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metodosdeenergia

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2
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2
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=


−⋅=




−+=



⋅−⋅+⋅⋅=



⋅



−+⋅=
∂
∂
⋅⋅=
∂
∂
=⋅=
=∂
∂
−+=
−=+==
∫
∫ ∫
δ
δ
δ
δ
δ
RA RB
MA
HA
Considera-se estrutura isostática 
correspondente de uma estrutura 
hiperestática dada, aquela que resulta da 
supressão de vínculos da estrutura dada
x
L
A B
q
R
A
R
B
P=0
Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente:
b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Métodos de Energia - 7.9
R
B
q
x
LqR
X
LqLRdxxqxRdx
R
M
EI
M
R
U
x
R
MxqxRM
B
B
L
B
L
BB
B
B
.
8
3
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..0
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0
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2
⋅=
−=⋅



−=⋅
∂
∂
⋅==
∂
∂
=
∂
∂
−=
∫∫
q
R
B
q
x
M
B
∫
∫
∫
=
∂
∂
⋅=
∂
∂
=
∂
∂
⋅=
∂
∂
=
−=∂
∂
=∂
∂
−−=
L
BB
L
BB
L
BB
BB
M
M
EI
M
M
U
R
M
EI
M
R
U
EI
dxM
U
M
M
x
R
Mxq
MxRM
0
0
0
2
2
0
0
,
2
1,,
2
.
.
c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado
Estrutura isostática correspondente
d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de 
aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo 
provocada pela carga distribuída.
Métodos de Energia - 7.10
12
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2
.
:Re
0
32
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2
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0
2
LqMLqR
ssimultâneaequaçõesdesistemaosolvendo
LqLM
LR
dxxqMxR
M
U
LqLMLRdxxxqMxR
R
U
BB
B
B
L
BB
B
BB
L
BB
B
==
=⋅−+−=−



−−==∂
∂
=⋅−−=



−−==
∂
∂
∫
∫
q
L/2 L/2
A
B
C
q
L/2 L/2
A
R
B
C
x RCR
A
LqR
LqLqRLqLRLLq
xqxRxLqdxxxqxRxLq
EI
x
R
MxqxRxLqM
RLqRxqxRM
dx
R
M
EI
Mdx
R
M
EI
M
R
U
EI
dxMU
B
BB
L
B
L
B
B
B
B
AA
L L
B
L
BB
⋅⋅=
−=∴=⋅+⋅+⋅−
=


⋅+⋅+⋅−=


−⋅



−−⋅=
−=
∂
∂
−−=
−=−=
⋅
∂
∂
⋅⋅=⋅
∂
∂
⋅==
∂
∂
=
∫
∫ ∫∫
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.
6
.
6
0
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0
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0
4332/
0
2
2
2
0
2/
00
2
4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas)
Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de 
Menabréa.
A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a 
a energia de deformação da viga (UV).
Métodos de Energia - 7.11
W410x46,1
I = 156,1x106 mm4L=6m
L
1
=3m
R
A
 R
C
 H
C
 M
C
A
B
C
kNR
vemvaloresosdosubstituin
EI
L
EA
LEI
LqR
EI
Lq
EI
LR
EA
L
R
LqLR
EIEA
LR
dxxxqxR
EIEA
LR
R
U
R
U
R
UUUU
x
R
MxqxRM
EI
dxMU
EA
LR
R
U
EA
LR
U
A
A
A
A
AAL
A
A
A
V
A
T
A
VT
A
A
L
V
A
A
TA
T
88,43
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1
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1
2
0
2
11
2
=








+
⋅=∴=−+⋅




⋅−⋅+=



−⋅+=
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+=
=∂
∂
−==
=∂
∂
=
∫
∫
18mm de 
diâmetro
7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade)
Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B.
Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será (δA1 = deslocamento do 
ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o 
trabalho . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o 
ponto A sofrerá um deslocamento δA2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada 
em B) resultando em um trabalho igual a P1.δA2 (sem o fator 1/2 porque δA2 não é provocado 
por P1). Assim, o trabalho total armazenado será
Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se
Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2 
P1.δA2 = P2.δB1
- teorema de Betti
"Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois 
sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos 
deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços 
P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1".
P1.δA2 = P2.δB1
Métodos de Energia - 7.12
P
1
P
2
A B
112
1
AP δ⋅⋅
222
1
BP δ⋅⋅
2122111 2
1
2
1
ABA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
1222112 2
1
2
1
BBA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Fazendo P1 = P2 , a expressão fica
δA2 = δB1
- teorema de Maxwell
"O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao 
deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A".
Se P1 = P2 , então δB1 = δA2
7.6. Recalques de apoio
Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum 
motivo, um deslocamento.
Exemplos:
a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da viga 
de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a viga 
suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa
Métodos de Energia - 7.13
A
P
1
δ
B1
P
1
A B
δ
B1
L/2 L/2
δ
0
q
150mm
250mm
L = 6 m
R
B
q
22
.
,
2
.
.
2
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2/
0
2
0
B
AA
L
B
RLq
R
xq
xRM
EI
dxMU
R
U
−=−=
⋅=
−=∂
∂
∫
δ
b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo:
Métodos de Energia - 7.14
kNR
valoresosdosubstituin
L
LqEIR
LRLq
EI
LqLRLq
EI
xqxRxLq
EI
dx
xxqxRxLq
EI
x
R
MxqxRxLqM
B
B
BB
L
B
L
B
B
B
8,27
,
48
384
..5.
24
.
192
..5
2
1
64
.
24
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24
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1
4
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3
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3
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22
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0
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

⋅
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

+−=

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

−⋅=



−−⋅=




−−⋅−=−
⋅


−⋅



−−⋅=−
−=
∂
∂
−−=
∫
δ
δ
δ
δ
L
k
P
x
( )
x
R
M
xPRM
=
∂
∂
−= .
R
( ) ( )
3
3
3333
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0
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10
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1
0,
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1
Lk
EI
PRP
Lk
EIR
EI
LP
EI
L
k
R
EI
LP
EI
LR
k
R
L
PR
EIk
R
dxxxPR
EIk
R
R
U
UUU
EI
dxMU
k
RU
L
VM
L
VM
+
=∴=


+
=



+∴=−+
−+=−+==∂
∂
+=
==
∫
∫
c) Calcular as reações de apoio
d) Calcular as reações de apoio
Métodos de Energia - 7.15
q
A C
B
k
1
k
2
R
A RC
R
BL/2 L/2
I = 60,89 x 10-6 m4
E = 200 GPa
L = 6 m
k
1
 = 1,4 MN/m
k
2
 = 2,1 MN/m
kNR
EI
L
kk
kkEI
LqR
EI
Lq
EI
L
kk
R
k
R
k
RLqLRLlq
EI
k
R
k
RxqxRxLq
EI
k
R
k
R
dxxxq
xRxLq
EIR
U
x
R
MxqxRxLqM
xqxRM
RLqR
B
BB
BBB
BB
L
B
BBL B
B
B
xB
x
Ax
B
A
11,7
48.
384
..5
384
..5
48
11
0
1688686
.1
0
423232
.1
22
.
2
.
2
..20
2
,
2
.
22
.
2
..,
22
.
3
21
21
443
21
21
433
21
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0
433
21
2/
0
2
2
2
=




−
+
=∴=



−+
=++



⋅−⋅−⋅−
=++


⋅−⋅−⋅−
++


−



−−==∂
∂
−=
∂
∂
−⋅−⋅=
−=−=
∫
δ
0
q
o
L
k
L
xqo .
x
E = 210 GPa
I = 20 x 106 m4
L = 5 m
q
o
 = 3 kN/m
δ
o
 = 5 mm
k = 1,2 MN/m
R
7.7. Princípio dos trabalhos virtuais
"O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas"
Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações, 
deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real.
Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual.
Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de 
seu ponto de aplicação.
Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos 
virtuais (os deslocamentos são reais).
Seja a viga bi-apoiada 
deseja-se calcular a flecha em C.
Aplicando em C uma carga virtual unitária (esta carga, conforme já foi dito, não altera o 
estado de deformação nem os esforços internos na viga)
O trabalho virtual das forças externas será:
Métodos de Energia - 7.16
NR
EI
L
k
EI
Lq
R
EI
Lq
EI
L
k
R
L
L
qLR
EIk
Rdxx
L
xq
xR
EIk
R
R
U
x
R
M
L
xq
xRxx
L
q
xRM