Provinha 4 - Gabarito
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Provinha 4 - Gabarito

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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012

Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu

Provinha #4 - Escolha com Incerteza e Maximizac¸a˜o de Lucro

Questa˜o 1 (50 pontos) Sobre escolha com incerteza indique se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´

falsa, verdadeira ou indeterminada. Na˜o esquec¸a de justificar sua resposta.

i) (20 pontos) Considere uma loteria que com probabilidade 50% paga R$5, com probabilidade 30%

paga R$1 e com probabilidade 20% paga R$6. Um indiv´ıduo avesso ao risco com renda R$10 pagou R$1

por um bilhete desta loteria. Se oferecerem R$2, 5 para este indiv´ıduo, ele venderia o bilhete da loteria

antes de conhecer o resultado da loteria.

Resposta:

Indeterminada. Seja W a riqueza do indiv´ıduo. A riqueza esperada com a loteria e´ dada por:

E(W ) = 0, 5(10− 1 + 5) + 0, 3(10− 1 + 1) + 0, 2(10− 1 + 6) = 13 (1)

Como o indiv´ıduo e´ avesso ao risco, sabemos que a sua utilidade com a riqueza esperada e´ menor do

que a utilidade esperada: U(E(W )) < E(U(W )). Dessa forma, sabemos que o indiv´ıduo prefere R$13

com certeza do que a loteria. Se dermos R$2, 5 para o indiv´ıduo, ele ficaria com uma riqueza certa de

R$11, 5. No entanto, como na˜o sabemos qual e´ a forma da func¸a˜o utilidade, na˜o e´ poss´ıvel determinar

se o indiv´ıduo prefere esses R$11, 5 com certeza ou a loteria com valor esperado de R$13.

ii) (15 pontos) Considere um ativo de risco que com probabilidade p entrega um ganho de 45%

sobre cada real investido e com probabilidade (1−p) entrega uma perda de 15% sobre cada real investido.
Se p for igual a 0, 2 (i.e. p = 20%) qualquer indiv´ıduo risco avesso ira´ investir uma quantidade positiva

de sua riqueza neste ativo.

Resposta:

Falsa. Seja w o valor investido no ativo de risco. Com p = 0, 2, o valor esperado do investimento no

ativo de risco sera´:

E(w) = 0, 2(1 + 0, 45)w + (1− 0, 2)(1− 0, 15)w = (0, 29 + 0, 68)w = 0, 97w (2)

1

Como o indiv´ıduo e´ avesso ao risco, sabe-se que ele prefere o valor certo de 0,97w do que a loteria.

Como suas prefereˆncias sa˜o monotoˆnicas, enta˜o ele prefere ter o valor do investimento w do que o valor

esperado de 0, 97w. Por transitividade, ele preferira´ o valor w com certeza do que o ativo de risco.

iii) (15 pontos) Considere um indiv´ıduo risco avesso que possui uma riqueza de R$W que deseja

fazer seguro contra roubo, onde a eventualidade do roubo econtece com probabilidade p e representa

uma perda de riqueza de R$X, tal que W > X. Se o mercado de seguro for competitivo, i.e. o lucro

econoˆmico das provedoras de seguro contra roubo for zero, o indiv´ıduo em questa˜o ira´ contratar seguro

pleno (i.e. ira´ fazer seguro contra o valor integral da perda em caso de roubo).

Resposta:

Verdadeira. Seja pi o lucro da seguradora, γ o seu preˆmio, e K a quantidade de seguro comprada pelo

consumidor. O lucro da seguradora e´ dado por:

pi = γK − E(custo) = γK − [pK + (1− p)0] = γ − pK (3)

Se o mercado de seguro e´ competitivo e o lucro da seguradora e´ zero, enta˜o temos:

pi = 0 =⇒ γK − pK = 0 =⇒ γ = p (4)

Enta˜o o indiv´ıduo ira´ pagar um preˆmio de γ = p para a seguradora. Para determinar o quanto de

seguro o consumidor compra, vamos avaliar a sua func¸a˜o utilidade. Se o roubo ocorrer (vamos chamar

de estado da natureza 1), o consumidor ira´ ter um consumo: c1 = W − γK; se o roubo ocorrer (vamos
chamar de estado da natureza 2), o consumo sera´: c2 = W −X +K − γK. Para maximizar a utilidade
esperada, vamos utilizar a condic¸a˜o de tangeˆncia que iguala a TMS do consumo entre os dois per´ıodos e

a raza˜o de prec¸os:

TMS = − p∆u(c2)/∆c2
(1− p)∆u(c1)/∆c1 = −

γ

1− γ (5)

A raza˜o de prec¸os e´, nesse caso, a raza˜o entre as variac¸o˜es de consumo nos dois per´ıodos. Substituindo

o resultado de (4) na equac¸a˜o anterior, temos:

− p∆u(c2)/∆c2
(1− p)∆u(c1)/∆c1 = −

p

1− p =⇒ −
∆u(c2)/∆c2
∆u(c1)/∆c1

= 1 =⇒ ∆u(c2)
∆c2

=
∆u(c1)

∆c1
(6)

Como o consumidor e´ avesso ao risco, a sua utilidade marginal da riqueza e´ decrescente em relac¸a˜o a`

riqueza (a func¸a˜o utilidade e´ coˆncava), de modo que a igualdade (6) implica que c1 = c2. Logo, temos:

c1 = c2 =⇒ W − γK = W −X +K − γK =⇒ 0 = −X +K =⇒ K = X (7)

2

Portanto, o indiv´ıduo ira´ comprar o seguro integral.

Questa˜o 2 (50 pontos) Considere uma firma com uma func¸a˜o de produc¸a˜o dada por y = f(k, l, t) =

min (k, l)
α

+tα, onde y denota a quantidade produzida do produto final, k denota a quantidade de capital

empregada para produzir y, l denota a quantidade de trabalho empregada para produzir y e t denota a

quantidade de terra empregada para produzir y. O prec¸o da unidade de trabalho e´ dado por w, o prec¸o

unita´rio do capital e´ dado por r e o prec¸o unita´rio da terra e´ dado por s. O prec¸o do bem final e´ dado

por p.

i) (25 pontos) Para quais valores de α a firma exibe retornos constantes, crescentes e decrescentes

de escala?

Resposta:

Para um dado c > 1, temos:

f(ck, cl, ct) = min (ck, cl)
α

+ (ct)α = [cmin (k, l)]α + cαtα = cα min (k, l)
α

+ cαtα =

= cα[min (k, l)
α

+ tα] = cαf(c, l, t) (8)

Dessa forma, temos:

α = 1 =⇒ f(ck, cl, ct) = cαf(c, l, t) = cf(c, l, t) =⇒ Retornos constantes de escala

α > 1 =⇒ f(ck, cl, ct) = cαf(c, l, t) > cf(c, l, t) =⇒ Retornos crescentes de escala

α < 1 =⇒ f(ck, cl, ct) = cαf(c, l, t) < cf(c, l, t) =⇒ Retornos decrescentes de escala

ii) (25 pontos) Monte o problema de maximizac¸a˜o de lucro da firma e encontre as func¸o˜es demanda

por capital, trabalho e terra da firma como func¸a˜o dos paraˆmetros α, p, w, r e s. (i.e. encontre

k(α, p, w, r, s), l(α, p, w, r, s), t(α, p, w, r, s))

Resposta:

Seja pi o lucro dessa firma; a func¸a˜o lucro sera´ dada por:

pi = p[min (k, l)
α

+ tα]− wl − rk − st (9)

No problema de maximizac¸a˜o, a func¸a˜o mı´nimo possui soluc¸a˜o o´tima nos pontos onde na˜o ha´ excesso

de um insumo em relac¸a˜o ao outro; ou seja, quando k = l. Seja X = min (k, l) = k = l. Logo, a func¸a˜o

lucro sera´:

pi = p[Xα + tα]−X(w + r)− st (10)

3

Para α 6= 1 as condic¸o˜es de primeira ordem sera˜o:

i.
∂pi

∂X
= 0 =⇒ αpXα−1 − (w − r) = 0 =⇒ X =

(
w + r

αp

) 1
α−1

ii.
∂pi

∂t
= 0 =⇒ αptα−1 − s = 0 =⇒ t =

(
s

αp

) 1
α−1

(11)

Como X = k = l, enta˜o as demandas sera˜o:

k(α, p, w, r, s) = l(α, p, w, r, s) =

(
w + r

αp

) 1
α−1

t(α, p, w, r, s) =

(
s

αp

) 1
α−1

(12)

Para α = 1 a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ tal que os insumos X e t sa˜o substitutos perfeitos. Dessa forma,

a firma contratara´ somente o insumo que tiver o menor prec¸o. Como o prec¸o do insumo composto X e´

r + w, enta˜o temos:

• Se s < w+ r, enta˜o X = l = k = 0 e pi = pt− st = t(p− s). Nesse caso cada unidade de t utilizada
gera um lucro igual a` diferenc¸a de prec¸os do produto e do aluguel da terra. Se p < s a firma na˜o

produzira´ nada, pois se o fizesse seu lucro seria negativo e enta˜o t = 0. Se, ao contra´rio, p > s,

enta˜o a demanda por terra tenderia ao infinito e o problema na˜o teria soluc¸a˜o definida.

• Se s > w + r, enta˜o t = 0 e pi = pX − (w + r)X = X(p−w − r). Novamente, a demanda depende
da relac¸a˜o entre os prec¸os do produto e dos insumos. Se p < w + r, enta˜o a firma na˜o entrara´

em operac¸a˜o e teremos X = l = k = 0. Se p > w + r, enta˜o a demanda tenderia ao infinito e o

problema na˜o teria uma soluc¸a˜o definida.

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