2
.22,

2
.2

2
,

2
.

2
.

2
..

2
..,

22
.

44

434

2/

0

433

2/

0

2

2/

0

2/

0

2

2

2

=



−⋅=







−+=





⋅−⋅+⋅⋅=





⋅





−+⋅=

∂
∂

⋅⋅=

∂
∂

=⋅=

=∂
∂

−+=

−=+==

∫
∫ ∫

δ

δ

δ

δ

δ

RA RB

MA

HA

Considera-se estrutura isostática
correspondente de uma estrutura
hiperestática dada, aquela que resulta da
supressão de vínculos da estrutura dada

x

L

A B

q

R
A

R
B

P=0

Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente:

b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído

Métodos de Energia - 7.9

R
B

q

x

LqR

X
LqLRdxxqxRdx

R
M

EI
M

R
U

x
R
MxqxRM

B

B
L

B

L

BB

B
B

.
8
3

42
.

3
.

2
..0

,
2
..

43

0

3
2

0

2

⋅=

−=⋅





−=⋅

∂
∂

⋅==

∂
∂

=

∂
∂

−=

∫∫

q

R
B

q

x

M
B

∫
∫

∫

=

∂
∂

⋅=

∂
∂

=

∂
∂

⋅=

∂
∂

=

−=∂
∂

=∂
∂

−−=

L

BB

L

BB

L

BB
BB

M
M

EI
M

M
U

R
M

EI
M

R
U

EI
dxM

U

M
M

x
R
Mxq

MxRM

0

0

0

2

2

0

0

,
2

1,,
2
.

.

c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado

Estrutura isostática correspondente

d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de
aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo
provocada pela carga distribuída.

Métodos de Energia - 7.10

12
.,

2
.

:Re

0
32

.
2
.

).1(
2
..0

0
422

.
3
..

2
..0

2

32

0

2

423

0

2

LqMLqR

ssimultâneaequaçõesdesistemaosolvendo

LqLM
LR

dxxqMxR
M
U

LqLMLRdxxxqMxR
R
U

BB

B
B

L

BB
B

BB
L

BB
B

==

=⋅−+−=−





−−==∂
∂

=⋅−−=





−−==

∂
∂

∫
∫

q

L/2 L/2

A
B

C

q

L/2 L/2

A

R
B

C

x RCR
A

LqR

LqLqRLqLRLLq

xqxRxLqdxxxqxRxLq
EI

x
R
MxqxRxLqM

RLqRxqxRM

dx
R
M

EI
Mdx

R
M

EI
M

R
U

EI
dxMU

B

BB

L

B
L

B

B

B

B
AA

L L

B

L

BB

⋅⋅=

−=∴=⋅+⋅+⋅−

=



⋅+⋅+⋅−=




−⋅





−−⋅=

−=

∂
∂

−−=

−=−=

⋅

∂
∂

⋅⋅=⋅

∂
∂

⋅==

∂
∂

=

∫

∫ ∫∫

8
5

16
.

6
.

6
0

1648382
.

0
423232

.
22

.
2
.

2
..20

2
,

2
.

2
.

2
..

22
.,

2
..

20,
2

433

2/

0

4332/

0

2

2

2

0

2/

00

2

4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas)

Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de
Menabréa.
A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a
a energia de deformação da viga (UV).

Métodos de Energia - 7.11

W410x46,1
I = 156,1x106 mm4L=6m

L
1
=3m

R
A

 R
C

 H
C

 M
C

A

B

C

kNR
vemvaloresosdosubstituin

EI
L

EA
LEI

LqR
EI
Lq

EI
LR

EA
L

R

LqLR
EIEA

LR
dxxxqxR

EIEA
LR

R
U

R
U

R
UUUU

x
R
MxqxRM

EI
dxMU

EA
LR

R
U

EA
LR

U

A

A
A

A

AAL

A
A

A

V

A

T

A
VT

A
A

L

V

A

A

TA
T

88,43
,

3

1
8
.0

8
.

3
.

423
.1..

2
..1

.
0

0,

,
2
..,

2
.

.
,

2
.

3
1

443
1

43
1

0

2
1

2

0

2

11
2

=















+

⋅=∴=−+⋅







⋅−⋅+=





−⋅+=

∂
∂

+
∂
∂

==

∂
∂

+=

=∂
∂

−==

=∂
∂

=

∫

∫

18mm de
diâmetro

7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade)
Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B.

Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será (δA1 = deslocamento do

ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o

trabalho . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o

ponto A sofrerá um deslocamento δA2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada

em B) resultando em um trabalho igual a P1.δA2 (sem o fator 1/2 porque δA2 não é provocado

por P1). Assim, o trabalho total armazenado será

Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se

Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2

P1.δA2 = P2.δB1

- teorema de Betti
"Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois

sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos
deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços
P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1".

P1.δA2 = P2.δB1

Métodos de Energia - 7.12

P
1

P
2

A B

112
1

AP δ⋅⋅

222
1

BP δ⋅⋅

2122111 2
1

2
1

ABA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=

1222112 2
1

2
1

BBA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Fazendo P1 = P2 , a expressão fica

δA2 = δB1

- teorema de Maxwell
"O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao

deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A".

Se P1 = P2 , então δB1 = δA2

7.6. Recalques de apoio
Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum
motivo, um deslocamento.

Exemplos:
a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da viga
de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a viga
suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa

Métodos de Energia - 7.13

A

P
1

δ
B1

P
1

A B
δ

B1

L/2 L/2

δ
0

q

150mm

250mm

L = 6 m

R
B

q

22
.

,
2
.

.

2
.2

2

2/

0

2

0

B
AA

L

B

RLq
R

xq
xRM

EI
dxMU

R
U

−=−=

⋅=

−=∂
∂

∫
δ

b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo:

Métodos de Energia - 7.14

kNR
valoresosdosubstituin

L
LqEIR

LRLq
EI

LqLRLq
EI

xqxRxLq
EI

dx
xxqxRxLq

EI

x
R
MxqxRxLqM

B

B

BB

L

B

L
B

B

B

8,27
,

48
384

..5.

24
.

192
..5

2
1

64
.

24
.

24
.

2
1

4
.

3
.

3
..

2
1

22
.

2
.

2
..2

2
,

2
.

2
.

2
..

3

4

0

34434

0

2/

0

433

0

2/

0

2

0

2

=





⋅





+−=







−⋅=





−−⋅=







−−⋅−=−

⋅



−⋅





−−⋅=−

−=

∂
∂

−−=

∫

δ

δ

δ

δ

L

k

P

x

( )
x

R
M

xPRM

=

∂
∂

−= .

R

( ) ( )

3

3

3333

3

0

0

22

.
31

1
.

3

3
.

3
10

3
.

3
.

3
1

...
1

0,

2
.,

2
1

Lk
EI

PRP
Lk
EIR

EI
LP

EI
L

k
R

EI
LP

EI
LR

k
R

L
PR

EIk
R

dxxxPR
EIk

R
R
U

UUU

EI
dxMU

k
RU

L

VM

L

VM

+
=∴=




+

=





+∴=−+

−+=−+==∂
∂

+=

==

∫
∫

c) Calcular as reações de apoio

d) Calcular as reações de apoio

Métodos de Energia - 7.15

q

A C

B

k
1

k
2

R
A RC

R
BL/2 L/2

I = 60,89 x 10-6 m4
E = 200 GPa
L = 6 m
k

1
 = 1,4 MN/m

k
2
 = 2,1 MN/m

kNR

EI
L

kk
kkEI

LqR
EI
Lq

EI
L

kk
R

k
R

k
RLqLRLlq

EI

k
R

k
RxqxRxLq

EI

k
R

k
R

dxxxq
xRxLq

EIR
U

x
R
MxqxRxLqM

xqxRM
RLqR

B

BB

BBB

BB

L

B

BBL B

B

B

xB
x

Ax
B

A

11,7

48.
384

..5
384

..5
48

11

0
1688686

.1

0
423232

.1

22
.

2
.

2
..20

2
,

2
.

22
.

2
..,

22
.

3

21

21

443

21

21

433

21

2/

0

433

21

2/

0

2

2

2

=







−

+
=∴=





−+

=++





⋅−⋅−⋅−

=++



⋅−⋅−⋅−

++



−





−−==∂
∂

−=

∂
∂

−⋅−⋅=

−=−=

∫

δ
0

q
o

L

k

L
xqo .

x

E = 210 GPa
I = 20 x 106 m4
L = 5 m
q

o
 = 3 kN/m

δ
o
 = 5 mm

k = 1,2 MN/m

R

7.7. Princípio dos trabalhos virtuais

"O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas"

Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações,
deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real.

Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual.
Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de

seu ponto de aplicação.
Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos

virtuais (os deslocamentos são reais).

Seja a viga bi-apoiada

deseja-se calcular a flecha em C.

Aplicando em C uma carga virtual unitária (esta carga, conforme já foi dito, não altera o
estado de deformação nem os esforços internos na viga)

O trabalho virtual das forças externas será:

Métodos de Energia - 7.16

NR

EI
L

k

EI
Lq

R

EI
Lq

EI
L

k
R

L
L
qLR

EIk
Rdxx

L
xq

xR
EIk

R
R
U

x
R
M

L
xq

xRxx
L
q

xRM