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metodosdeenergia

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82,918
3
1
30
.
30
.
3
1
563
.1.
6
.
.1
,
6
.
.
32
.
3
4
43
53
0
3
3
=




+
+−
=
−=



+




⋅−+=



−+−=−=∂
∂
=∂
∂
−=⋅⋅−=
∫
δ
δ
δ
A B
δ
C
δ.PU e =
A B
δ (real)
C
P = 1 (virtual)
O trabalho virtual das forças internas será
dϕ e dy são devidos ao carregamento real
Normalmente pode-se fazer algumas simplificações
- Em peças que não trabalhem fundamentalmente a tração ou compressão, a parcela 
correspondente ao esforço normal pode ser desprezada sem erro considerável.
- Normalmente pode-se desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante.
Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros.
Métodos de Energia - 7.17
∫∫ += LLi dyVdMU 00 ϕ
real
real
virtual
virtual
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
+++=
+=
==
+=
==
L
P
LL
o
L
LL
o
ie
L
i
dx
GI
TTdx
GA
VVkdx
EI
MMdx
EA
NN
geralcasonoou
dx
GA
VVkdx
EI
MM
PUU
dx
GA
VVkdx
EI
MMU
dx
EA
kQ
dydx
EI
M
d
000
0
0
,,
1,
,
δ
δ
ϕ
A B
C
P = 1
4
.LP
DMF
DEC
V
A
V
B
Aplicações
1) Calcular o deslocamento horizontal do apoio D do quadro da figura. EI = 2,0x104 tf.m2 para 
todas as barras.
Diagrama de momentos fletores
Barra 1: M1 = HA.x1 = 5.x1
Barra 2: M2 = HA.3 - VA.x2 = 15 - 3.x2
Como se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio D, deve-se aplicar, naquele 
ponto, uma carga virtual unitária e utilizar o princípio dos trabalhos virtuais.
Métodos de Energia - 7.18
Cálculo das reações de apoio:
tVtV
VM
VVF
tHF
BA
DA
BAV
Ax
3,3
5.350
0
50
==
=×∴=
=∴=
=∴=
∑
∑
∑
C
5t
3m
5m
A
B C
H
A
V
A V
B
x
1
x
2
1
2
3
15
A
B
H
A
V
A
x
1
x
2
1
2
3
P=1
V
B
Momentos fletores
2) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço com carga uniformemente 
distribuída.
Cálculo da flecha:
Métodos de Energia - 7.19
1,0 === ABA HVV
33.
2
.
1
2
11
==
=
A
A
HM
Barra
xHM
Barra
( )
mm
xxx
EI
dx
EI
xdx
EI
xxdx
EI
MM
D
D
D
H
H
H
88,7
2
.9.45
3
.51
3..315..5
5
0
23
0
3
5
0
3
0
=









−+


=
−
+== ∫∫∫
δ
δ
δ
3 DMF
q
x 2
. 2xqM −=
L
2
. 2xqM −=
M = -P.x = -x
P = 1
Para cálculo da flecha aplica-
se uma carga virtual unitária 
enquanto que para o cálculo 
da rotação aplica-se um 
momento fletor virtual 
unitário (sempre no ponto em 
que se deseja realizar o 
cálculo.
M = 1
M = -1
Cálculo da rotação:
Métodos de Energia - 7.20
EI
Lqx
EI
qxdx
EI
xqdx
EI
MM
L
LL
8
.
422
.. 4
0
4
0
2
0
=⋅=== ∫∫δ
EI
Lqdx
EI
xqdx
EI
MM LL
6
.
2
.. 3
0
2
0
=== ∫∫θ
	CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA