P2 - Gabarito final

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
 
Prova 2 - GABARITO 
 
Questão 01 
Há dois indivíduos em uma economia, um homem e uma mulher. Eles possuem funções 
utilidade para o consumo de dois períodos dada por ( ) ( ) ( ), onde é 
o consumo do período 1, é o consumo do período 2, , e é o fator de 
desconto intertemporal. Nessa economia há um mercado de poupança, com uma taxa de juros 
 . 
Cada indivíduo trabalha e recebe uma renda , , no primeiro 
período. Cada indivíduo gasta parte dessa renda com consumo ( ) e poupa a outra parte 
( ). No segundo período os indivíduos não trabalham e consomem a poupança do período 1 
(acrescida de juros). 
(a) Suponha que e . Escreva o consumo de cada período em 
termos da poupança e calcule quanto a mulher poupará a mais do que o homem 
( ). 
Resposta: 
O problema para qualquer um dos dois indivíduos será: 
 
 
 ( ) ( ) ( )
 {
 
 ( )
 
Vamos trabalhar as restrições e substituir na função objetivo: . Portanto, 
temos: 
 
 
 ( ) ( ) ( ( )) 
A condição de primeira ordem será: 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
Então, a poupança de cada indivíduo será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅ 
A diferença será de ̅. 
 
(b) Suponha que os indivíduos se casam e que o domicílio toma uma decisão como se fosse 
um único indivíduo consumindo e e fazendo uma poupança . A renda do domicílio 
no período 1 é a soma das rendas dos dois indivíduos. A função utilidade do domicílio 
será: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
onde ( ) é o poder de barganha da esposa. Qual é o nível de poupança ótimo em 
termos de ? 
Resposta: 
O problema será: 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 {
 
 ( )
 
Vamos novamente substituir as restrições na função objetivo. Temos: 
 . Então, 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 
A condição de primeira ordem será: 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
[( ) ]
 [( ) ]
 
 
( 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Se o poder de barganha da esposa for , verifique se o domicílio irá poupar mais, 
menos, ou o mesmo do que a soma dos níveis de poupança calculados no item (a). 
Resposta: 
Se o poder de barganha da esposa for de , a poupança do domicílio será de: 
 
[( ) ]
 [( ) ]
 
[( ) ( )( )]
 [( ) ( )( )]
 
A soma das duas poupanças do item (a) é de: 
 
 
Questão 2 
Um indivíduo tem renda de R$ 12,00. Este indivíduo tem a possibilidade de investir em um 
ativo de risco que dá um retorno unitário de R$16,00 com probabilidade 0,5, e retorno zero, 
com igual probabilidade. O preço unitário do ativo é zero. Sua função de utilidade de Von 
Neumann-Morgenstern é ( ) √ . 
a) Calcule a utilidade esperada de se investir no ativo. O indivíduo deve investir no ativo? 
 √ √ √ √ 
 ( ) ( ) 
A utilidade de não investir nesse ativo é a utilidade da renda dele e igual a √ , como 
√ , o indivíduo investe no ativo arriscado. 
b) Suponha que exista um ativo livre de risco na economia. O investidor só pode investir tudo 
no ativo arriscado ou tudo no ativo livre de risco. Não há meio termo. Ache a taxa de juros do 
ativo livre de risco que torne o indivíduo indiferente entre o ativo arriscado e o ativo livre de 
risco. 
Basta igualar a utilidade esperada de se investir no ativo arriscado com √ ( ) 
Assim, temos a equação: √ ( ) ( ) ( ) 
c) Se a função de utilidade Von Neumann-Morgenstern fosse ( ) , qual seria a nova taxa 
de juros que o tornaria indiferente entre investir tudo no ativo arriscado ou tudo no ativo livre 
de risco? Compare as duas taxas e diga em 3 linhas porque elas diferem tanto (cada linha 
ultrapassada será penalizada em 1 ponto de 100). 
A nova utilidade esperada para o caso do ativo arriscado será 
 . A taxa de juros livre de risco sai ao se igualar as duas utilidades 
esperadas: ( ) ( ) 
 
 
. 
A taxa de juros com a nova utilidade é muito maior que a encontrada em b), porque o 
indivíduo agora é amante ao risco, exigindo um prêmio maior por não participar da loteria. 
 
Questão 03 
Com relação às curvas de custo, verifique a veracidade das afirmativas abaixo e 
justifique: 
a) a área abaixo da curva de custo marginal é igual aos custos variáveis. 
Verdadeiro. A curva de custo marginal mede o custo de produzir uma unidade 
adicional de um bem. Se somarmos o custo de produzir cada unidade do bem, 
obteremos o custo total de produção (com exceção dos custos fixos). Então: 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
A área sob a curva de custo marginal é dada por: 
∫
 ( )
 
 ∫
 ( )
 
 ∫ 
 
b) o custo marginal de curto prazo iguala-se ao custo marginal de longo prazo somente 
no ponto onde o custo médio de curto prazo é mínimo. 
Falso. O CMg de LP e CP são iguais sempre quando o CME de LP e CP se igualam (e não 
quando o CME de CP está no seu mínimo). 
 
c) o custo marginal iguala-se ao custo médio no ponto onde o custo médio é mínimo. 
Verdadeiro. Considere C(Y) o Custo Total, onde Y é a quantidade produzida, o Custo 
Médio 
 ( )
 
, e o Custo Marginal ( ). Temos que: 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
A condição necessária para o custo médio ser mínimo é que 
 
 
 
Ou seja, ( ) . 
A condição de segunda ordem é que 
 
 
 
Onde 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Como no ponto de custo médio mínimo 
 
 
 , a condição de segunda ordem para 
que o CMe seja mínimo é ( ) , ou seja, que o custo marginal seja crescente 
(função de custo convexa). 
 
Questão 4 
Uma indústria competitiva opera com N firmas idênticas, cuja curva de custo médio é 
 ( ) , em que ‘q’ é a quantidade produzida por cada firma. A demanda 
de mercado é dada por ( ) , em que ‘p’ é o preço. Avalie as afirmativas: 
a) (10 pontos) Encontre o preço de equilíbrio de longo prazo e o número de firmas de 
equilíbrio de longo prazo. 
O equilíbrio de longo prazo é dado quando o Custo Médio é mínimo. Basta derivar a função de 
Custo Médio mínimo: 
 
 
 
 
 
 . Agora devemos achar o preço que 
se iguala ao custo médio de se produzir 10 unidades: ( ) 
 
 
 . 
Portanto o preço de equilíbrio de longo prazo deve ser 55 unidades monetárias. O número de 
firmas que operam no mercado é encontrado pela demanda. Como o preço é de 55, a 
quantidade demanda era de D = 2610 – 110 = 2610. Como cada firma minimiza o custo médio, 
cada firma produz 25 unidades, logo são necessárias 100 firmas produzindo. 
b) (5 pontos) Em quanto aumenta o preço de equilíbrio de longo prazo, se a quantidade 
demandada aumenta em 50%? E o lucro? 
O preço de longo prazo não depende da quantidade demandada, pois ele é dado pelo custo 
médio mínimo, que por sua vez não depende da demanda. O lucro de cada firma no equilíbrio 
de longo prazo é zero, pois preço igual ao custo médio. Logo o lucro de longo prazo não se 
altera quando a demanda aumenta. Apenas mais firmas entrarão no mercado. Note que o 
lucro é dado por: . Se dividirmos a equação do lucro por q, teremos: 
 ( ). Logo, se o preço é igual ao custo médio, o lucro é zero. 
c) Se a quantidade demandadadobrar, qual será o novo número de firmas no equilíbrio de 
longo prazo? 
Ao dobrarmos a demanda, teremos D(p) = 5220 – 4P. A estrutura de custos não muda, logo 
cada firma produz 25 unidades ao preço de 55. Se a quantidade demandada dobrar, teremos 
D(55) = 5220 – 4.(55)=5220-220=5000. Como cada firma produz 25 unidades, existirão 200 
novas firmas no mercado.