Micro I - EAE 0203 - Noturno 1o Semestre 2012 Prof. Ricardo Madeira Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu Provinha #5 - Minimizac¸a˜o de Custo e Oferta da Firma Questa˜o 1 (40 pontos) Considere uma firma minimizadora de custo com custo dado por w1x1 + w2x2, onde xi > 0 e wi > 0 denotam a quantidade e o prec¸o do insumo i ∈ {1, 2}. a) (20 pontos) Suponha que a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ dada por f(x1, x2) = ax1 + bx2. Qual e´ o custo marginal da firma? Resposta: O problema da firma sera´: minx1,x2 w1x1 + w2x2 s.t. ax1 + bx2 = q Como a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ linear, os insumos x1 e x2 sa˜o substitutos perfeitos para a produc¸a˜o. Dessa forma, dada uma quantidade de produto q, teremos: ax1 + bx2 = q =⇒ x2 = qa − bax2. Para um certo n´ıvel de custo c, teremos: c = w1x1 + w2x2 =⇒ x2 = cw2 − w1w2x1. Teremos treˆs casos: i. Se as curvas de isocusto tiverem inclinac¸a˜o maior do que a fronteira de produc¸a˜o, ou seja, w1w2 > b a enta˜o teremos uma soluc¸a˜o de canto: x1 = q a e x2 = 0. Nesse caso a func¸a˜o custo sera´: C(q) = w1x1 = w1 q a ii. Se as curvas de isocusto forem menos inclinadas do que a fronteira de produc¸a˜o, w1w2 < b a e enta˜o teremos outra soluc¸a˜o de canto: x1 = 0 e x2 = q b . A func¸a˜o custo sera´: C(q) = w2x2 = w2 q b iii. Se as curvas de isocusto e a fronteira de produc¸a˜o tiverem a mesma inclinac¸a˜o, w1w2 = b a , enta˜o qualquer ponto sobre a fornteira de produc¸a˜o minimizara´ o custo total: x1 ∈ (0, qa ) e x2 = qb − abx1. A func¸a˜o custo sera´: c(q) = w1x1 + w2x2 = w1x1 + w2( q b − abx1) = w2 qb + x1(w1 − w2 ab ); mas w1 w2 = ba =⇒ w1 = w2 ba . Logo, C(q) = w2 qb + x1(w1 − w2 ab = w2 qb + x10 = w2 qb . 1 As curvas de custo marginal sera˜o: CMg(q) = ∂(w1 qa ) ∂q = w1 a , se w1 w2 > ba ∂(w2 qb ) ∂q = w2 b , se w1 w2 < ba ∂(w2 qb ) ∂q = w2 b , se w1 w2 = ba (1) b) (20 pontos) Suponha agora que a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ dada por f(x1, x2) = x 1 4 1 x 3 4 2 . Qual e´ o custo marginal da firma? Com a func¸a˜o de produc¸a˜o Cobb-Douglas, o problema de minimizac¸a˜o de custo pode ser resolvido normalmente pelo lagrangeano ou pela condic¸a˜o de tangeˆncia. O problema da firma sera´: minx1,x2 w1x1 + w2x2 s.t. x 1 4 1 x 3 4 2 = q Enta˜o no ponto o´timo temos a condic¸a˜o de tangeˆncia: TMST = PMg1 PMg2 = w1 w2 =⇒ 1 4x − 34 1 x 3 4 2 3 4x 1 4 1 x − 14 2 = w1 w2 =⇒ 1 3 x2 x1 = w1 w2 =⇒ x2 = 3x1w1 w2 (2) Substituindo na restric¸a˜o, temos: x 1 4 1 x 3 4 2 = q =⇒ x 1 4 1 ( 3x1 w1 w2 ) 3 4 = q =⇒ x1 ( 3 w1 w2 ) 3 4 = q =⇒ x1 = q ( w2 3w1 ) 3 4 (3) Logo, substituindo na equac¸a˜o (2): x2 = 3x1 w1 w2 = 3q ( w2 3w1 ) 3 4 w1 w2 = q ( 3 w1 w2 ) 1 4 (4) Portanto, a func¸a˜o custo sera´: C(q) = w1q ( w2 3w1 ) 3 4 + w2q ( 3 w1 w2 ) 1 4 = qw 1 4 1 w 3 4 2 ( 3− 3 4 + 3 1 4 ) (5) A func¸a˜o custo marginal sera´: CMg(q) = ∂C ∂q = w 1 4 1 w 3 4 2 ( 3− 3 4 + 3 1 4 ) (6) Questa˜o 2 (60 pontos) Considere uma firma que possui uma func¸a˜o de produc¸a˜o dada por y = f(x1, x2) = x 1 2 1 x 1 2 2 , onde xi denota a quantidade de insumo i ∈ {1, 2} empregado na produc¸a˜o do bem 2 final y. O prec¸o do insumo i ∈ {1, 2} e´ denotado por wi. a) (20 pontos) Suponha que no curto prazo esta firma esta´ comprometida com 4 unidades do insumo 2, i.e. x2 = 4. Suponha ainda que w1 = 1 e w2 = 2. Encontre e esboce no gra´fico as func¸o˜es custo, custo me´dio e custo marginal de curto prazo desta firma. Resposta: Com o insumo 2 fixo, o problema de curto prazo da firma torna-se: minx1 w1x1 + 4w2 s.t. x 1 2 1 4 1 2 = q Como podemos ver pela restric¸a˜o, para um dado n´ıvel de produto q, a quantidade de x1 necessa´ria ja´ esta´ determinada. Como x2 esta´ fixo, enta˜o na˜o ha´ espac¸o para alterar as proporc¸o˜es dos insumos de modo a minimizar o custo. Manipulando a restric¸a˜o, teremos: x 1 2 1 4 1 2 = q =⇒ x1 = q 2 4 (7) A func¸a˜o custo sera´: C(q) = w1 q2 4 + 4w2 = q2 4 + 8 (8) A func¸a˜o custo marginal sera´: CMg(q) = ∂C ∂q = q 2 (9) A func¸a˜o custo me´dio sera´: CMe(q) = C q = q 4 + 8 q (10) 3 O gra´fico das treˆs curvas sera´ o seguinte: O ponto de mı´nimo da curva de custo me´dio e´ aquele em que o custo me´dio e´ igual ao custo marginal: CMg = CMe =⇒ q 2 = q 4 + 8 q =⇒ 2q2 = q2 + 32 =⇒ q = 4 (11) b) (20 pontos) Supondo que o prec¸o do produto final (p) e´ o numera´rio , i.e. p = 1, encontre a quantidade o´tima demandada pelo insumo 1, o n´ıvel o´timo do produto final e o lucro ma´ximo de curto prazo. Resposta: No curto prazo, vale x2 = 4, que e´ a u´nica especificac¸a˜o para o curto prazo nessa questa˜o. Enta˜o, o problema de maximizac¸a˜o de lucro sera´: max x1 pi = x 1 2 1 4 1 2 − (w1x1 + 4w2) (12) A condic¸a˜o de primeira ordem sera´: 1 2 x − 12 1 2− w1 = 0 =⇒ x∗1 = (w1)−2 (13) o n´ıvel o´timo do produto sera´: q = x ∗ 12 1 2 = 2 w1 (14) 4 o lucro ma´ximo sera´: pi = x ∗ 12 1 2− (w1x∗1 + 4w2) = 2 w1 − 1 w1 − 4w2 = 1 w1 − 4w2 (15) Note que se considerarmos os prec¸os dos insumos do item (b), w1 = 1 e w2 = 2, pelo gra´fico mostrado fica claro que na˜o vale a pena para a firma operar quando o prec¸o do produto esta´ nesse n´ıvel. Para p = 1 a curva de custo me´dio se encontra abaixo da curva de custo marginal e, portanto, o lucro sera´ negativo. Nesse caso o n´ıvel de produc¸ao sera´ zero, a firma na˜o demandara´ x1 e o lucro ma´ximo atingido sera´: pi = 0 1 2 2 − (w10 + 4w2) = −8. No curto prazo o lucro e´ negativo, porque apesar de na˜o produzir nada, a firma ainda possui o custo fixo. (Como na˜o esta´ claro no enunciado, vou considerar corretas tanto as respostas que utilizam os prec¸os do item (b) quanto aquelas em termos de w1 e w2, como nesse gabarito). c) (20 pontos) Mostre que quando p = 1, w1 = 1 e w2 = 2 o custo de longo prazo e´ sempre menor ou igual ao custo de curto prazo. Para quais n´ıveis de produto final os custos de curto prazo seriam iguais? Justifique sua resposta. Resposta: A func¸a˜o custo de curto prazo ja´ foi encontrada no item (a). No longo prazo, temos: minx1,x2 w1x1 + w2x2 s.t. x 1 2 1 x 1 2 2 = q Nesse caso, a varia´vel x2 e´ tambe´m uma varia´vel de escolha. Como a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ uma Cobb-Douglas, pela condic¸a˜o de tangeˆncia, temos: TMST = PMg1 PMg2 = w1 w2 =⇒ 1 2x − 12 1 x 1 2 2 1 2x 1 2 1 x − 12 2 = w1 w2 =⇒ x2 = x1w1 w2 (16) Substituindo na restric¸a˜o temos: x 1 2 1 ( x1 w1 w2 ) 1 2 = q =⇒ x1 = q ( w2 w1 ) 1 2 (17) Logo, x2 = q ( w2 w1 ) 1 2 w1 w2 = q ( w1 w2 ) 1 2 (18) A func¸a˜o custo de longo prazo sera´: CL(q) = w1q ( w2 w1 ) 1 2 + w2q ( w1 w2 ) 1 2 = 2q (w1w2) 1 2 (19) 5 Com os prec¸os w1 = 1 e w2 = 2, temos: CL(q) = 2 3 2 q (20) A func¸a˜o custo de curto prazo calculada no item (a) e´ dada por: CC(q) = q2 4 + 8 (21) Uma forma simples de mostrar que CL ≤ CC ,∀q ≥ 0 e´ a seguinte. Para que a curva de longo prazo seja sempre menor ou igual a` curva de curto prazo, e´ necessa´rio que a diferenc¸a entre as duas func¸o˜es seja menor ou igual a zero para qualquer q ≥ 0. Seja D(q) a diferenc¸a entre as duas func¸o˜es; enta˜o: D(q) = CL(q)− CC(q) = 2 32 q − q 2 4 − 8 (22) Vamos analisar o sinal dessa func¸a˜o, que e´ um polinoˆmio do segundo grau. Para D(p) = 0 temos: ∆ = ( 2 3 2 )2 − 4× ( −1 4 ) × (−8) = 8− 8 = 0 (23) A soluc¸a˜o para a equac¸a˜o sera´ u´nica: q = −2 32 2×− 14 = 2 5 2 (24) Como a func¸a˜o D(q) e´ um polinoˆnio de segundo grau cujo coeficiente do termo quadra´tico e´ negativo, enta˜o a raiz u´nica q = 2 5 2 sera´ o ponto de ma´ximo global em que D(q) = 0. Logo, para qualquer outro valor de q, D(p) < 0. Portanto, temos: Se q = 2 5 2 , D(q) = 0 =⇒ CL = CC Se q 6= 2 52 , D(q) < 0 =⇒ CL < CC 6