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UFPE \u2013 A´REA 2 \u2013 CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010
SEGUNDA CHAMADA
Nome: Turma:
1. (2,0 pts) Determine para que valores reais de a o subespac¸oW = [(1, 0, 2), (1, 1, 1), (0, 1, a)]
e´ tal que W\u22a5 6= {0} .
2. Seja V espac¸o vetorial com produto interno <,> e T : V \u2192 V uma transformac¸a\u2dco
linear. Mostre que:
(a) (0,8 pts) Se T e´ auto-adjunto e ortogonal, enta\u2dco T 2 = I, ou seja T 2(v) = T (T (v)) =
v, \u2200v \u2208 V.
{Sugesta\u2dco: Calcule \u2016T 2(v)\u2212 v\u2016}.
(b) (0,7 pts) Se T \u2217 : V \u2192 V e´ um operador linear tal que < u, T (v) >=< T \u2217(u), v >,
enta\u2dco o operador linear S : V \u2192 V definido por S(v) = (T + T \u2217)(v) e´ auto adjunto.
3. Seja T : P2 \u2192 R
2 definida por
T (p(x)) = (p(0), p(1)).
(a) (0,4 pts) Enuncie o Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
(b) (0,8 pts) Determine uma base para Ker(T ).
(c) (0,8 pts) Determine uma base para Im(T ).
(d) (0,5 pts) Diga se T e´ injetora. Justifique.
4. (2,0 pts) Seja V = R2 com produto interno
< (x1, y1), (x2, y2) >= x1x2 \u2212 x1y2 \u2212 x2y1 + 2y1y2.
Seja \u3b2 = {(1, 0), (0, 1)} e [T ]\u3b2\u3b2 =
[
\u22121 0
0 \u22121
]
a matriz da transformac¸a\u2dco linear
T : R2 \u2192 R2 na base \u3b2. T e´ ortogonal? T e´ auto-adjunto? Justifique.
5. Seja T : R3 \u2192 R3 dado por T (x, y, z) = (x+ 2y,\u2212x\u2212 y + z, y + z).
(a) (0,5 pts) Determine os autovalores de T .
(b) (1,0 pt) Determine os autoespac¸os associados.
(c) (0,5 pts) Diga se T e´ diagonaliza´vel. Justifique.
OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTO\u2dcES E´ PARTE INTE-
GRAL DA PROVA; NA\u2dcO FAC¸A CONSULTAS AO FISCAL. NA\u2dcO E´ PER-
MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-
CIONAIS. NA\u2dcO E´ PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.
USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRA\u2dcO.