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Descrevendo Regio\u2dces no Plano Cartesiano
e no Espac¸o Euclidiano
Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´\u131cia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Regio\u2dces no Plano
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio\u2dces como unio\u2dces de regio\u2dces, onde
cada uma destas sera´ descrita em um dos dois formatos padro\u2dces:
\u201cTipo I\u201d: R =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 a \u2264 x \u2264 b e f(x) \u2264 y \u2264 g(x)} ,
ou
\u201cTipo II\u201d: R =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 c \u2264 y \u2264 d e h(y) \u2264 x \u2264 j(y)} ,
explicitando o intervalo [a, b] ou [c, d] e as func¸o\u2dces f e g ou h e j.
Exemplo 1.1 Considere a regia\u2dco do plano definida por
R1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x2 \u2264 y \u2264 1\u2212 x2} .
Para descrever R1 como uma regia\u2dco de \u201cTipo I\u201d, tomaremos f(x) = x
2 e g(x) =
1\u2212x2. Os gra´ficos dessas func¸o\u2dces se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas
satisfazem a equac¸a\u2dco x2 = 1\u2212 x2, i.e., x =
\u221a
2
2
ou x = \u2212
\u221a
2
2
. Assim, temos que
R1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 \u221a2
2
\u2264 x \u2264
\u221a
2
2
e x2 \u2264 y \u2264 1\u2212 x2
}
.
Um esboc¸o da regia\u2dco R1 pode ser visto na Figura 1.
A fronteira de R1 e´ a unia\u2dco das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = 1\u2212 x2 e \u2212 \u221a2
2
\u2264 x \u2264
\u221a
2
2
}
,
C2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = x2 e \u2212 \u221a2
2
\u2264 x \u2264
\u221a
2
2
}
.
1
\u2212
\u221a
2
2
\u221a
2
2
1
2
1
x
y
Figura 1: Esboc¸o da regia\u2dco R1.
Vamos agora descrever R1 como uma regia\u2dco de \u201cTipo II\u201d. Para isso, sera´ neces-
sa´rio escrever as curvas de sua fronteira atrave´s de equac¸o\u2dces da forma x = h(y):
y = x2 \u21d4 x = ±\u221ay
y = 1\u2212 x2 \u21d4 x = ±
\u221a
1\u2212 y .
Devemos dividir R1 em duas sub-regio\u2dces para poder descreve\u2c6-la no formato de-
sejado, como indicado na Figura 2.
x
y
R\u2032\u20321
R\u20321
Figura 2: Divisa\u2dco horizontal da regia\u2dco R1.
Enta\u2dco R1 = R
\u2032
1 \u222aR\u2032\u20321, onde
R\u20321 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 y \u2264 1
2
e \u2212\u221ay \u2264 x \u2264 \u221ay
}
,
R\u2032\u20321 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 1
2
\u2264 y \u2264 1 e \u2212
\u221a
1\u2212 y \u2264 x \u2264
\u221a
1\u2212 y
}
.
Exemplo 1.2 Agora vejamos a regia\u2dco
R2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 |x| \u2264 y \u2264 1\u2212 x2} .
Observe que a regia\u2dco R2 esta´ definida por duas inequac¸o\u2dces. Nessas inequac¸o\u2dces, a
varia´vel y e´ limitada inferiormente por |x| e superiormente por 1\u2212 x2. Assim, para
descreve\u2c6-la como uma regia\u2dco de \u201cTipo I\u201d, tomaremos f(x) = |x| e g(x) = 1\u2212x2. Os
limites do intervalo [a, b] sa\u2dco determinados pelas abscissas dos pontos de intersec¸a\u2dco
das curvas y = |x| e y = 1\u2212 x2, i.e., pelos valores de x que satisfazem |x| = 1\u2212 x2.
2
Se x \u2265 0, a u´ltima equac¸a\u2dco equivale a x2+x\u22121 = 0, a qual possui duas soluc¸o\u2dces:
x1 =
\u221a
5\u2212 1
2
e x2 =
\u2212\u221a5\u2212 1
2
.
Sendo x na\u2dco negativo, a u´nica soluc¸a\u2dco va´lida e´ x1.
Se x < 0, a equac¸a\u2dco de interesse se torna x2 \u2212 x\u2212 1 = 0, cujas soluc¸o\u2dces sa\u2dco:
x3 =
1 +
\u221a
5
2
e x4 =
1\u2212\u221a5
2
.
Como x e´ negativo, a u´nica soluc¸a\u2dco va´lida e´ x4.
Logo, a regia\u2dco R2 (esboc¸ada na Figura 3) pode ser escrita como
R2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 1\u2212\u221a5
2
\u2264 x \u2264
\u221a
5\u2212 1
2
e |x| \u2264 y \u2264 1\u2212 x2
}
.
1\u2212\u221a5
2
\u221a
5\u22121
2
1
x
y
Figura 3: Esboc¸o da regia\u2dco R2.
A fronteira de R2 e´ a unia\u2dco das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = 1\u2212 x2 e 1\u2212\u221a5
2
\u2264 x \u2264
\u221a
5\u2212 1
2
}
,
C2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = |x| e 1\u2212\u221a5
2
\u2264 x \u2264
\u221a
5\u2212 1
2
}
.
Podemos ainda descrever a regia\u2dco R2 como uma regia\u2dco de \u201cTipo II\u201d. Para isto,
e´ importante saber expressar sua fronteira atrave´s de equac¸o\u2dces do tipo x = h(y).
Observe que:
y = x \u21d4 x = y
y = \u2212x \u21d4 x = \u2212y
y = 1\u2212 x2 \u21d4 x = ±
\u221a
1\u2212 y .
Verifique que R2 = R
\u2032
2 \u222aR\u2032\u20322 (Figura 4), onde
3
R\u20322 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 y \u2264 \u221a5\u2212 1
2
e \u2212 y \u2264 x \u2264 y
}
,
R\u2032\u20322 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u221a5\u2212 1
2
\u2264 y \u2264 1 e \u2212
\u221a
1\u2212 y \u2264 x \u2264
\u221a
1\u2212 y
}
.
x
y
R\u2032\u20322
R\u20322
Figura 4: Divisa\u2dco horizontal da regia\u2dco R2
Exemplo 1.3 Considere agora a seguinte regia\u2dco do plano:
R3 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 y \u2264 1 e \u221a1\u2212 y2 \u2264 x \u2264\u221a2\u2212 y2} .
Observe que R3 ja´ esta´ descrita como uma regia\u2dco do \u201cTipo II\u201d (pois y varia
entre duas constantes e x varia entre duas func¸o\u2dces de y). Um esboc¸o desta regia\u2dco e´
apresentado na Figura 5
1
\u22121
1
\u221a
2
x
y
Figura 5: Esboc¸o da regia\u2dco R3.
A fronteira de R3 e´ a unia\u2dco das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = 1 e 0 \u2264 x \u2264 1} ,
4
C2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = \u22121 e 0 \u2264 x \u2264 1} ,
C3 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x = \u221a1\u2212 y2 e \u2212 1 \u2264 y \u2264 1} ,
C4 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x = \u221a2\u2212 y2 e \u2212 1 \u2264 y \u2264 1} .
Para descrever R3 como uma regia\u2dco de \u201cTipo I\u201d, vamos estudar sua fronteira
(lembrando que agora queremos expressa´-la atrave´s de equac¸o\u2dces da forma y = f(x)):
x =
\u221a
1\u2212 y2 \u21d4 y = ±
\u221a
1\u2212 x2
x =
\u221a
2\u2212 y2 \u21d4 y = ±
\u221a
2\u2212 x2 .
Este exemplo e´ um pouco mais complicado do que os que vimos ate´ agora, pois
sera´ necessa´rio dividir R3 em tre\u2c6s sub-regio\u2dces: R
\u2032
3 \u222aR\u2032\u20323 \u222aR\u2032\u2032\u20323 (Figura 6), onde
R\u20323 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 x \u2264 1 e \u2212 1 \u2264 y \u2264 \u2212\u221a1\u2212 x2} ,
R\u2032\u20323 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 x \u2264 1 e \u221a1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 1} ,
R\u2032\u2032\u20323 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 1 \u2264 x \u2264 \u221a2 e \u2212\u221a2\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a2\u2212 x2} .
x
y
R\u20323
R\u2032\u20323
R\u2032\u2032\u20323
Figura 6: Divisa\u2dco vertical da regia\u2dco R3.
Vamos agora considerar um exerc´\u131cio interessante: descrever a regia\u2dco R3 como
unia\u2dco de regio\u2dces escritas na forma {(r, \u3b8) | \u3b1 \u2264 \u3b8 \u2264 \u3b2 e f(\u3b8) \u2264 r \u2264 g(\u3b8)} (ou
seja, descrever R3 em coordenadas polares). Lembrando que a relac¸a\u2dco entre as
coordenadas cartesianas e polares e´ dada por x = r cos(\u3b8) e y = r sin(\u3b8), temos que
a equac¸a\u2dco da reta y = 1 em coordenadas polares e´ r = 1/ sin(\u3b8). Analogamente,
y = \u22121 e´ reescrita como r = \u22121/ sin(\u3b8). Logo, verifique que R3 e´ dada como unia\u2dco
das seguintes sub-regio\u2dces:{
(r, \u3b8)
\u2223\u2223 \u2212 pi
2
\u2264 \u3b8 \u2264 \u2212pi
4
e 1 \u2264 r \u2264 \u2212 1
sin(\u3b8)
}
,
5
{
(r, \u3b8)
\u2223\u2223 \u2212 pi
4
\u2264 \u3b8 \u2264 pi
4
e 1 \u2264 r \u2264
\u221a
2
}
,{
(r, \u3b8)
\u2223\u2223 pi
4
\u2264 \u3b8 \u2264 pi
2
e 1 \u2264 r \u2264 1
sin(\u3b8)
}
.
Exemplo 1.4 Considere a seguinte regia\u2dco do plano:
R4 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 ln(x+ 1) \u2264 y \u2264 ln(x) e 0 < x \u2264 3} .
O limite inferior para a varia´vel x e´ a abscissa do ponto de intersec¸a\u2dco entre as
curvas y = \u2212 ln(x+1) e y = ln(x), ou seja, a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco \u2212 ln(x+1) = ln(x):
\u2212 ln(x+ 1) = ln(x)
\u21d4 ln
(
1
x+ 1
)
= ln(x)
\u21d4 1
x+ 1
= x
\u21d4 x2 + x\u2212 1 = 0
\u21d4 x = \u22121±
\u221a
5
2
.
Como x > 0, consideraremos apenas a soluc¸a\u2dco positiva da equac¸a\u2dco acima. Logo,
R4 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u221a5\u2212 1
2
\u2264 x \u2264 3 e \u2212 ln(x+ 1) \u2264 y \u2264 ln(x)
}
.
Um esboc¸o desta regia\u2dco e´ dado pela Figura 7.
\u221a
5\u22121
2 3
ln 3
\u2212 ln 4
ln
\u221a
5\u22121
2
x
y
Figura 7: Esboc¸o da regia\u2dco R4.
6
A fronteira de R4 e´ a unia\u2dco das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = ln(x) e \u221a5\u2212 1
2
\u2264 x \u2264 3
}
,
C2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = \u2212 ln(x+ 1) e \u221a5\u2212 1
2
\u2264 x \u2264 3
}
,
C3 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x = 3 e \u2212 ln(4) \u2264 y \u2264 ln(3)} ,
Para descreve\u2c6-la como uma regia\u2dco de \u201cTipo II\u201d, devemos expressar suas fronteiras
atrave´s de equac¸o\u2dces da forma x = h(y):
y = ln(x) \u21d4 x = ey
y = \u2212 ln(x+ 1) \u21d4 y = ln
(
1
x+ 1
)
\u21d4 ey = 1
x+ 1
\u21d4 x = 1
ey
\u2212 1
Para encontrar os extremos do intervalo [c, d], basta procurar pelas ordenadas
dos pontos de intersec¸a\u2dco das curvas y = \u2212 ln(x+ 1) e y = ln(x) com a reta vertical
x = 3. Logo, c = \u2212 ln(4) e d = ln(3). Entretanto, sera´ ainda necessa´rio dividir
horizontalmente a regia\u2dco R4 em duas sub-regio\u2dces, como ilustrado na Figura 8.
x
y
R\u2032\u20324
R\u20324
Figura 8: Divisa\u2dco horizontal da regia\u2dco R4.
E enta\u2dco R4 = R
\u2032
4 \u222aR\u2032\u20324, onde
R\u20324 =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 ln(4) \u2264 y \u2264 ln
(
\u22121 +\u221a5
2
)
e
1
ey
\u2212 1 \u2264 x \u2264 3
\uf8fc\uf8fd\uf8fe ,
R\u2032\u20324 =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 ln
(
\u22121 +\u221a5
2
)
\u2264 y \u2264 ln(3) e ey \u2264 x \u2264 3
\uf8fc\uf8fd\uf8fe .
7
Exerc´\u131cio 1.1 Calcule os centro´ides das regio\u2dces planas estudadas nos Exemplos
1.1 a 1.4.
Exerc´\u131cio 1.2 Seja R =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2}. Esboce esta regia\u2dco
e calcule seu centro´ide.
Exerc´\u131cio 1.3 Seja R =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 x \u2264 1 e \u221a1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a2\u2212 x2}.
Descreva esta regia\u2dco em coordenadas polares e calcule seu centro´ide.
2 Regio\u2dces no Espac¸o
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio\u2dces do espac¸o no formato padra\u2dco
U =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 F (x, y) \u2264 z \u2264 G(x, y) e (x, y) \u2208 R} ,
explicitando a regia\u2dco R e as func¸o\u2dces F e G.
Exemplo 2.1 Considere a regia\u2dco
U1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u221ax2 + y2 \u2264 z \u2264\u221a1\u2212 x2 \u2212 y2} .
Nesse exemplo temos que F (x, y) =
\u221a
x2 + y2 e G(x, y) =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2. Os gra´-
ficos dessas func¸o\u2dces se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen-
tac¸a\u2dco cartesiana