Flambagem

L2
x=0,50L\ue08ck2=6,40
L2
x=0,75L\ue08ck2=6,45
L2
\ue08cx=L\ue08ck2=7,5
L2
observa-se que ao longo da barra o valor de k² . L varia entre 6,4 e 8,57
tomando agora, como expressaõ da deformada, a obtida para y2(x)
y2 \ue09ex \ue09f=A.\ue09e10.L
2. x3\u22123.x5\u22127. l4 . x\ue09f
y3 \ue09ex \ue09f=\u2212k
2\u22c5A\u22c5\u222c [ 1L\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09f\u22c5\ue09e7.L4 .x\u221210.L2 .x3\ue0833. x5\ue09f]\u22c5dx2
integrando, desenvolvendo e simplificando ...
y3 \ue09ex \ue09f=\u2212
k2
L\u22c5\ue09e7.L
5
6 \u22c5x
3\ue083
7.L4
12 \u22c5x
4\u2212
10.L3
20 \u22c5x
5\u2212
10.L2
30 \u22c5x
6\ue083
3.L
42 \u22c5x
7\ue083
3
56\u22c5x
8\u2212
25.L7
24 \u22c5x\ue09f
verificação da proporcionalidade entre y2(x) e y3(x)
k2=\u2212 7.L
4 . x\u221210.L2 .x3\ue0833. x5
1
L\u22c5\ue09e\u221225.L
7
24 \u22c5x\ue083
7.L5
6 \u22c5x
3\ue083
7.L4
12 \u22c5x
4\u2212
10.L3
20 \u22c5x
5\u2212
10.L2
30 \u22c5x
6\ue083
3.L
42 \u22c5x
7\ue083
3
56\u22c5x
8\ue09f
x=0\ue08ck2 .L2=6,72
x=0,25L\ue08ck2.L2=6,64
x=0,5L\ue08ck2 .L2=6,54
x=0,75L\ue08ck2.L2=6,51
x=L\ue08ck2 .L2=6,56
tomando um valor médio k2.L2=6,59\ue08c Pcr\u2248
6,59\u22c5E . Ic
L2
FLAMBAGEM
17
Versão 2011
Flambagem Inelástica:
A expressão da tensão crítica de flambagem vista no sub-ítem anterior somente é 
válida para tensões inferiores ao limite de proporcionalidade do material, isto é,
\ue0c8cr=
\ue0c6 ² . E
\ue0c1 ²
\u2264\ue0c8 p .
Da condição \u3c3cr = \u3c3p, determinamos \u3bb = \u3bbr, isto é,
\ue0c1r=\ue0c6 .\ue08d E\ue0c8 p .
Este é o índice de esbeltez limite de flambagem elástica - valor de \u3bb além do qual a 
flambagem é elástica.
Se \u3bb < \u3bbr, a flambagem, se houver, será inelástica, isto é, \u3c3cr > \u3c3p.
 \u3c3 \u3c3cr
 fy
 \u3c3p Curva de Euler (\u3bb > \u3bbr)
 \u3bb \u3bbr \u3bb
fy: limite de escoamento do material
Figura 06
Várias teorias já foram propostas para a avaliação da tensão crítica de flambagem 
inelástica. Nenhuma delas, porém é universal. Cada norma técnica adota a que lhe 
parece mais conveniente. Uma das mais comuns é
\ue0c8cr=
\ue0c6 ² . E red
\ue0c1 ²
,
onde Ered é o chamado módulo de elasticidade reduzido do material, também 
possuindo valores diferentes, de acordo com a teoria adotada.
Se a barra comprimida escoa antes de flambar, isto é, de \u3c3cr > fy, dizemos que se tarta 
de uma \u201ccoluna curta\u201d. Isto acontece se o seu índice de esbeltez é inferior a um certo 
limite \u3bbp, em geral determinado experimentalmente. Teoricamente, a obtenção de \u3bbp 
FLAMBAGEM
18
Versão 2011
seria feita a partir da condição \u3c3cr = fy, porém como a tensão crítica de flambagem 
inelástica é, geralmente, obtida por processos semi-empíricos, \u3bbp também o é.
Modernamente, as normas técnicas trabalham com grandezas adimensionais 
denominadas \ue0c7=
\ue0c8 cr
\ue0c8 p
 e \ue097\ue0c1= \ue0c1
\ue0c1r
=\ue08d \ue0c8 p\ue0c8 cr . \u3c1 é a tensão crítica relativa e \ue097\ue0c1 é o índice 
de esbeltez relativo. A curva de flambagem, portanto, é
 \u3c3 \u3c1
 fy
 \u3c3p 1 Curva de Euler (\u3bb > \u3bbr)
 \u3b5 \u3bbp/\u3bbr 1 \ue097\ue0c1
FLAMBAGEM
19
Versão 2011
Carga Excêntrica \u2013 fórmula secante
Seja a barra bi-rotulada da figura ao lado submetida a uma 
força de compressão P com uma excentricidade e.
O momento fletor em uma seção qualquer, após a 
deformação, será:
M=\u2212P .\ue09e y\ue083e\ue09f
Usando a equação diferencial da linha elástica:
d 2 y
dx2
= M
E . I
=\u2212 P
E . I
\u22c5y\u2212 P
E . I
\u22c5e
fazendo k 2= PE . I , vem
d y
2
dx2
\ue083k2 . y=\u2212k 2 . e (equação diferencial não homogênea)
A solução geral da homogênea é: y=A . sen \ue09ekx \ue09f\ue083B . cos\ue09e kx\ue09f
Uma solução particular da não homogênea: y=\u2212e
A solução geral fica, então: y=A.sen \ue09ekz\ue09f\ue083B . cos \ue09ekx \ue09f\u2212e
Condições de contorno (extremidade):
y \ue09e0\ue09f=0 , B=e
y \ue09eL\ue09f=0 , A. sen \ue09ekL\ue09f=e [1\u2212cos\ue09e kL\ue09f]
lembrando que sen\ue0b7=2 sen \ue0b7
2
\u22c5cos
\ue0b7
2
e 1\u2212cos\ue0b7=2 sen2
\ue0b7
2
A= e.[1\u2212cos\ue09ekL\ue09f]
sen\ue09ekL\ue09f
=e\u22c5
2 sen2 kL
2
2 sen kL
2
\u22c5cos kL
2
A=e\u22c5tg kL
2
FLAMBAGEM
20
ye
P
P
Versão 2011
então, 
y=e .[ tg \ue09e kL2 \ue09f\u22c5sen\ue09ekx \ue09f\ue083cos \ue09ekx\ue09f\u22121]
a flecha máxima ocorrerá no meio do vão e será:
ymáx= y \ue09e L2 \ue09f=e\u22c5[tg \ue09e kL2 \ue09f\u22c5sen \ue09e kL2 \ue09f\ue083cos \ue09e kL2 \ue09f\u22121]=e\u22c5[ sen2\ue09e kL2 \ue09f\ue083cos2\ue09e kL2 \ue09fcos \ue09e kL2 \ue09f \u22121]
ymáx=e [ sec \ue09e kL2 \ue09f\u22121] ou ymáx=e\u22c5[sec \ue09e\ue08d PE . I\u22c5L2 \ue09f\u22121]
Observa-se que y\ue08c\u221e quando \ue08d PE . I\u22c5L2=\ue0c62
Na realidade, a flecha não alcança valor infinito mas chega a valores muito 
grandes, inaceitáveis, quando P atinge um determinado valor crítico (Pcr)
\ue08d PE . I\u22c5L2=\ue0c62 \ue08c PcrE . I\u22c5L2=\ue0c62 ou Pcr=\ue0c6
2 . E . I
L2
da expressão anterior, E . I=
P cr\u22c5L
2
\ue0c62
substituindo na expressão da flecha máxima, vem
ymáx=e\u22c5[sec \ue09e\ue08d P .\ue0c62P cr . L2\u22c5L2 \ue09f\u22121]
ymáx=e\u22c5[sec \ue09e\ue0c62\u22c5\ue08d PPcr \ue09f\u22121]
A tensão máxima ocorre no ponto onde a flecha é máxima e será:
\ue0c8máx=
P
A
\ue083M
I
\u22c5y= P
A
\ue083
P .\ue09e ymáx\ue083e\ue09f
I
\u22c5c
i2= I
A
, \ue0c8 máx=
P
A
\ue083 P
A
\u22c5
\ue09e ymáx\ue083e\ue09f
i 2
\u22c5c
FLAMBAGEM
21
Versão 2011
\ue0c8máx=
P
A
\u22c5[1\ue083 ymáx\ue083ei2 \u22c5c ]
\ue0c8máx=
P
A
\u22c5[1\ue083 e . ci 2 \u22c5sec \ue09e\ue0c62\u22c5\ue08d PPcr \ue09f] ou \ue0c8máx= PA\u22c5[1\ue083 e .ci 2 \u22c5sec \ue09e L2\u22c5\ue08d PE . I \ue09f]
um problema interessante é determinar qual a força P que causa uma determinada 
tensão máxima \u3c3máx em um pilar que tenha um índice de esbeltez \u3bb e com uma certa 
relação 
e . c
i 2
ou seja, a partir da expressão anteriormente obtida,
P
A
=
\ue0c8máx
1\ue083 e . c
i 2
\u22c5sec \ue09e Le2 .i\u22c5\ue08d PE . A \ue09f 
cuja solução se obtém por tentativas.
Flambagem por Torção
A tensão crítica de flambagem elástica por torção para barras comprimidas cujas 
seções são sujeitas a empenamento é dada por
\ue0c8cr= f ez=
\ue09e\ue0c6 ². E .C wL flz \ue083G. I t\ue09f
A . r0 ²
,
onde ro2 = rx2 + ry2 + xo2 + yo2
rx e ry: raios de giração relativos aos eixos principais centrais da seção, x e y
xo e yo: coordenadas do CC da seção, relativas aos eixos x e y
C\u3c9: constante de empenamento da seção
IT: constante de torção da seção
A: área da seção
Lflz: comprimento de flambagem na torção - distância entre duas seções 
consecutivas impedidas de girar em torno do eixo da barra
E e G: módulos de elasticidade longitudinal e transversal do material
Para seções com empenamento nulo (C\u3c9 =0), tais como
- seções circulares e retangulares maciças,
- tubos circulares e retangulares (perfis fechados),
FLAMBAGEM
22
Versão 2011
- perfis constituídos por chapas planas, cujas linhas médias da seção concorrem 
num único ponto (perfil L, perfil T, seção cruciforme, etc.),
f ez=
G . I t
A. r 0 ²
.
Flambagem por Flexo-Torção
A tensão crítica de flambagem elástica por flexo-torção será a menor raiz da equação
\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ex\ue09f\u22c5\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ey\ue09f\u22c5\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ez\ue09f\u2212\ue0c8 cr ²\u22c5[\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ex\ue09f\u22c5\ue09e y0r 0 \ue09f
2
\ue083\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ey\ue09f\u22c5\ue09e x0r0 \ue09f
2
]=0 .
Esta equação é do 3o grau. Porém, se um dos eixos principais da seção é de simetria, 
xo = 0 ou yo = 0 e a equação fica
a) se xo = 0: \ue09e\ue0c8cr\u2212 f ex\ue09f {[1\u2212\ue09e y0r0 \ue09f
2
]\u22c5\ue0c8cr
2 \u2212\ue09e f ey\ue083 f ez\ue09f\u22c5\ue0c8 cr\ue083 f ey\u22c5 f ez}=0
b) se yo = 0: \ue09e\ue0c8cr\u2212 f ey\ue09f {[1\u2212\ue09e x0r 0 \ue09f
2
]\u22c5\ue0c8 cr
2 \u2212\ue09e f ex\ue083 f ez\ue09f\u22c5\ue0c8 cr\ue083 f ex\u22c5 f ez}=0
Se os dois eixos são de simetria, xo = yo = 0 e a equação fica
\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ex\ue09f\u22c5\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ey\ue09f\u22c5\ue09e\ue0c8cr\u2212 f ez\ue09f=0 .
Observação: A tensão crítica de flambagem inelástica na flambagem por torção ou por 
flexo-torção também é obtida, em geral, por processos semi-empíricos.
Flambagem de Barras Fletidas
Tipo de Flambagem: Flambagem por Flexão Lateral com Torção
Barra Birrotulada Submetida a Momento Fletor Constante (Flexão Pura):
y
 Mx Mx z
 L
Figura 07
As seções apoiadas são supostamente impedidas de girar em torno de z.
FLAMBAGEM
23
Versão 2011
Supondo, como no esquema acima, o eixo x sendo o eixo de flexão, esta flambagem 
(flexão em torno de y) somente ocorrerá se a inércia relativa a y for menor do que a 
inércia relativa a x, isto é, se Iy < Ix..
Ao flambar, a barra sofre flexão lateral (em torno de y) e torção.
 \u3b8 y
x y1 x1
 x z \u3b8
z L x
Figura 08
Consideremos que, após a torção, o momento fletor Mx seja decomposto segundo as 
novas posições dos eixos principais de inércia.
y x1
 y1 \u3b8
\u3b8
 My1
Mx x
 Mx1
 Figura 09
O momento que fará a peça fletir em torno de y1 (nova posição de y após a torção) 
será:
M y1=\u2212M x . sen\ue0be\u2248\u2212M x .\ue0be .
No plano x-z, após a flexão lateral, as componentes de Mx são:
 x x1
 z1
 T1
 Mx x Mx1
 z
 Mx
x: flecha lateral x\u2019: rotação T1 = Mx.x\u2019
Figura 10
Seja Mo o momento torsor (incógnito) que, eventualmente, surja em um dos apoios, no 
momento da flambagem. Assim, o momento torsor T numa seção genérica (distante z 
do apoio) será:
FLAMBAGEM
24
olhando de 
cima
(lateral)
Versão 2011
T=M 0\ue083T 1=M 0\ue083M x . x ' .
De acordo com o que foi visto no estudo da flexão