Materiais de Engenharia
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com que planos

equivalentes tenham os mesmos índices. Os índices de Miller-Bravais de um
plano são representados por (hkil ). Estes índices são os recíprocos dos inter-
ceptos sobre os eixos a1, a2, a3 e z, respectivamente. Como apenas três eixos
não coplanares são necessários para especificar um plano no espaço, os qua-
tro índices não podem ser independentes.

Figura 5.6 — Alguns exemplos de conversão de índices de Miller
em índices de Miller-Bravais.

DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 85

A conversão dos índices de Miller (hkl ) em índices de Miller-Bravais
(hkil ) é muito mais simples do que no caso de direções cristalográficas:

i = −(h + k)
A figura 5.7 dá alguns exemplos de planos cristalográficos no sistema

de Miller-Bravais.
Na estrutura hexagonal existem alguns planos que recebem denomina-

ção especial:
• Plano basal, {0001};
• Plano prismático do tipo I, {1010};
• Plano prismático do tipo II, {1120};
• Plano piramidal do tipo I, {1011};
• Plano piramidal do tipo II, {1121}.

Exercícios

1. Quais das seguintes direções pertencem ao plano (110)?
[112]; [110]; [001]; [112] e [889].
2. Demonstre que o produto de [uvw] por (hkl ) é nulo quando a direção
pertence ao plano.

Figura 5.7 — Exemplos de planos no sistema de Miller-Bravais.

86 CAPÍTULO 5

3. Em um cristal tetragonal encontre direções equivalentes para:
a) [001] b) [110]
4. Desenhe em uma célula cúbica as seguintes direções:
[100]; [001]; [110]; [111]; [110] e [210].
5. Desenhe em uma célula cúbica os seguintes planos cristalográficos:
(100); (001); (110); (111); (110) e (210).
6 O chamado tetraedro de Thompson é formado por quatro planos {111} da
estrutura CFC. Identifique em uma célula cúbica cada um destes planos pelos
seus índices de Miller. Identifique também as seis arestas do tetraedro por
meio de índices de Miller.
7. Calcule a fração de área ocupada por átomos (denominada densidade
planar por alguns autores) para os planos {100}, {110} e {111} da estrutura
CFC.
8. Calcule a densidade planar para os planos {100}, {110} e {111} da estru-
tura CCC.
9. Mostre que os planos (110), (121) e (312) pertencem à zona de eixo [111].
10. Represente em células unitárias hexagonais as seguintes direções cristalo-
gráficas:
[0001]; [1100]; [1120]; [1012]; [1011] e [1121].
11. Represente em células unitárias hexagonais os seguintes planos cristalo-
gráficos:
(0001); (1011); (1010); (1121); (1122); (1120); (1012) e (1011).
12. A direção [1120] é normal ao plano (1120). Entretanto, a direção [1012]
não é perpendicular ao plano (1012). Mostre isto geometricamente em uma
célula hexagonal.
13. Calcule o espaçamento entre os planos (111) do níquel. O níquel tem
estrutura CFC e seu parâmetro de rede é 3,5239 Å.
14. Na temperatura ambiente, o urânio tem estrutura ortorrômbica com parâ-
metros de rede a = 2,8538 Å, b = 5,8697 e c = 4,9550. Calcule o espaçamen-
to entre os planos (111) do urânio.
15. Na temperatura ambiente, o titânio tem estrutura HC com parâmetros de
rede a = 2,9512 Å e c = 4,6845 Å. Calcule o ângulo entre o plano basal e o
plano piramidal (1011).
16. Na tabela de ângulos entre planos do sistema cúbico seguinte existe um
erro. Descubra-o.

DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 87

(h1k1l1) (h2k2l2) φ
(100) (111) 54,74
(110) (111) 35,26
(111) (111) 70,53
(110) (100) 60,0
(310) (131) 90,0

Bibliografia consultada

WILLIAM D. CALLISTER, Jr.; Materials science and engineering, Third edition,
John Wiley, New York, 1994.

B.D. CULLITY; Elements of x-ray diffraction, 2nd edition, Addison-Wesley, Rea-
ding,Mass., 1978.

CHRISTOPHER HAMMOND; Introduction to crystallography, Revised edition,
Oxford University Press, Oxford, 1992.

88 CAPÍTULO 5

Determinação da Estrutura Cristalina

A estrutura cristalina dos materiais pode ser determinada por métodos
de difração. Os principais métodos são: difração de raios x, difração de
elétrons e difração de nêutrons. Estes métodos fornecem informações sobre a
natureza e os parâmetros do reticulado, assim como detalhes a respeito do
tamanho, da perfeição e da orientação dos cristais. Dentre os métodos acima
mencionados, o mais utilizado é a difração de raios x. A difração de elétrons
é hoje em dia realizada quase que exclusivamente em conjunção com a
microscopia eletrônica de transmissão. A difração de nêutrons exige uma
fonte de nêutrons de alta intensidade, que é fornecida quase que exclusiva-
mente por um reator nuclear de pesquisas, sendo que sua disponibilidade é
relativamente restrita. Por exemplo, o único difratômetro de nêutrons do
Brasil funciona no Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN), no
campus da USP, desde 1970. Os difratômetros de raios x e as câmaras de
Debye-Scherrer são equipamentos muito comuns nos laboratórios de ciência
dos materiais.

O descobrimento dos raios x

Os raios x foram descobertos pelo físico Wilhelm Conrad Röntgen
(1845-1923) na Universidade de Würzburg. A data provável do descobrimen-
to é 8 de novembro de 1895. Röntgen foi laureado em 1901 com o primeiro
prêmio Nobel de física. Ele trabalhava em 1895 com tubos de raios catódicos
evacuados de Hittorf-Crookes (vide figura 6.1) e observou um novo tipo de
radiação, que ele denominou raios x.

Os raios recém descobertos tinham propriedades muito parecidas com
as da luz:

• propagavam-se em linhas retas;

6

89

• eram absorvidos exponencialmente pela matéria, sendo que o expoente
era aproximadamente proporcional à massa de material atravessada pela
radiação;

• não eram afetados por campos elétricos e magnéticos;
• produziam fluorescência e fosforescência em certas substâncias;
• tinham ação sobre as emulsões fotográficas;
• possuíam velocidade de propagação característica.

Geração de raios x

Os materiais de engenharia são em geral policristalinos, isto é, são
constituídos de milhões de pequenos cristais denominados grãos. Os raios x
utilizados para analisar materiais policristalinos devem ser monocromáticos,

Figura 6.1 — Aparato experimental utilizado por Röntgen em 1895. B é uma
bobina de indução do tipo Ruhmkorff, C é uma placa fotográfica

e T é um tubo evacuado de Hittorf-Crookes (segundo H.H. Seliger).

90 CAPÍTULO 6

ou seja, o feixe deve apresentar um único comprimento de onda e estar em
fase.

Quando um alvo metálico, encerrado em uma cápsula evacuada (vide
figura 6.2), é bombardeado por elétrons acelerados, há emissão de raios x. Os
elétrons são emitidos por um filamento aquecido pela passagem de corrente
elétrica (efeito Joule) e são acelerados pela aplicação de uma diferença de
potencial.

A radiação emitida representa a superposição de dois espectros, confor-
me ilustra a figura 6.3:

• espectro contínuo, contendo uma ampla gama de comprimentos de
onda, gerados pela desaceleração dos elétrons;

• espectro característico, contendo comprimento de onda característico
do metal do alvo, gerados pelo processo mostrado na figura 6.4.
Grande parte da radiação branca (espectro contínuo) e os picos Kβ

podem ser filtrados, colocando-se no caminho do feixe lâminas finas de
metais adequados (por exemplo níquel para radiação de cobre). A radiação
característica também é parcialmente atenuada pelo filtro. A radiação obtida
é suficientemente monocromática para a maioria dos propósitos. Se a escala
da figura 6.3 for expandida poderá ser observado que o pico da radiação K é
na verdade a superposição de dois picos (Kα1 e Kα2), denominados dubleto.

As radiações mais utilizadas em difração de raios x são apresentadas na
tabela 6.1. Como se pode notar, os comprimentos de onda mais utilizados
estão na faixa de 0,5 a 3,0 Å, ou seja, da mesma ordem de grandeza dos
espaçamentos interplanares dos cristais, para que possa ocorrer interferência.

Figura 6.2 — Esquema de um tubo gerador de raios x
(segundo B.D. Cullity).

DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA 91

Figura 6.3 — Espectros