Aula1D22011Introducao
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Disciplina:Introdução à Probabilidade e a Estatística II116 materiais1.275 seguidores
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encontrando-se o valor que corresponde a posição encontrando-se o valor que corresponde a posição
(n+1)/2, se (n+1)/2, se nn for ímpar. for ímpar.

SeSe n n for par, a mediana corresponde a média for par, a mediana corresponde a média
aritmética dos valores da posição anterior e posterior aritmética dos valores da posição anterior e posterior
a (n+1)/2.a (n+1)/2.

Primeiro Quartil (Q1):Primeiro Quartil (Q1): valor que deixa 25% valor que deixa 25%
das observações à sua esquerda.das observações à sua esquerda.
Terceiro Quartil (Q3):Terceiro Quartil (Q3): valor que deixa 75% valor que deixa 75%
das observações à sua esquerda.das observações à sua esquerda.

Ex(A): 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7

Md = 3,05 Q1 = 2,05 Q3 = 4,9

Ex(B): 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 5,3 5,5 12,2 12,9 14,0 33,6

Md = 5,3 Q1 = 1,7 Q3 = 12,9

1º e 3º Quartil1º e 3º Quartil

Posição de Q1Posição de Q1

Como encontrar Q1Como encontrar Q1

4
1nP1 +=

Valor de Q1Valor de Q1

a)a) Se P1 for um número inteiro, entãoSe P1 for um número inteiro, então

 Q1 = yQ1 = yP1P1

 onde yonde y11,y,y22,…,y,…,ynn são os dados ordenados são os dados ordenados

b) Se P1 não for inteiro, sejam P1b) Se P1 não for inteiro, sejam P1- - e P1e P1++
os inteiros imediatamente abaixo e os inteiros imediatamente abaixo e
acima de P1, respectivamente. Entãoacima de P1, respectivamente. Então

2
y y

Q1 P1 P1- +
+

=

clique aqui

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Posição de Q3Posição de Q3

Como encontrar Q3Como encontrar Q3

4
1)3(nP3 +=

Valor de Q3Valor de Q3

a)a) Se P3 for um número inteiro, entãoSe P3 for um número inteiro, então

 Q3 = yQ3 = yP3 P3
b) Seb) Se pp33 não for inteiro, então com a não for inteiro, então com a
mesma notação do caso anteriormesma notação do caso anterior

2
y y

Q3 P3 P3- +
+

=

clique aqui

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Grupo 1: 3,4,5,6,7 Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 9 Grupo 3: 5,5,5,5,5

Temos: x1 = x2 = x3 = 5 md1= md2= md3 = 5

Exemplo: Considere as notas de um teste de Exemplo: Considere as notas de um teste de
3 grupos de alunos3 grupos de alunos

G 1
100 * * * * *

G 2
0 10 * * * * *

G 3
0 10

*
*
*
*
*

Amplitude (A): máximo - mínimo [máx - min]Amplitude (A): máximo - mínimo [máx - min]

Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão

Finalidade: encontrar um valor que resuma a Finalidade: encontrar um valor que resuma a
variabilidade de um conjunto de dadosvariabilidade de um conjunto de dados

Para os grupos anteriores, temos:Para os grupos anteriores, temos:
Grupo 1, A = 4Grupo 1, A = 4
Grupo 2, A = 8Grupo 2, A = 8
Grupo 3, A = 0Grupo 3, A = 0

É a diferença entre o terceiro quartil e
o primeiro quartil, ou seja, Q3 - Q1

Ex.(A): 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7

Q1 = 2,05 e Q3= 4,9

Q3 - Q1 = 4,9 - 2,05 = 2,85

Intervalo-InterquartilIntervalo-Interquartil

n
xx

n
xxxxxx

n

i
i

n
∑

=

−

=

−++−+−
=

1

2
22

2
2

12
)(

)(...)()(
σ

VariânciaãoDesvioPadr =

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ] 0,2
5

1041014
5
1

21012-
5
1

5756555453
5
1

22222

222222
1

==++++=

+++−+=

−+−+−+−+−=σ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] 8

5
406140461

5
1

5957555351
5
1 222222

2

==++++=

−+−+−+−+−=σ

Grupo 1: 3,4,5,6,7 Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 9 Grupo 3: 5,5,5,5,5

Temos: x1 = x2 = x3 = 5 md1= md2= md3 = 5

Exemplo: Considere as notas de um teste de Exemplo: Considere as notas de um teste de
3 grupos de alunos3 grupos de alunos

G 1
100 * * * * *

G 2
0 10 * * * * *

G 3
0 10

*
*
*
*
*

Variância para os Grupos 1, 2 e 3Variância para os Grupos 1, 2 e 3

G1: σ2= 2,0 σ = 1, 41

G2: σ2 = 8 σ = 2,83

G3: σ2 = 0 σ = 0

Fórmulas AlternativasFórmulas Alternativas
( )





 




−



=





−




=

∑∑

∑

==

=

2n

1i
i

n

1i

2
i

2
n

1i

2
i

2

x
n
1x

n
1

xnx
n
1

σ

Exemplo: Considere o grupo G1

( )[ ] [ ] 0,2
5

10125135
5
155135

5
1

135493625169

76543

22

22222

1

2

==−=×−=

=++++=

=++++=∑
=

σ

n

i
ix

•é uma medida de dispersão relativaé uma medida de dispersão relativa
•elimina o efeito da magnitude dos dadoselimina o efeito da magnitude dos dados
•exprime a variabilidade em relação à médiaexprime a variabilidade em relação à média

%100×=
x

CV σ

Coeficiente de Variação (CV)Coeficiente de Variação (CV)

Exemplo 1Exemplo 1

Altura e peso de alunos

Altura 1,143m 0,063m 5,5%
Peso 50 kg 6kg 12%

Média DesvioPadrão
Coef. de
Variação

Conclusão: Os alunos são duas vezes mais
dispersos quanto ao peso do que quanto à altura

Exemplo 2Exemplo 2
Alturas de meninos e homens adultos de

uma população.

Conclusão: Em relação às médias, as alturas dos
homens e dos meninos apresentam variabilidade quase
iguais.

Desvio
Padrão

Coef. De
Variação

Média

Meninos 50 6 12%
Homens 160 16 10%

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