Provinha 4 - Gabarito
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Provinha 4 - Gabarito


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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012
Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu
Provinha #4 - Escolha com Incerteza e Maximizac¸a\u2dco de Lucro
Questa\u2dco 1 (50 pontos) Sobre escolha com incerteza indique se cada uma das afirmac¸o\u2dces abaixo e´
falsa, verdadeira ou indeterminada. Na\u2dco esquec¸a de justificar sua resposta.
i) (20 pontos) Considere uma loteria que com probabilidade 50% paga R$5, com probabilidade 30%
paga R$1 e com probabilidade 20% paga R$6. Um indiv´\u131duo avesso ao risco com renda R$10 pagou R$1
por um bilhete desta loteria. Se oferecerem R$2, 5 para este indiv´\u131duo, ele venderia o bilhete da loteria
antes de conhecer o resultado da loteria.
Resposta:
Indeterminada. Seja W a riqueza do indiv´\u131duo. A riqueza esperada com a loteria e´ dada por:
E(W ) = 0, 5(10\u2212 1 + 5) + 0, 3(10\u2212 1 + 1) + 0, 2(10\u2212 1 + 6) = 13 (1)
Como o indiv´\u131duo e´ avesso ao risco, sabemos que a sua utilidade com a riqueza esperada e´ menor do
que a utilidade esperada: U(E(W )) < E(U(W )). Dessa forma, sabemos que o indiv´\u131duo prefere R$13
com certeza do que a loteria. Se dermos R$2, 5 para o indiv´\u131duo, ele ficaria com uma riqueza certa de
R$11, 5. No entanto, como na\u2dco sabemos qual e´ a forma da func¸a\u2dco utilidade, na\u2dco e´ poss´\u131vel determinar
se o indiv´\u131duo prefere esses R$11, 5 com certeza ou a loteria com valor esperado de R$13.
ii) (15 pontos) Considere um ativo de risco que com probabilidade p entrega um ganho de 45%
sobre cada real investido e com probabilidade (1\u2212p) entrega uma perda de 15% sobre cada real investido.
Se p for igual a 0, 2 (i.e. p = 20%) qualquer indiv´\u131duo risco avesso ira´ investir uma quantidade positiva
de sua riqueza neste ativo.
Resposta:
Falsa. Seja w o valor investido no ativo de risco. Com p = 0, 2, o valor esperado do investimento no
ativo de risco sera´:
E(w) = 0, 2(1 + 0, 45)w + (1\u2212 0, 2)(1\u2212 0, 15)w = (0, 29 + 0, 68)w = 0, 97w (2)
1
Como o indiv´\u131duo e´ avesso ao risco, sabe-se que ele prefere o valor certo de 0,97w do que a loteria.
Como suas prefere\u2c6ncias sa\u2dco monoto\u2c6nicas, enta\u2dco ele prefere ter o valor do investimento w do que o valor
esperado de 0, 97w. Por transitividade, ele preferira´ o valor w com certeza do que o ativo de risco.
iii) (15 pontos) Considere um indiv´\u131duo risco avesso que possui uma riqueza de R$W que deseja
fazer seguro contra roubo, onde a eventualidade do roubo econtece com probabilidade p e representa
uma perda de riqueza de R$X, tal que W > X. Se o mercado de seguro for competitivo, i.e. o lucro
econo\u2c6mico das provedoras de seguro contra roubo for zero, o indiv´\u131duo em questa\u2dco ira´ contratar seguro
pleno (i.e. ira´ fazer seguro contra o valor integral da perda em caso de roubo).
Resposta:
Verdadeira. Seja pi o lucro da seguradora, \u3b3 o seu pre\u2c6mio, e K a quantidade de seguro comprada pelo
consumidor. O lucro da seguradora e´ dado por:
pi = \u3b3K \u2212 E(custo) = \u3b3K \u2212 [pK + (1\u2212 p)0] = \u3b3 \u2212 pK (3)
Se o mercado de seguro e´ competitivo e o lucro da seguradora e´ zero, enta\u2dco temos:
pi = 0 =\u21d2 \u3b3K \u2212 pK = 0 =\u21d2 \u3b3 = p (4)
Enta\u2dco o indiv´\u131duo ira´ pagar um pre\u2c6mio de \u3b3 = p para a seguradora. Para determinar o quanto de
seguro o consumidor compra, vamos avaliar a sua func¸a\u2dco utilidade. Se o roubo ocorrer (vamos chamar
de estado da natureza 1), o consumidor ira´ ter um consumo: c1 = W \u2212 \u3b3K; se o roubo ocorrer (vamos
chamar de estado da natureza 2), o consumo sera´: c2 = W \u2212X +K \u2212 \u3b3K. Para maximizar a utilidade
esperada, vamos utilizar a condic¸a\u2dco de tange\u2c6ncia que iguala a TMS do consumo entre os dois per´\u131odos e
a raza\u2dco de prec¸os:
TMS = \u2212 p\u2206u(c2)/\u2206c2
(1\u2212 p)\u2206u(c1)/\u2206c1 = \u2212
\u3b3
1\u2212 \u3b3 (5)
A raza\u2dco de prec¸os e´, nesse caso, a raza\u2dco entre as variac¸o\u2dces de consumo nos dois per´\u131odos. Substituindo
o resultado de (4) na equac¸a\u2dco anterior, temos:
\u2212 p\u2206u(c2)/\u2206c2
(1\u2212 p)\u2206u(c1)/\u2206c1 = \u2212
p
1\u2212 p =\u21d2 \u2212
\u2206u(c2)/\u2206c2
\u2206u(c1)/\u2206c1
= 1 =\u21d2 \u2206u(c2)
\u2206c2
=
\u2206u(c1)
\u2206c1
(6)
Como o consumidor e´ avesso ao risco, a sua utilidade marginal da riqueza e´ decrescente em relac¸a\u2dco a`
riqueza (a func¸a\u2dco utilidade e´ co\u2c6ncava), de modo que a igualdade (6) implica que c1 = c2. Logo, temos:
c1 = c2 =\u21d2 W \u2212 \u3b3K = W \u2212X +K \u2212 \u3b3K =\u21d2 0 = \u2212X +K =\u21d2 K = X (7)
2
Portanto, o indiv´\u131duo ira´ comprar o seguro integral.
Questa\u2dco 2 (50 pontos) Considere uma firma com uma func¸a\u2dco de produc¸a\u2dco dada por y = f(k, l, t) =
min (k, l)
\u3b1
+t\u3b1, onde y denota a quantidade produzida do produto final, k denota a quantidade de capital
empregada para produzir y, l denota a quantidade de trabalho empregada para produzir y e t denota a
quantidade de terra empregada para produzir y. O prec¸o da unidade de trabalho e´ dado por w, o prec¸o
unita´rio do capital e´ dado por r e o prec¸o unita´rio da terra e´ dado por s. O prec¸o do bem final e´ dado
por p.
i) (25 pontos) Para quais valores de \u3b1 a firma exibe retornos constantes, crescentes e decrescentes
de escala?
Resposta:
Para um dado c > 1, temos:
f(ck, cl, ct) = min (ck, cl)
\u3b1
+ (ct)\u3b1 = [cmin (k, l)]\u3b1 + c\u3b1t\u3b1 = c\u3b1 min (k, l)
\u3b1
+ c\u3b1t\u3b1 =
= c\u3b1[min (k, l)
\u3b1
+ t\u3b1] = c\u3b1f(c, l, t) (8)
Dessa forma, temos:
\u3b1 = 1 =\u21d2 f(ck, cl, ct) = c\u3b1f(c, l, t) = cf(c, l, t) =\u21d2 Retornos constantes de escala
\u3b1 > 1 =\u21d2 f(ck, cl, ct) = c\u3b1f(c, l, t) > cf(c, l, t) =\u21d2 Retornos crescentes de escala
\u3b1 < 1 =\u21d2 f(ck, cl, ct) = c\u3b1f(c, l, t) < cf(c, l, t) =\u21d2 Retornos decrescentes de escala
ii) (25 pontos) Monte o problema de maximizac¸a\u2dco de lucro da firma e encontre as func¸o\u2dces demanda
por capital, trabalho e terra da firma como func¸a\u2dco dos para\u2c6metros \u3b1, p, w, r e s. (i.e. encontre
k(\u3b1, p, w, r, s), l(\u3b1, p, w, r, s), t(\u3b1, p, w, r, s))
Resposta:
Seja pi o lucro dessa firma; a func¸a\u2dco lucro sera´ dada por:
pi = p[min (k, l)
\u3b1
+ t\u3b1]\u2212 wl \u2212 rk \u2212 st (9)
No problema de maximizac¸a\u2dco, a func¸a\u2dco m\u131´nimo possui soluc¸a\u2dco o´tima nos pontos onde na\u2dco ha´ excesso
de um insumo em relac¸a\u2dco ao outro; ou seja, quando k = l. Seja X = min (k, l) = k = l. Logo, a func¸a\u2dco
lucro sera´:
pi = p[X\u3b1 + t\u3b1]\u2212X(w + r)\u2212 st (10)
3
Para \u3b1 6= 1 as condic¸o\u2dces de primeira ordem sera\u2dco:
i.
\u2202pi
\u2202X
= 0 =\u21d2 \u3b1pX\u3b1\u22121 \u2212 (w \u2212 r) = 0 =\u21d2 X =
(
w + r
\u3b1p
) 1
\u3b1\u22121
ii.
\u2202pi
\u2202t
= 0 =\u21d2 \u3b1pt\u3b1\u22121 \u2212 s = 0 =\u21d2 t =
(
s
\u3b1p
) 1
\u3b1\u22121
(11)
Como X = k = l, enta\u2dco as demandas sera\u2dco:
k(\u3b1, p, w, r, s) = l(\u3b1, p, w, r, s) =
(
w + r
\u3b1p
) 1
\u3b1\u22121
t(\u3b1, p, w, r, s) =
(
s
\u3b1p
) 1
\u3b1\u22121
(12)
Para \u3b1 = 1 a func¸a\u2dco de produc¸a\u2dco e´ tal que os insumos X e t sa\u2dco substitutos perfeitos. Dessa forma,
a firma contratara´ somente o insumo que tiver o menor prec¸o. Como o prec¸o do insumo composto X e´
r + w, enta\u2dco temos:
\u2022 Se s < w+ r, enta\u2dco X = l = k = 0 e pi = pt\u2212 st = t(p\u2212 s). Nesse caso cada unidade de t utilizada
gera um lucro igual a` diferenc¸a de prec¸os do produto e do aluguel da terra. Se p < s a firma na\u2dco
produzira´ nada, pois se o fizesse seu lucro seria negativo e enta\u2dco t = 0. Se, ao contra´rio, p > s,
enta\u2dco a demanda por terra tenderia ao infinito e o problema na\u2dco teria soluc¸a\u2dco definida.
\u2022 Se s > w + r, enta\u2dco t = 0 e pi = pX \u2212 (w + r)X = X(p\u2212w \u2212 r). Novamente, a demanda depende
da relac¸a\u2dco entre os prec¸os do produto e dos insumos. Se p < w + r, enta\u2dco a firma na\u2dco entrara´
em operac¸a\u2dco e teremos X = l = k = 0. Se p > w + r, enta\u2dco a demanda tenderia ao infinito e o
problema na\u2dco teria uma soluc¸a\u2dco definida.
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