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CaracteristicasGeometricas

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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 1
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
– Área:
A=∫
A
dA
– Momento estático:
S x=∫
A
y.dA e S y=∫
A
x .dA
– Momento de Inércia:
I x=∫A y² .dA e I y=∫A x² .dA
– Produto de inércia:
I xy=∫
A
x . y dA
– Momento polar de inércia:
I p=∫
A
 ² .dA=∫
A
x² .dA∫
A
y² .dA=I xI y
– Coordenadas do centróide (xcg ; ycg)
A . xcg=∫
A
x. dA , então xcg=
1
A
⋅∫
A
x.dA
e ycg=
1
A
⋅∫
A
y .dA
o momento estático em relação ao eixo que passa pelo centróide é nulo.
Deslocamentos de eixos (paralelamente)
São conhecidas as características geométricas em relação aos eixos centrais 
(eixos que passam pelo centróide) 
y '= ya
x '=xb
CG
dA
x
y
xcg
 ycg
ρ
x
y
CG
dAx
y x
y
b
a
x'
y'
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 2
- Momentos estáticos
S x'=∫
A
y ' .dA=∫
A
a y. dA=∫
A
a.dA∫
A
y .dA
S x'=a .∫
A
dA , S x'=a . A
S y '=b . A
– Momentos de inércia
I x '=∫
A
 y '  ² .dA=∫
A
a y  ² .dA=∫
A
 y²2.a.ya² .dA
I x '=∫
A
y² .dA2a .∫
A
y .dAa²∫
A
dA
I x '= I xcga² . A e
I y'=I ycgb² . A observar que momento de inércia é sempre positivo
– Produto de inércia:
I x ' y '=∫
A
 y ' . x ' .dA=∫
A
xb.a y .dA=∫
A
 x.yb.ya.xa.b .dA
I x ' y '=∫
A
x.y .dAb .∫
A
y .dAa .∫
A
x.dAab∫
A
dA
I x ' y '=I xycga.b.A
Rotação de eixos
são conhecidas as características geométricas em relação aos eixos xy (centrais)
x '=x . cos y . sen
y '= y . cos− x . sen
=0 (eixo x é central)
=0 (eixo x é central)
=0 =0 (x e y são eixos centrais)
dA
x
y
x
y
x'
y'
θ
x c
osθ
y c
osθ
y s
enθ
y'
x'
x s
enθ
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 3
- Momentos de inércia:
I x '=∫
A
 y '  ²=∫
A
 y.cos− x . sen ² .dA=∫
A
 y² .cos² x² . sen² −2 . x . y . sen . cos .dA
I x '=cos²  .∫
A
y² . dAsen²  .∫
A
x² .dA−2. sen . cos  .∫
A
x . y .dA
I x '= I x .cos² I y sen² −I xy . sen2
ou, lembrando que cos² =1cos 2
2
 e sen² =1−cos 2
2
I x '= I x⋅
1cos2
2
I y⋅
1−cos2
2
−I xy⋅sen 2
I x '=
I x I y
2

I x−I y
2
⋅cos 2−I xy⋅sen 2
A expressão de Iy' se obtém analogamente ou então substituindo  por 

2
na 
expressão de Ix'.
O valor de Iy' pode ser obtido usando a propriedade I x I y= I x'I y'= I p
– Produto de inércia:
I x ' y '=∫
A
x ' . y ' .dA=∫
A
x .cos  y . sen⋅ y . cos− x . sen.dA
I x ' y '=∫
A
x . y cos² −x . y . sen² − x² . sen .cos  y² . sen .cos .dA
I x ' y '=I xy .cos² −sen² I xy . sen  . cos
I x ' y '=
I x−I y
2
⋅sen 2I xy . cos2

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