Cristiane fez um comentário
oi, você poderia me dizer quem é o autor dessa apostila?
• 0 aprovações
Pré-visualização3 páginas
2 .22, 2 .2 2 , 2 . 2 . 2 .. 2 .., 22 . 44 434 2/ 0 433 2/ 0 2 2/ 0 2/ 0 2 2 2 =\uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u22c5= \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212+= \uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u22c5\u2212\u22c5+\u22c5\u22c5= \uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u22c5\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212+\u22c5= \u2202 \u2202 \u22c5\u22c5= \u2202 \u2202 =\u22c5= =\u2202 \u2202 \u2212+= \u2212=+== \u222b \u222b \u222b \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 RA RB MA HA Considera-se estrutura isostática correspondente de uma estrutura hiperestática dada, aquela que resulta da supressão de vínculos da estrutura dada x L A B q R A R B P=0 Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente: b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído Métodos de Energia - 7.9 R B q x LqR X LqLRdxxqxRdx R M EI M R U x R MxqxRM B B L B L BB B B . 8 3 42 . 3 . 2 ..0 , 2 .. 43 0 3 2 0 2 \u22c5= \u2212=\u22c5\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212=\u22c5 \u2202 \u2202 \u22c5== \u2202 \u2202 = \u2202 \u2202 \u2212= \u222b\u222b q R B q x M B \u222b \u222b \u222b = \u2202 \u2202 \u22c5= \u2202 \u2202 = \u2202 \u2202 \u22c5= \u2202 \u2202 = \u2212=\u2202 \u2202 =\u2202 \u2202 \u2212\u2212= L BB L BB L BB BB M M EI M M U R M EI M R U EI dxM U M M x R Mxq MxRM 0 0 0 2 2 0 0 , 2 1,, 2 . . c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado Estrutura isostática correspondente d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo provocada pela carga distribuída. Métodos de Energia - 7.10 12 ., 2 . :Re 0 32 . 2 . ).1( 2 ..0 0 422 . 3 .. 2 ..0 2 32 0 2 423 0 2 LqMLqR ssimultâneaequaçõesdesistemaosolvendo LqLM LR dxxqMxR M U LqLMLRdxxxqMxR R U BB B B L BB B BB L BB B == =\u22c5\u2212+\u2212=\u2212\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212==\u2202 \u2202 =\u22c5\u2212\u2212=\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212== \u2202 \u2202 \u222b \u222b q L/2 L/2 A B C q L/2 L/2 A R B C x RCR A LqR LqLqRLqLRLLq xqxRxLqdxxxqxRxLq EI x R MxqxRxLqM RLqRxqxRM dx R M EI Mdx R M EI M R U EI dxMU B BB L B L B B B B AA L L B L BB \u22c5\u22c5= \u2212=\u2234=\u22c5+\u22c5+\u22c5\u2212 =\uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u22c5+\u22c5+\u22c5\u2212=\uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u22c5\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212\u22c5= \u2212= \u2202 \u2202 \u2212\u2212= \u2212=\u2212= \u22c5 \u2202 \u2202 \u22c5\u22c5=\u22c5 \u2202 \u2202 \u22c5== \u2202 \u2202 = \u222b \u222b \u222b\u222b 8 5 16 . 6 . 6 0 1648382 . 0 423232 . 22 . 2 . 2 ..20 2 , 2 . 2 . 2 .. 22 ., 2 .. 20, 2 433 2/ 0 4332/ 0 2 2 2 0 2/ 00 2 4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas) Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de Menabréa. A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a a energia de deformação da viga (UV). Métodos de Energia - 7.11 W410x46,1 I = 156,1x106 mm4L=6m L 1 =3m R A R C H C M C A B C kNR vemvaloresosdosubstituin EI L EA LEI LqR EI Lq EI LR EA L R LqLR EIEA LR dxxxqxR EIEA LR R U R U R UUUU x R MxqxRM EI dxMU EA LR R U EA LR U A A A A AAL A A A V A T A VT A A L V A A TA T 88,43 , 3 1 8 .0 8 . 3 . 423 .1.. 2 ..1 . 0 0, , 2 .., 2 . . , 2 . 3 1 443 1 43 1 0 2 1 2 0 2 11 2 = \uf8f7\uf8f7 \uf8f7\uf8f7 \uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec \uf8ec\uf8ec \uf8ed \uf8eb + \u22c5=\u2234=\u2212+\u22c5 \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u22c5\u2212\u22c5+=\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u22c5+= \u2202 \u2202 + \u2202 \u2202 == \u2202 \u2202 += =\u2202 \u2202 \u2212== =\u2202 \u2202 = \u222b \u222b 18mm de diâmetro 7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade) Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B. Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será (\u3b4A1 = deslocamento do ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o trabalho . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o ponto A sofrerá um deslocamento \u3b4A2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada em B) resultando em um trabalho igual a P1.\u3b4A2 (sem o fator 1/2 porque \u3b4A2 não é provocado por P1). Assim, o trabalho total armazenado será Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2 P1.\u3b4A2 = P2.\u3b4B1 - teorema de Betti "Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1". P1.\u3b4A2 = P2.\u3b4B1 Métodos de Energia - 7.12 P 1 P 2 A B 112 1 AP \u3b4\u22c5\u22c5 222 1 BP \u3b4\u22c5\u22c5 2122111 2 1 2 1 ABA PPPU \u3b4\u3b4\u3b4 \u22c5+\u22c5\u22c5+\u22c5\u22c5= 1222112 2 1 2 1 BBA PPPU \u3b4\u3b4\u3b4 \u22c5+\u22c5\u22c5+\u22c5\u22c5= Fazendo P1 = P2 , a expressão fica \u3b4A2 = \u3b4B1 - teorema de Maxwell "O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A". Se P1 = P2 , então \u3b4B1 = \u3b4A2 7.6. Recalques de apoio Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum motivo, um deslocamento. Exemplos: a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da viga de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa Métodos de Energia - 7.13 A P 1 \u3b4 B1 P 1 A B \u3b4 B1 L/2 L/2 \u3b4 0 q 150mm 250mm L = 6 m R B q 22 . , 2 . . 2 .2 2 2/ 0 2 0 B AA L B RLq R xq xRM EI dxMU R U \u2212=\u2212= \u22c5= \u2212=\u2202 \u2202 \u222b \u3b4 b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo: Métodos de Energia - 7.14 kNR valoresosdosubstituin L LqEIR LRLq EI LqLRLq EI xqxRxLq EI dx xxqxRxLq EI x R MxqxRxLqM B B BB L B L B B B 8,27 , 48 384 ..5. 24 . 192 ..5 2 1 64 . 24 . 24 . 2 1 4 . 3 . 3 .. 2 1 22 . 2 . 2 ..2 2 , 2 . 2 . 2 .. 3 4 0 34434 0 2/ 0 433 0 2/ 0 2 0 2 = \uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u22c5\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb +\u2212= \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u22c5=\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212\u22c5= \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212\u22c5\u2212=\u2212 \u22c5\uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u22c5\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212\u22c5=\u2212 \u2212= \u2202 \u2202 \u2212\u2212= \u222b \u3b4 \u3b4 \u3b4 \u3b4 L k P x ( ) x R M xPRM = \u2202 \u2202 \u2212= . R ( ) ( ) 3 3 3333 3 0 0 22 . 31 1 . 3 3 . 3 10 3 . 3 . 3 1 ... 1 0, 2 ., 2 1 Lk EI PRP Lk EIR EI LP EI L k R EI LP EI LR k R L PR EIk R dxxxPR EIk R R U UUU EI dxMU k RU L VM L VM + =\u2234=\uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb + =\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb +\u2234=\u2212+ \u2212+=\u2212+==\u2202 \u2202 += == \u222b \u222b c) Calcular as reações de apoio d) Calcular as reações de apoio Métodos de Energia - 7.15 q A C B k 1 k 2 R A RC R BL/2 L/2 I = 60,89 x 10-6 m4 E = 200 GPa L = 6 m k 1 = 1,4 MN/m k 2 = 2,1 MN/m kNR EI L kk kkEI LqR EI Lq EI L kk R k R k RLqLRLlq EI k R k RxqxRxLq EI k R k R dxxxq xRxLq EIR U x R MxqxRxLqM xqxRM RLqR B BB BBB BB L B BBL B B B xB x Ax B A 11,7 48. 384 ..5 384 ..5 48 11 0 1688686 .1 0 423232 .1 22 . 2 . 2 ..20 2 , 2 . 22 . 2 .., 22 . 3 21 21 443 21 21 433 21 2/ 0 433 21 2/ 0 2 2 2 = \uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212 + =\u2234=\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212+ =++\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u22c5\u2212\u22c5\u2212\u22c5\u2212 =++\uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u22c5\u2212\u22c5\u2212\u22c5\u2212 ++\uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \uf8f6 \uf8ec\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212\u2212==\u2202 \u2202 \u2212= \u2202 \u2202 \u2212\u22c5\u2212\u22c5= \u2212=\u2212= \u222b \u3b4 0 q o L k L xqo . x E = 210 GPa I = 20 x 106 m4 L = 5 m q o = 3 kN/m \u3b4 o = 5 mm k = 1,2 MN/m R 7.7. Princípio dos trabalhos virtuais "O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas" Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações, deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real. Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual. Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de seu ponto de aplicação. Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos virtuais (os deslocamentos são reais). Seja a viga bi-apoiada deseja-se calcular a flecha em C. Aplicando em C uma carga virtual unitária (esta carga, conforme já foi dito, não altera o estado de deformação nem os esforços internos na viga) O trabalho virtual das forças externas será: Métodos de Energia - 7.16 NR EI L k EI Lq R EI Lq EI L k R L L qLR EIk Rdxx L xq xR EIk R R U x R M L xq xRxx L q xRM