SolicitacoesCombinadas
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SolicitacoesCombinadas

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Versão 2009 1

SOLICITAÇÕES COMBINADAS (FLEXÃO COMPOSTA)

As chamadas Solicitações Simples são:
a) Tração e Compressão (Solicitação Axial): age somente esforço normal N na
seção
b) Torção: age somente momento torsor T na seção
c) Flexão Pura (Reta ou Oblíqua): age somente momento fletor M na seção
d) Flexão Simples (Reta ou Oblíqua): agem momento fletor M e esforço cortante
V

As chamadas Solicitações Combinadas são, nada mais nada menos, do que
combinações das Solicitações Simples.

São de interesse prático o estudo do caso geral (N, T, M e V) e dos seguintes
casos particulares:
a) Flexão Composta com Esforço Axial (Flexo-Tração ou Flexo-Compressão)
b) Flexão Composta com Torção (Flexo-Torção)

Flexão Composta com Esforço Axial
 y

 x

 z

(x,y): eixos centrais principais de inércia

Figura 01

A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal da barra é dada
por:

\ue0c8=N
A
\ue083

M x
I x

. y\u2212
M y
I y

. x

onde Ix e Iy são os momentos principais de inércia da seção.

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

Mx My

N

Versão 2009 2

Posição da LN: \ue0c8=0 ou NA \ue083
M x
I x
\u22c5y\u2212

M y
I y
\u22c5x=0

 ou y=
I x

M x
\u22c5\ue09eM yI y \u22c5x\u2212 NA \ue09f

Conclusão: A LN não passa pelo C.G. da seção, o que somente ocorre na flexão
simples (reta ou oblíqua).

A equação da LN ainda pode ser escrita como

y=\ue09e I x . M yI y . M x \ue09f\u22c5x\u2212 I x . NA. M x
onde

I x . M y
I y . M x

 é o coeficiente angular da LN e

I x . N
A. M x

 é o coeficiente linear da LN

Tensões Máximas:
As máximas tensões normais de tração e de compressão são, respectivamente,

\ue0c8máx
T = NA\ue083

M x
I x
\u22c5yT\u2212

M y
I y
\u22c5xT e \ue0c8máx

C = NA\ue083
M x
I x
\u22c5yC\u2212

M y
I y
\u22c5xC

onde (xT,yT) é o ponto mais afastado da LN, na região tracionada da seção,
(xC,yC) é o ponto mais afastado da LN, na região comprimida e
N é o esforço normal em valor relativo (positivo para tração e negativo
para compressão).

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

LN

y

x

Figura 02

Versão 2009 3

Tração ou Compressão Excêntrica:

É um tipo de Flexo-Tração ou de Flexo-Compressão provocada por esforço
normal N aplicado fora do C.G. da seção.

y
 y

 x P
 P b x
CG a

 z

(x,y): eixos centrais principais de inércia
P(a,b): ponto de aplicação do esforço normal N

 Figura 03

Os momentos fletores em torno nos eixos centrais principais são:

M x=N\u22c5b M y=\u2212N\u22c5a

A tensão normal num ponto (x,y) qualquer da seção transversal é:

\ue0c8=NA \ue083
M x
I x
\u22c5y\u2212

M y
I y
\u22c5x ou \ue0c8=N\u22c5\ue09e 1A\ue083 bI x\u22c5y\ue083 aI y\u22c5x \ue09f

A equação da LN é, então, dada por:

\ue0c8=0 ou
a.x
I y
\ue083 b.y

I x
\ue083 1

A
=0

e as interseções da LN com os eixos coordenados:

para x=0 , y 0=\u2212
I x

A.b
e

para y=0 , x0=\u2212
I y

A.a

assim podemos concluir que a LN não passa pelo quadrante onde a força está
aplicada
\u21d2 se a > 0 e b > 0 (1o quadrante) então x0 < 0 e y0 < 0, ou seja a LN passa
pelos 2º. 3º e 4º quadrantes.

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

N

Versão 2009 4

Se a força N for aplicada no ponto B (x0;y0) a nova equação da LN será:

1
A
\ue083

y0
I x
\u22c5y\ue083

x0
I y
\u22c5x=0

as interseções com os eixos coordenados serão:

para x=0 , y=\u2212
I x

A.y0
=b

para y=0 , x=\u2212
I y

A.x0
=a

a LN interceptará os eixos coordenados nos pontos (a;0) e (0;b).

- Força percorrendo um segmento de reta:

Aplicando a força em P(r,s) a equação da linha neutra é:
1
A
\ue083 s

I x
\u22c5y\ue083 r

I y
\u22c5x=0

interseção com os eixos coordenados:

x=0\ue08cn=\u2212
I x

A.s
 e y=0\ue08cm=\u2212

I y
A.r

Na Fig. 4, observa-se que B(-a; -b) é um ponto sobre a LN quando a força
N está aplicada em P(r ; s), assim

1
A
\ue083 s

I x
\u22c5\ue09e\u2212b\ue09f\ue083 r

I y
\u22c5\ue09e\u2212a\ue09f=0

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

y

x

P

s

r

m

n

b
aaaB

B1

B2

Fig. 4

Versão 2009 5

Aplicando a força em B(-a; -b) a equação da nova linha neutra será:

1
A
\ue083\ue09e\u2212b\ue09f

I x
\u22c5y\ue083\ue09e\u2212a\ue09f

I y
\u22c5x=0

Observando estas duas últimas expressões, pode-se concluir que o ponto
P(r ; s) é um ponto da linha neutra correspondente à força aplicada no ponto B.
Desta forma, se a força percorre um segmento de reta B1 B2 a linha neutra
gira em torno de um determinado ponto P.

- distância da linha neutra ao centróide da seção
 y

 LN
 P

 yo x

 Figura 05

Se a LN é a reta ax + by + c = 0, então a distância d do CG (origem dos eixos x e
y) é:

d= c
\ue08da²\ue083b2

Assim,
d= 1

A\u22c5\ue08d\ue09e x0I y \ue09f2\ue083\ue09e y0I x \ue09f2
Observação: À medida que (xo,yo) se aproxima do CG da seção, a distância d

aumenta, isto é, a LN se afasta. Se a LN passa pela seção, teremos
tensões de tração e de compressão; caso contrário, o sinal da tensão
será único em todos os pontos da seção e, por conseguinte, teremos
apenas tensões de tração ou de compressão.

Núcleo Central da Seção (NC):

Lugar geométrico dos pontos de aplicação do esforço normal N, para os quais as
tensões \u3c3 , em toda a seção, têm um único sinal; isto é, lugar geométrico dos
pontos (xo,yo) tais que a LN tangencie a seção.

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

x0

Versão 2009 6

 Variação da tensão normal \u3c3 ao longo da seção:

(a) (b) (c)

(a): A LN passa pela seção
(b): A LN tangencia a seção
(c): A LN não passa pela seção

Figura 06

O contorno do Núcleo Central pode ser obtido a partir da equação da LN ou da
fórmula da distância entre a LN e o CG.

Exemplos:
a) Seção Circular:

y

 . (xo,yo)

 d x

d = R
 LN

 Figura 07

A=\ue0c6 . R² I x= I y=
\ue0c6 . R4

4

Distância entre a LN (tangenciando a seção) e o CG: d = R
d= 1

A\u22c5\ue08d\ue09e x0I y \ue09f2\ue083\ue09e y0I x \ue09f2
=R

\u21d2 x0 ²\ue083 y0 ²=\ue09e R4 \ue09f
4

Logo, o NC é um círculo cujo contorno é a circunferência de raio igual a R/4 e
centro coincidente com o CG (parte sombreada da figura abaixo)

 y

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

Versão 2009 7

 R/4 x

 NC

 R/4

 Figura 08
b) Seção Retangular: y

LN
 h/2

 CG x
 h/2

 b/2 b/2

 Figura 09

A equação da LN é
x 0
I y
\u22c5x\ue083

y 0
I x
\u22c5y\ue083 1

A
=0

Se a LN tangencia o vértice conforme figura (situação genérica),

x= b
2

e y= h
2

Substituindo estes valores na equação da LN, temos:
6. x0

b
\ue083

6. y0
h

\ue0831=0

que é a equação da reta mostrada na figura abaixo.
 y

 b/6

 h/6
 x

 Figura 10

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

A = b.h

Ix = b.h
3/12

Iy = h.b
3/12

Versão 2009 8

Repetindo este raciocínio para a LN tangenciando os demais vértices, teremos
que o NC será o losango abaixo representado.

 y

 h/6 NC x
 h/6

 b/6 b/6

 Figura 11

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

Versão 2009 9

Flexão Composta com Torção

(x,y): eixos centrais principais de inércia

Figura 12

Neste caso, os momentos fletores Mx e My provocam tensão normal

\ue0c8=
M x
I x
\u22c5y\u2212

M y
I y
\u22c5x

e o momento torsor T provoca tensão de cisalhamento \u3c4 cuja expressão varia
com a forma da seção transversal da barra.

O estado de tensão num ponto qualquer da barra é, então,

Assim, nem a tensão normal \u3c3 nem a tensão de cisalhamento \u3c4 são máximas.

Cálculo das componentes normal e cisalhante em um plano qualquer com
inclinação \u3b8

dS x=dS .cos\ue0be
dS y=dS . sen\ue0be
\u2211 F N\ue08c \u2212\ue0c8 .dS x . cos\ue0be\u2212\ue0c9 .dS x . sen\ue0be\u2212\ue0c9 .dS y cos\ue0be\ue083\ue0c8\ue0be .dS=0

\u2212\ue0c8 .dS cos² \ue0be\u2212\ue0c9 .dS , sen \ue0be .cos\ue0be\u2212\ue0c9. dS . sen\ue0be . cos\ue0be\ue083\ue0c8\ue0be .dS=0
\ue0c8\ue0be=\ue0c8 . cos² \ue0be\ue083\ue0c9 . sen 2\ue0be

SOLICITAÇÕES COMBINADAS

\u3c4

 \u3c3 \u3c3

\u3c4

\u3c4

\u3c4

 \u3c3
 \u3c3 \u3b8

 \u3c3 \u3b8

 \u3c3

\u3c4

\u3c4
\u3c4 \u3b8

\u3b8

dSdSx

dSy

N

z

x
y

T

Mx

My

Versão 2009 10

ou, sabendo que cos² \ue0be=1\ue083cos 2\ue0be2 e
sen² \ue0be=1\u2212cos 2\ue0be

2

\ue0c8\ue0be=
\ue0c8
2
\ue083\ue0c8

2
\u22c5cos 2\ue0be\ue083\ue0c9 . sen 2\ue0be

\u2211 F \u22a5N\ue08c \ue0c9\ue0be .dS\ue083\ue0c8 . dS x . sen\ue0be\u2212\ue0c9.dS x cos\ue0be\ue083\ue0c9 .dS y . sen\ue0be=0
\ue0c9\ue0be