SolicitacoesCombinadas
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Versão 2009 1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS (FLEXÃO COMPOSTA) As chamadas Solicitações Simples são: a) Tração e Compressão (Solicitação Axial): age somente esforço normal N na seção b) Torção: age somente momento torsor T na seção c) Flexão Pura (Reta ou Oblíqua): age somente momento fletor M na seção d) Flexão Simples (Reta ou Oblíqua): agem momento fletor M e esforço cortante V As chamadas Solicitações Combinadas são, nada mais nada menos, do que combinações das Solicitações Simples. São de interesse prático o estudo do caso geral (N, T, M e V) e dos seguintes casos particulares: a) Flexão Composta com Esforço Axial (Flexo-Tração ou Flexo-Compressão) b) Flexão Composta com Torção (Flexo-Torção) Flexão Composta com Esforço Axial y x z (x,y): eixos centrais principais de inércia Figura 01 A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal da barra é dada por: =N A M x I x . y− M y I y . x onde Ix e Iy são os momentos principais de inércia da seção. SOLICITAÇÕES COMBINADAS Mx My N Versão 2009 2 Posição da LN: =0 ou NA M x I x ⋅y− M y I y ⋅x=0 ou y= I x M x ⋅M yI y ⋅x− NA Conclusão: A LN não passa pelo C.G. da seção, o que somente ocorre na flexão simples (reta ou oblíqua). A equação da LN ainda pode ser escrita como y= I x . M yI y . M x ⋅x− I x . NA. M x onde I x . M y I y . M x é o coeficiente angular da LN e I x . N A. M x é o coeficiente linear da LN Tensões Máximas: As máximas tensões normais de tração e de compressão são, respectivamente, máx T = NA M x I x ⋅yT− M y I y ⋅xT e máx C = NA M x I x ⋅yC− M y I y ⋅xC onde (xT,yT) é o ponto mais afastado da LN, na região tracionada da seção, (xC,yC) é o ponto mais afastado da LN, na região comprimida e N é o esforço normal em valor relativo (positivo para tração e negativo para compressão). SOLICITAÇÕES COMBINADAS LN y x Figura 02 Versão 2009 3 Tração ou Compressão Excêntrica: É um tipo de Flexo-Tração ou de Flexo-Compressão provocada por esforço normal N aplicado fora do C.G. da seção. y y x P P b x CG a z (x,y): eixos centrais principais de inércia P(a,b): ponto de aplicação do esforço normal N Figura 03 Os momentos fletores em torno nos eixos centrais principais são: M x=N⋅b M y=−N⋅a A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal é: =NA M x I x ⋅y− M y I y ⋅x ou =N⋅ 1A bI x⋅y aI y⋅x A equação da LN é, então, dada por: =0 ou a.x I y b.y I x 1 A =0 e as interseções da LN com os eixos coordenados: para x=0 , y 0=− I x A.b e para y=0 , x0=− I y A.a assim podemos concluir que a LN não passa pelo quadrante onde a força está aplicada ⇒ se a > 0 e b > 0 (1o quadrante) então x0 < 0 e y0 < 0, ou seja a LN passa pelos 2º. 3º e 4º quadrantes. SOLICITAÇÕES COMBINADAS N Versão 2009 4 Se a força N for aplicada no ponto B (x0;y0) a nova equação da LN será: 1 A y0 I x ⋅y x0 I y ⋅x=0 as interseções com os eixos coordenados serão: para x=0 , y=− I x A.y0 =b para y=0 , x=− I y A.x0 =a a LN interceptará os eixos coordenados nos pontos (a;0) e (0;b). - Força percorrendo um segmento de reta: Aplicando a força em P(r,s) a equação da linha neutra é: 1 A s I x ⋅y r I y ⋅x=0 interseção com os eixos coordenados: x=0n=− I x A.s e y=0m=− I y A.r Na Fig. 4, observa-se que B(-a; -b) é um ponto sobre a LN quando a força N está aplicada em P(r ; s), assim 1 A s I x ⋅−b r I y ⋅−a=0 SOLICITAÇÕES COMBINADAS y x P s r m n b aaaB B1 B2 Fig. 4 Versão 2009 5 Aplicando a força em B(-a; -b) a equação da nova linha neutra será: 1 A −b I x ⋅y−a I y ⋅x=0 Observando estas duas últimas expressões, pode-se concluir que o ponto P(r ; s) é um ponto da linha neutra correspondente à força aplicada no ponto B. Desta forma, se a força percorre um segmento de reta B1 B2 a linha neutra gira em torno de um determinado ponto P. - distância da linha neutra ao centróide da seção y LN P yo x Figura 05 Se a LN é a reta ax + by + c = 0, então a distância d do CG (origem dos eixos x e y) é: d= c a²b2 Assim, d= 1 A⋅ x0I y 2 y0I x 2 Observação: À medida que (xo,yo) se aproxima do CG da seção, a distância d aumenta, isto é, a LN se afasta. Se a LN passa pela seção, teremos tensões de tração e de compressão; caso contrário, o sinal da tensão será único em todos os pontos da seção e, por conseguinte, teremos apenas tensões de tração ou de compressão. Núcleo Central da Seção (NC): Lugar geométrico dos pontos de aplicação do esforço normal N, para os quais as tensões σ , em toda a seção, têm um único sinal; isto é, lugar geométrico dos pontos (xo,yo) tais que a LN tangencie a seção. SOLICITAÇÕES COMBINADAS x0 Versão 2009 6 Variação da tensão normal σ ao longo da seção: (a) (b) (c) (a): A LN passa pela seção (b): A LN tangencia a seção (c): A LN não passa pela seção Figura 06 O contorno do Núcleo Central pode ser obtido a partir da equação da LN ou da fórmula da distância entre a LN e o CG. Exemplos: a) Seção Circular: y . (xo,yo) d x d = R LN Figura 07 A= . R² I x= I y= . R4 4 Distância entre a LN (tangenciando a seção) e o CG: d = R d= 1 A⋅ x0I y 2 y0I x 2 =R ⇒ x0 ² y0 ²= R4 4 Logo, o NC é um círculo cujo contorno é a circunferência de raio igual a R/4 e centro coincidente com o CG (parte sombreada da figura abaixo) y SOLICITAÇÕES COMBINADAS Versão 2009 7 R/4 x NC R/4 Figura 08 b) Seção Retangular: y LN h/2 CG x h/2 b/2 b/2 Figura 09 A equação da LN é x 0 I y ⋅x y 0 I x ⋅y 1 A =0 Se a LN tangencia o vértice conforme figura (situação genérica), x= b 2 e y= h 2 Substituindo estes valores na equação da LN, temos: 6. x0 b 6. y0 h 1=0 que é a equação da reta mostrada na figura abaixo. y b/6 h/6 x Figura 10 SOLICITAÇÕES COMBINADAS A = b.h Ix = b.h 3/12 Iy = h.b 3/12 Versão 2009 8 Repetindo este raciocínio para a LN tangenciando os demais vértices, teremos que o NC será o losango abaixo representado. y h/6 NC x h/6 b/6 b/6 Figura 11 SOLICITAÇÕES COMBINADAS Versão 2009 9 Flexão Composta com Torção (x,y): eixos centrais principais de inércia Figura 12 Neste caso, os momentos fletores Mx e My provocam tensão normal = M x I x ⋅y− M y I y ⋅x e o momento torsor T provoca tensão de cisalhamento τ cuja expressão varia com a forma da seção transversal da barra. O estado de tensão num ponto qualquer da barra é, então, Assim, nem a tensão normal σ nem a tensão de cisalhamento τ são máximas. Cálculo das componentes normal e cisalhante em um plano qualquer com inclinação θ dS x=dS .cos dS y=dS . sen ∑ F N − .dS x . cos− .dS x . sen− .dS y cos .dS=0 − .dS cos² − .dS , sen .cos−. dS . sen . cos .dS=0 = . cos² . sen 2 SOLICITAÇÕES COMBINADAS τ σ σ τ τ τ σ σ θ σ θ σ τ τ τ θ θ dSdSx dSy N z x y T Mx My Versão 2009 10 ou, sabendo que cos² =1cos 22 e sen² =1−cos 2 2 = 2 2 ⋅cos 2 . sen 2 ∑ F ⊥N .dS . dS x . sen−.dS x cos .dS y . sen=0 . dS . dS . sen . cos− . dS . cos² . dS . sen² =0 =− 2 ⋅sen 2 . cos 2 Cálculo das tensões normais máxima e mínima (tensões principais): d d =0 −2 . . cos p . sen p2.. cos 2 p=0 − 2 ⋅sen 2 p . cos 2 p=0 , assim tg 2 p= 2. ²4 . ² sen 2 p= 2 . ²4 . ² cos 2p= ²4. ² Substituindo na expressão do cálculo da tensão em um plano qualquer, vem: p= 2 2 ⋅ ²4 . ² ⋅ 2. ²4 . ² p= 2 1 2 ⋅ ²4 . ² ²4 . ² = 2 1 2 ⋅ ²4 . ² p= 2 ±2 2 ² ou máxT =22 2 ² e máxC =2−2 2 ² Notar que σ Tmáx é sempre positiva (tração) e que σ Cmáx é sempre negativa (compressão) A máxima tensão de cisalhamento é dada por máx= máx−min 2 , assim máx=2 2 ² SOLICITAÇÕES COMBINADAS σ 2τ 2θ Versão 2009 11 Caso Geral (x,y): eixos centrais principais de inércia Figura 13 =N A M x I x ⋅y− M y I y ⋅x e =TV xV y (soma vetorial) A tensão normal σ é função do esforço normal N e dos momentos fletores Mx e My. A tensão de cisalhamento τ é resultante da soma vetorial entre a tensão devida ao momento torsor T e às tensões devidas aos esforços cortantes Vx e Vy. O estado de tensão é o mesmo da flexo-torção e as máximas tensões dadas pelas fórmulas máx= 2 ±2 2 ² e máx=2 2 ² SOLICITAÇÕES COMBINADAS z x y N T Vx Mx Vy My