nocoes_topologia
11 pág.

nocoes_topologia

Disciplina:cálculo a várias variáveis i83 materiais611 seguidores
Pré-visualização2 páginas
Noc¸o˜es Topolo´gicas do Plano

Americo Cunha
Andre´ Zaccur

De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp

Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro

1 Distaˆncia entre dois pontos do plano

Um sistema de coordenadas cartesiano em R2 (no plano) e´ definido por um par
de eixos perpendiculares (eixo x e eixo y) que possuem uma mesma origem O. Num
sistema de coordenadas desse tipo, um ponto P ∈ R2 e´ representado por um par
ordenado da forma (xp, yp), como ilustrado na Figura 1.

x

y

P

xp

yp

Figura 1: Representac¸a˜o cartesiana de um ponto do plano.

A distaˆncia entre A = (xa, ya) e B = (xb, yb), dois pontos do plano, e´ dada por

d(A,B) =
√

(xb − xa)2 + (yb − ya)2. (1)
Para verificar a origem da fo´rmula acima, assumindo que a distaˆncia entre dois

pontos na reta e´ dada pelo mo´dulo da diferenc¸as entre eles, vamos considerar o
triaˆngulo retaˆngulo ilustrado na Figura 2.

1

x
y

A

xa

ya

B

xb

yb

Figura 2: Distaˆncia entre dois pontos do plano.

A distaˆncia entre os pontos A e B, denotada por d(A,B), corresponde a` hipote-
nusa desse triaˆngulo retaˆngulo, enquanto que os catetos tem comprimentos |xb−xa|
e |yb − ya|. Logo, pelo teorema de Pitagoras[

d(A,B)
]2

= (xb − xa)2 + (yb − ya)2, (2)
que equivale a

d(A,B) = ±
√

(xb − xa)2 + (yb − ya)2. (3)
Como a distaˆncia entre dois pontos e´ sempre na˜o negativa, podemos descartar a

fo´rmula com sinal negativo antes da raiz. Com isso mostramos que a distaˆncia entre
os pontos A e B e´ dada pela Eq.(1).

Exerc´ıcio 1.1 Mostre que a func¸a˜o distaˆncia satisfaz as seguintes propriedades:

• d(A,B) ≥ 0
• d(A,B) = 0 se e somente se A = B
• d(A,B) = d(B,A)
• d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) onde C = (xc, yc)

2

2 Sequeˆncia de pontos no plano

Uma sequeˆncia em R2 e´ uma lista ordenada de pontos da forma Pn = (xn, yn)
onde n = 1, 2, 3, · · · . Logo, xn e yn sa˜o sequeˆncias de nu´meros reais (que voceˆ
estudou em Ca´lculo 1).

Exemplos

• Pn = (n, n2)
• Pn = (2, (−1)n)
• Pn = (n, pi)

• Pn =
(

3n3 + n2 + 7

2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8

7n4 + 1

)

• Pn =
(

sin

(
1

n
+
pi

2

)
,

1

n
cos
(
n3 + n+ 1

))

Uma sequeˆncia de pontos Pn = (xn, yn) converge a um ponto P∞ = (x∞, y∞) do
plano, se a distaˆncia d(Pn, P∞) converge a zero, i.e., lim

n→∞
d(Pn, P∞) = 0. Nesse caso

dizemos que P∞ e´ o limite de Pn quando n→∞ e escrevemos

lim
n→∞

Pn = P∞. (4)

A quantidade d(Pn, P∞) define uma sequeˆncia de nu´meros reais. A convergeˆncia
dessa sequeˆncia pode ser analisada pelos resultados estudados em Ca´lculo 1.

Considere a sequeˆncia Pn = (e
−n/4 cosn, e−n/4 sinn). Vamos mostrar que essa

sequeˆncia converge ao ponto P∞ = (0, 0).
De fato,

d(Pn, P∞) =
√

(e−n/4 cosn− 0)2 + (e−n/4 sinn− 0)2

=
√
e−n/2

(
cos2 n+ sin2 n

)
= e−n/4,

donde
lim
n→∞

d(Pn, P∞) = lim
n→∞

e−n/4 = 0.

Se uma sequeˆncia Pn = (xn, yn) na˜o tem limite, dizemos que ela diverge. Um
caso especial de divergeˆncia ocorre quando a distaˆncia de Pn a` origem O = (0, 0)
for para o infinito, i.e., lim

n→∞
d(Pn, O) = ∞. Nesse caso dizemos que Pn vai para o

infinito.

3

Exerc´ıcio 2.1 Calcule o limite (caso exista) de cada uma das sequeˆncias abaixo:

• Pn = (n, n2)
• Pn = (2, (−1)n)
• Pn = (n, pi)

• Pn =
(

3n3 + n2 + 7

2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8

7n4 + 1

)

• Pn =
(

sin

(
1

n
+
pi

2

)
,

1

n
cos
(
n3 + n+ 1

))

• Pn =
(
pi + 1/n, 1− 1/n)

• Pn =
(
n, (−1)n)

• Pn =
(
cos (e−n), sin (e−n)

)
• Pn =

(
cos (2pin), sin (2pin+ pi/2)

)
Exerc´ıcio 2.2 Considere Pn =

(
xn, f(xn)

)
, onde f : R → R e´ uma func¸a˜o cont´ı-

nua e xn sequeˆncia de nu´meros reais que converge a 1.
(a) Calcule (caso exista) o limite de Pn quando n→∞.
(b) Explicite treˆs exemplos de Pn como acima.

4

3 Regio˜es abertas e fechadas

O disco aberto de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que

d(C,P ) < r, (5)

ou seja √
(x− xc)2 + (y − yc)2 < r. (6)

A u´ltima inequac¸a˜o equivale a

(x− xc)2 + (y − yc)2 < r2, (7)
cuja interpretac¸a˜o geome´trica e´ apresentada na Figura 3. O referido conjunto esta´
na cor cinza (a linha tracejada na˜o faz parte do conjunto).

x

y

C

xc

yc
r

Figura 3: Disco aberto de centro C e raio r > 0.

O disco fechado de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que

d(C,P ) ≤ r, (8)
ou seja √

(x− xc)2 + (y − yc)2 ≤ r, (9)
ou, ainda,

(x− xc)2 + (y − yc)2 ≤ r2. (10)
Agora o c´ırculo de centro C e raio r faz parte do conjunto, como ilustrado na
Figura 4.

5

x
y

C

xc

yc
r

Figura 4: Disco fechado de centro C e raio r > 0.

Dado uma regia˜o D ⊆ R2, dizemos que um ponto P ∈ D e´ um ponto de fronteira
de D se todo disco aberto de centro P e raio r > 0 contiver pontos que esta˜o em D
e pontos que na˜o esta˜o em D.

Se P na˜o for ponto de fronteira de D existem duas possibilidades:

1. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
de D;

2. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
que na˜o pertencem a D.

No primeiro caso P e´ dito um ponto interior de D, enquanto que no segundo
caso P e´ dito um ponto exterior de D.

Como exemplo, considere a regia˜o

D =
{

(x, y) ∈ R2 ∣∣ a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d} ,
e os pontos A, B, C e D, todos ilustrados na Figura 5.

x

y

a b

c

d

A
B

C

D

Figura 5: Um exemplo de classificac¸a˜o de pontos do plano.

6

Claramente, a regia˜o D e´ um retaˆngulo. Os pontos B e C, que esta˜o respectiva-
mente numa aresta e num ve´rtice de D, sa˜o pontos de fronteira, pois qualquer disco
aberto centrado num desses pontos possui elementos de D e elementos que na˜o esta˜o
em D. Note que A e´ ponto interior, pois existe um disco aberto centrado em A que
possui somente elementos de D. Finalmente, o ponto D e´ exterior, pois existe um
disco aberto centrado nele que na˜o conte´m elementos de D.

A partir das caracterizac¸o˜es acima definimos as noc¸o˜es de regia˜o aberta e regia˜o
fechada no plano.

Uma regia˜o D e´ aberta se conte´m somente pontos interiores, i.e., na˜o conte´m
nenhum ponto de fronteira. Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 6):

• D1 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1}

• D2 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x > y2}

1−1 2−2 x

y

(a) D1

x

y

(b) D2

Figura 6: Exemplos de regio˜es abertas.

Se uma regia˜o D contiver todos os seus pontos de fronteira ela e´ chamada de
fechada. Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 7):

• D3 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}

• D4 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = x}

7

1−1 2−2 x

y

(a) D3

1

1

x

y

(b) D4

Figura 7: Exemplos de regio˜es fechadas.

Note que a regia˜o D3 possui pontos interiores e de fronteira, enquanto que D4
possui somente pontos de fronteira.

O interior e a fronteira das regio˜es acima podem ser caracterizados pelas equac¸o˜es
e/ou inequac¸o˜es que os definem. Por exemplo, o interior de D1 e´ definido pelas
inequac¸o˜es |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1.

Ja´ a fronteira de D1, que na˜o faz parte da regia˜o, e´ caracterizada pela unia˜o das
curvas

• L1 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x = 2 e − 2 ≤ y ≤ 2},

• L2 =
{

(−2, y) ∈ R2
∣∣∣ − 2 ≤ y ≤ 2},

• L3 =
{

(x, 2) ∈ R2
∣∣∣ − 2 ≤ x ≤ 2},

• L4 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = −2 e − 2 ≤ x ≤ 2},

• L5 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = √1− x2 e − 1 ≤ x ≤ 1},

• L6 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = −√1− x2 e − 1 ≤ x ≤ 1},

onde cada uma dessas curvas e´ definida em termos de gra´ficos de func¸o˜es (na varia´vel
x ou na varia´vel y), i.e., a fronteira de D1 e´ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4 ∪ L5 ∪ L6.

No caso do conjunto D3, a fronteira e´ definida por C1 ∪ C2 onde

• C1 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 = 1},

8

• C2 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 = 4}.

Ja´ o interior de D3 e´ definido pelas inequac¸o˜es 1 < x2 + y2 e x2 + y2 < 4. Em
geral, um conjunto definido por uma inequac¸a˜o da forma g(x, y) ≤ 0 tem interior
caracterizado por g(x, y) < 0 e fronteira por g(x, y) = 0.
Atenc¸a˜o: existem regio˜es que na˜o sa˜o abertas nem fechadas (pense em alguns
exemplos).

Se uma regia˜o D esta´ contida num disco enta˜o ele e´ dita limitada. Nos exemplos
acima sa˜o limitadas as regio˜es D1 e D3. Ja´ as regio˜es D2 e D4 sa˜o