02_regioes
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e´ dada pelas equac¸o\u2dces z =
\u221a
x2 + y2 e z =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2. Ao eli-
minarmos a varia´vel z das equac¸o\u2dces anteriores, obtemos
\u221a
x2 + y2 =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2,
a equac¸a\u2dco que define a fronteira da projec¸a\u2dco ortogonal de U no plano xy. A u´ltima
equac¸a\u2dco equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a\u2dco ortogonal U no plano xy e´ um
disco centrado na origem de raio
\u221a
2/2.
Assim, temos que
U1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u221ax2 + y2 \u2264 z \u2264\u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 e (x, y) \u2208 R1} ,
onde
R1 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 \u221a2
2
\u2264 x \u2264
\u221a
2
2
e \u2212
\u221a
1
2
\u2212 x2 \u2264 y \u2264
\u221a
1
2
\u2212 x2
}
.
A fronteira de U1 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:
S1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u221ax2 + y2 , x2 + y2 \u2264 1
2
}
,
S2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 , x2 + y2 \u2264 1
2
}
.
Um esboc¸o da regia\u2dco U1 pode ser visto na Figura 9.
8
\u2212
\u221a
2
2
\u221a
2
2
y
z
x
Figura 9: Esboc¸o da regia\u2dco U1.
Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
\u222b \u221a2
2
x=\u2212
\u221a
2
2
\u222b \u221a 1
2
\u2212x2
y=\u2212
\u221a
1
2
\u2212x2
(\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 \u2212
\u221a
x2 + y2
)
dy dx .
Esta e´ uma integral muito dif´\u131cil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa
tarefa se usarmos o fato de que a regia\u2dco de integrac¸a\u2dco, R1, e´ um c´\u131rculo centrado na
origem de raio
\u221a
2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b \u221a2
2
r=0
(\u221a
1\u2212 r2 \u2212 r
)
rdr d\u3b8 =
pi(2\u2212\u221a2)
3
.
Como exerc´\u131cio, calcule o volume do seguinte so´lido:
U\u2dc1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u221ax2 + z2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2 \u2212 z2} .
Exemplo 2.2 Observe a regia\u2dco
U2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 \u2264 1 e \u2212 2 \u2264 z \u2264 7\u2212 y} ,
que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 \u2264 1, delimitado pelos planos
z = \u22122 e z = 7\u2212 y (veja Figura 10).
A projec¸a\u2dco ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´\u131rculo centrado na
origem de raio 1. Logo, no formato padra\u2dco, esta regia\u2dco e´ descrita como
U2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u2212 2 \u2264 z \u2264 7\u2212 y e (x, y) \u2208 R2} ,
onde
R2 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 x \u2264 1 e \u2212\u221a1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2} .
9
\u22122
y
z
x
Figura 10: Esboc¸o da regia\u2dco U2.
A fronteira de U2 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:
S1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u22122 e x2 + y2 \u2264 1} ,
S2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 7\u2212 y e x2 + y2 \u2264 1} ,
S3 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 = 1 e \u2212 2 \u2264 z \u2264 7\u2212 y} .
O volume do so´lido U2 e´ dado por:
Vol(U2) =
\u222b 1
x=\u22121
\u222b \u221a1\u2212x2
y=\u2212\u221a1\u2212x2
(
7\u2212 y \u2212 (\u22122)) dy dx = 9pi .
Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena-
das polares para descrever a regia\u2dco de integrac¸a\u2dco, R2. O volume de U2 seria enta\u2dco
dado por:
Vol(U2) =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b 1
r=0
(
9\u2212 r sin(\u3b8)) rdr d\u3b8 = 9pi .
Exemplo 2.3 Considere as regio\u2dces
U \u20323 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 + z2
4
\u2264 1
}
,
e
U \u2032\u20323 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 4
3
(
x2 + y2
) \u2264 z2} .
10
\u2212
\u221a
3
2
\u221a
3
2
y
z
x
Figura 11: Esboc¸o da regia\u2dco U3.
Seja U3 = U
\u2032
3 \u2229 U \u2032\u20323 \u2229 {z \u2265 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia\u2dco.
Como z \u2265 0, para encontrar a equac¸a\u2dco da curva no espac¸o onde o elipso´ide U \u20323
e o cone U \u2032\u20323 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de
cima do cone:
2
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 = 2
\u221a
3
3
\u221a
x2 + y2 .
A projec¸a\u2dco ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a\u2dco
acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´\u131rculo centrado na origem, de raio
\u221a
3/2). Logo, des-
crevemos a regia\u2dco U3 da seguinte forma:
U3 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 2\u221a3
3
\u221a
x2 + y2 \u2264 z \u2264 2
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 e (x, y) \u2208 R3
}
,
onde
R3 =
{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 \u221a3
2
\u2264 x \u2264
\u221a
3
2
e \u2212
\u221a
3
4
\u2212 x2 \u2264 y \u2264
\u221a
3
4
\u2212 x2
}
.
A fronteira de U3 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:
S1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 2\u221a3
3
\u221a
x2 + y2 , x2 + y2 \u2264 3
4
}
,
S2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 2\u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 , x2 + y2 \u2264 3
4
}
,
O volume do so´lido U3 e´ dado por:
Vol(U3) =
\u222b \u221a3
2
x=\u2212
\u221a
3
2
\u222b \u221a 3
4
\u2212x2
y=\u2212
\u221a
3
4
\u2212x2
(
2
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 \u2212 2
\u221a
3
3
\u221a
x2 + y2
)
dy dx =
2pi
3
.
11
Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples:
Vol(U3) =
\u222b 2pi
\u3b8=0
\u222b \u221a3
2
r=0
(
2
\u221a
1\u2212 r2 \u2212 2
\u221a
3
3
r
)
rdr d\u3b8 =
2pi
3
.
Exemplo 2.4 Considere U4 a regia\u2dco do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0
e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4\u2212|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto
na Figura 12.
4
4
5 y
z
x
Figura 12: Esboc¸o da regia\u2dco U4.
A maneira mais fa´cil de descrever esta regia\u2dco e´ no seguinte formato:
U4 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 F (x, z) \u2264 y \u2264 G(x, z) e (x, z) \u2208 R} ,
onde R e´ uma regia\u2dco do plano xz.
A projec¸a\u2dco ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia\u2dco delimitada pelas retas z = 4\u2212x,
z = 4 + x e z = 0. Logo,
U4 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 0 \u2264 y \u2264 5\u2212 z e (x, y) \u2208 R4} ,
onde
R4 =
{
(x, z) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 z \u2264 4 e \u2212 4 + z \u2264 x \u2264 4\u2212 z} .
A fronteira de U4 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:
S1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 0 , \u22124 \u2264 x \u2264 4 , 0 \u2264 y \u2264 5} ,
S2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 y = 0 , 0 \u2264 z \u2264 4\u2212 |x|} ,
12
S3 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 4\u2212 |x| , \u22124 \u2264 x \u2264 4 , 0 \u2264 y \u2264 5\u2212 z} ,
S4 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 y = 5\u2212 z , 0 \u2264 z \u2264 4\u2212 |x|} .
O volume do so´lido U4 e´ dado por:
Vol(U4) =
\u222b 4
z=0
\u222b 4\u2212z
x=\u22124+z
(5\u2212 z) dx dz = 176
3
.
Como exerc´\u131cio, calcule \u222b\u222b
R4
xz dx dz .
Exerc´\u131cio 2.1 Seja
R =
{
(y, z) \u2208 R2 \u2223\u2223 |y| \u2264 z \u2264 1\u2212 y2} .
Considere a regia\u2dco U \u2282 R3, obtida girando-se R em torno do eixo z. Descreva U
usando desigualdades.
Exerc´\u131cio 2.2 Seja U a regia\u2dco do espac¸o delimitada pelo parabolo´ide z = x2 + y2
e pelo plano z = y + 2.
a) Escreva U usando desigualdades.
b) Explicite R, regia\u2dco do plano xy, obtida pela projec¸a\u2dco ortogonal de U nesse plano.
Exerc´\u131cio 2.3 Considere a seguinte regia\u2dco
U =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 \u2265 1 + z2, x2 + y2 + z2 \u2264 5 e z \u2265 0} .
Descreva essa regia\u2dco como a unia\u2dco de duas regio\u2dces U1 e U2 escritas no formato
padra\u2dco.
Exerc´\u131cio 2.4 Esboce as regio\u2dces do espac¸o a seguir e determine suas respectivas
projec¸o\u2dces no plano xy.
a) U1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 + z2 \u2264 4 e z \u2265\u221ax2 + y2}
b) U2 = U1 \u2229 {z \u2265 1}
c) U3 = U2 \u2229 {x \u2265 0 e y \u2265 0}
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