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Noc¸o\u2dces Topolo´gicas do Plano
Americo Cunha
Andre´ Zaccur
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´\u131cia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Dista\u2c6ncia entre dois pontos do plano
Um sistema de coordenadas cartesiano em R2 (no plano) e´ definido por um par
de eixos perpendiculares (eixo x e eixo y) que possuem uma mesma origem O. Num
sistema de coordenadas desse tipo, um ponto P \u2208 R2 e´ representado por um par
ordenado da forma (xp, yp), como ilustrado na Figura 1.
x
y
P
xp
yp
Figura 1: Representac¸a\u2dco cartesiana de um ponto do plano.
A dista\u2c6ncia entre A = (xa, ya) e B = (xb, yb), dois pontos do plano, e´ dada por
d(A,B) =
\u221a
(xb \u2212 xa)2 + (yb \u2212 ya)2. (1)
Para verificar a origem da fo´rmula acima, assumindo que a dista\u2c6ncia entre dois
pontos na reta e´ dada pelo mo´dulo da diferenc¸as entre eles, vamos considerar o
tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo ilustrado na Figura 2.
1
x
y
A
xa
ya
B
xb
yb
Figura 2: Dista\u2c6ncia entre dois pontos do plano.
A dista\u2c6ncia entre os pontos A e B, denotada por d(A,B), corresponde a` hipote-
nusa desse tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo, enquanto que os catetos tem comprimentos |xb\u2212xa|
e |yb \u2212 ya|. Logo, pelo teorema de Pitagoras[
d(A,B)
]2
= (xb \u2212 xa)2 + (yb \u2212 ya)2, (2)
que equivale a
d(A,B) = ±
\u221a
(xb \u2212 xa)2 + (yb \u2212 ya)2. (3)
Como a dista\u2c6ncia entre dois pontos e´ sempre na\u2dco negativa, podemos descartar a
fo´rmula com sinal negativo antes da raiz. Com isso mostramos que a dista\u2c6ncia entre
os pontos A e B e´ dada pela Eq.(1).
Exerc´\u131cio 1.1 Mostre que a func¸a\u2dco dista\u2c6ncia satisfaz as seguintes propriedades:
\u2022 d(A,B) \u2265 0
\u2022 d(A,B) = 0 se e somente se A = B
\u2022 d(A,B) = d(B,A)
\u2022 d(A,B) \u2264 d(A,C) + d(C,B) onde C = (xc, yc)
2
2 Seque\u2c6ncia de pontos no plano
Uma seque\u2c6ncia em R2 e´ uma lista ordenada de pontos da forma Pn = (xn, yn)
onde n = 1, 2, 3, · · · . Logo, xn e yn sa\u2dco seque\u2c6ncias de nu´meros reais (que voce\u2c6
estudou em Ca´lculo 1).
Exemplos
\u2022 Pn = (n, n2)
\u2022 Pn = (2, (\u22121)n)
\u2022 Pn = (n, pi)
\u2022 Pn =
(
3n3 + n2 + 7
2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8
7n4 + 1
)
\u2022 Pn =
(
sin
(
1
n
+
pi
2
)
,
1
n
cos
(
n3 + n+ 1
))
Uma seque\u2c6ncia de pontos Pn = (xn, yn) converge a um ponto P\u221e = (x\u221e, y\u221e) do
plano, se a dista\u2c6ncia d(Pn, P\u221e) converge a zero, i.e., lim
n\u2192\u221e
d(Pn, P\u221e) = 0. Nesse caso
dizemos que P\u221e e´ o limite de Pn quando n\u2192\u221e e escrevemos
lim
n\u2192\u221e
Pn = P\u221e. (4)
A quantidade d(Pn, P\u221e) define uma seque\u2c6ncia de nu´meros reais. A converge\u2c6ncia
dessa seque\u2c6ncia pode ser analisada pelos resultados estudados em Ca´lculo 1.
Considere a seque\u2c6ncia Pn = (e
\u2212n/4 cosn, e\u2212n/4 sinn). Vamos mostrar que essa
seque\u2c6ncia converge ao ponto P\u221e = (0, 0).
De fato,
d(Pn, P\u221e) =
\u221a
(e\u2212n/4 cosn\u2212 0)2 + (e\u2212n/4 sinn\u2212 0)2
=
\u221a
e\u2212n/2
(
cos2 n+ sin2 n
)
= e\u2212n/4,
donde
lim
n\u2192\u221e
d(Pn, P\u221e) = lim
n\u2192\u221e
e\u2212n/4 = 0.
Se uma seque\u2c6ncia Pn = (xn, yn) na\u2dco tem limite, dizemos que ela diverge. Um
caso especial de diverge\u2c6ncia ocorre quando a dista\u2c6ncia de Pn a` origem O = (0, 0)
for para o infinito, i.e., lim
n\u2192\u221e
d(Pn, O) = \u221e. Nesse caso dizemos que Pn vai para o
infinito.
3
Exerc´\u131cio 2.1 Calcule o limite (caso exista) de cada uma das seque\u2c6ncias abaixo:
\u2022 Pn = (n, n2)
\u2022 Pn = (2, (\u22121)n)
\u2022 Pn = (n, pi)
\u2022 Pn =
(
3n3 + n2 + 7
2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8
7n4 + 1
)
\u2022 Pn =
(
sin
(
1
n
+
pi
2
)
,
1
n
cos
(
n3 + n+ 1
))
\u2022 Pn =
(
pi + 1/n, 1\u2212 1/n)
\u2022 Pn =
(
n, (\u22121)n)
\u2022 Pn =
(
cos (e\u2212n), sin (e\u2212n)
)
\u2022 Pn =
(
cos (2pin), sin (2pin+ pi/2)
)
Exerc´\u131cio 2.2 Considere Pn =
(
xn, f(xn)
)
, onde f : R \u2192 R e´ uma func¸a\u2dco cont´\u131-
nua e xn seque\u2c6ncia de nu´meros reais que converge a 1.
(a) Calcule (caso exista) o limite de Pn quando n\u2192\u221e.
(b) Explicite tre\u2c6s exemplos de Pn como acima.
4
3 Regio\u2dces abertas e fechadas
O disco aberto de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que
d(C,P ) < r, (5)
ou seja \u221a
(x\u2212 xc)2 + (y \u2212 yc)2 < r. (6)
A u´ltima inequac¸a\u2dco equivale a
(x\u2212 xc)2 + (y \u2212 yc)2 < r2, (7)
cuja interpretac¸a\u2dco geome´trica e´ apresentada na Figura 3. O referido conjunto esta´
na cor cinza (a linha tracejada na\u2dco faz parte do conjunto).
x
y
C
xc
yc
r
Figura 3: Disco aberto de centro C e raio r > 0.
O disco fechado de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que
d(C,P ) \u2264 r, (8)
ou seja \u221a
(x\u2212 xc)2 + (y \u2212 yc)2 \u2264 r, (9)
ou, ainda,
(x\u2212 xc)2 + (y \u2212 yc)2 \u2264 r2. (10)
Agora o c´\u131rculo de centro C e raio r faz parte do conjunto, como ilustrado na
Figura 4.
5
x
y
C
xc
yc
r
Figura 4: Disco fechado de centro C e raio r > 0.
Dado uma regia\u2dco D \u2286 R2, dizemos que um ponto P \u2208 D e´ um ponto de fronteira
de D se todo disco aberto de centro P e raio r > 0 contiver pontos que esta\u2dco em D
e pontos que na\u2dco esta\u2dco em D.
Se P na\u2dco for ponto de fronteira de D existem duas possibilidades:
1. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
de D;
2. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
que na\u2dco pertencem a D.
No primeiro caso P e´ dito um ponto interior de D, enquanto que no segundo
caso P e´ dito um ponto exterior de D.
Como exemplo, considere a regia\u2dco
D =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 a \u2264 x \u2264 b e c \u2264 y \u2264 d} ,
e os pontos A, B, C e D, todos ilustrados na Figura 5.
x
y
a b
c
d
A
B
C
D
Figura 5: Um exemplo de classificac¸a\u2dco de pontos do plano.
6
Claramente, a regia\u2dco D e´ um reta\u2c6ngulo. Os pontos B e C, que esta\u2dco respectiva-
mente numa aresta e num ve´rtice de D, sa\u2dco pontos de fronteira, pois qualquer disco
aberto centrado num desses pontos possui elementos de D e elementos que na\u2dco esta\u2dco
em D. Note que A e´ ponto interior, pois existe um disco aberto centrado em A que
possui somente elementos de D. Finalmente, o ponto D e´ exterior, pois existe um
disco aberto centrado nele que na\u2dco conte´m elementos de D.
A partir das caracterizac¸o\u2dces acima definimos as noc¸o\u2dces de regia\u2dco aberta e regia\u2dco
fechada no plano.
Uma regia\u2dco D e´ aberta se conte´m somente pontos interiores, i.e., na\u2dco conte´m
nenhum ponto de fronteira. Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 6):
\u2022 D1 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1}
\u2022 D2 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 x > y2}
1\u22121 2\u22122 x
y
(a) D1
x
y
(b) D2
Figura 6: Exemplos de regio\u2dces abertas.
Se uma regia\u2dco D contiver todos os seus pontos de fronteira ela e´ chamada de
fechada. Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 7):
\u2022 D3 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 1 \u2264 x2 + y2 \u2264 4}
\u2022 D4 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 y = x}
7
1\u22121 2\u22122 x
y
(a) D3
1
1
x
y
(b) D4
Figura 7: Exemplos de regio\u2dces fechadas.
Note que a regia\u2dco D3 possui pontos interiores e de fronteira, enquanto que D4
possui somente pontos de fronteira.
O interior e a fronteira das regio\u2dces acima podem ser caracterizados pelas equac¸o\u2dces
e/ou inequac¸o\u2dces que os definem. Por exemplo, o interior de D1 e´ definido pelas
inequac¸o\u2dces |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1.
Ja´ a fronteira de D1, que na\u2dco faz parte da regia\u2dco, e´ caracterizada pela unia\u2dco das
curvas
\u2022 L1 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 x = 2 e \u2212 2 \u2264 y \u2264 2},
\u2022 L2 =
{
(\u22122, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 \u2212 2 \u2264 y \u2264 2},
\u2022 L3 =
{
(x, 2) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 \u2212 2 \u2264 x \u2264 2},
\u2022 L4 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 y = \u22122 e \u2212 2 \u2264 x \u2264 2},
\u2022 L5 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 y = \u221a1\u2212 x2 e \u2212 1 \u2264 x \u2264 1},
\u2022 L6 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 y = \u2212\u221a1\u2212 x2 e \u2212 1 \u2264 x \u2264 1},
onde cada uma dessas curvas e´ definida em termos de gra´ficos de func¸o\u2dces (na varia´vel
x ou na varia´vel y), i.e., a fronteira de D1 e´ L1 \u222a L2 \u222a L3 \u222a L4 \u222a L5 \u222a L6.
No caso do conjunto D3, a fronteira e´ definida por C1 \u222a C2 onde
\u2022 C1 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 x2 + y2 = 1},
8
\u2022 C2 =
{
(x, y) \u2208 R2
\u2223\u2223\u2223 x2 + y2 = 4}.
Ja´ o interior de D3 e´ definido pelas inequac¸o\u2dces 1 < x2 + y2 e x2 + y2 < 4. Em
geral, um conjunto definido por uma inequac¸a\u2dco da forma g(x, y) \u2264 0 tem interior
caracterizado por g(x, y) < 0 e fronteira por g(x, y) = 0.
Atenc¸a\u2dco: existem regio\u2dces que na\u2dco sa\u2dco abertas nem fechadas (pense em alguns
exemplos).
Se uma regia\u2dco D esta´ contida num disco enta\u2dco ele e´ dita limitada. Nos exemplos
acima sa\u2dco limitadas as regio\u2dces D1 e D3. Ja´ as regio\u2dces D2 e D4 sa\u2dco