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r=
 1−2

2

1 2
2

Figura 09

Cada ponto da circunferência representa um plano inclinado de um ângulo θ em
relação ao plano principal 1, onde atuam componentes de tensão σ e τ iguais às
suas coordenadas.

Analogamente, teremos mais dois círculos semelhantes a este: um, cuja
circunferência representa os planos paralelos à direção principal 2 e outro, cuja
circunferência representa os planos paralelos à direção principal 1.

 Figura 10
A estes círculos dá-se o nome de Círculos de Mohr.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

11

τ
σ

σ2

σ1

τ2θ
r

(σ,τ)

τ

τmáx

σ3
σ2 σ1

2θ = 90°
σ

Pode-se demonstrar que os planos de inclinação arbitrária em relação aos eixos
principais são representados pelos pontos da região hachurada da figura acima.

Assim sendo, a máxima tensão de cisalhamento num ponto qualquer de um corpo
solicitado vale

máx=
1− 3

2
=

máx−min
2

e age num plano paralelo à direção principal 2 (direção da tensão principal
intermediária σ2), inclinado de 45o em relação aos planos principais 1 e 3
(respectivamente, os planos onde agem as máxima e mínima tensões normais σ1 e
σ3).

Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da circunferência,
representam planos ortogonais entre si.

Assim, podemos construir o Círculo de Mohr a partir das componentes de tensão
em dois planos quaisquer ortogonais entre si, paralelos a uma direção principal.

 Figura 11

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

12

y

x

z

σy

σz
σx

τxy

τyx

Adotando-se a seguinte convenção de sinais para as tensões de cisalhamento,

o Círculo de Mohr fica

∣ xy∣=∣ yx∣

FIGURA 12

Centro do Círculo:  x y2 , 0
Raio do Círculo: r= x− y2 2 xy2

As tensões principais são, portanto, σz, σI e σII, onde

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

13

τ τ τ τ

( + ) ( - )

σI
σx

σy
σII

2θ
σ

τ

τyx

τxy

(σx + σy)/2 (σx - σy)/2

 I , II=
 x y

2
± x− y2 2 xy2

Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z
dados por:

tg 2P=−
 xy

 x− y
2

ou tg 2P=−
2⋅ xy
 x− y

Casos Particulares:
a) Estado Plano de Tensão:

 Figura 13
b) Estado Simples de Tensão:

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

14

2θ = 90°

τ

σ
σ2 = σ3 = 0

σ1

τmáx = σ1 / 2

2θ = 90°

τ

σ
σ3 = 0

τmáx = σ1 / 2

σ2
σ1

 Figura 14

c) Estado Triaxial Uniforme de Tensão:

 Figura 15

Estado de Deformação Num Ponto
y

v
 A’

w A
 u

x
z

 Figura 16

AA’: deslocamento do ponto genérico A
(u,v,w): componentes de vetor-deslocamento AA’ segundo os eixos x, y e z,

 respectivamente

As deformações lineares do ponto segundo as direções x, y e z são,
respectivamente:

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

15

τ

σ

σ1 = σ2 = σ3

εx = ∂u / ∂x, εy = ∂v / ∂y e εz = ∂w / ∂z.

As deformações angulares segundo os planos xy, yz e zx são, respectivamente:

γxy = ∂u / ∂y + ∂v / ∂x, γyz = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y e γzx = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z.

Estas componentes da deformação (deformações lineares e angulares) constituem o
Estado de Deformação do Ponto, isto é, são suficientes para se determinar as
componentes em quaisquer outras direções.

De fato, seja determinar as componentes da deformação segundo as direções
arbitrárias x’, y’ e z’, tais que
nxx, nxy e nxz sejam os cossenos diretores de x’ em relação a x, y e z,
respectivamente,
nyx, nyy e nyz sejam os cossenos diretores de y’ em relação a x, y e z,
respectivamente,
nzx, nzy e nzz sejam os cossenos diretores de z’ em relação a x, y e z,
respectivamente.

Assim, podemos escrever

x = nxx.x’ + nyx.y’ + nzx.z’ x’ = nxx.x + nxy.y + nxz.z
y = nxy.x’ + nyy.y’ + nzy.z’ou y’ = nyx.x + nyy.y + nyz.z
z = nxz.x’ + nyz.y’ + nzz.z’ z’ = nzx.x + nzy.y + nzz.z

As variações das componentes do deslocamento, u, v e w, são:

du=∂ u
∂ x

⋅dx∂u
∂ y

⋅dy∂u
∂ z

⋅dz

dv=∂v
∂ x

⋅dx∂ v
∂ y

⋅dy∂ v
∂ z

⋅dz

dw=∂w
∂ x

⋅dx∂w
∂ y

⋅dy∂w
∂ z

⋅dz

ou, matricialmente,

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

16

[ dudvdw ]=[
∂u
∂ x

∂ u
∂ y

∂u
∂ z

∂v
∂ x

∂ v
∂ y

∂ v
∂ z

∂w
∂ x

∂w
∂ y

∂w
∂ z

]⋅[dxdydz ]=[
∂u
∂ x

∂u
∂ y

∂ u
∂ z

∂ v
∂ x

∂v
∂ y

∂ v
∂ z

∂w
∂ x

∂w
∂ y

∂w
∂ z

]⋅[nxx n yx n zxnxy n yy n zyn xz n yz nzz ]⋅[dx 'dy 'dz ' ]
A variação da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de eixos é:

du’ = nxx.du + nxy.dv + nxz.dw.

Se substituirmos, nesta expressão, os valores de du, dv e dw acima indicados ,
poderemos deduzir que:

x '=
∂u '
∂ x '

=nxx
2 . xnxy

2 . yn xz
2 . znxx . nxy . xyn xy .n xz .  yznxz .n xx . zx

que é a equação de uma superfície central de 2a ordem análoga à obtida no estudo
do estado de tensão. A comparação entre as duas equações estabelece as seguintes
correspondências:

εx ↔ σx, εy ↔ σy, εz ↔ σz, γxy ↔ 2τxy, γyz ↔ 2τyz, γzx ↔ 2τzx.

Esta expressão dá o valor da deformação linear numa direção qualquer, enquanto a
obtida anteriormente dava o valor da tensão normal também numa direção
qualquer.

Daí, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de tensão é válido para
o estado de deformação, se respeitarmos as correspondências acima.

Desta forma, existem três direções ortogonais entre si, segundo as quais as
deformações angulares são nulas. São as direções principais, designadas por 1, 2 e
3. Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as
deformações lineares segundo estas direções, ε1 ≥ ε2 ≥ ε3, são as deformações
principais.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

17

Tais deformações podem ser obtidas, a exemplo do estado de tensão, pelas
soluções da equação

ε3 - I1.ε2 + I2.ε - I3 = 0

onde, I 1= x yz

I 2=x . y y . z z .  x−
 xy

2

4
−
 yz

2

4
−
 zx

2

4

I3=∣ εx
γxy
2

γ xz
2

γ xy
2

εy
γ yz
2

γ xz
2

γ yz
2

εz ∣
são os Invariantes de Deformação ou Invariantes do Estado de

Deformação.

Casos Particulares:
a) Se I3 = 0, uma das soluções é nula ⇒ Estado Plano ou Biaxial de

Deformação
b) Se I2 = I3 = 0, duas soluções são nulas ⇒ Estado Simples ou Uniaxial de

Deformação

Os planos principais são obtidos de maneira análoga à do estado de tensão.

Os Círculos de Mohr também podem ser construídos analogamente aos do estado
de tensão, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as deformações lineares ε
e no vertical, a metade das deformações angulares γ.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

18

γ/2

γmáx/2 = (ε1 – ε3) /2

90°

ε3
ε2

ε1

 Figura 17

Supondo, por exemplo, a direção z principal, as deformações principais, normais
aos planos paralelos à essa direção z, são

 I , II=
x y

2
± x− y2 2xy2 2

Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z
dados por:

tg 2P=−
xy

 x− y

Lei de Hooke Generalizada

Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto

 Figura 18

Sendo εij a deformação linear na direção i provocada pela tensão normal σj, temos:

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

19

y

x

z

dy

dx
dz σy

σxσz

τxy

τyxτyz

τzy

τzx τxz

a) deformações devidas a σx:

xx=
 x
E

,  yx= zx=−⋅ xx=−
⋅ x

E

b) deformações devidas a σy:

 yy=
 y
E

,  xy= zy=−⋅ yy=−
⋅ y

E

c) deformações devidas a σz:

 zz=
 z
E

, xz= yz=−⋅ zz=−
⋅ z

E

d) deformações devidas a γxy, γyz e γzx:

 xy=
 xy
G

, xz=
xz
G

e  yz=
 yz
G

Superpondo os efeitos, temos:

x=
 x
E

−
E
⋅ y z

 y=
 y
E

−
E
⋅ z x 

 z=
 z
E

−
E
⋅ x x 

 xy=
 xy
G

,  yz=
 yz
G

e  zx=
 zx
G onde G=

E
2⋅1

As expressões acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto é, para o
Estado Geral de Tensão.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

20

Observa-se que se os eixos principais do estado de tensões são exatamente os
mesmos eixos principais para o estado de