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r=
 1−2
2
 
 
1 2
2
Figura 09
Cada ponto da circunferência representa um plano inclinado de um ângulo θ em 
relação ao plano principal 1, onde atuam componentes de tensão σ e τ iguais às 
suas coordenadas.
Analogamente, teremos mais dois círculos semelhantes a este: um, cuja 
circunferência representa os planos paralelos à direção principal 2 e outro, cuja 
circunferência representa os planos paralelos à direção principal 1.
 
 
 
 
 Figura 10
A estes círculos dá-se o nome de Círculos de Mohr. 
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
11
τ
σ
σ2
σ1
τ2θ
r
(σ,τ)
τ
τmáx
σ3
σ2 σ1
2θ = 90°
σ
Pode-se demonstrar que os planos de inclinação arbitrária em relação aos eixos 
principais são representados pelos pontos da região hachurada da figura acima.
Assim sendo, a máxima tensão de cisalhamento num ponto qualquer de um corpo 
solicitado vale
máx=
1− 3
2
=
máx−min
2
 
e age num plano paralelo à direção principal 2 (direção da tensão principal 
intermediária σ2), inclinado de 45o em relação aos planos principais 1 e 3 
(respectivamente, os planos onde agem as máxima e mínima tensões normais σ1 e 
σ3).
Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da circunferência, 
representam planos ortogonais entre si.
Assim, podemos construir o Círculo de Mohr a partir das componentes de tensão 
em dois planos quaisquer ortogonais entre si, paralelos a uma direção principal.
 
 
 
 
 Figura 11
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
12
y
x
z
σy
σz
σx
τxy
τyx
Adotando-se a seguinte convenção de sinais para as tensões de cisalhamento,
 
o Círculo de Mohr fica
 
∣ xy∣=∣ yx∣
FIGURA 12
Centro do Círculo:  x y2 , 0
Raio do Círculo: r= x− y2 2 xy2
As tensões principais são, portanto, σz, σI e σII, onde
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
13
τ τ τ τ
( + ) ( - )
σI
σx
σy
σII
2θ
σ
τ
τyx
τxy
(σx + σy)/2 (σx - σy)/2
 I , II=
 x y
2
± x− y2 2 xy2
Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z 
dados por:
tg 2P=−
 xy
 x− y
2
ou tg 2P=−
2⋅ xy
 x− y
Casos Particulares:
a) Estado Plano de Tensão:
 
 
 
 
 Figura 13
b) Estado Simples de Tensão:
 
 
 
 
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
14
2θ = 90°
τ
σ
σ2 = σ3 = 0
σ1
τmáx = σ1 / 2
2θ = 90°
τ
σ
σ3 = 0
τmáx = σ1 / 2
σ2 
σ1
 Figura 14
c) Estado Triaxial Uniforme de Tensão:
 
 Figura 15
Estado de Deformação Num Ponto
y
v
 A’
w A
 u
x
z
 Figura 16
AA’: deslocamento do ponto genérico A
(u,v,w): componentes de vetor-deslocamento AA’ segundo os eixos x, y e z, 
 respectivamente
As deformações lineares do ponto segundo as direções x, y e z são, 
respectivamente:
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
15
τ
σ
σ1 = σ2 = σ3
εx = ∂u / ∂x, εy = ∂v / ∂y e εz = ∂w / ∂z.
As deformações angulares segundo os planos xy, yz e zx são, respectivamente:
γxy = ∂u / ∂y + ∂v / ∂x, γyz = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y e γzx = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z.
Estas componentes da deformação (deformações lineares e angulares) constituem o 
Estado de Deformação do Ponto, isto é, são suficientes para se determinar as 
componentes em quaisquer outras direções.
De fato, seja determinar as componentes da deformação segundo as direções 
arbitrárias x’, y’ e z’, tais que
nxx, nxy e nxz sejam os cossenos diretores de x’ em relação a x, y e z, 
respectivamente,
nyx, nyy e nyz sejam os cossenos diretores de y’ em relação a x, y e z, 
respectivamente,
nzx, nzy e nzz sejam os cossenos diretores de z’ em relação a x, y e z, 
respectivamente.
Assim, podemos escrever
x = nxx.x’ + nyx.y’ + nzx.z’ x’ = nxx.x + nxy.y + nxz.z
y = nxy.x’ + nyy.y’ + nzy.z’ou y’ = nyx.x + nyy.y + nyz.z
z = nxz.x’ + nyz.y’ + nzz.z’ z’ = nzx.x + nzy.y + nzz.z
As variações das componentes do deslocamento, u, v e w, são:
du=∂ u
∂ x
⋅dx∂u
∂ y
⋅dy∂u
∂ z
⋅dz
dv=∂v
∂ x
⋅dx∂ v
∂ y
⋅dy∂ v
∂ z
⋅dz
dw=∂w
∂ x
⋅dx∂w
∂ y
⋅dy∂w
∂ z
⋅dz
ou, matricialmente,
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
16
[ dudvdw ]=[
∂u
∂ x
∂ u
∂ y
∂u
∂ z
∂v
∂ x
∂ v
∂ y
∂ v
∂ z
∂w
∂ x
∂w
∂ y
∂w
∂ z
]⋅[dxdydz ]=[
∂u
∂ x
∂u
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ x
∂v
∂ y
∂ v
∂ z
∂w
∂ x
∂w
∂ y
∂w
∂ z
]⋅[nxx n yx n zxnxy n yy n zyn xz n yz nzz ]⋅[dx 'dy 'dz ' ]
A variação da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de eixos é:
du’ = nxx.du + nxy.dv + nxz.dw.
Se substituirmos, nesta expressão, os valores de du, dv e dw acima indicados , 
poderemos deduzir que:
x '=
∂u '
∂ x '
=nxx
2 . xnxy
2 . yn xz
2 . znxx . nxy . xyn xy .n xz .  yznxz .n xx . zx
que é a equação de uma superfície central de 2a ordem análoga à obtida no estudo 
do estado de tensão. A comparação entre as duas equações estabelece as seguintes 
correspondências:
εx ↔ σx, εy ↔ σy, εz ↔ σz, γxy ↔ 2τxy, γyz ↔ 2τyz, γzx ↔ 2τzx.
Esta expressão dá o valor da deformação linear numa direção qualquer, enquanto a 
obtida anteriormente dava o valor da tensão normal também numa direção 
qualquer.
Daí, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de tensão é válido para 
o estado de deformação, se respeitarmos as correspondências acima.
Desta forma, existem três direções ortogonais entre si, segundo as quais as 
deformações angulares são nulas. São as direções principais, designadas por 1, 2 e 
3. Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as 
deformações lineares segundo estas direções, ε1 ≥ ε2 ≥ ε3, são as deformações 
principais.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
17
Tais deformações podem ser obtidas, a exemplo do estado de tensão, pelas 
soluções da equação
ε3 - I1.ε2 + I2.ε - I3 = 0
onde, I 1= x yz
I 2=x . y y . z z .  x−
 xy
2
4
−
 yz
2
4
−
 zx
2
4
I3=∣ εx
γxy
2
γ xz
2
γ xy
2
εy
γ yz
2
γ xz
2
γ yz
2
εz ∣
são os Invariantes de Deformação ou Invariantes do Estado de 
Deformação.
Casos Particulares:
a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula ⇒ Estado Plano ou Biaxial de 
Deformação
b) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas ⇒ Estado Simples ou Uniaxial de 
Deformação
Os planos principais são obtidos de maneira análoga à do estado de tensão.
Os Círculos de Mohr também podem ser construídos analogamente aos do estado 
de tensão, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as deformações lineares ε 
e no vertical, a metade das deformações angulares γ.
 
 
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
18
γ/2
γmáx/2 = (ε1 – ε3) /2
90°
ε3
ε2
ε1
 
 
 
 Figura 17
Supondo, por exemplo, a direção z principal, as deformações principais, normais 
aos planos paralelos à essa direção z, são
 I , II=
x y
2
± x− y2 2xy2 2
Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z 
dados por:
tg 2P=−
xy
 x− y
Lei de Hooke Generalizada
Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto
 
 
 
 
 
 
 Figura 18
Sendo εij a deformação linear na direção i provocada pela tensão normal σj, temos:
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
19
y
x
z
dy
dx
dz σy
σxσz
τxy
τyxτyz
τzy
τzx τxz
a) deformações devidas a σx:
xx=
 x
E
,  yx= zx=−⋅ xx=−
⋅ x
E
b) deformações devidas a σy:
 yy=
 y
E
,  xy= zy=−⋅ yy=−
⋅ y
E
c) deformações devidas a σz:
 zz=
 z
E
, xz= yz=−⋅ zz=−
⋅ z
E
d) deformações devidas a γxy, γyz e γzx:
 xy=
 xy
G
, xz=
xz
G
e  yz=
 yz
G
Superpondo os efeitos, temos:
x=
 x
E
−
E
⋅ y z
 y=
 y
E
−
E
⋅ z x 
 z=
 z
E
−
E
⋅ x x 
 xy=
 xy
G
,  yz=
 yz
G
e  zx=
 zx
G onde G=
E
2⋅1
As expressões acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto é, para o 
Estado Geral de Tensão.
ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
20
Observa-se que se os eixos principais do estado de tensões são exatamente os 
mesmos eixos principais para o estado de

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