na Curva de Potência (P - Q) 
 
Considerando a potência teórica: 
 
∞= tt gQHW ρ& 
 
onde a altura teórica é dada por: 
 
Q
bDg
U
g
U
H t
222
2
2
2
tan βpi−=∞ 
 
A qual como foi visto pode ser simplificada 
 
QkkH t 21 −=∞ 
 
Introduzida esta última expressão da altura na 
equação de potência se tem: 
Figura 2.17 Curva teórica da potência 
 
2
21 QgkQgkWt ρρ −=& 
 
 
desta forma considerando novas constantes: 
 
2*
2
*
1 QkQkWt −=& 
 
Considerando Pás com Saída Radial 
• Pás com saída radial implica que β2= 900 desta forma tan(900)=∞ 
• Desta forma K2=0 e a potência neste caso fica dada por: 
 
QkQkQkWt *12*2*1 =−=& 
 
 
Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig.2.16). 
 
Considerando Pás Voltadas para Trás 
• Neste caso β2 < 900 e Tan β2 toma valores (+). Por tanto k2 toma um valor positivo (+) 
 
2*
2
*
1 QkQkWt −=& 
 
Aumentando a vazão (com n=cte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem e 
sempre com valor menor a esta quando Q aumenta (Fig. 2.17). 
 
Considerando Pás Voltadas para Frente 
• Com β2 > 900 e portanto Tan β2 toma valores negativos (-). Portanto k2 toma um valor (-) 
 
2*
2
*
1 QkQkWt −=&
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-23 
Graficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta na 
origem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig. 2.17). 
 
Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maiores 
requerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que a 
medida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta. 
 
No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto e 
posteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potência 
de acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão 
de projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba. 
Resumo das curvas H-Q e P-Q 
 
 
 Figura 2.18. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pás 
 
Tabela 2.2 Resumo das expressões de altura teórica e potência. 
Tipo de pás Altura teórica Potência teórica 
Pás com saída radial (β2= 900) 
 
1kH t =∞ QkWt *1=& 
Pás voltadas para trás (β2 < 900) 
 
QkkH t 21 −=∞ 2*2*1 QkQkWt −=& 
Pás voltadas para frente (β2 > 900) 
 
QkkH t 21 +=∞ 2*2*1 QkQkWt +=& 
 
� A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que 
rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiência

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