CaracteristicasGeometricas
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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 1

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS

– Área:
A=∫

A

dA

– Momento estático:
S x=∫

A

y.dA e S y=∫
A

x .dA

– Momento de Inércia:
I x=∫A y² .dA e I y=∫A x² .dA

– Produto de inércia:
I xy=∫

A

x . y dA

– Momento polar de inércia:
I p=∫

A

 ² .dA=∫
A

x² .dA∫
A

y² .dA=I xI y

– Coordenadas do centróide (xcg ; ycg)
A . xcg=∫

A

x. dA , então xcg=
1
A
⋅∫

A

x.dA

e ycg=
1
A
⋅∫

A
y .dA

o momento estático em relação ao eixo que passa pelo centróide é nulo.

Deslocamentos de eixos (paralelamente)

São conhecidas as características geométricas em relação aos eixos centrais
(eixos que passam pelo centróide)

y '= ya

x '=xb

CG

dA
x

y

xcg

 ycg
ρ

x

y

CG

dAx
y x

y

b
a

x'

y'

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 2

- Momentos estáticos
S x'=∫

A

y ' .dA=∫
A

a y. dA=∫
A

a.dA∫
A

y .dA

S x'=a .∫
A
dA , S x'=a . A

S y '=b . A

– Momentos de inércia
I x '=∫

A

 y '  ² .dA=∫
A

a y  ² .dA=∫
A

 y²2.a.ya² .dA

I x '=∫
A
y² .dA2a .∫

A
y .dAa²∫

A
dA

I x '= I xcga² . A e

I y'=I ycgb² . A observar que momento de inércia é sempre positivo

– Produto de inércia:
I x ' y '=∫

A

 y ' . x ' .dA=∫
A

xb.a y .dA=∫
A

 x.yb.ya.xa.b .dA

I x ' y '=∫
A

x.y .dAb .∫
A

y .dAa .∫
A

x.dAab∫
A

dA

I x ' y '=I xycga.b.A

Rotação de eixos
são conhecidas as características geométricas em relação aos eixos xy (centrais)

x '=x . cos y . sen

y '= y . cos− x . sen

=0 (eixo x é central)

=0 (eixo x é central)

=0 =0 (x e y são eixos centrais)

dA
x

y

x

y

x'

y'

θ

x c
osθ

y c
osθ

y s
enθ

y'

x'

x s
enθ

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 3

- Momentos de inércia:
I x '=∫

A

 y '  ²=∫
A

 y.cos− x . sen ² .dA=∫
A

 y² .cos² x² . sen² −2 . x . y . sen . cos .dA

I x '=cos²  .∫
A
y² . dAsen²  .∫

A
x² .dA−2. sen . cos  .∫

A
x . y .dA

I x '= I x .cos² I y sen² −I xy . sen2

ou, lembrando que cos² =1cos 2
2

 e sen² =1−cos 2
2

I x '= I x⋅
1cos2

2
I y⋅

1−cos2
2

−I xy⋅sen 2

I x '=
I x I y

2


I x−I y
2

⋅cos 2−I xy⋅sen 2

A expressão de Iy' se obtém analogamente ou então substituindo  por 

2

na

expressão de Ix'.

O valor de Iy' pode ser obtido usando a propriedade I x I y= I x'I y'= I p

– Produto de inércia:
I x ' y '=∫

A

x ' . y ' .dA=∫
A

x .cos  y . sen⋅ y . cos− x . sen.dA

I x ' y '=∫
A

x . y cos² −x . y . sen² − x² . sen .cos  y² . sen .cos .dA

I x ' y '=I xy .cos² −sen² I xy . sen  . cos

I x ' y '=
I x−I y

2
⋅sen 2I xy . cos2