CriteriosResistencia
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CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
7.1. Introdução
Dependendo das condições de solicitação, o material pode se encontrar sob 
diferentes estados mecânicos. Quando as cargas (externas) são pequenas o material se 
encontra em estado elástico (o material trabalha elasticamente). Aumentando-se as cargas 
começam a aparecer deformações residuais consideráveis e o material se encontra no estado 
plástico. Se aparecem trincas locais, o material atinge o estado de rotura.
O estado mecânico num ponto depende, principalmente, do estado tensional naquele 
ponto.
Chamamos estado tensional limite o caso em que o material passa de um estado 
mecânico a outro. Para material dúctil, o estado limite é o caso em que aparecem 
deformações excessivas e para material frágil quando começa a rotura do material.
O estado tensional limite pode ser considerado como uma característica da material. 
O estado tensional no ponto mais solicitado é comparado com o estado tensional limite do 
material. Desta comparação se chega à conclusão a respeito da segurança ou não da 
estrutura. O problema consiste, basicamente, na determinação do estado tensional limite.
No caso de tração ou compressão uni-axial, este problema se resolve facilmente pelo 
ensaio do material à tração ou compressão onde se escolhe no diagrama tensão-deformação 
o ponto característico do estado tensional limite:
\u2022 Materiais dúcteis : 
\u2022 Materiais frágeis: 
Vejamos agora o caso do estado triplo de tensão dado pelas tensões principais
 . Para cada combinação de \u3c31 \u3c32 \u3c33 e para cada material teríamos que realizar 
ensaios para determinarmos o estado tensional limite. É claro que este procedimento é 
impossível de se realizar devido a infinidade de combinações e as dificuldades técnicas que 
surgiriam durante os ensaios.
Devido a estas dificuldades, surgiu a necessidade de se desenvolverem métodos 
gerais para se determinar o grau de perigo de um estado tensional quando se dispõe de um 
número limitado de ensaios mecânicos do material. Estes diversos métodos são chamados 
critérios de resistência.
Podemos generalizar o conceito de coeficiente de segurança: suponhamos dado um 
determinado estado tensional. Aumentando proporcionalmente todas as componentes de 
tensão, chegaremos mais cedo ou mais tarde a um estado tensional limite. Então, 
coeficiente de segurança é o número que indica quantas vezes se deve aumentar todas as 
componentes do estado tensional dado para que ele se converta em um estado limite.
Se em dois estados tensionais, os coeficientes de segurança são iguais, estes dois 
estados são considerados igualmente perigosos.
O problema agora é determinar a que tensão de tração (ou de compressão) deverá ser 
submetida uma barra para que o seu estado tensional seja igualmente perigoso ao estado 
tensional dado. Esta tensão de tração é chamada de tensão equivalente \u3c3eq.
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
321 \u3c3\u3c3\u3c3 \u2265\u2265
esc\u3c3\u3c3 =lim
rot\u3c3\u3c3 =lim
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O nosso problema é expressar \u3c3eq em função de \u3c31, \u3c32 e \u3c33 de tal forma que o grau de 
perigo do estado tensional A seja o mesmo do estado tensional B.
O coeficiente de segurança é:
O valor de \u3c3eq é calculado pelos diversos critérios que passaremos a estudar.
7.2. CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE e LAMÉ)
\u201cA maior tensão de tração e a maior tensão de compressão não devem ultrapassar os 
valores das tensões limites obtidas, respectivamente, nos ensaios de tração simples e de 
compressão simples\u201d.
No círculo de Mohr, teremos
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
\u3c4
eq
n
\u3c3
\u3c3 lim
=
\u3c3
2
\u3c3
3
\u3c3
1
\u3c3
eq
\u3c3
eq
A B
ct \u3c3\u3c3\u3c3\u3c3\u3c3 \u2265\u2265\u2265\u2265 321
o \u3c3
t
\u3c3
c
\u3c3
AB
B A
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Esta teoria fixa que só satisfazem à condição de segurança os estados de tensão 
representados por círculos de Mohr situados entre as paralelas AA e BB.
Em um sistema de coordenadas \u3c3max x \u3c3min , teremos
De acordo com esta teoria, pontos situados no interior do retângulo caracterizam a 
segurança do estado tensional.
A desvantagem deste critério é que não considera a influência simultânea das 
tensões \u3c31 e \u3c32 .
Esta teoria é aplicável a materiais frágeis (com uma das tensões principais de 
tração).
7.3. CRITÉRIO DA MAIOR DEFORMAÇÃO LINEAR (PONCELET e SAINT-
VENANT)
(para materiais frágeis)
Este critério estabelece que a rotura de uma amostra sujeita a qualquer combinação 
de cargas ocorre quando a deformação normal máxima em qualquer ponto atinge a 
deformação limite determinada em um teste de tração simples. 
Seja o elemento submetido às tensões principais \u3c31 e \u3c32
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
\u3c3t
\u3c3t\u3c3c
\u3c3c
\u3c31
\u3c32
\u3c3
1
\u3c32
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Pontos no interior do losango caracterizam a segurança do estado tensional.
Esta teoria não é confirmada experimentalmente.
7.4. CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE (TRESCA)
"A maior tensão de cisalhamento não deve ultrapassar a metade da tensão limite de 
tração, determinada no ensaio de tração simples".
Este critério se baseia no fato de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado 
por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, deslizamento devido , 
principalmente às tensões cisalhantes.
O círculo de Mohr para tração uni-axial será:
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
\u3bd
\u3c3
\u22121
lim
\u3bd
\u3c3
+1
lim
212
1
max
lim
1
2
lim
2
1
., \u3c3\u3bd\u3c3\u3c3
\u3c3
\u3c3
\u3bd\u3c3
\u3b5
\u3c3
\u3c3
\u3bd\u3c3
\u3b5
\u3c3
\u3c3
\u3bd\u3c3
\u3b5
\u2212=\u2264\u2212=
\u2264\u2212=
\u2264\u2212=
eq
eq
EEE
EEE
EEE
\u3c3
lim
\u3c3
lim
\u3c3
lim
\u3c3
lim
\u3c3
1
\u3c3
2
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No caso geral teremos,
\u3c3eq = \u3c31 - \u3c33
Segundo este critério, se a tensão de cisalhamento atinge o valor limite, o material 
escoa.
Observe-se que se adicionarmos um estado uniforme de tensões ao estado de tensão, 
o valor da tensão cisalhante máxima não se altera. Então, segundo este critério,
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
2
lim
max
\u3c3
\u3c4 =
2
31
max
\u3c3\u3c3
\u3c4
\u2212
=
\u3c3
lim
\u3c3
\u3c4
\u3c3
\u3c4
\u3c3
3
\u3c3
2
\u3c3
1
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Os dois estados de tensão seriam igualmente perigosos, o que é um absurdo.
Para contornar esta incoerência, foi sugerido o uso deste critério juntamente com o 
da máxima tensão normal (critério de TRESCA). Sua representação gráfica será:
No círculo de Mohr
Qualquer círculo de Mohr com raio < \u3c4max caracterizará a segurança do estado tensional.
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
\u3c31+p
\u3c33+p
\u3c32+p\u3c3
2
\u3c3
3
\u3c31
AB
B A
o \u3c3t\u3c3c \u3c3
\u3c4
\u3c4max
\u3c4max
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Nos eixos \u3c31 x \u3c33 ,
Pontos no interior do hexágono caracterizam a segurança do estado tensional.
7.5. CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO (von MISES)
Materiais dúcteis que tenham aproximadamente a mesma resistência à tração e à 
compressão.
Segundo a teoria, o material resiste até que a energia de distorção alcance um valor 
limite, constante para cada material.
Vimos que, para um estado tri-axial de tensão, a densidade de energia de distorção é 
dada por
Na tração simples, temos
Se igualarmos as energias, teremos
2\u3c3eq2 = ( \u3c31 - \u3c32 )2 + (\u3c31 - \u3c33 )2 + (\u3c32 - \u3c33 )2
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
\u3c3
1
\u3c3
3
\u3c3