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deformações.

Se no plano xy tem-se um estado plano de tensões, as deformações neste memo
plano se comportarão como em um estado plano de deformações porém a

deformação principal  z=−

E
⋅ x x  será, em geral, diferente de zero.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

21

Nos planos principais, as deformações são:

1=
1
E

−
E
⋅ 2 3

2=
 2
E

−
E
⋅31

3=
3
E

−
E
⋅ 1 2

12=23=31=0

A deformação volumétrica no ponto é dada por:

v=
V
V

=
V f −V i

V i

onde
V i=dx⋅dy⋅dz
V f=dx⋅dy⋅dz⋅1x ⋅1 y⋅1 z

v=1x ⋅1 y⋅1z −1=1 x yzx⋅ y x⋅z y⋅ z x⋅ y⋅ z−1

Devido à hipótese das pequenas deformações, os produtos de deformações são
valores desprezíveis na presença das deformações. Assim, a deformação
volumétrica pode ser escrita, de forma aproximada, como

v= x y z= I 1=123

ou, devido à Lei de Hooke,

v= x y z⋅
1−2⋅

E

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

22

dy

dx dz

dy+εy.dy

dx+εx.dx

dz+εz.dz

Observação:Para o Estado Triaxial Uniforme, σx = σy = σz = σ, temos:

x= y= z=⋅
1−2⋅

E
e

v=
3⋅1−2⋅

E
⋅= 

K

onde K=
E

3⋅1−2⋅
é o Módulo de Deformação Volumétrica

do Material

Se σ ≥ 0, então εv ≥ 0 e se σ ≤ 0, então εv ≤ 0. Isto implica em dizer
que 1 - 2ν ≥ 0 → ν ≤ 0,5. Este valor é um limite para o coeficiente de
Poisson, isto é, não há material com este coeficiente maior do que 0,5.

Medidas de deformações planas - rosetas

As deformações lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de
extensômetros. O extensômetros elétricos propiciam medidas precisas das
deformações através do registro das variações da corrente elétrica (quando o
extensômetro se deforma, a resistência elétrica e, por conseguinte, a corrente
elétrica são alteradas).

A determinação do estado de tensão em um ponto (estado plano de tensões) pode
ser feita a partir de medidas de deformações com a utilização de rosetas de
deformação. Uma roseta de deformação é composta de um conjunto de
extensômetros elétricos dispostos em um dado plano e segundo direções
conhecidas.

Colando-se uma roseta com 3 extensômetros sobre a superfície de um elemento
estrutural faz-se a leitura das deformações lineares segundo estas 3 direções e
calcula-se as componentes do estado de deformações.

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

23

Cálculo da deformação linear em uma dada direção θa:

=[  x
 xy
2

xz
2

 xy
2

 y
yz
2

xz
2

 yz
2

z
]⋅{nxn ynz }

como se trata de um problema de estado plano de tensões,

 xy= xz=0 e, portanto,  xy=xz=0

assim,

=[  x  xy2 0 xy2  y 0
0 0  z

]⋅{cosasena0 }={x⋅cosa xy2 ⋅senaxy2 ⋅cosa y sena
0

}

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

24

x
θa

θb
θc

a=x⋅cosa xy⋅sena ;
 xy
2
⋅cosa y⋅sena ; 0⋅{cosasena0 }

a= x⋅cos
2a

 xy
2 ⋅sena⋅cosa

 xy
2 ⋅cosa⋅sena y sen

2a

a= x⋅cos
2a y sen

2a
 xy
2
⋅sen 2a

analogamente para os ângulos θb e θc, vem

b= x⋅cos
2b y sen

2b
 xy
2
⋅sen 2b

c=x⋅cos
2c y sen

2c
 xy
2
⋅sen 2c

Tem-se, assim, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução oferece
como resultado os valores das componentes de deformação no plano (εx, εy e γxy).

Roseta 45° (são medidas as deformações ε0°, ε45° e ε90°)

fazendo o eixo x na direção 0° e o eixo y na direção 90°,

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

25

90°

45°

0°

x=0°
 y=90 °

45°= x⋅cos
245 ° y⋅sen ²45° 

 xy
2

⋅sen 2⋅45° 

45°= x⋅
1
2
 y⋅

1
2

 xy
2

 xy=2⋅45°−x y

Roseta 60° (são medidas as deformações ε0°, ε60° e ε120°)

fazendo o eixo x na direção 0°

x=0°

60°= x⋅cos
260 ° y⋅sen ² 60 °

xy
2

⋅sen2⋅60 °= x⋅
1
4
 y⋅

3
4

xy
2

⋅3
2

120°=x⋅cos
2120°  y⋅sen ² 120°

xy
2

⋅sen2⋅120°= x⋅
1
4
 y⋅

3
4

xy
2

⋅−3
2



resolvendo o sistema de equações, vem:

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

26

0°

60°

120°

 xy=
2
3

⋅60°−120°

 y=
2
3
⋅60 °120°−

0°
2


Conhecidas as componentes de deformação no plano xy e sabendo que se trata de
um estado plano de tensões (σz = 0, τxz = τyz = 0), pode-se determinar as
componentes do estado tensional e a componente de deformação perpendicular ao
plano xy (εz) utilizando a lei de Hooke generalizada.

x=
 x
E

−
E
⋅ y

 y=
 y
E

−
E
⋅ x

 z=
−
E

⋅ x x 

 xy=
 xy
G

multiplicando a expressão de εx por ν e somendo-a com a expressão de εy,

⋅x y=
 y
E
⋅1− 2 ,

 y=
E

1−2
⋅ y⋅ x e  x=

E
1− 2

⋅x⋅ y 

 xy=G .⋅ xy

substituindo os valores de σx e de σy na expressão de εz, vem

 z=−

E
⋅E
1− ²

⋅ x y ⋅1

 z=−


1−2
⋅x y

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

27

Energia Potencial de Deformação

No Estado Simples de Tensão, temos:

- Força elementar resultante na direção x:
dF x= x⋅dA= x⋅dy⋅dz

- Deslocamento correspondente:
d x= x⋅dx

- Energia potencial acumulada no volume elementar:

dU x=
1
2
⋅dF x⋅d x=

1
2
⋅ x⋅ x⋅dx.⋅dy⋅dz=

 x⋅x
2

⋅dV

No Estado Geral de Tensão (usando o PSE), temos:

dU= 1
2
⋅ x⋅x y⋅ y z⋅ z xy⋅xy yz⋅ yzzx⋅ zx⋅dV

ou, usando a Lei de Hooke Generalizada,
dU
dV

= 1
2 E

⋅[ x
2 y

2 z
2−2⋅ x⋅ y y⋅ z z⋅ x]

1
2G

⋅xy
2  yz

2  zx
2  .

Em termos das tensões principais,
dU
dV

= 1
2 E

⋅[1
2 2

2 3
2−2⋅ 1⋅ 2 2⋅ 33⋅1] .

Suponhamos cada estado de tensão como a superposição de dois outros estados
tais que:

e que a variação do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto é,
a variação do volume do estado (2) seja nula.

Assim, a deformação volumétrica do estado (2) é

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

28

σx σx

dx
dzdy

dUx

dΔdΔx

dFx

dF

σ1
σ3

σ2

= σ

σ

σ

+ σ1'

σ3'

σ2'

(1) (2)

εv’ = ε1’ + ε2’ + ε3’ = 0 ⇒ (σ1’ + σ2’ + σ3’).(1 - 2ν) = 0

Como esta relação é válida para qualquer material (qualquer valor de ν),
σ1’ + σ2’ + σ3’ = 0

De acordo com a suposição acima,
σ1 = σ + σ1’
σ2 = σ + σ2’
σ3 = σ + σ3’

Somando as expressões acima membro a membro, temos:

σ1 + σ2 + σ3 = 3 σ + σ1’ + σ2’ + σ3’ = 3 σ

Daí, concluímos que as componentes dos estados (1) e (2) são:

=
123

3
,

1 '=1− ,
2 '=2− e
3 '= 3− .

Como o estado (1) não realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas forças
do estado (2) e vice-versa, podemos afirmar:

dU
dV

=
dU v
dV


dU d
dV

onde Uv é a energia de variação da volume e
Ud é a energia de variação da forma (energia de distorção)

Substituindo as componentes de tensão do estado (1) na expressão da energia de
deformação, temos:

dU v
dV

=3⋅2⋅1−2⋅
2 E

dU v
dV

=1 2 3
2⋅1−2⋅

6 E
ou

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

29

dU v
dV

= x y z
2⋅1−2⋅

6 E
ou

dU v
dV

= I 1
2⋅1−2⋅

6 E

onde I1 é o primeiro invariante de tensão.

dU d
dV

= dU
dV

−
dU v
dV

,

dU d
dV =[1− 2

2 2−3
2 3−1

2]⋅16 E
ou

dU d
dV

=[ x− y
2 y− z

2 z− x 
2]⋅1

6 E

 xy

2  yz
2  zx

2 
2G

Observação:

Para o estado simples de tensão, σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0 (tração) ou σ1 = σ2 = 0, σ3 = σ
(compressão), temos

dU v
dV

= 2⋅1−2⋅
6 E

e
dU d
dV

= 2⋅1
3 E

dU
dV

=
dU v
dV


dU d
dV

= 
2

2 E
=⋅

2
.

Para o estado de cisalhamento puro, σ1 = - σ3 = σ, σ2 = 0, temos:

dU v
dV

=0 e
dU d
dV

= 2⋅1
E

.

Para o estado triaxial uniforme, σ1 = σ2 = σ3 = σ, temos:

dU v
dV

=3⋅2⋅1−2⋅
2 E

e
dU d
dV

=0 .

ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

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