metodosdeenergia
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82,918

3
1

30
.

30
.

3
1

563
.1.

6
.

.1

,
6
.

.
32

.

3

4

43

53

0

3

3

=







+

+−
=

−=





+







⋅−+=





−+−=−=∂
∂

=∂
∂

−=⋅⋅−=

∫

δ

δ

δ

A B
δ

C

δ.PU e =

A B
δ (real)

C

P = 1 (virtual)

O trabalho virtual das forças internas será

dϕ e dy são devidos ao carregamento real

Normalmente pode-se fazer algumas simplificações
- Em peças que não trabalhem fundamentalmente a tração ou compressão, a parcela

correspondente ao esforço normal pode ser desprezada sem erro considerável.
- Normalmente pode-se desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante.
Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros.

Métodos de Energia - 7.17

∫∫ += LLi dyVdMU 00 ϕ

real

real

virtual
virtual

∫∫∫∫

∫∫

∫∫

+++=

+=

==

+=

==

L

P

LL

o

L

LL

o

ie

L

i

dx
GI
TTdx

GA
VVkdx

EI
MMdx

EA
NN

geralcasonoou

dx
GA
VVkdx

EI
MM

PUU

dx
GA
VVkdx

EI
MMU

dx
EA
kQ

dydx
EI
M

d

000

0

0

,,

1,

,

δ

δ

ϕ

A B
C

P = 1

4
.LP

DMF

DEC

V
A

V
B

Aplicações

1) Calcular o deslocamento horizontal do apoio D do quadro da figura. EI = 2,0x104 tf.m2 para
todas as barras.

Diagrama de momentos fletores

Barra 1: M1 = HA.x1 = 5.x1

Barra 2: M2 = HA.3 - VA.x2 = 15 - 3.x2

Como se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio D, deve-se aplicar, naquele
ponto, uma carga virtual unitária e utilizar o princípio dos trabalhos virtuais.

Métodos de Energia - 7.18

Cálculo das reações de apoio:

tVtV

VM

VVF

tHF

BA

DA

BAV

Ax

3,3

5.350

0

50

==

=×∴=

=∴=

=∴=

∑
∑
∑

C

5t

3m

5m

A

B C

H
A

V
A V

B

x
1

x
2

1

2

3

15

A

B

H
A

V
A

x
1

x
2

1

2

3

P=1

V
B

Momentos fletores

2) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço com carga uniformemente
distribuída.

Cálculo da flecha:

Métodos de Energia - 7.19

1,0 === ABA HVV

33.

2

.

1

2

11

==

=

A

A

HM

Barra

xHM

Barra

( )

mm

xxx
EI

dx
EI

xdx
EI
xxdx

EI
MM

D

D

D

H

H

H

88,7

2
.9.45

3
.51

3..315..5

5

0

23

0

3

5

0

3

0

=













−+




=

−

+== ∫∫∫

δ

δ

δ

3 DMF

q

x 2
. 2xqM −=

L

2
. 2xqM −=

M = -P.x = -x

P = 1

Para cálculo da flecha aplica-
se uma carga virtual unitária
enquanto que para o cálculo
da rotação aplica-se um
momento fletor virtual
unitário (sempre no ponto em
que se deseja realizar o
cálculo.

M = 1

M = -1

Cálculo da rotação:

Métodos de Energia - 7.20

EI
Lqx

EI
qxdx

EI
xqdx

EI
MM

L
LL

8
.

422
.. 4

0

4

0

2

0
=⋅=== ∫∫δ

EI
Lqdx

EI
xqdx

EI
MM LL

6
.

2
.. 3

0

2

0
=== ∫∫θ

	CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA
Cristiane Candido fez um comentário
  • oi, você poderia me dizer quem é o autor dessa apostila?
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