segunda_chamada

Prévia do material em texto

UFPE – A´REA 2 – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010
SEGUNDA CHAMADA
Nome: Turma:
1. (2,0 pts) Determine para que valores reais de a o subespac¸oW = [(1, 0, 2), (1, 1, 1), (0, 1, a)]
e´ tal que W⊥ 6= {0} .
2. Seja V espac¸o vetorial com produto interno <,> e T : V → V uma transformac¸a˜o
linear. Mostre que:
(a) (0,8 pts) Se T e´ auto-adjunto e ortogonal, enta˜o T 2 = I, ou seja T 2(v) = T (T (v)) =
v, ∀v ∈ V.
{Sugesta˜o: Calcule ‖T 2(v)− v‖}.
(b) (0,7 pts) Se T ∗ : V → V e´ um operador linear tal que < u, T (v) >=< T ∗(u), v >,
enta˜o o operador linear S : V → V definido por S(v) = (T + T ∗)(v) e´ auto adjunto.
3. Seja T : P2 → R
2 definida por
T (p(x)) = (p(0), p(1)).
(a) (0,4 pts) Enuncie o Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
(b) (0,8 pts) Determine uma base para Ker(T ).
(c) (0,8 pts) Determine uma base para Im(T ).
(d) (0,5 pts) Diga se T e´ injetora. Justifique.
4. (2,0 pts) Seja V = R2 com produto interno
< (x1, y1), (x2, y2) >= x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2.
Seja β = {(1, 0), (0, 1)} e [T ]ββ =
[
−1 0
0 −1
]
a matriz da transformac¸a˜o linear
T : R2 → R2 na base β. T e´ ortogonal? T e´ auto-adjunto? Justifique.
5. Seja T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x+ 2y,−x− y + z, y + z).
(a) (0,5 pts) Determine os autovalores de T .
(b) (1,0 pt) Determine os autoespac¸os associados.
(c) (0,5 pts) Diga se T e´ diagonaliza´vel. Justifique.
OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO˜ES E´ PARTE INTE-
GRAL DA PROVA; NA˜O FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA˜O E´ PER-
MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-
CIONAIS. NA˜O E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.
USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA˜O.