CriteriosResistencia
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CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

7.1. Introdução

Dependendo das condições de solicitação, o material pode se encontrar sob
diferentes estados mecânicos. Quando as cargas (externas) são pequenas o material se
encontra em estado elástico (o material trabalha elasticamente). Aumentando-se as cargas
começam a aparecer deformações residuais consideráveis e o material se encontra no estado
plástico. Se aparecem trincas locais, o material atinge o estado de rotura.

O estado mecânico num ponto depende, principalmente, do estado tensional naquele
ponto.

Chamamos estado tensional limite o caso em que o material passa de um estado
mecânico a outro. Para material dúctil, o estado limite é o caso em que aparecem
deformações excessivas e para material frágil quando começa a rotura do material.

O estado tensional limite pode ser considerado como uma característica da material.
O estado tensional no ponto mais solicitado é comparado com o estado tensional limite do
material. Desta comparação se chega à conclusão a respeito da segurança ou não da
estrutura. O problema consiste, basicamente, na determinação do estado tensional limite.

No caso de tração ou compressão uni-axial, este problema se resolve facilmente pelo
ensaio do material à tração ou compressão onde se escolhe no diagrama tensão-deformação
o ponto característico do estado tensional limite:

• Materiais dúcteis :
• Materiais frágeis:

Vejamos agora o caso do estado triplo de tensão dado pelas tensões principais
 . Para cada combinação de σ1 σ2 σ3 e para cada material teríamos que realizar

ensaios para determinarmos o estado tensional limite. É claro que este procedimento é
impossível de se realizar devido a infinidade de combinações e as dificuldades técnicas que
surgiriam durante os ensaios.

Devido a estas dificuldades, surgiu a necessidade de se desenvolverem métodos
gerais para se determinar o grau de perigo de um estado tensional quando se dispõe de um
número limitado de ensaios mecânicos do material. Estes diversos métodos são chamados
critérios de resistência.

Podemos generalizar o conceito de coeficiente de segurança: suponhamos dado um
determinado estado tensional. Aumentando proporcionalmente todas as componentes de
tensão, chegaremos mais cedo ou mais tarde a um estado tensional limite. Então,
coeficiente de segurança é o número que indica quantas vezes se deve aumentar todas as
componentes do estado tensional dado para que ele se converta em um estado limite.

Se em dois estados tensionais, os coeficientes de segurança são iguais, estes dois
estados são considerados igualmente perigosos.

O problema agora é determinar a que tensão de tração (ou de compressão) deverá ser
submetida uma barra para que o seu estado tensional seja igualmente perigoso ao estado
tensional dado. Esta tensão de tração é chamada de tensão equivalente σeq.

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

321 σσσ ≥≥

escσσ =lim
rotσσ =lim

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O nosso problema é expressar σeq em função de σ1, σ2 e σ3 de tal forma que o grau de
perigo do estado tensional A seja o mesmo do estado tensional B.

O coeficiente de segurança é:

O valor de σeq é calculado pelos diversos critérios que passaremos a estudar.

7.2. CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE e LAMÉ)

“A maior tensão de tração e a maior tensão de compressão não devem ultrapassar os
valores das tensões limites obtidas, respectivamente, nos ensaios de tração simples e de
compressão simples”.

No círculo de Mohr, teremos

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

τ

eq

n
σ

σ lim
=

σ
2

σ
3

σ
1

σ
eq

σ
eq

A B

ct σσσσσ ≥≥≥≥ 321

o σ
t

σ
c

σ

AB

B A

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Esta teoria fixa que só satisfazem à condição de segurança os estados de tensão
representados por círculos de Mohr situados entre as paralelas AA e BB.

Em um sistema de coordenadas σmax x σmin , teremos

De acordo com esta teoria, pontos situados no interior do retângulo caracterizam a
segurança do estado tensional.

A desvantagem deste critério é que não considera a influência simultânea das
tensões σ1 e σ2 .

Esta teoria é aplicável a materiais frágeis (com uma das tensões principais de
tração).

7.3. CRITÉRIO DA MAIOR DEFORMAÇÃO LINEAR (PONCELET e SAINT-
VENANT)

(para materiais frágeis)
Este critério estabelece que a rotura de uma amostra sujeita a qualquer combinação

de cargas ocorre quando a deformação normal máxima em qualquer ponto atinge a
deformação limite determinada em um teste de tração simples.

Seja o elemento submetido às tensões principais σ1 e σ2

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

σt

σtσc

σc

σ1

σ2

σ
1

σ2

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Pontos no interior do losango caracterizam a segurança do estado tensional.
Esta teoria não é confirmada experimentalmente.

7.4. CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE (TRESCA)

"A maior tensão de cisalhamento não deve ultrapassar a metade da tensão limite de
tração, determinada no ensaio de tração simples".

Este critério se baseia no fato de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado
por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, deslizamento devido ,
principalmente às tensões cisalhantes.

O círculo de Mohr para tração uni-axial será:

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

ν

σ

−1
lim

ν

σ

+1
lim

212
1

max

lim
1

2

lim
2

1

., σνσσ
σ

σ
νσ

ε

σ
σ

νσ
ε

σ
σ

νσ
ε

−=≤−=

≤−=

≤−=

eq
eq

EEE

EEE

EEE

σ
lim

σ
lim

σ
lim

σ
lim

σ
1

σ
2

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No caso geral teremos,

σeq = σ1 - σ3

Segundo este critério, se a tensão de cisalhamento atinge o valor limite, o material
escoa.

Observe-se que se adicionarmos um estado uniforme de tensões ao estado de tensão,
o valor da tensão cisalhante máxima não se altera. Então, segundo este critério,

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

2
lim

max
σ

τ =

2
31

max
σσ

τ
−

=

σ
lim

σ

τ

σ

τ

σ
3

σ
2

σ
1

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Os dois estados de tensão seriam igualmente perigosos, o que é um absurdo.

Para contornar esta incoerência, foi sugerido o uso deste critério juntamente com o
da máxima tensão normal (critério de TRESCA). Sua representação gráfica será:

No círculo de Mohr

Qualquer círculo de Mohr com raio < τmax caracterizará a segurança do estado tensional.

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

σ1+p

σ3+p

σ2+pσ
2

σ
3

σ1

AB

B A

o σtσc σ

τ

τmax

τmax

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Nos eixos σ1 x σ3 ,

Pontos no interior do hexágono caracterizam a segurança do estado tensional.

7.5. CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO (von MISES)

Materiais dúcteis que tenham aproximadamente a mesma resistência à tração e à
compressão.

Segundo a teoria, o material resiste até que a energia de distorção alcance um valor
limite, constante para cada material.

Vimos que, para um estado tri-axial de tensão, a densidade de energia de distorção é
dada por

Na tração simples, temos

Se igualarmos as energias, teremos

2σeq2 = ( σ1 - σ2 )2 + (σ1 - σ3 )2 + (σ2 - σ3 )2

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

σ
1

σ
3

σ