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UFPE \u2013 A´REA 2 \u2013 CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010
PROVA FINAL
Nome: Turma:
1. (2,5 pts) Seja T : R3 \u2192 R3 dado por
T (x, y, z) = (ax+ y, x+ y + z, x+ y).
(a) Determine os valores de a de modo que T na\u2dco seja injetivo.
(b) Determine uma base para Ker(T ).
(c) Determine uma base para Im(T ).
2. (1,0 pt) Mostre que todo operador linear ortogonal T : V \u2192 V e´ sobrejetivo.
3. (2,0 pts) Sejam \u3b2 = {(1, 1), (1, 0)} e \u3b3 = {(1, 3), (2, 4)} bases de R2, e T : R2 \u2192 R2
um operador linear em que
[T ]\u3b2\u3b3 =
[
1 \u22121
\u22121 2
]
.
(a) Calcule [T ]\u3b2\u3b2.
(b) Determine T (x, y).
4. (2,0 pts) Considere em R4 o produto interno cano\u2c6nico e W = [(1,\u22121, 0, 1)].
(a) Determine uma base para W\u22a5.
(b) Determine uma base ortonormal para W\u22a5.
5. (2,5 pts) Encontre a equac¸a\u2dco reduzida e identifique a co\u2c6nica abaixo
x2 + 2xy + y2 +
\u221a
2x+ 3
\u221a
2y + 2 = 0.
OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO\u2dcES E´ PARTE INTE-
GRAL DA PROVA; NA\u2dcO FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA\u2dcO E´ PER-
MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-
CIONAIS. NA\u2dcO E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.
USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA\u2dcO.