CaracteristicasGeometricas
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CaracteristicasGeometricas


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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 1
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
\u2013 Área:
A=\u222b
A
dA
\u2013 Momento estático:
S x=\u222b
A
y.dA e S y=\u222b
A
x .dA
\u2013 Momento de Inércia:
I x=\u222bA y² .dA e I y=\u222bA x² .dA
\u2013 Produto de inércia:
I xy=\u222b
A
x . y dA
\u2013 Momento polar de inércia:
I p=\u222b
A
\ue0c7 ² .dA=\u222b
A
x² .dA\ue083\u222b
A
y² .dA=I x\ue083I y
\u2013 Coordenadas do centróide (xcg ; ycg)
A . xcg=\u222b
A
x. dA , então xcg=
1
A
\u22c5\u222b
A
x.dA
e ycg=
1
A
\u22c5\u222b
A
y .dA
o momento estático em relação ao eixo que passa pelo centróide é nulo.
Deslocamentos de eixos (paralelamente)
São conhecidas as características geométricas em relação aos eixos centrais 
(eixos que passam pelo centróide) 
y '= y\ue083a
x '=x\ue083b
CG
dA
x
y
xcg
 ycg
\u3c1
x
y
CG
dAx
y x
y
b
a
x'
y'
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 2
- Momentos estáticos
S x'=\u222b
A
y ' .dA=\u222b
A
\ue09ea\ue083 y\ue09f. dA=\u222b
A
a.dA\ue083\u222b
A
y .dA
S x'=a .\u222b
A
dA , S x'=a . A
S y '=b . A
\u2013 Momentos de inércia
I x '=\u222b
A
\ue09e y ' \ue09f ² .dA=\u222b
A
\ue09ea\ue083 y \ue09f ² .dA=\u222b
A
\ue09e y²\ue0832.a.y\ue083a² \ue09f.dA
I x '=\u222b
A
y² .dA\ue0832a .\u222b
A
y .dA\ue083a²\u222b
A
dA
I x '= I xcg\ue083a² . A e
I y'=I ycg\ue083b² . A observar que momento de inércia é sempre positivo
\u2013 Produto de inércia:
I x ' y '=\u222b
A
\ue09e y ' . x ' \ue09f.dA=\u222b
A
\ue09ex\ue083b\ue09f.\ue09ea\ue083 y\ue09f .dA=\u222b
A
\ue09e x.y\ue083b.y\ue083a.x\ue083a.b\ue09f .dA
I x ' y '=\u222b
A
x.y .dA\ue083b .\u222b
A
y .dA\ue083a .\u222b
A
x.dA\ue083ab\u222b
A
dA
I x ' y '=I xycg\ue083a.b.A
Rotação de eixos
são conhecidas as características geométricas em relação aos eixos xy (centrais)
x '=x . cos\ue0be\ue083 y . sen\ue0be
y '= y . cos\ue0be\u2212 x . sen\ue0be
=0 (eixo x é central)
=0 (eixo x é central)
=0 =0 (x e y são eixos centrais)
dA
x
y
x
y
x'
y'
\u3b8
x c
os\u3b8
y c
os\u3b8
y s
en\u3b8
y'
x'
x s
en\u3b8
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 3
- Momentos de inércia:
I x '=\u222b
A
\ue09e y ' \ue09f ²=\u222b
A
\ue09e y.cos\ue0be\u2212 x . sen\ue0be\ue09f ² .dA=\u222b
A
\ue09e y² .cos² \ue0be\ue083x² . sen² \ue0be\u22122 . x . y . sen\ue0be . cos \ue0be\ue09f.dA
I x '=cos² \ue0be .\u222b
A
y² . dA\ue083sen² \ue0be .\u222b
A
x² .dA\u22122. sen\ue0be . cos \ue0be .\u222b
A
x . y .dA
I x '= I x .cos² \ue0be\ue083I y sen² \ue0be\u2212I xy . sen2\ue0be
ou, lembrando que cos² \ue0be=1\ue083cos 2\ue0be
2
 e sen² \ue0be=1\u2212cos 2\ue0be
2
I x '= I x\u22c5
1\ue083cos2\ue0be
2
\ue083I y\u22c5
1\u2212cos2\ue0be
2
\u2212I xy\u22c5sen 2\ue0be
I x '=
I x\ue083 I y
2
\ue083
I x\u2212I y
2
\u22c5cos 2\ue0be\u2212I xy\u22c5sen 2\ue0be
A expressão de Iy' se obtém analogamente ou então substituindo \ue0be por \ue0be\ue083
\ue0c6
2
na 
expressão de Ix'.
O valor de Iy' pode ser obtido usando a propriedade I x\ue083 I y= I x'\ue083I y'= I p
\u2013 Produto de inércia:
I x ' y '=\u222b
A
x ' . y ' .dA=\u222b
A
\ue09ex .cos \ue0be\ue083 y . sen\ue0be\ue09f\u22c5\ue09e y . cos\ue0be\u2212 x . sen\ue0be\ue09f.dA
I x ' y '=\u222b
A
\ue09ex . y cos² \ue0be\u2212x . y . sen² \ue0be\u2212 x² . sen\ue0be .cos \ue0be\ue083 y² . sen\ue0be .cos \ue0be\ue09f.dA
I x ' y '=I xy .\ue09ecos² \ue0be\u2212sen² \ue0be\ue09f\ue083I xy . sen \ue0be . cos\ue0be
I x ' y '=
I x\u2212I y
2
\u22c5sen 2\ue0be\ue083I xy . cos2\ue0be