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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade Departamento de Economia Disciplina: Microeconomia I Prova 2 - GABARITO Questão 01 Há dois indivíduos em uma economia, um homem e uma mulher. Eles possuem funções utilidade para o consumo de dois períodos dada por ( ) ( ) ( ), onde é o consumo do período 1, é o consumo do período 2, , e é o fator de desconto intertemporal. Nessa economia há um mercado de poupança, com uma taxa de juros . Cada indivíduo trabalha e recebe uma renda , , no primeiro período. Cada indivíduo gasta parte dessa renda com consumo ( ) e poupa a outra parte ( ). No segundo período os indivíduos não trabalham e consomem a poupança do período 1 (acrescida de juros). (a) Suponha que e . Escreva o consumo de cada período em termos da poupança e calcule quanto a mulher poupará a mais do que o homem ( ). Resposta: O problema para qualquer um dos dois indivíduos será: ( ) ( ) ( ) { ( ) Vamos trabalhar as restrições e substituir na função objetivo: . Portanto, temos: ( ) ( ) ( ( )) A condição de primeira ordem será: ( ) ( ) Então, a poupança de cada indivíduo será: ̅ A diferença será de ̅. (b) Suponha que os indivíduos se casam e que o domicílio toma uma decisão como se fosse um único indivíduo consumindo e e fazendo uma poupança . A renda do domicílio no período 1 é a soma das rendas dos dois indivíduos. A função utilidade do domicílio será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) onde ( ) é o poder de barganha da esposa. Qual é o nível de poupança ótimo em termos de ? Resposta: O problema será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) Vamos novamente substituir as restrições na função objetivo. Temos: . Então, ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) A condição de primeira ordem será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] ( ) (c) Se o poder de barganha da esposa for , verifique se o domicílio irá poupar mais, menos, ou o mesmo do que a soma dos níveis de poupança calculados no item (a). Resposta: Se o poder de barganha da esposa for de , a poupança do domicílio será de: [( ) ] [( ) ] [( ) ( )( )] [( ) ( )( )] A soma das duas poupanças do item (a) é de: Questão 2 Um indivíduo tem renda de R$ 12,00. Este indivíduo tem a possibilidade de investir em um ativo de risco que dá um retorno unitário de R$16,00 com probabilidade 0,5, e retorno zero, com igual probabilidade. O preço unitário do ativo é zero. Sua função de utilidade de Von Neumann-Morgenstern é ( ) √ . a) Calcule a utilidade esperada de se investir no ativo. O indivíduo deve investir no ativo? √ √ √ √ ( ) ( ) A utilidade de não investir nesse ativo é a utilidade da renda dele e igual a √ , como √ , o indivíduo investe no ativo arriscado. b) Suponha que exista um ativo livre de risco na economia. O investidor só pode investir tudo no ativo arriscado ou tudo no ativo livre de risco. Não há meio termo. Ache a taxa de juros do ativo livre de risco que torne o indivíduo indiferente entre o ativo arriscado e o ativo livre de risco. Basta igualar a utilidade esperada de se investir no ativo arriscado com √ ( ) Assim, temos a equação: √ ( ) ( ) ( ) c) Se a função de utilidade Von Neumann-Morgenstern fosse ( ) , qual seria a nova taxa de juros que o tornaria indiferente entre investir tudo no ativo arriscado ou tudo no ativo livre de risco? Compare as duas taxas e diga em 3 linhas porque elas diferem tanto (cada linha ultrapassada será penalizada em 1 ponto de 100). A nova utilidade esperada para o caso do ativo arriscado será . A taxa de juros livre de risco sai ao se igualar as duas utilidades esperadas: ( ) ( ) . A taxa de juros com a nova utilidade é muito maior que a encontrada em b), porque o indivíduo agora é amante ao risco, exigindo um prêmio maior por não participar da loteria. Questão 03 Com relação às curvas de custo, verifique a veracidade das afirmativas abaixo e justifique: a) a área abaixo da curva de custo marginal é igual aos custos variáveis. Verdadeiro. A curva de custo marginal mede o custo de produzir uma unidade adicional de um bem. Se somarmos o custo de produzir cada unidade do bem, obteremos o custo total de produção (com exceção dos custos fixos). Então: ( ) ( ) A área sob a curva de custo marginal é dada por: ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ b) o custo marginal de curto prazo iguala-se ao custo marginal de longo prazo somente no ponto onde o custo médio de curto prazo é mínimo. Falso. O CMg de LP e CP são iguais sempre quando o CME de LP e CP se igualam (e não quando o CME de CP está no seu mínimo). c) o custo marginal iguala-se ao custo médio no ponto onde o custo médio é mínimo. Verdadeiro. Considere C(Y) o Custo Total, onde Y é a quantidade produzida, o Custo Médio ( ) , e o Custo Marginal ( ). Temos que: ( ) ( ) ( ) A condição necessária para o custo médio ser mínimo é que Ou seja, ( ) . A condição de segunda ordem é que Onde ( ) Como no ponto de custo médio mínimo , a condição de segunda ordem para que o CMe seja mínimo é ( ) , ou seja, que o custo marginal seja crescente (função de custo convexa). Questão 4 Uma indústria competitiva opera com N firmas idênticas, cuja curva de custo médio é ( ) , em que ‘q’ é a quantidade produzida por cada firma. A demanda de mercado é dada por ( ) , em que ‘p’ é o preço. Avalie as afirmativas: a) (10 pontos) Encontre o preço de equilíbrio de longo prazo e o número de firmas de equilíbrio de longo prazo. O equilíbrio de longo prazo é dado quando o Custo Médio é mínimo. Basta derivar a função de Custo Médio mínimo: . Agora devemos achar o preço que se iguala ao custo médio de se produzir 10 unidades: ( ) . Portanto o preço de equilíbrio de longo prazo deve ser 55 unidades monetárias. O número de firmas que operam no mercado é encontrado pela demanda. Como o preço é de 55, a quantidade demanda era de D = 2610 – 110 = 2610. Como cada firma minimiza o custo médio, cada firma produz 25 unidades, logo são necessárias 100 firmas produzindo. b) (5 pontos) Em quanto aumenta o preço de equilíbrio de longo prazo, se a quantidade demandada aumenta em 50%? E o lucro? O preço de longo prazo não depende da quantidade demandada, pois ele é dado pelo custo médio mínimo, que por sua vez não depende da demanda. O lucro de cada firma no equilíbrio de longo prazo é zero, pois preço igual ao custo médio. Logo o lucro de longo prazo não se altera quando a demanda aumenta. Apenas mais firmas entrarão no mercado. Note que o lucro é dado por: . Se dividirmos a equação do lucro por q, teremos: ( ). Logo, se o preço é igual ao custo médio, o lucro é zero. c) Se a quantidade demandadadobrar, qual será o novo número de firmas no equilíbrio de longo prazo? Ao dobrarmos a demanda, teremos D(p) = 5220 – 4P. A estrutura de custos não muda, logo cada firma produz 25 unidades ao preço de 55. Se a quantidade demandada dobrar, teremos D(55) = 5220 – 4.(55)=5220-220=5000. Como cada firma produz 25 unidades, existirão 200 novas firmas no mercado.
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