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UFPE \u2013 A´REA 2 \u2013 CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010

SEGUNDA AVALIAC¸A\u2dcO

Nome leg´\u131vel: Turma:

1. Sejam \u3b1 = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)} e \u3b2 = {(\u22121,\u22121, 0), (\u22121, 1, 1), (0, 1, 1)} bases de
R

3.
(a)(1,0 pt) Determine [I]\u3b2\u3b1 e [I]

\u3b1
\u3b2 .

(b)(1,0 pt) Dada [T ]\u3b2\u3b2 =

\uf8ee
\uf8f0 1 2 33 2 1

2 3 1

\uf8f9
\uf8fb determine [T ]\u3b1\u3b1.

2.(a) (1,0 pt) Determine explicitamente a expressa\u2dco de uma transformac¸a\u2dco linear
T : P2 \u2192M2×2 satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o\u2dces:

i) O elemento p(x) = x2 \u2208 Ker(T ).

ii) O elemento q(x) = 1 6\u2208 Ker(T ).

iii) O elemento A =

[
2 0
0 1

]
\u2208 Im(T ).

(b)(1,0 pt) Seja \u3b2 = {3x, x\u22121, 1+x2} uma base de P2. Determine a transformac¸a\u2dco linear

S : P2 \u2192M2×2 tal que S(3x) =

[
0 0
0 0

]
, S(x\u2212 1) =

[
1 1
0 0

]
eS(1 + x2) =

[
1 0
0 \u22121

]
.

3. Seja T : R3 \u2192M2×2 dada por

T (x, y, z) =

[
z \u2212 y 7y \u2212 3z \u2212 4x
2y \u2212 2x 2z \u2212 x\u2212 y

]

(a)(1,0 pt) Determine uma base para Ker(T ) (nu´cleo da transformac¸a\u2dco T ).
(b)(1,0 pt) Determine uma base para Im(T ) (imagem da transformac¸a\u2dco T ).
(c)(0,5 pt) Diga se T e´ injetiva e se T e´ sobrejetiva. Justifique.

4.(1,0 pt) Seja V e W espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finita em que dimV = dimW .
Existe transformac¸a\u2dco linear T : V \u2192 W injetiva e na\u2dco sobrejetiva? Justifique.

5.Considere a transformac¸a\u2dco linear T : P2 \u2192 P1 dada por:

T (p(x)) = ap(0)\u2212 p\u2032(x)

com

[T ]\u3b1\u3b2 =

[
3 \u22123 b
3 \u22123 \u22122

]
,

considerando \u3b1 = {1, cx+ 1, x2} a base para P2 e \u3b2 = {1\u2212 x, x} a base para P1.

(a)(1,5 pts) Determine os para\u2c6metros a, b, c \u2208 R.
(b)(1,0 pt) Determine [T (q(x))]\u3b2 e T (q(x)), sabendo que

[q(x)]\u3b1 =

\uf8ee
\uf8f0 1\u22121

2

\uf8f9
\uf8fb .

OBS. p\u2032(x) denota a derivada (primeira) de p(x).

OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO\u2dcES E´ PARTE INTE-

GRAL DA PROVA; NA\u2dcO FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA\u2dcO E´ PER-

MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-

CIONAIS. NA\u2dcO E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.

USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA\u2dcO.