SolicitacoesCombinadas
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SolicitacoesCombinadas


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Versão 2009 1
SOLICITAÇÕES COMBINADAS (FLEXÃO COMPOSTA)
As chamadas Solicitações Simples são:
a) Tração e Compressão (Solicitação Axial): age somente esforço normal N na 
seção
b) Torção: age somente momento torsor T na seção
c) Flexão Pura (Reta ou Oblíqua): age somente momento fletor M na seção
d) Flexão Simples (Reta ou Oblíqua): agem momento fletor M e esforço cortante 
V
As chamadas Solicitações Combinadas são, nada mais nada menos, do que 
combinações das Solicitações Simples.
São de interesse prático o estudo do caso geral (N, T, M e V) e dos seguintes 
casos particulares:
a) Flexão Composta com Esforço Axial (Flexo-Tração ou Flexo-Compressão)
b) Flexão Composta com Torção (Flexo-Torção)
Flexão Composta com Esforço Axial
 y
 x
 
 
 z
(x,y): eixos centrais principais de inércia
Figura 01
A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal da barra é dada 
por:
\ue0c8=N
A
\ue083
M x
I x
. y\u2212
M y
I y
. x
onde Ix e Iy são os momentos principais de inércia da seção.
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
Mx My
N
Versão 2009 2
Posição da LN: \ue0c8=0 ou NA \ue083
M x
I x
\u22c5y\u2212
M y
I y
\u22c5x=0
 ou y=
I x
M x
\u22c5\ue09eM yI y \u22c5x\u2212 NA \ue09f
Conclusão: A LN não passa pelo C.G. da seção, o que somente ocorre na flexão 
simples (reta ou oblíqua).
A equação da LN ainda pode ser escrita como
y=\ue09e I x . M yI y . M x \ue09f\u22c5x\u2212 I x . NA. M x
onde
I x . M y
I y . M x
 é o coeficiente angular da LN e
I x . N
A. M x
 é o coeficiente linear da LN
Tensões Máximas:
As máximas tensões normais de tração e de compressão são, respectivamente,
\ue0c8máx
T = NA\ue083
M x
I x
\u22c5yT\u2212
M y
I y
\u22c5xT e \ue0c8máx
C = NA\ue083
M x
I x
\u22c5yC\u2212
M y
I y
\u22c5xC
onde (xT,yT) é o ponto mais afastado da LN, na região tracionada da seção,
(xC,yC) é o ponto mais afastado da LN, na região comprimida e
N é o esforço normal em valor relativo (positivo para tração e negativo 
para compressão).
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
LN
y
x
Figura 02
Versão 2009 3
Tração ou Compressão Excêntrica: 
É um tipo de Flexo-Tração ou de Flexo-Compressão provocada por esforço 
normal N aplicado fora do C.G. da seção.
y
 y
 x P
 P b x
CG a
 
 z
(x,y): eixos centrais principais de inércia
P(a,b): ponto de aplicação do esforço normal N
 Figura 03
Os momentos fletores em torno nos eixos centrais principais são:
M x=N\u22c5b M y=\u2212N\u22c5a
A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal é:
\ue0c8=NA \ue083
M x
I x
\u22c5y\u2212
M y
I y
\u22c5x ou \ue0c8=N\u22c5\ue09e 1A\ue083 bI x\u22c5y\ue083 aI y\u22c5x \ue09f
A equação da LN é, então, dada por:
\ue0c8=0 ou 
a.x
I y
\ue083 b.y
I x
\ue083 1
A
=0
e as interseções da LN com os eixos coordenados:
para x=0 , y 0=\u2212
I x
A.b
e 
para y=0 , x0=\u2212
I y
A.a
assim podemos concluir que a LN não passa pelo quadrante onde a força está 
aplicada
\u21d2 se a > 0 e b > 0 (1o quadrante) então x0 < 0 e y0 < 0, ou seja a LN passa 
pelos 2º. 3º e 4º quadrantes.
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
N
Versão 2009 4
Se a força N for aplicada no ponto B (x0;y0) a nova equação da LN será:
1
A
\ue083
y0
I x
\u22c5y\ue083
x0
I y
\u22c5x=0
as interseções com os eixos coordenados serão:
para x=0 , y=\u2212
I x
A.y0
=b
para y=0 , x=\u2212
I y
A.x0
=a
a LN interceptará os eixos coordenados nos pontos (a;0) e (0;b).
- Força percorrendo um segmento de reta:
Aplicando a força em P(r,s) a equação da linha neutra é:
1
A
\ue083 s
I x
\u22c5y\ue083 r
I y
\u22c5x=0
interseção com os eixos coordenados:
x=0\ue08cn=\u2212
I x
A.s
 e y=0\ue08cm=\u2212
I y
A.r
Na Fig. 4, observa-se que B(-a; -b) é um ponto sobre a LN quando a força 
N está aplicada em P(r ; s), assim
1
A
\ue083 s
I x
\u22c5\ue09e\u2212b\ue09f\ue083 r
I y
\u22c5\ue09e\u2212a\ue09f=0
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
y
x
P
s
r
m
n
b
aaaB
B1
B2
Fig. 4
Versão 2009 5
Aplicando a força em B(-a; -b) a equação da nova linha neutra será:
1
A
\ue083\ue09e\u2212b\ue09f
I x
\u22c5y\ue083\ue09e\u2212a\ue09f
I y
\u22c5x=0
Observando estas duas últimas expressões, pode-se concluir que o ponto 
P(r ; s) é um ponto da linha neutra correspondente à força aplicada no ponto B. 
Desta forma, se a força percorre um segmento de reta B1 B2 a linha neutra 
gira em torno de um determinado ponto P.
- distância da linha neutra ao centróide da seção
 y
 LN
 P
 yo x
 
 Figura 05
Se a LN é a reta ax + by + c = 0, então a distância d do CG (origem dos eixos x e 
y) é:
d= c
\ue08da²\ue083b2
Assim, 
d= 1
A\u22c5\ue08d\ue09e x0I y \ue09f2\ue083\ue09e y0I x \ue09f2
Observação: À medida que (xo,yo) se aproxima do CG da seção, a distância d 
aumenta, isto é, a LN se afasta. Se a LN passa pela seção, teremos 
tensões de tração e de compressão; caso contrário, o sinal da tensão 
será único em todos os pontos da seção e, por conseguinte, teremos 
apenas tensões de tração ou de compressão.
Núcleo Central da Seção (NC): 
Lugar geométrico dos pontos de aplicação do esforço normal N, para os quais as 
tensões \u3c3 , em toda a seção, têm um único sinal; isto é, lugar geométrico dos 
pontos (xo,yo) tais que a LN tangencie a seção.
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
x0
Versão 2009 6
 Variação da tensão normal \u3c3 ao longo da seção:
(a) (b) (c)
(a): A LN passa pela seção
(b): A LN tangencia a seção
(c): A LN não passa pela seção
Figura 06
O contorno do Núcleo Central pode ser obtido a partir da equação da LN ou da 
fórmula da distância entre a LN e o CG.
Exemplos:
a) Seção Circular:
y
 . (xo,yo)
 d x
d = R
 LN
 Figura 07
A=\ue0c6 . R² I x= I y=
\ue0c6 . R4
4
Distância entre a LN (tangenciando a seção) e o CG: d = R
d= 1
A\u22c5\ue08d\ue09e x0I y \ue09f2\ue083\ue09e y0I x \ue09f2
=R
\u21d2 x0 ²\ue083 y0 ²=\ue09e R4 \ue09f
4
Logo, o NC é um círculo cujo contorno é a circunferência de raio igual a R/4 e 
centro coincidente com o CG (parte sombreada da figura abaixo)
 y
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
Versão 2009 7
 
 
 R/4 x
 NC
 R/4
 Figura 08
b) Seção Retangular: y
LN
 h/2
 CG x
 h/2
 
 b/2 b/2
 Figura 09
A equação da LN é 
x 0
I y
\u22c5x\ue083
y 0
I x
\u22c5y\ue083 1
A
=0
Se a LN tangencia o vértice conforme figura (situação genérica), 
x= b
2
e y= h
2 
Substituindo estes valores na equação da LN, temos:
6. x0
b
\ue083
6. y0
h
\ue0831=0
que é a equação da reta mostrada na figura abaixo.
 y
 
 b/6
 h/6
 x
 Figura 10
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
A = b.h
Ix = b.h
3/12
Iy = h.b
3/12
Versão 2009 8
Repetindo este raciocínio para a LN tangenciando os demais vértices, teremos 
que o NC será o losango abaixo representado.
 y
 h/6 NC x
 h/6
 b/6 b/6
 Figura 11
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
Versão 2009 9
Flexão Composta com Torção
(x,y): eixos centrais principais de inércia
Figura 12
Neste caso, os momentos fletores Mx e My provocam tensão normal 
\ue0c8=
M x
I x
\u22c5y\u2212
M y
I y
\u22c5x
e o momento torsor T provoca tensão de cisalhamento \u3c4 cuja expressão varia 
com a forma da seção transversal da barra.
 
O estado de tensão num ponto qualquer da barra é, então,
Assim, nem a tensão normal \u3c3 nem a tensão de cisalhamento \u3c4 são máximas.
Cálculo das componentes normal e cisalhante em um plano qualquer com 
inclinação \u3b8
dS x=dS .cos\ue0be
dS y=dS . sen\ue0be
\u2211 F N\ue08c \u2212\ue0c8 .dS x . cos\ue0be\u2212\ue0c9 .dS x . sen\ue0be\u2212\ue0c9 .dS y cos\ue0be\ue083\ue0c8\ue0be .dS=0
\u2212\ue0c8 .dS cos² \ue0be\u2212\ue0c9 .dS , sen \ue0be .cos\ue0be\u2212\ue0c9. dS . sen\ue0be . cos\ue0be\ue083\ue0c8\ue0be .dS=0
\ue0c8\ue0be=\ue0c8 . cos² \ue0be\ue083\ue0c9 . sen 2\ue0be
SOLICITAÇÕES COMBINADAS
\u3c4
 \u3c3 \u3c3
\u3c4
\u3c4
\u3c4
 \u3c3
 \u3c3 \u3b8
 \u3c3 \u3b8
 \u3c3
\u3c4
\u3c4
\u3c4 \u3b8
\u3b8
dSdSx
dSy
N
z
x
y
T
Mx
My
Versão 2009 10
ou, sabendo que cos² \ue0be=1\ue083cos 2\ue0be2 e 
sen² \ue0be=1\u2212cos 2\ue0be
2
\ue0c8\ue0be=
\ue0c8
2
\ue083\ue0c8
2
\u22c5cos 2\ue0be\ue083\ue0c9 . sen 2\ue0be
\u2211 F \u22a5N\ue08c \ue0c9\ue0be .dS\ue083\ue0c8 . dS x . sen\ue0be\u2212\ue0c9.dS x cos\ue0be\ue083\ue0c9 .dS y . sen\ue0be=0
\ue0c9\ue0be