03_autovalores
8 pág.

03_autovalores

Disciplina:cálculo a várias variáveis i83 materiais611 seguidores
Pré-visualização2 páginas
Autovalores e Autovetores

Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp

Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro

1 Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz real n× n. Dizemos que um nu´mero λ e´ autovalor de A, se
existe v 6= 0 tal que

Av = λv.

Nesse caso v e´ dito um autovetor de A, associado ao autovalor λ.

Exemplo 1.1 Considere a matriz

A =

[
2 1
1 2

]
.

O vetor v =

[
1
−1

]
e´ um autovetor de A com autovalor λ = 1, pois

Av =

[
2 1
1 2

][
1
−1

]
=

[
1
−1

]
= 1

[
1
−1

]
.

Ja´ o vetor v =

[
1
0

]
na˜o e´ autovetor de A, pois

Av =

[
2 1
1 2

][
1
0

]
=

[
2
1

]
6= λ

[
1
0

]
.

Agora vamos apresentar um me´todo sistema´tico para calcular os autovalores de
uma matriz. Pela definic¸a˜o de autovalor sabemos que

Av = λv⇔
Av − λv = 0⇔

(A− λI) v = 0.

1

Como v 6= 0, a u´ltima equac¸a˜o e´ satisfeita se e somente se det (A− λI) = 0.
Esse determinante e´ um polinoˆmio de grau n na varia´vel λ. Assim vemos que os
autovalores de A sa˜o as ra´ızes da func¸a˜o p(λ) = det (A− λI), denominada polinoˆmio
caracter´ıstico de A. O polinoˆmio caracter´ıstico possui sempre n ra´ızes complexas
(possivelmente com multiplicidade) da forma a+ ib, onde a, b ∈ R e i = √−1. Ja´ os
autovetores de A, associados ao autovalores λ, sa˜o as soluc¸o˜es na˜o nulas do sistema
linear homogeˆneo (A− λI) v = 0.

Exemplo 1.2 Considere a matriz

A =

[
0 1
1 0

]
.

O polinoˆmio caracter´ıstico e´ dado por

p(λ) = det (A− λI)

= det

[ 0 1
1 0

]
− λ

[
1 0
0 1

]
= det

[
−λ 1

1 −λ

]
= λ2 − 1.

Logo, seus autovalores sa˜o λ1 = 1 e λ2 = −1.
Para λ = 1 temos que (A− λI) v = 0 equivale a

[
1 −2
−2 4

][
vx
vy

]
=

[
0
0

]
,

donde concluimos que vx = 2vy.

Um poss´ıvel autovetor associado a λ = 1 e´ v1 =

[
2
1

]
.

Para λ = −1 temos que (A− λI) v = 0 equivale a

[
−4 −2
−2 −1

][
vx
vy

]
=

[
0
0

]
,

donde concluimos que vx = vy/2.

Um poss´ıvel autovetor associado a λ = −1 e´ v2 =
[
−1

2

]
.

2

Exemplo 1.3 Considere a matriz

B =

 4 2 22 4 2
2 2 4

 .
O polinoˆmio caracter´ıstico e´ dado por

p(λ) = det (B − λI)

= det


 4 2 22 4 2

2 2 4

− λ
 1 0 00 1 0

0 0 1




= det

 4− λ 2 22 4− λ 2
2 2 4− λ


= λ3 − 12λ2 + 36λ− 32.

Logo, seus autovalores sa˜o λ1 = λ2 = 2 e λ3 = 8.
Para λ = 2 temos que (A− λI) v = 0 equivale a

 2 2 22 2 2
2 2 2


 vxvy
vz

 =
 00

0

 ,
donde concluimos que vx + vy + vz = 0.

Nesse caso temos um plano de autovetores. Dois poss´ıveis autovetores ortogonais,

associado a λ = 2, sa˜o dados por v1 =

 −11
0

 e v2 =
 −1−1

2

.
Para λ = 8 temos que (A− λI) v = 0 equivale a

 −4 2 22 −4 2
2 2 −4


 vxvy
vz

 =
 00

0

 ,
donde concluimos que 2vx − vy − vz = 0 e vx − 2vy + vz = 0.

Um poss´ıvel autovetor associado a λ = 4 e´ v3 =

 11
1

.
Observe que os vetores v1, v2 e v3 formam uma base ortogonal de autovetores.

3

Exerc´ıcio 1.1 Mostre que o polinoˆmio caracter´ıtico de uma matriz 2×2 e´ da forma
p(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A),

onde tr(A) e det(A) denotam o trac¸o e o determinante de A respectivamente.
Lembre-se que o trac¸o de uma matriz e´ a soma dos elementos da diagonal principal.

Exerc´ıcio 1.2 Encontre matrizes reais 2× 2 e 3× 3, que na˜o possuam autovalores
reais. Calcule os autovetores associados a esses autovalores complexos.

2 Teorema Espectral

Seja A uma matriz real n× n. Se A e´ sime´trica, i.e., A = AT , enta˜o existe uma
base ortonormal de Rn formada por autovetores de A. Uma consequeˆncia disso e´
que a matriz A admite uma decomposic¸a˜o da forma A = V ΛV T , onde Λ e´ uma
matriz real diagonal e V e´ uma matriz real ortogonal, i.e., V V T = V TV = I.

Vejamos agora uma maneira de construir as matrizes dessa decomposic¸a˜o. Vamos
fixar as ideias no caso 2× 2.

Primeiro olhemos para o produto

AV = A

 | |v1 v2
| |


=

 | |Av1 Av2
| |

 ,
e em seguida para o produto

V Λ =

 | |v1 v2
| |

[ λ1 0
0 λ2

]

=

 | |λ1v1 λ2v2
| |

 .
O teorema da decomposic¸a˜o espectral nos diz que se A e´ real e sime´trica, enta˜o

A = V ΛV T ⇔ AV = V Λ, uma vez que V e´ ortogonal.
Comparando as equac¸o˜es acima para AV e V Λ podemos notar que Avi = λiAvi,

ou seja a matriz Λ tem os autovalores de A (que sempre sa˜o nu´meros reais, vide
exerc´ıcio abaixo) na diagonal principal e a matriz V tem autovetores unita´rios de A
em suas colunas, dispostos de maneira compat´ıvel com a ordenac¸a˜o dos autovalores
em Λ.

Exerc´ıcio 2.1 Mostre que os autovalores de uma matriz n×n real sime´trica sempre
sa˜o nu´meros reais.

4

3 Identificac¸a˜o de Coˆnicas via Autovalores

Considere a coˆnica representada pela equac¸a˜o

9x2 − 4xy + 6y2 + 30x− 40y = 5.

Na equac¸a˜o acima os termos lineares x e y esta˜o associados a translac¸a˜o da coˆnica
com relac¸a˜o a` origem do sistema de coordenadas. Ja´ o termo cruzado xy indica que
essa coˆnica esta´ rotacionada com relac¸a˜o aos eixos coordenados.

Observe que a equac¸a˜o acima pode ser escrita na forma

[
x y

] [ 9 −2
−2 6

][
x
y

]
+
[

30− 40
] [ x

y

]
= 5,

donde percebemos que toda coˆnica esta´ associada a uma matriz real sime´trica Q.
Neste caso temos

Q =

[
9 −2
−2 6

]
,

cujos autovalores sa˜o λ1 = 10 e λ2 = 5, com autovetores unita´rios associados,

respectivamente, iguais a v1 =
1√
5

[
2
−1

]
e v2 =

1√
5

[
1
2

]
.

Pelo teorema da decomposic¸a˜o espectral sabemos que

[
9 −2
−2 6

]
=

[
2/
√

5 1/
√

5

−1/
√

5 2/
√

5

][
10 0
0 5

][
2/
√

5 −1/
√

5

1/
√

5 2/
√

5

]
,

e que

[
2/
√

5 1/
√

5

−1/
√

5 2/
√

5

][
2/
√

5 −1/
√

5

1/
√

5 2/
√

5

]
=

[
1 0
0 1

]
.

Assim, definindo

[
x′

y′

]
=

[
2/
√

5 −1/
√

5

1/
√

5 2/
√

5

][
x
y

]
,

podemos escrever a equac¸a˜o da coˆnica como

[
x′ y′

] [ 10 0
0 5

][
x′

y′

]
+
[

30− 40
] [ 2/√5 1/√5
−1/
√

5 2/
√

5

][
x′

y′

]
= 5,

que equivale a

5

10x′2 + 5y′2 + 20
√

5x′ − 10
√

5y′ = 5.

Completando quadrado em x′ e y′ chegamos a equac¸a˜o

10(x′ +
√

5)2 + 5(y′ −
√

5)2 = 80,

que pode ser simplificada

(x′ +
√

5)2

(2
√

2)2
+

(y′ −√5)2
(4)2

= 1.

No sistema de coordenadas x′y′ reconhecemos que a equac¸a˜o da coˆnica e´ uma
elipse, com semi-eixos a = 2

√
2 e b = 4 e centrada em x′ = −

√
5 e y′ =

√
5, que

corresponde ao ponto com coordenadas x = −1 e y = 3 no sistema cartesiano usual.
Veja a Figura 1.

C

x

y

x′

y′

Figura 1: Elipse fora da origem rotacionada.

Exerc´ıcio 3.1 Identifique e desenhe as seguintes coˆnicas:

• 2x2 − 4xy − y2 − 4x− 8y = −14
• 21x2 + 6xy + 13y2 − 114x+ 34y + 73 = 0
• 4x2 − 20xy + 25y2 − 15x− 6y = 0
No caso de uma elipse, indique o centro e os semi-eixos. Caso seja uma hipe´rbole,

o centro e as ass´ıntotas. Numa para´bola o ve´rtice.

6

4 Identificac¸a˜o de Qua´dricas via Autovalores

Considere a coˆnica representada pela equac¸a˜o

4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz − x = 3.
Na equac¸a˜o acima o termo linear x esta´ associado a translac¸a˜o da qua´drica com

relac¸a˜o a` origem do sistema de coordenadas. Ja´ os termos cruzados xy, xz e yz
indicam que esta qua´drica esta´ rotacionada com relac¸a˜o aos eixos coordenados.

Observe que a equac¸a˜o acima pode ser escrita na forma

[
x y z

] 4 2 22 4 2
2 2 4


 xy
z

+ [ −1 0 0 ]
 xy
z

 = 3,
donde percebemos que toda coˆnica esta´ associada a uma matriz real sime´trica Q.

Neste caso temos

Q =

 4 2 22 4 2
2 2 4

 ,
cujos autovalores (calculados acima) sa˜o λ1 = λ2 = 2 e λ3 = 8, com autovetores

unita´rios associados, respectivamente, iguais a v1 =
1√
2

 −11
0

, v2 = 1√
6

 −1−1
2


e v3 =

1√
3

 11
1

.
Pelo teorema da decomposic¸a˜o espectral sabemos que

 4 2 22 4 2
2 2 4

 =
 −1/

√
2 −1/

√
6 1/

√
3

1/
√

2 −1/
√

6 1/
√

3

0 2/
√

6 1/
√

3


 2 0 00 2 0

0 0 8


 −1/

√
2 1/

√
2 0

−1/
√

6 −1/
√

6 2/
√

6

1/
√

3 1/
√

3 1/
√

3

 ,
e que

 −1/
√

2 −1/
√

6 1/
√

3

1/
√

2 −1/
√

6 1/
√

3

0 2/
√

6 1/
√

3


 −1/

√
2 1/

√
2 0

−1/
√

6 −1/
√

6 2/
√

6

1/
√

3 1/
√

3 1/
√

3

 =
 1 0 00