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ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
Estado de Tensão Num Ponto
Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto
 ∑ F x=∑ F y=∑ F z=0
 
 
 
 
 Figura 01
∑M x=0 ,  yz . dx .dz . dy=zy .dx . dy . dz=0 yz=zy
∑M y=0, xz=zx
∑M z=0 , τxy=τ yx
⇒ Em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tensões de 
cisalhamento, perpendiculares à aresta comum, são iguais e formam 
binários de sentidos opostos.
Sejam as componentes de tensão num plano qualquer, inclinado em relação às 
direções x, y e z.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
1
Nas facetas paralelas escondidas, 
temos as mesmas componentes, 
de modo que:
x
y
dx
dz
dy
z
τzx
σy
σxσy
τxy
τxz
τzy
τyz
τyx
 
 
 
 
 
 Figura 02
Componentes de tensão num plano qualquer:
 
 
 
 Figura 03
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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y
dAx
dAz
dA: área do triângulo inclinado
dAx
z
x
y
x
z
ρx
ρy
ρz
Componentes da tensão nos planos ⊥ a x, y e z:
 
 
 
 
 
 
 Figura 04
Equilíbrio de Forças:
∑ Fx=0 , ρx . dA=σ x . dA x+τ yx .dA y+τzx . dA z
∑ F y=0 , y . dA=xy . dAx y . dAyzy . dAz
∑ F z=0 ,  z . dA= xz .dAx yz .dAy z . dAz
ou, matricialmente,
dA⋅[ρxρyρz ]=[
σ x τxy τxz
τxy σ y τ yz
τ xz τ yz σ z ]⋅[dA xdA ydA z ]
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
3
y
x
z
σz
τyx
σx
σy
τxy τyz
τzy
τzxτxz
Obs.: A matriz das componentes da tensão nos planos perpendiculares a x, y e z é 
simétrica (τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz)
Escrevendo dAx = nx.dA, dAy = ny.dA e dAz = nz.dA,
onde nx, ny e nz são os cossenos diretores da normal n ao plano inclinado, relativos 
às direções x, y e z, respectivamente, temos:
[ρxρ yρz ]=[
σ x τxy τ xz
τxy σ y τ yz
τxz τ yz σz ]⋅[nxn yn z ]
⇒ O estado de tensão num ponto fica determinado pelas seis 
componentes σx, σy, σz, τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz, medidas em três planos 
ortogonais entre si, que contenham o ponto. As componentes em qualquer outro 
plano são obtidas a partir dessas seis componentes.
A tensão resultante no plano inclinado é 
= x2 y2 z2
e pode ser decomposta numa componente normal σ e outra tangencial τ, tais que
= 22
com = x .n x y . n yz . n z ou
σ=σ x .nx
2+σ y . n y
2+σ z .nz
2+2. τxy . nx .ny+2. τ yz .n y . nz+2. τxz . nz . nx
Considerando que nx, ny e nz são as variáveis em questão (cada conjunto nx, ny, nz 
define um plano que contem o ponto), a expressão acima é a equação de uma 
superfície central de 2a ordem. Assim sendo, girando-se o sistema de coordenadas 
(nx, ny, nz), pode-se obter uma equação onde são nulos os coeficientes dos produtos 
de coordenadas. 
Se assim o fizermos, teremos
=1 .n1
2 2. n2
23 . n3
2 e
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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12=23=31=0 ,
onde as novas direções 1, 2 e 3 são chamadas de direções principais.
Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as tensões 
normais σ1, σ2 e σ3 são as tensões principais. Designa-se σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
 
 
 Figura 05
Tomando como referência as direções principais, as componentes da tensão num 
plano qualquer seriam:
[123] = [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
]⋅[n1n2n3] ou {
1=1 . n1
2= 2 . n2
3=3 . n3
}
Como n x
2n y
2n z
2=n1
2n2
2n3
2=1 , temos:
 1 1 
2
 2 2 
2
 33 
2
=1
Interpretando as componentes ρ1, ρ2 e ρ3 como um conjunto de variáveis, a 
expressão acima representa um elipsóide cujos semi-eixos são as tensões principais 
σ1, σ2 e σ3. É o chamado elipsóide das tensões.
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σ2
σ1
σ3
 
 =122232
 
 
 Figura 06
Daí se conclui que σ1 = σmáx e que σ3 = σmin (não há coordenada da superfície do 
elipsóide maior do que σ1 nem menor do que σ3).
Determinação das Tensões Principais:
Suponhamos que o plano inclinado é um plano principal.
 
 
 
 Figura 07
Assim, x= . n x , y= .n y ,  z= . nz e
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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2
1
3
ρ
σ1
σ2
σ3
y
n
z
x
ρ = σ (τ = 0)
σ .⋅[nxn ynz ]=[σ x τxy τxzτxy σ y τ yzτ xz τ yz σ z ]⋅[
n x
n y
nz ] ou 
[σx−σ τxy τ xzτxy σ y−σ τ yzτxz τ yz σ z−σ ]⋅[n xn ynz ]=[
0
0
0] (sitema homogêneo)
A solução trivial nx = ny = nz = 0 contraria a hipótese nx2 + ny2 + nz2 = 1.
Para que um sistema homogêneo tenha solução não trivial é necessário que o 
determinante da matriz do sistema seja nulo, isto é,
∣σ x−σ τxy τxzτxy σ y−σ τ yzτxz τ yz σ z−σ∣=0
Desenvolvendo este determinante, temos a equação do terceiro grau:
3− I 1 .
2 I 2.−I 3=0
onde
I 1= x y z
I 2=σ x .σ y+σ y .σ z+σ z .σ x−τxy
2 −τ yz
2 −τ xz
2
I3=∣σ x τxy τ xzτxy σ y τ yzτxz τ yz σ z∣
As raízes desta equação são:
1=
I 1
3
2⋅cos 3 ⋅Q onde, =arc cos  RQ3 
1=
I 1
3
2⋅cos 32400⋅Q Q= I 1
2−3. I 2
9
1=
I 1
3
2⋅cos 31200⋅Q R=−9. I 1 . I 227 . I 32 . I 1
3
54
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
7
Como os valores das tensões principais σ1, σ2 e σ3 independem das direções x, y e 
z previamente estabelecidas, os coeficientes I1, I2 e I3 também independem destas 
direções e, por isto, são chamados de Invariantes de Tensão ou Invariantes do 
Estado de Tensão.
Casos Particulares:
a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula ⇒ Estado Plano ou Biaxial de Tensão
b) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas ⇒ Estado Simples ou Uniaxial de 
Tensão
Para determinarmos os planos principais basta substituir cada um dos valores de σ 
(σ1, σ2, σ3) no sistema homogêneo e determinar, em cada caso, os cossenos 
diretores da normal ao plano (nx, ny e nz).
Porém, como as equações de um sistema homogêneo são linearmente dependentes, 
teremos, em cada caso, infinitas soluções do tipo
[n xn ynz ]=⋅[
n x0
n y0
n z0 ]
onde β é um escalar diferente de zero e nxo, nyo e nzo valores numéricos conhecidos, 
obtidos na resolução do sistema.
A solução única, para cada plano principal, é obtida da condição n x
2n y
2n z
2=1 , 
isto é,
[n xn ynz ]=1n⋅[
nx0
n y0
n z0 ] onde n=nx02 n y02 nz02 .
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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Círculos de Mohr:
Em muitos casos práticos, um dos planos principais é reconhecido por simples 
observação (casos das solicitações simples, por exemplo). Nestes casos, a 
determinação dos demais planos principais e das tensões principais se simplifica.
Seja determinar as componentes de tensão normal σ e de cisalhamento τ num plano 
qualquer paralelo a uma das três direções principais (por exemplo, à direção 3).
 
 
 
Figura 08
∑ F n=0 , ⋅dS=1⋅dS⋅cos⋅cos 2⋅dS⋅sen⋅sen
=1 cos
22⋅sen
2
∑ F t=0 , ⋅dS= 1⋅dS⋅cos⋅sen− 2⋅sen⋅cos
=1− 2⋅sen⋅cos
A primeira expressão pode ser escrita na forma, lembrando que
cos2=
1cos 2
2
e sen2=
1−cos2
2
,
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
9
dz
dy
dx
dS
dS . cos θ
dS . sen θ
θ
θ
σ1
σ2
σ3
σ1
σ2
σ
n
t
=1⋅
1cos2
2
 2⋅
1−cos 2
2
=
1 2
2

1− 2
2
⋅cos2
A segunda expressão pode ser escrita na forma
=
1−2
2
⋅sen2
Estas expressões fornecem os valores das componentes de tensão normal e de 
cisalhamento nos planos paralelos ao eixo principal 3. De maneira análoga, 
podemos expressar as componentes de tensão nos planos paralelos aos demais 
eixos principais.
As expressões acima são, na verdade, as equações paramétricas de uma 
circunferência
x=ar⋅cos
y=br⋅sen
onde x= é a tensão normal
y= é a tensão de cisalhamento
a , b=1 22 ,0 são as coordenadas do centro do círculo 
r=
 1−2
3
 é o raio do círculo
=2 é o parâmetro (θ é o ângulo entre o plano 
principal 1 e o plano qualquer)
Elevando ao quadrado cada membro de cada equação e somando membro a 
membro, obtemos:
[−122 ]
2
2=[1−22 ]
2
 ou x−a 2 y−b 2=r 2
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
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que é a equação normal da circunferência.

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