Lista 8_GABARITO
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Lista 8_GABARITO

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existem 100 firmas no mercado, a curva de oferta do mercado é dada por:

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Em equilíbrio:

Que são o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado.

Questão 07

Em uma ilha há 50 armadores maximizadores de lucro, numerados de 1 a 50. Cada um deles

pode fabricar até 5 navios por ano. A função custo do armador é dada por:

onde , representa o número de navios fabricados por ano e a constante $5

representa um custo quase-fixo, ou seja, só se incorre em tal custo se a produção for não nula.

Se o preço de mercado de cada navio for $5, quantos armadores terão lucro positivo? Quantos

navios serão produzidos no total?

A função custo mostra que quanto maior for a ordem do armador, maior será seu custo. O

problema de cada armador será:

A derivada da função lucro com relação a será:

Podemos verificar que somente os armadores tais que terão lucro marginal

positivo. Portanto, somente os armadores de 1 a 5 produzirão quantidades positivas. Note,

porém que dada a restrição temos:

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Portanto, o armador 1 deve produzir uma quantidade maior do que para ter lucro

positivo; supondo que os navios são bens discretos, o mínimo será 2. O armador 2 deve

produzir uma quantidade maior do que , e assim por diante. Note que o armador 5 não é

capaz de ter lucro positivo, pois não existe quantidade definida para . Portanto, somente

4 armadores terão lucro positivo.

Como para esses quatro armadores o lucro marginal é positivo para qualquer quantidade, eles

produzirão a quantidade máxima que puderem; ou seja, cada uma produzirá 5 navios, com um

total de 20 navios.

Questão 08

As vendas de ingressos para os jogos de um time de futebol dependem do número de vitórias

do time por temporada e do preço dos ingressos. Em outras palavras, a função demanda pelos

ingressos é dada por

em que é o preço dos ingressos, é a quantidade de ingressos (em milhares) e é a

proporção de jogos ganhos. O time pode aumentar se investir reais (em milhares) na

contratação de novos talentos. Nesse caso, tem-se que

Assuma que o custo fixo e o custo marginal de vender um ingresso sejam zero e responda o

que se pede:

(a) Qual é o preço dos ingressos que maximiza o lucro do time? Qual é o lucro máximo?

(b) Qual é o valor do investimento em jogadores, , ótimo?

(c) Ache a proporção ótima de vitórias.

A função lucro dessa firma será dada por:

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Então, o problema da firma será:

As CPO são:

i.

ii.

O nível máximo de lucro será então:

A proporção ótima de vitórias será:

Questão 09

Uma firma fecha um contrato para produzir eletricidade para atender à demanda de uma

cidade. O preço que ela pode cobrar pela eletricidade é fixado pelo governo e a firma precisa

atender a toda a demanda àquele preço. A quantidade de eletricidade demandada é sempre a

mesma em cada período de 24 horas, porém as demandas diferem do dia (das 6h00m às

18h00m) para a noite (das 18h00min às 6h00min). Durante o dia, 4 unidades são demandadas,

enquanto à noite somente 3 unidades são demandadas. A produção total para cada período

de 24 horas é então sempre igual a 7 unidades. A firma produzirá eletricidade em uma

termoelétrica conforme a função de produção

onde é o tamanho da planta geradora e são toneladas de combustível utilizadas. A firma

precisa construir uma única planta geradora e não pode mudar seu tamanho do dia para a

noite. Se uma unidade do tamanho da planta custa por período de 24 horas e uma

tonelada de combustível custa , qual será o tamanho ótimo da planta?

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O problema será de minimização de custos:

Podemos resolver o problema pelo método do lagrangeano com duas restrições, ou podemos

trabalhar as restrições e substituí-las na função objetivo:

Então

O problema se torna:

Derivando em relação a e igualando a zero:

Questão 10

Uma firma em um setor competitivo tem uma função custo total
 , onde

 , é o produto da firma, e é diferente para cada firma.

(a) Se para todas as firmas, o que determina a quantidade produzida por cada

firma? Elas produzirão quantidades iguais? Explique.

A função custo marginal será dada por:

Como , então trata-se de uma reta com inclinação positiva dada por , no plano de

custos vs. produto.

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Com não temos custos fixos, a função custo médio da empresa é nesse caso igual à de custo

variável médio e é dada por:

Note que essa é uma reta no plano de custos por produto cujo intercepto é e cuja inclinação

é . Portanto, ela sempre estará abaixo da curva de custo marginal:

Em um mercado competitivo a empresa opera de modo que a sua função custo marginal se

iguala ao preço de mercado do bem produzido:

Isso acontece para preços que fazem com que seu lucro seja não negativo. Essa condição

requer que:

A função de oferta da empresa depende do parâmetro , que varia conforme a empresa (é

indexa em ), portanto, a oferta das empresas não é necessariamente igual. Além disso, o

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preço mínimo a partir do qual as empresas começam a produzir quantidades positivas também

depende de , então dependendo do preço de mercado, algumas empresas podem nãoestar

em operação enquanto outras estão com produzindo.

(b) O que acontece se ?

Se , então a função de custo marginal

é decrescente com a quantidade . Isso significa que as empresas sempre podem aumentar o

lucro aumentando a produção, pois o lucro marginal será positivo. No curto prazo, as

empresas produzirão o máximo, com a restrição da demanda de mercado.

Questão 11

Uma firma utiliza dois fatores de produção (trabalho e capital) para produzir um único

produto. Seu produto é vendido e o capital comprado sob condições de competição perfeita,

ao passo que a firma possui poder de monopsônio no mercado de trabalho. A função de

produção é dada por , em que Q mede o produto anual da firma em

unidades, L o número de empregados e K denota o número de unidades de capital. A oferta de

trabalho defrontada pela firma é dada por , em que w representa o salário

anual. Sabe-se também que o preço do produto é dado por p=18 e que K=25. Qual o produto

médio do trabalhador associado à solução ótima dessa firma?

Vamos escrever a função lucro de tal firma.

Agora, vamos escrever w em função de L:

 . A função

lucro fica:

 . Derivando essa

última função em relação a L, chega-se à escolha ótima para os trabalhadores.

Resta achar o produto, para então dividirmos pelo número de trabalhadores a fim de obter o

produto médio do trabalho.

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O produto será: . O produto por

trabalhador será:

Questão 12

Uma empresa produz detergentes, poluindo o rio de uma cidade. O preço de mercado do

barril de detergente é R$