P2 - Gabarito final
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade

Departamento de Economia

Disciplina: Microeconomia I

Prova 2 - GABARITO

Questão 01

Há dois indivíduos em uma economia, um homem e uma mulher. Eles possuem funções

utilidade para o consumo de dois períodos dada por ( ) ( ) ( ), onde é

o consumo do período 1, é o consumo do período 2, , e é o fator de

desconto intertemporal. Nessa economia há um mercado de poupança, com uma taxa de juros

 .

Cada indivíduo trabalha e recebe uma renda , , no primeiro

período. Cada indivíduo gasta parte dessa renda com consumo ( ) e poupa a outra parte

( ). No segundo período os indivíduos não trabalham e consomem a poupança do período 1

(acrescida de juros).

(a) Suponha que e . Escreva o consumo de cada período em

termos da poupança e calcule quanto a mulher poupará a mais do que o homem

( ).

Resposta:

O problema para qualquer um dos dois indivíduos será:

 ( ) ( ) ( )

 {

 ( )

Vamos trabalhar as restrições e substituir na função objetivo: . Portanto,

temos:

 ( ) ( ) ( ( ))

A condição de primeira ordem será:

 ( )

 ( )

Então, a poupança de cada indivíduo será:

 ̅

A diferença será de ̅.

(b) Suponha que os indivíduos se casam e que o domicílio toma uma decisão como se fosse

um único indivíduo consumindo e e fazendo uma poupança . A renda do domicílio

no período 1 é a soma das rendas dos dois indivíduos. A função utilidade do domicílio

será:

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

onde ( ) é o poder de barganha da esposa. Qual é o nível de poupança ótimo em

termos de ?

Resposta:

O problema será:

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 {

 ( )

Vamos novamente substituir as restrições na função objetivo. Temos:

 . Então,

 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

A condição de primeira ordem será:

( ) ( )

 ( )

 ( )

 ( )

[( ) ]

 [( ) ]

(

 )

(c) Se o poder de barganha da esposa for , verifique se o domicílio irá poupar mais,

menos, ou o mesmo do que a soma dos níveis de poupança calculados no item (a).

Resposta:

Se o poder de barganha da esposa for de , a poupança do domicílio será de:

[( ) ]

 [( ) ]

[( ) ( )( )]

 [( ) ( )( )]

A soma das duas poupanças do item (a) é de:

Questão 2

Um indivíduo tem renda de R$ 12,00. Este indivíduo tem a possibilidade de investir em um

ativo de risco que dá um retorno unitário de R$16,00 com probabilidade 0,5, e retorno zero,

com igual probabilidade. O preço unitário do ativo é zero. Sua função de utilidade de Von

Neumann-Morgenstern é ( ) √ .

a) Calcule a utilidade esperada de se investir no ativo. O indivíduo deve investir no ativo?

 √ √ √ √

 ( ) ( )

A utilidade de não investir nesse ativo é a utilidade da renda dele e igual a √ , como

√ , o indivíduo investe no ativo arriscado.

b) Suponha que exista um ativo livre de risco na economia. O investidor só pode investir tudo

no ativo arriscado ou tudo no ativo livre de risco. Não há meio termo. Ache a taxa de juros do

ativo livre de risco que torne o indivíduo indiferente entre o ativo arriscado e o ativo livre de

risco.

Basta igualar a utilidade esperada de se investir no ativo arriscado com √ ( )

Assim, temos a equação: √ ( ) ( ) ( )

c) Se a função de utilidade Von Neumann-Morgenstern fosse ( ) , qual seria a nova taxa

de juros que o tornaria indiferente entre investir tudo no ativo arriscado ou tudo no ativo livre

de risco? Compare as duas taxas e diga em 3 linhas porque elas diferem tanto (cada linha

ultrapassada será penalizada em 1 ponto de 100).

A nova utilidade esperada para o caso do ativo arriscado será

 . A taxa de juros livre de risco sai ao se igualar as duas utilidades

esperadas: ( ) ( )

.

A taxa de juros com a nova utilidade é muito maior que a encontrada em b), porque o

indivíduo agora é amante ao risco, exigindo um prêmio maior por não participar da loteria.

Questão 03

Com relação às curvas de custo, verifique a veracidade das afirmativas abaixo e

justifique:

a) a área abaixo da curva de custo marginal é igual aos custos variáveis.

Verdadeiro. A curva de custo marginal mede o custo de produzir uma unidade

adicional de um bem. Se somarmos o custo de produzir cada unidade do bem,

obteremos o custo total de produção (com exceção dos custos fixos). Então:

 ( )

 ( )

A área sob a curva de custo marginal é dada por:

∫
 ( )

 ∫

 ( )

 ∫

b) o custo marginal de curto prazo iguala-se ao custo marginal de longo prazo somente

no ponto onde o custo médio de curto prazo é mínimo.

Falso. O CMg de LP e CP são iguais sempre quando o CME de LP e CP se igualam (e não

quando o CME de CP está no seu mínimo).

c) o custo marginal iguala-se ao custo médio no ponto onde o custo médio é mínimo.

Verdadeiro. Considere C(Y) o Custo Total, onde Y é a quantidade produzida, o Custo

Médio
 ( )

, e o Custo Marginal ( ). Temos que:

 ( ) ( )

 ( )

A condição necessária para o custo médio ser mínimo é que

Ou seja, ( ) .

A condição de segunda ordem é que

Onde

 ( )

Como no ponto de custo médio mínimo

 , a condição de segunda ordem para

que o CMe seja mínimo é ( ) , ou seja, que o custo marginal seja crescente

(função de custo convexa).

Questão 4

Uma indústria competitiva opera com N firmas idênticas, cuja curva de custo médio é

 ( ) , em que ‘q’ é a quantidade produzida por cada firma. A demanda

de mercado é dada por ( ) , em que ‘p’ é o preço. Avalie as afirmativas:

a) (10 pontos) Encontre o preço de equilíbrio de longo prazo e o número de firmas de

equilíbrio de longo prazo.

O equilíbrio de longo prazo é dado quando o Custo Médio é mínimo. Basta derivar a função de

Custo Médio mínimo:

 . Agora devemos achar o preço que

se iguala ao custo médio de se produzir 10 unidades: ( )

 .

Portanto o preço de equilíbrio de longo prazo deve ser 55 unidades monetárias. O número de

firmas que operam no mercado é encontrado pela demanda. Como o preço é de 55, a

quantidade demanda era de D = 2610 – 110 = 2610. Como cada firma minimiza o custo médio,

cada firma produz 25 unidades, logo são necessárias 100 firmas produzindo.

b) (5 pontos) Em quanto aumenta o preço de equilíbrio de longo prazo, se a quantidade

demandada aumenta em 50%? E o lucro?

O preço de longo prazo não depende da quantidade demandada, pois ele é dado pelo custo

médio mínimo, que por sua vez não depende da demanda. O lucro de cada firma no equilíbrio

de longo prazo é zero, pois preço igual ao custo médio. Logo o lucro de longo prazo não se

altera quando a demanda aumenta. Apenas mais firmas entrarão no mercado. Note que o

lucro é dado por: . Se dividirmos a equação do lucro por q, teremos:

 ( ). Logo, se o preço é igual ao custo médio, o lucro é zero.

c) Se a quantidade demandada