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ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

Estado de Tensão Num Ponto
Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto

 \u2211 F x=\u2211 F y=\u2211 F z=0

 Figura 01

\u2211M x=0 , \ue09e\ue0c9 yz . dx .dz \ue09f. dy=\ue09e\ue0c9zy .dx . dy\ue09f . dz=0\ue08c\ue0c9 yz=\ue0c9zy
\u2211M y=0, \ue0c9xz=\ue0c9zx
\u2211M z=0 , \u3c4xy=\u3c4 yx

\u21d2 Em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tensões de
cisalhamento, perpendiculares à aresta comum, são iguais e formam
binários de sentidos opostos.

Sejam as componentes de tensão num plano qualquer, inclinado em relação às
direções x, y e z.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

1

Nas facetas paralelas escondidas,
temos as mesmas componentes,
de modo que:

x

y

dx
dz

dy

z

\u3c4zx

\u3c3y

\u3c3x\u3c3y

\u3c4xy

\u3c4xz

\u3c4zy

\u3c4yz
\u3c4yx

 Figura 02

Componentes de tensão num plano qualquer:

 Figura 03

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

2

y

dAx

dAz

dA: área do triângulo inclinado

dAx

z

x

y

x

z

\u3c1x

\u3c1y

\u3c1z

Componentes da tensão nos planos \u22a5 a x, y e z:

 Figura 04

Equilíbrio de Forças:

\u2211 Fx=0 , \u3c1x . dA=\u3c3 x . dA x+\u3c4 yx .dA y+\u3c4zx . dA z
\u2211 F y=0 , \ue0c7y . dA=\ue0c9xy . dAx\ue083\ue0c8 y . dAy\ue083\ue0c9zy . dAz
\u2211 F z=0 , \ue0c7 z . dA=\ue0c9 xz .dAx\ue083\ue0c9 yz .dAy\ue083\ue0c8 z . dAz

ou, matricialmente,

dA\u22c5[\u3c1x\u3c1y\u3c1z ]=[
\u3c3 x \u3c4xy \u3c4xz
\u3c4xy \u3c3 y \u3c4 yz
\u3c4 xz \u3c4 yz \u3c3 z ]\u22c5[dA xdA ydA z ]

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

3

y

x

z

\u3c3z

\u3c4yx

\u3c3x

\u3c3y

\u3c4xy \u3c4yz

\u3c4zy

\u3c4zx\u3c4xz

Obs.: A matriz das componentes da tensão nos planos perpendiculares a x, y e z é
simétrica (\u3c4xy = \u3c4yx, \u3c4yz = \u3c4zy, \u3c4zx = \u3c4xz)

Escrevendo dAx = nx.dA, dAy = ny.dA e dAz = nz.dA,
onde nx, ny e nz são os cossenos diretores da normal n ao plano inclinado, relativos
às direções x, y e z, respectivamente, temos:

[\u3c1x\u3c1 y\u3c1z ]=[
\u3c3 x \u3c4xy \u3c4 xz
\u3c4xy \u3c3 y \u3c4 yz
\u3c4xz \u3c4 yz \u3c3z ]\u22c5[nxn yn z ]

\u21d2 O estado de tensão num ponto fica determinado pelas seis
componentes \u3c3x, \u3c3y, \u3c3z, \u3c4xy = \u3c4yx, \u3c4yz = \u3c4zy, \u3c4zx = \u3c4xz, medidas em três planos
ortogonais entre si, que contenham o ponto. As componentes em qualquer outro
plano são obtidas a partir dessas seis componentes.

A tensão resultante no plano inclinado é

\ue0c7=\ue08d\ue0c7 x2\ue083\ue0c7 y2\ue083\ue0c7 z2

e pode ser decomposta numa componente normal \u3c3 e outra tangencial \u3c4, tais que

\ue0c7=\ue08d\ue0c8 2\ue083\ue0c92

com \ue0c8=\ue0c7 x .n x\ue083\ue0c7 y . n y\ue083\ue0c7z . n z ou

\u3c3=\u3c3 x .nx
2+\u3c3 y . n y

2+\u3c3 z .nz
2+2. \u3c4xy . nx .ny+2. \u3c4 yz .n y . nz+2. \u3c4xz . nz . nx

Considerando que nx, ny e nz são as variáveis em questão (cada conjunto nx, ny, nz
define um plano que contem o ponto), a expressão acima é a equação de uma
superfície central de 2a ordem. Assim sendo, girando-se o sistema de coordenadas
(nx, ny, nz), pode-se obter uma equação onde são nulos os coeficientes dos produtos
de coordenadas.

Se assim o fizermos, teremos

\ue0c8=\ue0c81 .n1
2\ue083\ue0c8 2. n2

2\ue083\ue0c83 . n3
2 e

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4

\ue0c912=\ue0c923=\ue0c931=0 ,

onde as novas direções 1, 2 e 3 são chamadas de direções principais.

Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as tensões
normais \u3c31, \u3c32 e \u3c33 são as tensões principais. Designa-se \u3c31 \u2265 \u3c32 \u2265 \u3c33.

 Figura 05

Tomando como referência as direções principais, as componentes da tensão num
plano qualquer seriam:

[\ue0c71\ue0c72\ue0c73] = [
\ue0c81 0 0
0 \ue0c82 0
0 0 \ue0c83

]\u22c5[n1n2n3] ou {
\ue0c71=\ue0c81 . n1
\ue0c72=\ue0c8 2 . n2
\ue0c73=\ue0c83 . n3

}
Como n x

2\ue083n y
2\ue083n z

2=n1
2\ue083n2

2\ue083n3
2=1 , temos:

\ue09e \ue0c71\ue0c8 1 \ue09f
2

\ue083\ue09e \ue0c72\ue0c8 2 \ue09f
2

\ue083\ue09e \ue0c73\ue0c83 \ue09f
2

=1

Interpretando as componentes \u3c11, \u3c12 e \u3c13 como um conjunto de variáveis, a
expressão acima representa um elipsóide cujos semi-eixos são as tensões principais
\u3c31, \u3c32 e \u3c33. É o chamado elipsóide das tensões.

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5

\u3c32

\u3c31
\u3c33

 \ue0c7=\ue08d\ue0c712\ue083\ue0c722\ue083\ue0c732

 Figura 06

Daí se conclui que \u3c31 = \u3c3máx e que \u3c33 = \u3c3min (não há coordenada da superfície do
elipsóide maior do que \u3c31 nem menor do que \u3c33).

Determinação das Tensões Principais:

Suponhamos que o plano inclinado é um plano principal.

 Figura 07

Assim, \ue0c7x=\ue0c8 . n x , \ue0c7y=\ue0c8 .n y , \ue0c7 z=\ue0c8 . nz e

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

6

2

1

3

\u3c1

\u3c31

\u3c32

\u3c33

y
n

z

x

\u3c1 = \u3c3 (\u3c4 = 0)

\u3c3 .\u22c5[nxn ynz ]=[\u3c3 x \u3c4xy \u3c4xz\u3c4xy \u3c3 y \u3c4 yz\u3c4 xz \u3c4 yz \u3c3 z ]\u22c5[
n x
n y
nz ] ou

[\u3c3x\u2212\u3c3 \u3c4xy \u3c4 xz\u3c4xy \u3c3 y\u2212\u3c3 \u3c4 yz\u3c4xz \u3c4 yz \u3c3 z\u2212\u3c3 ]\u22c5[n xn ynz ]=[
0
0
0] (sitema homogêneo)

A solução trivial nx = ny = nz = 0 contraria a hipótese nx2 + ny2 + nz2 = 1.

Para que um sistema homogêneo tenha solução não trivial é necessário que o
determinante da matriz do sistema seja nulo, isto é,

\u2223\u3c3 x\u2212\u3c3 \u3c4xy \u3c4xz\u3c4xy \u3c3 y\u2212\u3c3 \u3c4 yz\u3c4xz \u3c4 yz \u3c3 z\u2212\u3c3\u2223=0
Desenvolvendo este determinante, temos a equação do terceiro grau:

\ue0c83\u2212 I 1 .\ue0c8
2\ue083 I 2.\ue0c8\u2212I 3=0

onde
I 1=\ue0c8 x\ue083\ue0c8 y\ue083\ue0c8 z
I 2=\u3c3 x .\u3c3 y+\u3c3 y .\u3c3 z+\u3c3 z .\u3c3 x\u2212\u3c4xy

2 \u2212\u3c4 yz
2 \u2212\u3c4 xz

2

I3=\u2223\u3c3 x \u3c4xy \u3c4 xz\u3c4xy \u3c3 y \u3c4 yz\u3c4xz \u3c4 yz \u3c3 z\u2223
As raízes desta equação são:

\ue0c81=
I 1
3
\ue0832\u22c5cos\ue09e \ue0be3 \ue09f\u22c5\ue08dQ onde, \ue0be=arc cos \ue09e R\ue08dQ3 \ue09f

\ue0c81=
I 1
3
\ue0832\u22c5cos\ue09e \ue0be3\ue0832400\ue09f\u22c5\ue08dQ Q=\ue09e I 1

2\u22123. I 2\ue09f
9

\ue0c81=
I 1
3
\ue0832\u22c5cos\ue09e \ue0be3\ue0831200\ue09f\u22c5\ue08dQ R=\ue09e\u22129. I 1 . I 2\ue08327 . I 3\ue0832 . I 1

3\ue09f
54

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

7

Como os valores das tensões principais \u3c31, \u3c32 e \u3c33 independem das direções x, y e
z previamente estabelecidas, os coeficientes I1, I2 e I3 também independem destas
direções e, por isto, são chamados de Invariantes de Tensão ou Invariantes do
Estado de Tensão.

Casos Particulares:
a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula \u21d2 Estado Plano ou Biaxial de Tensão
b) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas \u21d2 Estado Simples ou Uniaxial de
Tensão

Para determinarmos os planos principais basta substituir cada um dos valores de \u3c3
(\u3c31, \u3c32, \u3c33) no sistema homogêneo e determinar, em cada caso, os cossenos
diretores da normal ao plano (nx, ny e nz).

Porém, como as equações de um sistema homogêneo são linearmente dependentes,
teremos, em cada caso, infinitas soluções do tipo

[n xn ynz ]=\ue0b8\u22c5[
n x0
n y0
n z0 ]

onde \u3b2 é um escalar diferente de zero e nxo, nyo e nzo valores numéricos conhecidos,
obtidos na resolução do sistema.

A solução única, para cada plano principal, é obtida da condição n x
2\ue083n y

2\ue083n z
2=1 ,

isto é,

[n xn ynz ]=1n\u22c5[
nx0
n y0
n z0 ] onde n=\ue08dnx02 \ue083n y02 \ue083nz02 .

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

8

Círculos de Mohr:

Em muitos casos práticos, um dos planos principais é reconhecido por simples
observação (casos das solicitações simples, por exemplo). Nestes casos, a
determinação dos demais planos principais e das tensões principais se simplifica.

Seja determinar as componentes de tensão normal \u3c3 e de cisalhamento \u3c4 num plano
qualquer paralelo a uma das três direções principais (por exemplo, à direção 3).

Figura 08

\u2211 F n=0 , \ue0c8\u22c5dS=\ue0c81\u22c5dS\u22c5cos\ue0be\u22c5cos\ue0be\ue083\ue0c8 2\u22c5dS\u22c5sen\ue0be\u22c5sen\ue0be

\ue0c8=\ue0c81 cos
2\ue0be\ue083\ue0c82\u22c5sen

2\ue0be

\u2211 F t=0 , \ue0c9\u22c5dS=\ue0c8 1\u22c5dS\u22c5cos\ue0be\u22c5sen\ue0be\u2212\ue0c8 2\u22c5sen\ue0be\u22c5cos\ue0be

\ue0c9=\ue09e\ue0c81\u2212\ue0c8 2\ue09f\u22c5sen\ue0be\u22c5cos\ue0be

A primeira expressão pode ser escrita na forma, lembrando que

cos2\ue0be=
1\ue083cos \ue09e2\ue0be\ue09f

2
e sen2\ue0be=

1\u2212cos\ue09e2\ue0be\ue09f
2

,

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

9

dz

dy

dx

dS
dS . cos \u3b8

dS . sen \u3b8

\u3b8

\u3b8

\u3c31

\u3c32

\u3c33

\u3c31

\u3c32

\u3c3

n

t

\ue0c8=\ue0c81\u22c5
1\ue083cos\ue09e2\ue0be\ue09f

2
\ue083\ue0c8 2\u22c5

1\u2212cos \ue09e2\ue0be\ue09f
2

\ue0c8=
\ue0c81\ue083\ue0c8 2

2
\ue083
\ue0c81\u2212\ue0c8 2

2
\u22c5cos\ue09e2\ue0be\ue09f

A segunda expressão pode ser escrita na forma

\ue0c9=
\ue0c81\u2212\ue0c82

2
\u22c5sen\ue09e2\ue0be\ue09f

Estas expressões fornecem os valores das componentes de tensão normal e de
cisalhamento nos planos paralelos ao eixo principal 3. De maneira análoga,
podemos expressar as componentes de tensão nos planos paralelos aos demais
eixos principais.

As expressões acima são, na verdade, as equações paramétricas de uma
circunferência

x=a\ue083r\u22c5cos\ue0b7
y=b\ue083r\u22c5sen\ue0b7

onde x=\ue0c8 é a tensão normal
y=\ue0c9 é a tensão de cisalhamento

\ue09ea , b\ue09f=\ue09e\ue0c81\ue083\ue0c8 22 ,0\ue09f são as coordenadas do centro do círculo
r=

\ue0c8 1\u2212\ue0c82
3

 é o raio do círculo

\ue0b7=2\ue0be é o parâmetro (\u3b8 é o ângulo entre o plano
principal 1 e o plano qualquer)

Elevando ao quadrado cada membro de cada equação e somando membro a
membro, obtemos:

[\ue0c8\u2212\ue0c81\ue083\ue0c822 ]
2

\ue083\ue0c92=[\ue0c81\u2212\ue0c822 ]
2

 ou \ue09ex\u2212a \ue09f2\ue083\ue09e y\u2212b \ue09f2=r 2

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que é a equação normal da circunferência.