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DisciplinaIntrodução à Probabilidade e A Estatística II218 materiais1.682 seguidores
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bussab&morettin estatística básica
Capítulo 3
Problema 01.
(a) Sendo x o número médio de erros por página, tem-se:
66,0
50
33
50
141332201250
==
×+×+×+×+×
=x
Representando o número mediano de erros por md, tem-se, pela ordenação dos 
valores observados, que os valores de ordem 25 e 26 são 0 e 1, respectivamente. Assim 
5,0
2
10
=
+
=md
(b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
\u2212×+\u2212×+\u2212×+\u2212×+\u2212×
=
50
66,04166,03166,02366,012066,0025)var(
22222
X
7044,0
50
22,35
50
1556,1114756,517956,131156,0204356,025
==
×+×+×+×+×
=
Logo,
8393,07044,0)( ==Xdp
(c)
 
 
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4
Núme ro de e rros de impre ssão
Fr
eq
üê
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a 
(n
i)
Gráfico de barras do número de erros por página
(d) Uma vez que a média de erros por página é 0,66 e o livro tem 500 páginas, o número 
esperado de erros no livro é 33050066,0 =×
Problema 02.
Média:
595,2
10
64,263,250,261,255,257,262,260,264,259,2
=
+++++++++
=x
Mediana:
Cap03-1
bussab&morettin estatística básica
605,2
2
610,2600,2
=
+
=md
Desvio Padrão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10
045,0045,0025,0025,0005,0045,0005,0)var(
2222222
\u2212+\u2212+\u2212++++\u2212
=X
( ) ( ) 0424,00018,0)(0018,0
10
095,0015,0 22
==\u21d2=
\u2212+
+ Xdp
Problema 03.
(a)
100806040200
0.015
0.010
0.005
0.000
Número de casas por quarteirao
D
en
si
da
de
Histograma do número de casas por quarteirão
(b) Média: 40,42; desvio-padrão: 25,81.
Problema 04.
(a) A mediana é uma medida de posição mais importante do que a média, por 
(b) exemplo, em situações em que a variável em estudo tem algum valor muito discrepante que 
\u201cpuxa\u201d a média para cima ou para baixo.
(c)
Cap03-2
bussab&morettin estatística básica
16141210864
0.2
0.1
0.0
 
D
en
si
da
de
Histograma
Em distribuições simétricas, a média e a mediana coincidem.
(d)
3020100-10
0.10
0.05
0.00
D
en
si
da
de
Média =10,0 e Variância = 4
3020100-10
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
 
D
en
si
da
de
 
Média =10,0 e Variância = 16
Cap03-3
bussab&morettin estatística básica
3020100-10
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
 
D
en
si
da
de
Média =10,0 e Variância = 36
Problema 05.
Nessa situação, tanto a média quanto a mediana (que coincidem) não se apresentam como boas 
medidas de posição. Elas não retratam bem a distribuição da variável estudada. Nessas condições, 
seria melhor considerar a moda, ou modas, pois nesse caso a distribuição é bi-modal.
Problema 06.
(a) A mediana do número de filhos é a média aritmética das observações de ordem 
(b) 50 e 51, que é 2.
(c) A moda do número de filhos é 2.
(d) O cálculo da média fica prejudicado pelo fato de haver uma categoria representada por 
\u201cmais que 5\u201d filhos, sem a especificação do valor exato. Neste caso, deve-se usar o 
conhecimento empírico que se tem da variável para propor um valor máximo para o 
intervalo, ou o ponto médio da classe. Aqui vamos supor que as famílias com \u201cmais que 5\u201d, 
tenham em média 8 filhos. Desse modo tem-se:
21,2
100
584574193282201170
=
×+×+×+×+×+×+×
=x
Problema 07.
50
 31 
20 61
2 97
\u2022 Intervalo interquartil: 41206113 =\u2212=\u2212 qq
\u2022 Dispersão inferior (di): 29231)1(2 =\u2212=\u2212 xq
\u2022 Dispersão superior (ds): 6631972)( =\u2212=\u2212 qx n
Para que a distribuição dos dados tenha forma normal (simétrica, em geral), é necessário:
dsdi \u2245
Cap03-4
bussab&morettin estatística básica
2312 qqqq \u2212\u2245\u2212
 di e dsqqqq <\u2212\u2212 2312 e 
Os valores acima obtidos indicam que a distribuição dos dados não tem forma normal.
Problema 08.
37
35
31 40
21 49
\u2022 Intervalo interquartil: 9314013 =\u2212=\u2212 qq
\u2022 Dispersão inferior (di): 142135)1(2 =\u2212=\u2212 xq
\u2022 Dispersão superior (ds): 1435492)( =\u2212=\u2212 qx n
Os valores acima obtidos indicam que a distribuição dos dados tem forma aproximadamente 
normal.
Problema 09.
Temos que:
( ) 5,13
2
1413)10,0( =+=q , 5,19)25,0( =q , 0,31)50,0( =q , 0,61)75,0( =q , 
( ) 0,79
2
8078)90,0( =+=q
Problema 10.
Temos que:
841,576)10,0( =q , 217,580,1)25,0( =q , 006,776,2)50,0( =q , 113,095,5)75,0( =q , 
975,704,6)80,0( =q , 918,993,12)95,0( =q
Problema 11.
25
15
5
S
al
ar
io
s 
(S
.M
.)
Box-Plot dos Salários dos funcionários da Companhia MB
Cap03-5
bussab&morettin estatística básica
Pode-se perceber uma distribuição assimétrica à direita.
Problema 12.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
 
Box-Plot para os dados do Problema 3
Problema 13.
30000
20000
10000
0
P
op
ul
ac
ao
 (x
10
00
0)
Box-Plot do Problema 10
Problema 14.
(a) ( ) 0
111
=\u2212=\u2212=\u2212 \u2211\u2211\u2211
===
xnxnxxxx
n
i
n
i
i
n
i
i
(b) ( ) ( ) 2
1
_
11
2
1
22
1
2
22 \u2211\u2211\u2211\u2211\u2211
=====
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+\u2212=+\u2212=\u2212
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i xxxxxxxxxx
( ) ( )
n
x
xxnxnx
n
i
in
i
i
n
i
i
2
1
1
22
2
1
2 2
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=+\u2212=
\u2211
\u2211\u2211 =
==
Cap03-6
bussab&morettin estatística básica
(c) ( ) ( ) =\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ed\uf8eb+\u2212=+\u2212=\u2212 \u2211\u2211\u2211\u2211\u2211 =====
2
1
_
11
2
1
22
2
1
22
k
i
i
k
i
ii
k
i
ii
k
i
iii
k
i
ii xnxnxxnxxxxnxxn
( ) 2
1
2 xnxn
k
i
ii\u2211
=
\u2212=
(d) ( ) ( ) =\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ed\uf8eb+\u2212=+\u2212=\u2212 \u2211\u2211\u2211\u2211\u2211 =====
2
1
_
11
2
1
22
2
1
22
k
i
i
k
i
ii
k
i
ii
k
i
iii
k
i
ii xfxfxxfxxxxfxxf
( ) 2
1
2 xxf
k
i
ii\u2211
=
\u2212=
Problema 16.
(a)
706560555045403530
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
Vendas semanais (em S.M.)
D
en
si
da
de
Histograma das vendas semanais de vendedores de gêneros 
alimentícios
(b) Supondo uma variável discreta com todas as observações do intervalo
 concentradas no ponto médio:
=
×+××+×+×+×+×+×
=
200
25,67185,30625,57705,52505,47185,42105,3725,32x
2,51
200
10240
==
(c) ( ) ( ) ( ) ( ) +×\u2212+×\u2212+×\u2212+×\u2212= 25,07,309,07,805,07,1301,07,18)var( 2222X
( ) ( ) ( ) ( ) 81,4301,03,1609,03,1115,03,635,03,1 2222 =×+×+×+×+
Logo,
62,6)( =Xdp
(d) Temos que: 96,3762,622,512 =×\u2212=\u2212 sx e 44,6462,622,512 =×+=+ sx
Assim, queremos achar as seguintes áreas do histograma:
Cap03-7
bussab&morettin estatística básica
%04,296,3740
%5
3540
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 A
A
%99,76044,644
%9
6065
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 B
B
Desse modo, o intervalo em questão abriga: %03,94%15%35%25%9%04,2 =++++
(e) Pela distribuição de freqüências, vê-se que a mediana bruta é 52,5.
Problema 18.
(a) Mediana:
14,37
24
20
28
2040
2
2
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 qq
(b) 1º decil:
69,7
10
0
26
020
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 xx
(c) Intervalo interquartil(dq):
23,19
25
0
26
020
1
1
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 qq
00,63
03,0
60
20,0
6080
3
3
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 q
q
Portanto, 77,4323,1900,63 =\u2212=dq
Problema 19.
casamento. de tempo:X
X ni fi Fi
[0;6) 2800 0,56 0,56
[6;12) 1400 0,28 0,84
[12;18) 600 0,12 0,96
[18;24) 150 0,03 0,99
[24;30) 50 0,01 1,00
Total 5000 1,00
(a) 90,601,02703,02112,01528,0956,03 =×+×+×+×+×=x
36,5=md
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =×+×+×+×+×\u2212= 01,01,2003,01,1412,01,828,01,256,09,3)var( 22222X
anos 26,5)(63,27 =\u21d2= Xdp
(c)
Cap03-8
bussab&morettin estatística básica
3024181260
0.10
0.05
0.00
Tempo de casamento
D
en
si
da
de
Histograma do tempo até o desquite
(d) 1º decil: anos 07,1
10
0
56
06
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 xx
9º decil: anos 15
6
12
12
1218
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 yy
(e) 1º quartil: anos 68,2
25
0
56
06
1
1
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 qq
(f) 3º quartil: anos 07,10
19
6
28
612
3
3
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 qq
39,768,207,10 =\u2212=dq
Problema 20.
(a)
106420
0.2
0.1
0.0
Salario (em SM)
D
en
si
da
de
Histograma para os Salários mensais dos funcionários do 
setor administrativo
(b) Média: 65,315,0820,0540,0325,01 =×+×+×+×=x
Cap03-9
bussab&morettin estatística básica
Variância: 
( ) ( ) ( ) ( ) 19,2815,035,420,035,140,065,025,065,2)var( 2222 =×+×+×\u2212+×\u2212=X
Variância: 31,519,28)( ==Xdp
(c) 1º quartil: 21 =q
Mediana: 25,325,0
2
40,0
24
=\u21d2
\u2212
=
\u2212 mdmd
(d) Se todos os salários aumentarem em 100%, ou seja, dobrados, a média dos salários dobrará 
e a sua variância será multiplicada por 4.Trata-se de um resultado geral que pode ser 
demonstrado da seguinte maneira.
Suponha que haja uma coleção de n valores, denotados por x1,x2,...,xn com média x e 
variância s2(X). Seja k uma constante real. Se todos os n valores da coleção acima forem 
multiplicados por k, teremos:
(i) Para a média:
xk
n
kxkx
x nk =
++
=
...1
(ii) Para a variância:
 ( ) ( )