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r=
\ue0c8 1\u2212\ue0c82
2
 
 
\ue0c81\ue083\ue0c8 2
2
Figura 09
Cada ponto da circunferência representa um plano inclinado de um ângulo \u3b8 em 
relação ao plano principal 1, onde atuam componentes de tensão \u3c3 e \u3c4 iguais às 
suas coordenadas.
Analogamente, teremos mais dois círculos semelhantes a este: um, cuja 
circunferência representa os planos paralelos à direção principal 2 e outro, cuja 
circunferência representa os planos paralelos à direção principal 1.
 
 
 
 
 Figura 10
A estes círculos dá-se o nome de Círculos de Mohr. 
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
11
\u3c4
\u3c3
\u3c32
\u3c31
\u3c42\u3b8
r
(\u3c3,\u3c4)
\u3c4
\u3c4máx
\u3c33
\u3c32 \u3c31
2\u3b8 = 90°
\u3c3
Pode-se demonstrar que os planos de inclinação arbitrária em relação aos eixos 
principais são representados pelos pontos da região hachurada da figura acima.
Assim sendo, a máxima tensão de cisalhamento num ponto qualquer de um corpo 
solicitado vale
\ue0c9máx=
\ue0c81\u2212\ue0c8 3
2
=
\ue0c8máx\u2212\ue0c8min
2
 
e age num plano paralelo à direção principal 2 (direção da tensão principal 
intermediária \u3c32), inclinado de 45o em relação aos planos principais 1 e 3 
(respectivamente, os planos onde agem as máxima e mínima tensões normais \u3c31 e 
\u3c33).
Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da circunferência, 
representam planos ortogonais entre si.
Assim, podemos construir o Círculo de Mohr a partir das componentes de tensão 
em dois planos quaisquer ortogonais entre si, paralelos a uma direção principal.
 
 
 
 
 Figura 11
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
12
y
x
z
\u3c3y
\u3c3z
\u3c3x
\u3c4xy
\u3c4yx
Adotando-se a seguinte convenção de sinais para as tensões de cisalhamento,
 
o Círculo de Mohr fica
 
\u2223\ue0c9 xy\u2223=\u2223\ue0c9 yx\u2223
FIGURA 12
Centro do Círculo: \ue09e\ue0c8 x\ue083\ue0c8 y2 , 0\ue09f
Raio do Círculo: r=\ue08d\ue09e\ue0c8 x\u2212\ue0c8 y2 \ue09f2\ue083\ue0c9 xy2
As tensões principais são, portanto, \u3c3z, \u3c3I e \u3c3II, onde
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
13
\u3c4 \u3c4 \u3c4 \u3c4
( + ) ( - )
\u3c3I
\u3c3x
\u3c3y
\u3c3II
2\u3b8
\u3c3
\u3c4
\u3c4yx
\u3c4xy
(\u3c3x + \u3c3y)/2 (\u3c3x - \u3c3y)/2
\ue0c8 I , II=
\ue0c8 x\ue083\ue0c8 y
2
±\ue08d\ue09e\ue0c8 x\u2212\ue0c8 y2 \ue09f2\ue083\ue0c9 xy2
Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z 
dados por:
tg 2\ue0beP=\u2212
\ue0c9 xy
\ue0c8 x\u2212\ue0c8 y
2
ou tg 2\ue0beP=\u2212
2\u22c5\ue0c9 xy
\ue0c8 x\u2212\ue0c8 y
Casos Particulares:
a) Estado Plano de Tensão:
 
 
 
 
 Figura 13
b) Estado Simples de Tensão:
 
 
 
 
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
14
2\u3b8 = 90°
\u3c4
\u3c3
\u3c32 = \u3c33 = 0
\u3c31
\u3c4máx = \u3c31 / 2
2\u3b8 = 90°
\u3c4
\u3c3
\u3c33 = 0
\u3c4máx = \u3c31 / 2
\u3c32 
\u3c31
 Figura 14
c) Estado Triaxial Uniforme de Tensão:
 
 Figura 15
Estado de Deformação Num Ponto
y
v
 A\u2019
w A
 u
x
z
 Figura 16
AA\u2019: deslocamento do ponto genérico A
(u,v,w): componentes de vetor-deslocamento AA\u2019 segundo os eixos x, y e z, 
 respectivamente
As deformações lineares do ponto segundo as direções x, y e z são, 
respectivamente:
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
15
\u3c4
\u3c3
\u3c31 = \u3c32 = \u3c33
\u3b5x = \u2202u / \u2202x, \u3b5y = \u2202v / \u2202y e \u3b5z = \u2202w / \u2202z.
As deformações angulares segundo os planos xy, yz e zx são, respectivamente:
\u3b3xy = \u2202u / \u2202y + \u2202v / \u2202x, \u3b3yz = \u2202v / \u2202z + \u2202w / \u2202y e \u3b3zx = \u2202w / \u2202x + \u2202u / \u2202z.
Estas componentes da deformação (deformações lineares e angulares) constituem o 
Estado de Deformação do Ponto, isto é, são suficientes para se determinar as 
componentes em quaisquer outras direções.
De fato, seja determinar as componentes da deformação segundo as direções 
arbitrárias x\u2019, y\u2019 e z\u2019, tais que
nxx, nxy e nxz sejam os cossenos diretores de x\u2019 em relação a x, y e z, 
respectivamente,
nyx, nyy e nyz sejam os cossenos diretores de y\u2019 em relação a x, y e z, 
respectivamente,
nzx, nzy e nzz sejam os cossenos diretores de z\u2019 em relação a x, y e z, 
respectivamente.
Assim, podemos escrever
x = nxx.x\u2019 + nyx.y\u2019 + nzx.z\u2019 x\u2019 = nxx.x + nxy.y + nxz.z
y = nxy.x\u2019 + nyy.y\u2019 + nzy.z\u2019ou y\u2019 = nyx.x + nyy.y + nyz.z
z = nxz.x\u2019 + nyz.y\u2019 + nzz.z\u2019 z\u2019 = nzx.x + nzy.y + nzz.z
As variações das componentes do deslocamento, u, v e w, são:
du=\u2202 u
\u2202 x
\u22c5dx\ue083\u2202u
\u2202 y
\u22c5dy\ue083\u2202u
\u2202 z
\u22c5dz
dv=\u2202v
\u2202 x
\u22c5dx\ue083\u2202 v
\u2202 y
\u22c5dy\ue083\u2202 v
\u2202 z
\u22c5dz
dw=\u2202w
\u2202 x
\u22c5dx\ue083\u2202w
\u2202 y
\u22c5dy\ue083\u2202w
\u2202 z
\u22c5dz
ou, matricialmente,
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
16
[ dudvdw ]=[
\u2202u
\u2202 x
\u2202 u
\u2202 y
\u2202u
\u2202 z
\u2202v
\u2202 x
\u2202 v
\u2202 y
\u2202 v
\u2202 z
\u2202w
\u2202 x
\u2202w
\u2202 y
\u2202w
\u2202 z
]\u22c5[dxdydz ]=[
\u2202u
\u2202 x
\u2202u
\u2202 y
\u2202 u
\u2202 z
\u2202 v
\u2202 x
\u2202v
\u2202 y
\u2202 v
\u2202 z
\u2202w
\u2202 x
\u2202w
\u2202 y
\u2202w
\u2202 z
]\u22c5[nxx n yx n zxnxy n yy n zyn xz n yz nzz ]\u22c5[dx 'dy 'dz ' ]
A variação da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de eixos é:
du\u2019 = nxx.du + nxy.dv + nxz.dw.
Se substituirmos, nesta expressão, os valores de du, dv e dw acima indicados , 
poderemos deduzir que:
\ue0cfx '=
\u2202u '
\u2202 x '
=nxx
2 .\ue0cf x\ue083nxy
2 .\ue0cf y\ue083n xz
2 .\ue0cf z\ue083nxx . nxy .\ue0b9 xy\ue083n xy .n xz . \ue0b9 yz\ue083nxz .n xx .\ue0b9 zx
que é a equação de uma superfície central de 2a ordem análoga à obtida no estudo 
do estado de tensão. A comparação entre as duas equações estabelece as seguintes 
correspondências:
\u3b5x \u2194 \u3c3x, \u3b5y \u2194 \u3c3y, \u3b5z \u2194 \u3c3z, \u3b3xy \u2194 2\u3c4xy, \u3b3yz \u2194 2\u3c4yz, \u3b3zx \u2194 2\u3c4zx.
Esta expressão dá o valor da deformação linear numa direção qualquer, enquanto a 
obtida anteriormente dava o valor da tensão normal também numa direção 
qualquer.
Daí, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de tensão é válido para 
o estado de deformação, se respeitarmos as correspondências acima.
Desta forma, existem três direções ortogonais entre si, segundo as quais as 
deformações angulares são nulas. São as direções principais, designadas por 1, 2 e 
3. Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as 
deformações lineares segundo estas direções, \u3b51 \u2265 \u3b52 \u2265 \u3b53, são as deformações 
principais.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
17
Tais deformações podem ser obtidas, a exemplo do estado de tensão, pelas 
soluções da equação
\u3b53 - I1.\u3b52 + I2.\u3b5 - I3 = 0
onde, I 1=\ue0cf x\ue083\ue0cf y\ue083\ue0cfz
I 2=\ue0cfx .\ue0cf y\ue083\ue0cf y . \ue0cfz\ue083\ue0cf z . \ue0cf x\u2212
\ue0b9 xy
2
4
\u2212
\ue0b9 yz
2
4
\u2212
\ue0b9 zx
2
4
I3=\u2223 \u3b5x
\u3b3xy
2
\u3b3 xz
2
\u3b3 xy
2
\u3b5y
\u3b3 yz
2
\u3b3 xz
2
\u3b3 yz
2
\u3b5z \u2223
são os Invariantes de Deformação ou Invariantes do Estado de 
Deformação.
Casos Particulares:
a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula \u21d2 Estado Plano ou Biaxial de 
Deformação
b) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas \u21d2 Estado Simples ou Uniaxial de 
Deformação
Os planos principais são obtidos de maneira análoga à do estado de tensão.
Os Círculos de Mohr também podem ser construídos analogamente aos do estado 
de tensão, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as deformações lineares \u3b5 
e no vertical, a metade das deformações angulares \u3b3.
 
 
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
18
\u3b3/2
\u3b3máx/2 = (\u3b51 \u2013 \u3b53) /2
90°
\u3b53
\u3b52
\u3b51
 
 
 
 Figura 17
Supondo, por exemplo, a direção z principal, as deformações principais, normais 
aos planos paralelos à essa direção z, são
\ue0cf I , II=
\ue0cfx\ue083\ue0cf y
2
±\ue08d\ue09e \ue0cfx\u2212\ue0cf y2 \ue09f2\ue083\ue09e\ue0b9xy2 \ue09f2
Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z 
dados por:
tg 2\ue0beP=\u2212
\ue0c9xy
\ue0cf x\u2212\ue0cf y
Lei de Hooke Generalizada
Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto
 
 
 
 
 
 
 Figura 18
Sendo \u3b5ij a deformação linear na direção i provocada pela tensão normal \u3c3j, temos:
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
19
y
x
z
dy
dx
dz \u3c3y
\u3c3x\u3c3z
\u3c4xy
\u3c4yx\u3c4yz
\u3c4zy
\u3c4zx \u3c4xz
a) deformações devidas a \u3c3x:
\ue0cfxx=
\ue0c8 x
E
, \ue0cf yx=\ue0cf zx=\u2212\ue0c3\u22c5\ue0cf xx=\u2212
\ue0c3\u22c5\ue0c8 x
E
b) deformações devidas a \u3c3y:
\ue0cf yy=
\ue0c8 y
E
, \ue0cf xy=\ue0cf zy=\u2212\ue0c3\u22c5\ue0cf yy=\u2212
\ue0c3\u22c5\ue0c8 y
E
c) deformações devidas a \u3c3z:
\ue0cf zz=
\ue0c8 z
E
, \ue0cfxz=\ue0cf yz=\u2212\ue0c3\u22c5\ue0cf zz=\u2212
\ue0c3\u22c5\ue0c8 z
E
d) deformações devidas a \u3b3xy, \u3b3yz e \u3b3zx:
\ue0b9 xy=
\ue0c9 xy
G
, \ue0b9xz=
\ue0c9xz
G
e \ue0b9 yz=
\ue0c9 yz
G
Superpondo os efeitos, temos:
\ue0cfx=
\ue0c8 x
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 y\ue083\ue0c8 z\ue09f
\ue0cf y=
\ue0c8 y
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 z\ue083\ue0c8 x \ue09f
\ue0cf z=
\ue0c8 z
E
\u2212\ue0c3
E
\u22c5\ue09e\ue0c8 x\ue083\ue0c8 x \ue09f
\ue0b9 xy=
\ue0c9 xy
G
, \ue0b9 yz=
\ue0c9 yz
G
e \ue0b9 zx=
\ue0c9 zx
G onde G=
E
2\u22c5\ue09e1\ue083\ue0c3\ue09f
As expressões acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto é, para o 
Estado Geral de Tensão.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
20
Observa-se que se os eixos principais do estado de tensões são exatamente os 
mesmos eixos principais para o estado de