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UFPE \u2013 A´REA 2 \u2013 CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010
TERCEIRA AVALIAC¸A\u2dcO
Nome: Turma:
1. (1,5 pts) Seja V um espac¸o vetorial e seja \u3b2 = {v1, v2, v3} uma base ortonormal com
respeito ao produto interno < , > de V . Sabendo que:
[w]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 12
a
\uf8f9\uf8fb , < 3w, v3 >= \u22121 e u = \u2212v2 + 3v1;
calcule o valor de a e de < u,w > .
2.(2,0 pts) Seja V =M2×2 espac¸o vetorial com produto interno\u2329[
a11 a12
a21 a22
]
,
[
b11 b12
b21 b22
]\u232a
= a11b11 + 2a12b12 + 2a21b21 + a22b22.
Ortogonalize o conjunto
{[ \u22121 0
1 \u22121
]
,
[
2 2
1
2
1
]}
pelo processo de Gram-Schmidt.
3.(1,5 pts) Seja W \u2286 R4, W = [(1, 1, 1, 0), (0, 1,\u22121, 1)]. Calcule uma base para W\u22a5.
4. Seja T : R3 \u2192 R3 dada por T (x, y, z) = (\u2212z,\u2212y,\u2212x). Seja < , > o produto in-
terno cano\u2c6nico de R3.
(a)(1,0 pt) T e´ auto-adjunto? T e´ ortogonal? Justifique.
(b)(1,5 pts) Se poss´\u131vel, encontre uma base \u3b2 ortonormal de autovetores de T e escreva
[T ]\u3b2\u3b2. Ou justifique porque na\u2dco e´ poss´\u131vel.
5.(2,5 pts) Dada a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica:
x2 + 4xy \u2212 2y2 + 8
\u221a
5x+ 4
\u221a
5y + 44 = 0.
Determine a equac¸a\u2dco reduzida da co\u2c6nica e a identifique.
OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO\u2dcES E´ PARTE INTE-
GRAL DA PROVA; NA\u2dcO FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA\u2dcO E´ PER-
MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-
CIONAIS. NA\u2dcO E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.
USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA\u2dcO.