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Chama-se de compacta uma regia˜o que e´ fechada e limitada. A u´nica regia˜o
compacta entre os exemplos acima e´ D3.

Vejamos agora um u´ltimo exemplo. Considere a regia˜o do plano definida por

D5 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x ≥ 0 e x ≤ y ≤ ecosx} ,

ilustrada na Figura 8.

x

y

x0

y0

Figura 8: Regia˜o D5.

Essa regia˜o pode ser escrita como um conjunto onde x varia num intervalo nu-
me´rico e y varia entre duas func¸o˜es de x, i.e.,

D5 =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 0 ≤ x ≤ x0 e x ≤ y ≤ ecosx} ,

onde x0 e´ a soluc¸a˜o de x = e
cosx. Tambe´m e´ poss´ıvel descrever D5 como a unia˜o de

dois conjuntos onde y varia num intervalo nume´rico e x varia entre duas func¸o˜es de
y, i.e., D5 = R1 ∪R2 onde

R1 =

{
(x, y) ∈ R2

∣∣∣ 0 ≤ y ≤ y0 e 0 ≤ x ≤ y} ,
e

9

R2 =

{
(x, y) ∈ R2

∣∣∣ y0 ≤ y ≤ e e 0 ≤ x ≤ cos−1 (ln y)} .
sendo y0 = x0 e e = exp (1) = 2, 718281828459045 · · · .

Exerc´ıcio 3.1 Considere as regio˜es exibidas na Figura 9.
(a) Explicite os conjuntos as definem.
(b) Classifique-as quanto a`s noc¸o˜es de: aberto, fechado, limitado.
Lembre-se: fechado e limitado e´ dito compacto.

x

y

2 x

y

4−4

2

−2

x

y

x

y

Figura 9: Regio˜es do exerc´ıcio 4.1.

Exerc´ıcio 3.2 Descreva as regio˜es abaixo na forma

D =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} ,

explicitando a, b, f e g. Fac¸a um esboc¸o dessas regio˜es e encontre a projec¸a˜o orto-
gonal no eixo x.

• D =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2}

• D =
{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| ≤ y ≤ √1− x2}

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Exerc´ıcio 3.3 Escreva a fronteira de cada uma das regio˜es acima como a unia˜o
de duas curvas C1 e C2, C1 ∪ C2, onde cada curva dessas curvas e´ dada por{

(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = f(x) e a ≤ x ≤ b} .

Em cada caso explicite a, b e f .

4 Topologia no espac¸o

As noc¸o˜es definidas acima (aberto, fechado e limitado) podem ser generalizadas
para regio˜es no espac¸o considerando que a distaˆncia entre os pontos A = (xa, ya, za)
e B = (xb, yb, zb) e´ dada por

d(A,B) =
√

(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2. (11)
Consequentemente, a noc¸a˜o de disco e´ naturalmente estendida para a noc¸a˜o de

bola. Assim, definimos a bola fechada de centro C = (xc, yc, zc) e raio r > 0 como o
conjunto dos pontos P = (x, y, z) em R3 tais que

d(C,P ) ≤ r, (12)
ou seja

(x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 ≤ r2. (13)
Uma ilustrac¸a˜o dessa bola pode ser vista na Figura 10.

x

y

z

C

xc

yc

zc

Figura 10: Bola fechada de centro C e raio r > 0.

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