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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS – Área: A=∫ A dA – Momento estático: S x=∫ A y.dA e S y=∫ A x .dA – Momento de Inércia: I x=∫A y² .dA e I y=∫A x² .dA – Produto de inércia: I xy=∫ A x . y dA – Momento polar de inércia: I p=∫ A ² .dA=∫ A x² .dA∫ A y² .dA=I xI y – Coordenadas do centróide (xcg ; ycg) A . xcg=∫ A x. dA , então xcg= 1 A ⋅∫ A x.dA e ycg= 1 A ⋅∫ A y .dA o momento estático em relação ao eixo que passa pelo centróide é nulo. Deslocamentos de eixos (paralelamente) São conhecidas as características geométricas em relação aos eixos centrais (eixos que passam pelo centróide) y '= ya x '=xb CG dA x y xcg ycg ρ x y CG dAx y x y b a x' y' CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 2 - Momentos estáticos S x'=∫ A y ' .dA=∫ A a y. dA=∫ A a.dA∫ A y .dA S x'=a .∫ A dA , S x'=a . A S y '=b . A – Momentos de inércia I x '=∫ A y ' ² .dA=∫ A a y ² .dA=∫ A y²2.a.ya² .dA I x '=∫ A y² .dA2a .∫ A y .dAa²∫ A dA I x '= I xcga² . A e I y'=I ycgb² . A observar que momento de inércia é sempre positivo – Produto de inércia: I x ' y '=∫ A y ' . x ' .dA=∫ A xb.a y .dA=∫ A x.yb.ya.xa.b .dA I x ' y '=∫ A x.y .dAb .∫ A y .dAa .∫ A x.dAab∫ A dA I x ' y '=I xycga.b.A Rotação de eixos são conhecidas as características geométricas em relação aos eixos xy (centrais) x '=x . cos y . sen y '= y . cos− x . sen =0 (eixo x é central) =0 (eixo x é central) =0 =0 (x e y são eixos centrais) dA x y x y x' y' θ x c osθ y c osθ y s enθ y' x' x s enθ CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 3 - Momentos de inércia: I x '=∫ A y ' ²=∫ A y.cos− x . sen ² .dA=∫ A y² .cos² x² . sen² −2 . x . y . sen . cos .dA I x '=cos² .∫ A y² . dAsen² .∫ A x² .dA−2. sen . cos .∫ A x . y .dA I x '= I x .cos² I y sen² −I xy . sen2 ou, lembrando que cos² =1cos 2 2 e sen² =1−cos 2 2 I x '= I x⋅ 1cos2 2 I y⋅ 1−cos2 2 −I xy⋅sen 2 I x '= I x I y 2 I x−I y 2 ⋅cos 2−I xy⋅sen 2 A expressão de Iy' se obtém analogamente ou então substituindo por 2 na expressão de Ix'. O valor de Iy' pode ser obtido usando a propriedade I x I y= I x'I y'= I p – Produto de inércia: I x ' y '=∫ A x ' . y ' .dA=∫ A x .cos y . sen⋅ y . cos− x . sen.dA I x ' y '=∫ A x . y cos² −x . y . sen² − x² . sen .cos y² . sen .cos .dA I x ' y '=I xy .cos² −sen² I xy . sen . cos I x ' y '= I x−I y 2 ⋅sen 2I xy . cos2