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UFPE – A´REA 2 – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´lgebra Linear - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010

PRIMEIRA AVALIAC¸A˜O

Nome leg´ıvel:

Assinatura: Turma:

1.(1,0 pt) Seja W = {( a , b , −a ) ∈ R3 / a, b ∈ R}. W e´ subespac¸o? Justifique sua res-
posta (Obs.: mostre que o vetor nulo pertence a W ).

2.(2,0 pts) Seja W o subespac¸o de R3 gerado por v1 = ( 1 , 2 , 3 ), v2 = ( 5 , 8 , 3 ) e
v3 = (−5 , −6 , 9 ). Determine a condic¸a˜o sobre k para que o vetor ( 1 , 0 , k ) na˜o pertenc¸a
a W .

3. Sejam

U = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3 / a+ b = 0} e

W = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3 / b+ c− d = 0 e a+ b+ d = 0}.

(a)(1,5 pts) Determine uma base para U ∩W .
(b)(0,5 pt) U ∩W = P2? Justifique sua resposta (Obs.: P2 e´ o conjunto dos polinoˆmios
de grau menor ou igual a dois).

4. Seja W o subespac¸o vetorial, do espac¸o das matrizes 2× 2 (M2×2), definido abaixo:

W = {
 a+ b− c b− c− 3d
a+ b+ d −b+ c+ 3d

 ∈M2×2 / a, b, c, d ∈ R}
(a)(2,0 pts) Determine uma base para W .
(b)(0,5 pt) Indique sua dimensa˜o e diga se W =M2×2. Justifique.

5. Seja α = {1, x− 1, x2 − 3x+ 1}.

(a)(1,5 pts) O conjunto α e´ uma base de P2? Justifique.
(b)(1,0 pt) Escreva o polinoˆmio 2− 4x+ x2 como combinac¸a˜o linear dos elementos de α,
isto e´, determine os coeficientes desta combinac¸a˜o.

OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO˜ES E´ PARTE INTE-
GRAL DA PROVA; NA˜O FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA˜O E´ PER-
MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-
CIONAIS. NA˜O E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.
USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA˜O.