03_autovalores
2 pág.

03_autovalores


DisciplinaCálculo II22.476 materiais682.609 seguidores
Pré-visualização2 páginas
Autovalores e Autovetores

Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp

Departamento de Matema´tica
Pontif´\u131cia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro

1 Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz real n× n. Dizemos que um nu´mero \u3bb e´ autovalor de A, se
existe v 6= 0 tal que

Av = \u3bbv.

Nesse caso v e´ dito um autovetor de A, associado ao autovalor \u3bb.

Exemplo 1.1 Considere a matriz

A =

[
2 1
1 2

]
.

O vetor v =

[
1
\u22121

]
e´ um autovetor de A com autovalor \u3bb = 1, pois

Av =

[
2 1
1 2

][
1
\u22121

]
=

[
1
\u22121

]
= 1

[
1
\u22121

]
.

Ja´ o vetor v =

[
1
0

]
na\u2dco e´ autovetor de A, pois

Av =

[
2 1
1 2

][
1
0

]
=

[
2
1

]
6= \u3bb

[
1
0

]
.

Agora vamos apresentar um me´todo sistema´tico para calcular os autovalores de
uma matriz. Pela definic¸a\u2dco de autovalor sabemos que

Av = \u3bbv\u21d4
Av \u2212 \u3bbv = 0\u21d4

(A\u2212 \u3bbI) v = 0.

1

Como v 6= 0, a u´ltima equac¸a\u2dco e´ satisfeita se e somente se det (A\u2212 \u3bbI) = 0.
Esse determinante e´ um polino\u2c6mio de grau n na varia´vel \u3bb. Assim vemos que os
autovalores de A sa\u2dco as ra´\u131zes da func¸a\u2dco p(\u3bb) = det (A\u2212 \u3bbI), denominada polino\u2c6mio
caracter´\u131stico de A. O polino\u2c6mio caracter´\u131stico possui sempre n ra´\u131zes complexas
(possivelmente com multiplicidade) da forma a+ ib, onde a, b \u2208 R e i = \u221a\u22121. Ja´ os
autovetores de A, associados ao autovalores \u3bb, sa\u2dco as soluc¸o\u2dces na\u2dco nulas do sistema
linear homoge\u2c6neo (A\u2212 \u3bbI) v = 0.

Exemplo 1.2 Considere a matriz

A =

[
0 1
1 0

]
.

O polino\u2c6mio caracter´\u131stico e´ dado por

p(\u3bb) = det (A\u2212 \u3bbI)

= det

\uf8eb\uf8ed[ 0 1
1 0

]
\u2212 \u3bb

[
1 0
0 1

]\uf8f6\uf8f8
= det

[
\u2212\u3bb 1

1 \u2212\u3bb

]
= \u3bb2 \u2212 1.

Logo, seus autovalores sa\u2dco \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121.
Para \u3bb = 1 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a

[
1 \u22122
\u22122 4

][
vx
vy

]
=

[
0
0

]
,

donde concluimos que vx = 2vy.

Um poss´\u131vel autovetor associado a \u3bb = 1 e´ v1 =

[
2
1

]
.

Para \u3bb = \u22121 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a

[
\u22124 \u22122
\u22122 \u22121

][
vx
vy

]
=

[
0
0

]
,

donde concluimos que vx = vy/2.

Um poss´\u131vel autovetor associado a \u3bb = \u22121 e´ v2 =
[
\u22121

2

]
.

2

Exemplo 1.3 Considere a matriz

B =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4

\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico e´ dado por

p(\u3bb) = det (B \u2212 \u3bbI)

= det

\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2

2 2 4

\uf8f9\uf8fa\uf8fb\u2212 \u3bb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 0 00 1 0

0 0 1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8

= det

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4\u2212 \u3bb 2 22 4\u2212 \u3bb 2
2 2 4\u2212 \u3bb

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
= \u3bb3 \u2212 12\u3bb2 + 36\u3bb\u2212 32.

Logo, seus autovalores sa\u2dco \u3bb1 = \u3bb2 = 2 e \u3bb3 = 8.
Para \u3bb = 2 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 2 2 22 2 2
2 2 2

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 vxvy
vz

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 00

0

\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
donde concluimos que vx + vy + vz = 0.

Nesse caso temos um plano de autovetores. Dois poss´\u131veis autovetores ortogonais,

associado a \u3bb = 2, sa\u2dco dados por v1 =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u221211
0

\uf8f9\uf8fa\uf8fb e v2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121\u22121

2

\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
Para \u3bb = 8 temos que (A\u2212 \u3bbI) v = 0 equivale a

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22124 2 22 \u22124 2
2 2 \u22124

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 vxvy
vz

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 00

0

\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
donde concluimos que 2vx \u2212 vy \u2212 vz = 0 e vx \u2212 2vy + vz = 0.

Um poss´\u131vel autovetor associado a \u3bb = 4 e´ v3 =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 11
1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
Observe que os vetores v1, v2 e v3 formam uma base ortogonal de autovetores.

3

Exerc´\u131cio 1.1 Mostre que o polino\u2c6mio caracter´\u131tico de uma matriz 2×2 e´ da forma
p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 tr(A)\u3bb+ det(A),

onde tr(A) e det(A) denotam o trac¸o e o determinante de A respectivamente.
Lembre-se que o trac¸o de uma matriz e´ a soma dos elementos da diagonal principal.

Exerc´\u131cio 1.2 Encontre matrizes reais 2× 2 e 3× 3, que na\u2dco possuam autovalores
reais. Calcule os autovetores associados a esses autovalores complexos.

2 Teorema Espectral

Seja A uma matriz real n× n. Se A e´ sime´trica, i.e., A = AT , enta\u2dco existe uma
base ortonormal de Rn formada por autovetores de A. Uma conseque\u2c6ncia disso e´
que a matriz A admite uma decomposic¸a\u2dco da forma A = V \u39bV T , onde \u39b e´ uma
matriz real diagonal e V e´ uma matriz real ortogonal, i.e., V V T = V TV = I.

Vejamos agora uma maneira de construir as matrizes dessa decomposic¸a\u2dco. Vamos
fixar as ideias no caso 2× 2.

Primeiro olhemos para o produto

AV = A

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |v1 v2
| |

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
=

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |Av1 Av2
| |

\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
e em seguida para o produto

V \u39b =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |v1 v2
| |

\uf8f9\uf8fa\uf8fb[ \u3bb1 0
0 \u3bb2

]

=

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 | |\u3bb1v1 \u3bb2v2
| |

\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
O teorema da decomposic¸a\u2dco espectral nos diz que se A e´ real e sime´trica, enta\u2dco

A = V \u39bV T \u21d4 AV = V \u39b, uma vez que V e´ ortogonal.
Comparando as equac¸o\u2dces acima para AV e V \u39b podemos notar que Avi = \u3bbiAvi,

ou seja a matriz \u39b tem os autovalores de A (que sempre sa\u2dco nu´meros reais, vide
exerc´\u131cio abaixo) na diagonal principal e a matriz V tem autovetores unita´rios de A
em suas colunas, dispostos de maneira compat´\u131vel com a ordenac¸a\u2dco dos autovalores
em \u39b.

Exerc´\u131cio 2.1 Mostre que os autovalores de uma matriz n×n real sime´trica sempre
sa\u2dco nu´meros reais.

4

3 Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas via Autovalores

Considere a co\u2c6nica representada pela equac¸a\u2dco

9x2 \u2212 4xy + 6y2 + 30x\u2212 40y = 5.

Na equac¸a\u2dco acima os termos lineares x e y esta\u2dco associados a translac¸a\u2dco da co\u2c6nica
com relac¸a\u2dco a` origem do sistema de coordenadas. Ja´ o termo cruzado xy indica que
essa co\u2c6nica esta´ rotacionada com relac¸a\u2dco aos eixos coordenados.

Observe que a equac¸a\u2dco acima pode ser escrita na forma

[
x y

] [ 9 \u22122
\u22122 6

][
x
y

]
+
[

30\u2212 40
] [ x

y

]
= 5,

donde percebemos que toda co\u2c6nica esta´ associada a uma matriz real sime´trica Q.
Neste caso temos

Q =

[
9 \u22122
\u22122 6

]
,

cujos autovalores sa\u2dco \u3bb1 = 10 e \u3bb2 = 5, com autovetores unita´rios associados,

respectivamente, iguais a v1 =
1\u221a
5

[
2
\u22121

]
e v2 =

1\u221a
5

[
1
2

]
.

Pelo teorema da decomposic¸a\u2dco espectral sabemos que

[
9 \u22122
\u22122 6

]
=

[
2/
\u221a

5 1/
\u221a

5

\u22121/
\u221a

5 2/
\u221a

5

][
10 0
0 5

][
2/
\u221a

5 \u22121/
\u221a

5

1/
\u221a

5 2/
\u221a

5

]
,

e que

[
2/
\u221a

5 1/
\u221a

5

\u22121/
\u221a

5 2/
\u221a

5

][
2/
\u221a

5 \u22121/
\u221a

5

1/
\u221a

5 2/
\u221a

5

]
=

[
1 0
0 1

]
.

Assim, definindo

[
x\u2032

y\u2032

]
=

[
2/
\u221a

5 \u22121/
\u221a

5

1/
\u221a

5 2/
\u221a

5

][
x
y

]
,

podemos escrever a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica como

[
x\u2032 y\u2032

] [ 10 0
0 5

][
x\u2032

y\u2032

]
+
[

30\u2212 40
] [ 2/\u221a5 1/\u221a5
\u22121/
\u221a

5 2/
\u221a

5

][
x\u2032

y\u2032

]
= 5,

que equivale a

5

10x\u20322 + 5y\u20322 + 20
\u221a

5x\u2032 \u2212 10
\u221a

5y\u2032 = 5.

Completando quadrado em x\u2032 e y\u2032 chegamos a equac¸a\u2dco

10(x\u2032 +
\u221a

5)2 + 5(y\u2032 \u2212
\u221a

5)2 = 80,

que pode ser simplificada

(x\u2032 +
\u221a

5)2

(2
\u221a

2)2
+

(y\u2032 \u2212\u221a5)2
(4)2

= 1.

No sistema de coordenadas x\u2032y\u2032 reconhecemos que a equac¸a\u2dco da co\u2c6nica e´ uma
elipse, com semi-eixos a = 2

\u221a
2 e b = 4 e centrada em x\u2032 = \u2212

\u221a
5 e y\u2032 =

\u221a
5, que

corresponde ao ponto com coordenadas x = \u22121 e y = 3 no sistema cartesiano usual.
Veja a Figura 1.

C

x

y

x\u2032

y\u2032

Figura 1: Elipse fora da origem rotacionada.

Exerc´\u131cio 3.1 Identifique e desenhe as seguintes co\u2c6nicas:

\u2022 2x2 \u2212 4xy \u2212 y2 \u2212 4x\u2212 8y = \u221214
\u2022 21x2 + 6xy + 13y2 \u2212 114x+ 34y + 73 = 0
\u2022 4x2 \u2212 20xy + 25y2 \u2212 15x\u2212 6y = 0
No caso de uma elipse, indique o centro e os semi-eixos. Caso seja uma hipe´rbole,

o centro e as ass´\u131ntotas. Numa para´bola o ve´rtice.

6

4 Identificac¸a\u2dco de Qua´dricas via Autovalores

Considere a co\u2c6nica representada pela equac¸a\u2dco

4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz \u2212 x = 3.
Na equac¸a\u2dco acima o termo linear x esta´ associado a translac¸a\u2dco da qua´drica com

relac¸a\u2dco a` origem do sistema de coordenadas. Ja´ os termos cruzados xy, xz e yz
indicam que esta qua´drica esta´ rotacionada com relac¸a\u2dco aos eixos coordenados.

Observe que a equac¸a\u2dco acima pode ser escrita na forma

[
x y z

]\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 xy
z

\uf8f9\uf8fa\uf8fb+ [ \u22121 0 0 ]
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 xy
z

\uf8f9\uf8fa\uf8fb = 3,
donde percebemos que toda co\u2c6nica esta´ associada a uma matriz real sime´trica Q.

Neste caso temos

Q =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4

\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
cujos autovalores (calculados acima) sa\u2dco \u3bb1 = \u3bb2 = 2 e \u3bb3 = 8, com autovetores

unita´rios associados, respectivamente, iguais a v1 =
1\u221a
2

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u221211
0

\uf8f9\uf8fa\uf8fb, v2 = 1\u221a
6

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121\u22121
2

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
e v3 =

1\u221a
3

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 11
1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
Pelo teorema da decomposic¸a\u2dco espectral sabemos que

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/

\u221a
2 \u22121/

\u221a
6 1/

\u221a
3

1/
\u221a

2 \u22121/
\u221a

6 1/
\u221a

3

0 2/
\u221a

6 1/
\u221a

3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 2 0 00 2 0

0 0 8

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/

\u221a
2 1/

\u221a
2 0

\u22121/
\u221a

6 \u22121/
\u221a

6 2/
\u221a

6

1/
\u221a

3 1/
\u221a

3 1/
\u221a

3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
e que

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/
\u221a

2 \u22121/
\u221a

6 1/
\u221a

3

1/
\u221a

2 \u22121/
\u221a

6 1/
\u221a

3

0 2/
\u221a

6 1/
\u221a

3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22121/

\u221a
2 1/

\u221a
2 0

\u22121/
\u221a

6 \u22121/
\u221a

6 2/
\u221a

6

1/
\u221a

3 1/
\u221a

3 1/
\u221a

3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 0 00