Provinha 4 - Gabarito

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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012
Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu
Provinha #4 - Escolha com Incerteza e Maximizac¸a˜o de Lucro
Questa˜o 1 (50 pontos) Sobre escolha com incerteza indique se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´
falsa, verdadeira ou indeterminada. Na˜o esquec¸a de justificar sua resposta.
i) (20 pontos) Considere uma loteria que com probabilidade 50% paga R$5, com probabilidade 30%
paga R$1 e com probabilidade 20% paga R$6. Um indiv´ıduo avesso ao risco com renda R$10 pagou R$1
por um bilhete desta loteria. Se oferecerem R$2, 5 para este indiv´ıduo, ele venderia o bilhete da loteria
antes de conhecer o resultado da loteria.
Resposta:
Indeterminada. Seja W a riqueza do indiv´ıduo. A riqueza esperada com a loteria e´ dada por:
E(W ) = 0, 5(10− 1 + 5) + 0, 3(10− 1 + 1) + 0, 2(10− 1 + 6) = 13 (1)
Como o indiv´ıduo e´ avesso ao risco, sabemos que a sua utilidade com a riqueza esperada e´ menor do
que a utilidade esperada: U(E(W )) < E(U(W )). Dessa forma, sabemos que o indiv´ıduo prefere R$13
com certeza do que a loteria. Se dermos R$2, 5 para o indiv´ıduo, ele ficaria com uma riqueza certa de
R$11, 5. No entanto, como na˜o sabemos qual e´ a forma da func¸a˜o utilidade, na˜o e´ poss´ıvel determinar
se o indiv´ıduo prefere esses R$11, 5 com certeza ou a loteria com valor esperado de R$13.
ii) (15 pontos) Considere um ativo de risco que com probabilidade p entrega um ganho de 45%
sobre cada real investido e com probabilidade (1−p) entrega uma perda de 15% sobre cada real investido.
Se p for igual a 0, 2 (i.e. p = 20%) qualquer indiv´ıduo risco avesso ira´ investir uma quantidade positiva
de sua riqueza neste ativo.
Resposta:
Falsa. Seja w o valor investido no ativo de risco. Com p = 0, 2, o valor esperado do investimento no
ativo de risco sera´:
E(w) = 0, 2(1 + 0, 45)w + (1− 0, 2)(1− 0, 15)w = (0, 29 + 0, 68)w = 0, 97w (2)
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Como o indiv´ıduo e´ avesso ao risco, sabe-se que ele prefere o valor certo de 0,97w do que a loteria.
Como suas prefereˆncias sa˜o monotoˆnicas, enta˜o ele prefere ter o valor do investimento w do que o valor
esperado de 0, 97w. Por transitividade, ele preferira´ o valor w com certeza do que o ativo de risco.
iii) (15 pontos) Considere um indiv´ıduo risco avesso que possui uma riqueza de R$W que deseja
fazer seguro contra roubo, onde a eventualidade do roubo econtece com probabilidade p e representa
uma perda de riqueza de R$X, tal que W > X. Se o mercado de seguro for competitivo, i.e. o lucro
econoˆmico das provedoras de seguro contra roubo for zero, o indiv´ıduo em questa˜o ira´ contratar seguro
pleno (i.e. ira´ fazer seguro contra o valor integral da perda em caso de roubo).
Resposta:
Verdadeira. Seja pi o lucro da seguradora, γ o seu preˆmio, e K a quantidade de seguro comprada pelo
consumidor. O lucro da seguradora e´ dado por:
pi = γK − E(custo) = γK − [pK + (1− p)0] = γ − pK (3)
Se o mercado de seguro e´ competitivo e o lucro da seguradora e´ zero, enta˜o temos:
pi = 0 =⇒ γK − pK = 0 =⇒ γ = p (4)
Enta˜o o indiv´ıduo ira´ pagar um preˆmio de γ = p para a seguradora. Para determinar o quanto de
seguro o consumidor compra, vamos avaliar a sua func¸a˜o utilidade. Se o roubo ocorrer (vamos chamar
de estado da natureza 1), o consumidor ira´ ter um consumo: c1 = W − γK; se o roubo ocorrer (vamos
chamar de estado da natureza 2), o consumo sera´: c2 = W −X +K − γK. Para maximizar a utilidade
esperada, vamos utilizar a condic¸a˜o de tangeˆncia que iguala a TMS do consumo entre os dois per´ıodos e
a raza˜o de prec¸os:
TMS = − p∆u(c2)/∆c2
(1− p)∆u(c1)/∆c1 = −
γ
1− γ (5)
A raza˜o de prec¸os e´, nesse caso, a raza˜o entre as variac¸o˜es de consumo nos dois per´ıodos. Substituindo
o resultado de (4) na equac¸a˜o anterior, temos:
− p∆u(c2)/∆c2
(1− p)∆u(c1)/∆c1 = −
p
1− p =⇒ −
∆u(c2)/∆c2
∆u(c1)/∆c1
= 1 =⇒ ∆u(c2)
∆c2
=
∆u(c1)
∆c1
(6)
Como o consumidor e´ avesso ao risco, a sua utilidade marginal da riqueza e´ decrescente em relac¸a˜o a`
riqueza (a func¸a˜o utilidade e´ coˆncava), de modo que a igualdade (6) implica que c1 = c2. Logo, temos:
c1 = c2 =⇒ W − γK = W −X +K − γK =⇒ 0 = −X +K =⇒ K = X (7)
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Portanto, o indiv´ıduo ira´ comprar o seguro integral.
Questa˜o 2 (50 pontos) Considere uma firma com uma func¸a˜o de produc¸a˜o dada por y = f(k, l, t) =
min (k, l)
α
+tα, onde y denota a quantidade produzida do produto final, k denota a quantidade de capital
empregada para produzir y, l denota a quantidade de trabalho empregada para produzir y e t denota a
quantidade de terra empregada para produzir y. O prec¸o da unidade de trabalho e´ dado por w, o prec¸o
unita´rio do capital e´ dado por r e o prec¸o unita´rio da terra e´ dado por s. O prec¸o do bem final e´ dado
por p.
i) (25 pontos) Para quais valores de α a firma exibe retornos constantes, crescentes e decrescentes
de escala?
Resposta:
Para um dado c > 1, temos:
f(ck, cl, ct) = min (ck, cl)
α
+ (ct)α = [cmin (k, l)]α + cαtα = cα min (k, l)
α
+ cαtα =
= cα[min (k, l)
α
+ tα] = cαf(c, l, t) (8)
Dessa forma, temos:
α = 1 =⇒ f(ck, cl, ct) = cαf(c, l, t) = cf(c, l, t) =⇒ Retornos constantes de escala
α > 1 =⇒ f(ck, cl, ct) = cαf(c, l, t) > cf(c, l, t) =⇒ Retornos crescentes de escala
α < 1 =⇒ f(ck, cl, ct) = cαf(c, l, t) < cf(c, l, t) =⇒ Retornos decrescentes de escala
ii) (25 pontos) Monte o problema de maximizac¸a˜o de lucro da firma e encontre as func¸o˜es demanda
por capital, trabalho e terra da firma como func¸a˜o dos paraˆmetros α, p, w, r e s. (i.e. encontre
k(α, p, w, r, s), l(α, p, w, r, s), t(α, p, w, r, s))
Resposta:
Seja pi o lucro dessa firma; a func¸a˜o lucro sera´ dada por:
pi = p[min (k, l)
α
+ tα]− wl − rk − st (9)
No problema de maximizac¸a˜o, a func¸a˜o mı´nimo possui soluc¸a˜o o´tima nos pontos onde na˜o ha´ excesso
de um insumo em relac¸a˜o ao outro; ou seja, quando k = l. Seja X = min (k, l) = k = l. Logo, a func¸a˜o
lucro sera´:
pi = p[Xα + tα]−X(w + r)− st (10)
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Para α 6= 1 as condic¸o˜es de primeira ordem sera˜o:
i.
∂pi
∂X
= 0 =⇒ αpXα−1 − (w − r) = 0 =⇒ X =
(
w + r
αp
) 1
α−1
ii.
∂pi
∂t
= 0 =⇒ αptα−1 − s = 0 =⇒ t =
(
s
αp
) 1
α−1
(11)
Como X = k = l, enta˜o as demandas sera˜o:
k(α, p, w, r, s) = l(α, p, w, r, s) =
(
w + r
αp
) 1
α−1
t(α, p, w, r, s) =
(
s
αp
) 1
α−1
(12)
Para α = 1 a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ tal que os insumos X e t sa˜o substitutos perfeitos. Dessa forma,
a firma contratara´ somente o insumo que tiver o menor prec¸o. Como o prec¸o do insumo composto X e´
r + w, enta˜o temos:
• Se s < w+ r, enta˜o X = l = k = 0 e pi = pt− st = t(p− s). Nesse caso cada unidade de t utilizada
gera um lucro igual a` diferenc¸a de prec¸os do produto e do aluguel da terra. Se p < s a firma na˜o
produzira´ nada, pois se o fizesse seu lucro seria negativo e enta˜o t = 0. Se, ao contra´rio, p > s,
enta˜o a demanda por terra tenderia ao infinito e o problema na˜o teria soluc¸a˜o definida.
• Se s > w + r, enta˜o t = 0 e pi = pX − (w + r)X = X(p−w − r). Novamente, a demanda depende
da relac¸a˜o entre os prec¸os do produto e dos insumos. Se p < w + r, enta˜o a firma na˜o entrara´
em operac¸a˜o e teremos X = l = k = 0. Se p > w + r, enta˜o a demanda tenderia ao infinito e o
problema na˜o teria uma soluc¸a˜o definida.
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