02_regioes
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02_regioes

Disciplina:cálculo a várias variáveis i83 materiais610 seguidores
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e´ dada pelas equac¸o˜es z =

√
x2 + y2 e z =

√
1− x2 − y2. Ao eli-

minarmos a varia´vel z das equac¸o˜es anteriores, obtemos
√
x2 + y2 =

√
1− x2 − y2,

a equac¸a˜o que define a fronteira da projec¸a˜o ortogonal de U no plano xy. A u´ltima
equac¸a˜o equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a˜o ortogonal U no plano xy e´ um
disco centrado na origem de raio

√
2/2.

Assim, temos que

U1 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R1} ,
onde

R1 =

{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2

2
≤ x ≤

√
2

2
e −

√
1

2
− x2 ≤ y ≤

√
1

2
− x2

}
.

A fronteira de U1 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:

S1 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1

2

}
,

S2 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 1

2

}
.

Um esboc¸o da regia˜o U1 pode ser visto na Figura 9.

8

−
√
2
2

√
2
2

y

z

x

Figura 9: Esboc¸o da regia˜o U1.

Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por:

Vol(U1) =

∫ √2
2

x=−
√
2
2

∫ √ 1
2
−x2

y=−
√

1
2
−x2

(√
1− x2 − y2 −

√
x2 + y2

)
dy dx .

Esta e´ uma integral muito dif´ıcil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa
tarefa se usarmos o fato de que a regia˜o de integrac¸a˜o, R1, e´ um c´ırculo centrado na
origem de raio

√
2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por:

Vol(U1) =

∫ 2pi
θ=0

∫ √2
2

r=0

(√
1− r2 − r

)
rdr dθ =

pi(2−√2)
3

.

Como exerc´ıcio, calcule o volume do seguinte so´lido:

U˜1 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + z2 ≤ y ≤ √1− x2 − z2} .
Exemplo 2.2 Observe a regia˜o

U2 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≤ 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} ,
que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 ≤ 1, delimitado pelos planos
z = −2 e z = 7− y (veja Figura 10).

A projec¸a˜o ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´ırculo centrado na
origem de raio 1. Logo, no formato padra˜o, esta regia˜o e´ descrita como

U2 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 2 ≤ z ≤ 7− y e (x, y) ∈ R2} ,
onde

R2 =
{

(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} .

9

−2

y

z

x

Figura 10: Esboc¸o da regia˜o U2.

A fronteira de U2 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:

S1 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = −2 e x2 + y2 ≤ 1} ,
S2 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 7− y e x2 + y2 ≤ 1} ,

S3 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 = 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} .
O volume do so´lido U2 e´ dado por:

Vol(U2) =

∫ 1
x=−1

∫ √1−x2
y=−√1−x2

(
7− y − (−2)) dy dx = 9pi .

Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena-
das polares para descrever a regia˜o de integrac¸a˜o, R2. O volume de U2 seria enta˜o
dado por:

Vol(U2) =

∫ 2pi
θ=0

∫ 1
r=0

(
9− r sin(θ)) rdr dθ = 9pi .

Exemplo 2.3 Considere as regio˜es

U ′3 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2

4
≤ 1
}
,

e

U ′′3 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 4
3

(
x2 + y2

) ≤ z2} .
10

−
√
3
2

√
3
2

y

z

x

Figura 11: Esboc¸o da regia˜o U3.

Seja U3 = U
′
3 ∩ U ′′3 ∩ {z ≥ 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia˜o.

Como z ≥ 0, para encontrar a equac¸a˜o da curva no espac¸o onde o elipso´ide U ′3
e o cone U ′′3 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de
cima do cone:

2
√

1− x2 − y2 = 2
√

3

3

√
x2 + y2 .

A projec¸a˜o ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a˜o
acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´ırculo centrado na origem, de raio

√
3/2). Logo, des-

crevemos a regia˜o U3 da seguinte forma:

U3 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 2√3

3

√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2

√
1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R3

}
,

onde

R3 =

{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √3

2
≤ x ≤

√
3

2
e −

√
3

4
− x2 ≤ y ≤

√
3

4
− x2

}
.

A fronteira de U3 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:

S1 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√3

3

√
x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 3

4

}
,

S2 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 3

4

}
,

O volume do so´lido U3 e´ dado por:

Vol(U3) =

∫ √3
2

x=−
√
3
2

∫ √ 3
4
−x2

y=−
√

3
4
−x2

(
2
√

1− x2 − y2 − 2
√

3

3

√
x2 + y2

)
dy dx =

2pi

3
.

11

Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples:

Vol(U3) =

∫ 2pi
θ=0

∫ √3
2

r=0

(
2
√

1− r2 − 2
√

3

3
r

)
rdr dθ =

2pi

3
.

Exemplo 2.4 Considere U4 a regia˜o do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0
e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4−|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto
na Figura 12.

4

4

5 y

z

x

Figura 12: Esboc¸o da regia˜o U4.

A maneira mais fa´cil de descrever esta regia˜o e´ no seguinte formato:

U4 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, z) ≤ y ≤ G(x, z) e (x, z) ∈ R} ,
onde R e´ uma regia˜o do plano xz.

A projec¸a˜o ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia˜o delimitada pelas retas z = 4−x,
z = 4 + x e z = 0. Logo,

U4 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 5− z e (x, y) ∈ R4} ,
onde

R4 =
{

(x, z) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ z ≤ 4 e − 4 + z ≤ x ≤ 4− z} .
A fronteira de U4 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:

S1 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 0 , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5} ,
S2 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 0 , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} ,

12

S3 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 4− |x| , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5− z} ,
S4 =

{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 5− z , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} .

O volume do so´lido U4 e´ dado por:

Vol(U4) =

∫ 4
z=0

∫ 4−z
x=−4+z

(5− z) dx dz = 176
3
.

Como exerc´ıcio, calcule ∫∫
R4

xz dx dz .

Exerc´ıcio 2.1 Seja

R =
{

(y, z) ∈ R2 ∣∣ |y| ≤ z ≤ 1− y2} .
Considere a regia˜o U ⊂ R3, obtida girando-se R em torno do eixo z. Descreva U
usando desigualdades.

Exerc´ıcio 2.2 Seja U a regia˜o do espac¸o delimitada pelo parabolo´ide z = x2 + y2

e pelo plano z = y + 2.

a) Escreva U usando desigualdades.
b) Explicite R, regia˜o do plano xy, obtida pela projec¸a˜o ortogonal de U nesse plano.

Exerc´ıcio 2.3 Considere a seguinte regia˜o

U =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≥ 1 + z2, x2 + y2 + z2 ≤ 5 e z ≥ 0} .
Descreva essa regia˜o como a unia˜o de duas regio˜es U1 e U2 escritas no formato
padra˜o.

Exerc´ıcio 2.4 Esboce as regio˜es do espac¸o a seguir e determine suas respectivas
projec¸o˜es no plano xy.

a) U1 =
{

(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2 ≤ 4 e z ≥√x2 + y2}
b) U2 = U1 ∩ {z ≥ 1}
c) U3 = U2 ∩ {x ≥ 0 e y ≥ 0}

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