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provinha 5

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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012
Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu
Provinha #5 - Minimizac¸a˜o de Custo e Oferta da Firma
Questa˜o 1 (40 pontos) Considere uma firma minimizadora de custo com custo dado por w1x1 +
w2x2, onde xi > 0 e wi > 0 denotam a quantidade e o prec¸o do insumo i ∈ {1, 2}.
a) (20 pontos) Suponha que a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ dada por f(x1, x2) = ax1 + bx2. Qual e´ o custo
marginal da firma?
Resposta:
O problema da firma sera´:
minx1,x2 w1x1 + w2x2
s.t. ax1 + bx2 = q
Como a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ linear, os insumos x1 e x2 sa˜o substitutos perfeitos para a produc¸a˜o.
Dessa forma, dada uma quantidade de produto q, teremos: ax1 + bx2 = q =⇒ x2 = qa − bax2. Para um
certo n´ıvel de custo c, teremos: c = w1x1 + w2x2 =⇒ x2 = cw2 − w1w2x1.
Teremos treˆs casos:
i. Se as curvas de isocusto tiverem inclinac¸a˜o maior do que a fronteira de produc¸a˜o, ou seja, w1w2 >
b
a
enta˜o teremos uma soluc¸a˜o de canto: x1 =
q
a e x2 = 0. Nesse caso a func¸a˜o custo sera´: C(q) =
w1x1 = w1
q
a
ii. Se as curvas de isocusto forem menos inclinadas do que a fronteira de produc¸a˜o, w1w2 <
b
a e enta˜o
teremos outra soluc¸a˜o de canto: x1 = 0 e x2 =
q
b . A func¸a˜o custo sera´: C(q) = w2x2 = w2
q
b
iii. Se as curvas de isocusto e a fronteira de produc¸a˜o tiverem a mesma inclinac¸a˜o, w1w2 =
b
a , enta˜o
qualquer ponto sobre a fornteira de produc¸a˜o minimizara´ o custo total: x1 ∈ (0, qa ) e x2 = qb − abx1.
A func¸a˜o custo sera´: c(q) = w1x1 + w2x2 = w1x1 + w2(
q
b − abx1) = w2 qb + x1(w1 − w2 ab ); mas
w1
w2
= ba =⇒ w1 = w2 ba . Logo, C(q) = w2 qb + x1(w1 − w2 ab = w2 qb + x10 = w2 qb .
1
As curvas de custo marginal sera˜o:
CMg(q) =

∂(w1 qa )
∂q =
w1
a , se
w1
w2
> ba
∂(w2 qb )
∂q =
w2
b , se
w1
w2
< ba
∂(w2 qb )
∂q =
w2
b , se
w1
w2
= ba
(1)
b) (20 pontos) Suponha agora que a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ dada por f(x1, x2) = x
1
4
1 x
3
4
2 . Qual e´ o
custo marginal da firma?
Com a func¸a˜o de produc¸a˜o Cobb-Douglas, o problema de minimizac¸a˜o de custo pode ser resolvido
normalmente pelo lagrangeano ou pela condic¸a˜o de tangeˆncia. O problema da firma sera´:
minx1,x2 w1x1 + w2x2
s.t. x
1
4
1 x
3
4
2 = q
Enta˜o no ponto o´timo temos a condic¸a˜o de tangeˆncia:
TMST =
PMg1
PMg2
=
w1
w2
=⇒
1
4x
− 34
1 x
3
4
2
3
4x
1
4
1 x
− 14
2
=
w1
w2
=⇒ 1
3
x2
x1
=
w1
w2
=⇒ x2 = 3x1w1
w2
(2)
Substituindo na restric¸a˜o, temos:
x
1
4
1 x
3
4
2 = q =⇒ x
1
4
1
(
3x1
w1
w2
) 3
4
= q =⇒ x1
(
3
w1
w2
) 3
4
= q =⇒ x1 = q
(
w2
3w1
) 3
4
(3)
Logo, substituindo na equac¸a˜o (2):
x2 = 3x1
w1
w2
= 3q
(
w2
3w1
) 3
4 w1
w2
= q
(
3
w1
w2
) 1
4
(4)
Portanto, a func¸a˜o custo sera´:
C(q) = w1q
(
w2
3w1
) 3
4
+ w2q
(
3
w1
w2
) 1
4
= qw
1
4
1 w
3
4
2
(
3−
3
4 + 3
1
4
)
(5)
A func¸a˜o custo marginal sera´:
CMg(q) =
∂C
∂q
= w
1
4
1 w
3
4
2
(
3−
3
4 + 3
1
4
)
(6)
Questa˜o 2 (60 pontos) Considere uma firma que possui uma func¸a˜o de produc¸a˜o dada por y =
f(x1, x2) = x
1
2
1 x
1
2
2 , onde xi denota a quantidade de insumo i ∈ {1, 2} empregado na produc¸a˜o do bem
2
final y. O prec¸o do insumo i ∈ {1, 2} e´ denotado por wi.
a) (20 pontos) Suponha que no curto prazo esta firma esta´ comprometida com 4 unidades do insumo
2, i.e. x2 = 4. Suponha ainda que w1 = 1 e w2 = 2. Encontre e esboce no gra´fico as func¸o˜es custo, custo
me´dio e custo marginal de curto prazo desta firma.
Resposta:
Com o insumo 2 fixo, o problema de curto prazo da firma torna-se:
minx1 w1x1 + 4w2
s.t. x
1
2
1 4
1
2 = q
Como podemos ver pela restric¸a˜o, para um dado n´ıvel de produto q, a quantidade de x1 necessa´ria
ja´ esta´ determinada. Como x2 esta´ fixo, enta˜o na˜o ha´ espac¸o para alterar as proporc¸o˜es dos insumos de
modo a minimizar o custo. Manipulando a restric¸a˜o, teremos:
x
1
2
1 4
1
2 = q =⇒ x1 = q
2
4
(7)
A func¸a˜o custo sera´:
C(q) = w1
q2
4
+ 4w2 =
q2
4
+ 8 (8)
A func¸a˜o custo marginal sera´:
CMg(q) =
∂C
∂q
=
q
2
(9)
A func¸a˜o custo me´dio sera´:
CMe(q) =
C
q
=
q
4
+
8
q
(10)
3
O gra´fico das treˆs curvas sera´ o seguinte:
O ponto de mı´nimo da curva de custo me´dio e´ aquele em que o custo me´dio e´ igual ao custo marginal:
CMg = CMe =⇒ q
2
=
q
4
+
8
q
=⇒ 2q2 = q2 + 32 =⇒ q = 4 (11)
b) (20 pontos) Supondo que o prec¸o do produto final (p) e´ o numera´rio , i.e. p = 1, encontre a
quantidade o´tima demandada pelo insumo 1, o n´ıvel o´timo do produto final e o lucro ma´ximo de curto
prazo.
Resposta:
No curto prazo, vale x2 = 4, que e´ a u´nica especificac¸a˜o para o curto prazo nessa questa˜o. Enta˜o, o
problema de maximizac¸a˜o de lucro sera´:
max
x1
pi = x
1
2
1 4
1
2 − (w1x1 + 4w2) (12)
A condic¸a˜o de primeira ordem sera´:
1
2
x
− 12
1 2− w1 = 0 =⇒ x∗1 = (w1)−2 (13)
o n´ıvel o´timo do produto sera´:
q = x
∗ 12
1 2 =
2
w1
(14)
4
o lucro ma´ximo sera´:
pi = x
∗ 12
1 2− (w1x∗1 + 4w2) =
2
w1
− 1
w1
− 4w2 = 1
w1
− 4w2 (15)
Note que se considerarmos os prec¸os dos insumos do item (b), w1 = 1 e w2 = 2, pelo gra´fico mostrado
fica claro que na˜o vale a pena para a firma operar quando o prec¸o do produto esta´ nesse n´ıvel. Para
p = 1 a curva de custo me´dio se encontra abaixo da curva de custo marginal e, portanto, o lucro sera´
negativo. Nesse caso o n´ıvel de produc¸ao sera´ zero, a firma na˜o demandara´ x1 e o lucro ma´ximo atingido
sera´: pi = 0
1
2 2 − (w10 + 4w2) = −8. No curto prazo o lucro e´ negativo, porque apesar de na˜o produzir
nada, a firma ainda possui o custo fixo.
(Como na˜o esta´ claro no enunciado, vou considerar corretas tanto as respostas que utilizam os prec¸os
do item (b) quanto aquelas em termos de w1 e w2, como nesse gabarito).
c) (20 pontos) Mostre que quando p = 1, w1 = 1 e w2 = 2 o custo de longo prazo e´ sempre menor
ou igual ao custo de curto prazo. Para quais n´ıveis de produto final os custos de curto prazo seriam
iguais? Justifique sua resposta.
Resposta:
A func¸a˜o custo de curto prazo ja´ foi encontrada no item (a). No longo prazo, temos:
minx1,x2 w1x1 + w2x2
s.t. x
1
2
1 x
1
2
2 = q
Nesse caso, a varia´vel x2 e´ tambe´m uma varia´vel de escolha. Como a func¸a˜o de produc¸a˜o e´ uma
Cobb-Douglas, pela condic¸a˜o de tangeˆncia, temos:
TMST =
PMg1
PMg2
=
w1
w2
=⇒
1
2x
− 12
1 x
1
2
2
1
2x
1
2
1 x
− 12
2
=
w1
w2
=⇒ x2 = x1w1
w2
(16)
Substituindo na restric¸a˜o temos:
x
1
2
1
(
x1
w1
w2
) 1
2
= q =⇒ x1 = q
(
w2
w1
) 1
2
(17)
Logo,
x2 = q
(
w2
w1
) 1
2 w1
w2
= q
(
w1
w2
) 1
2
(18)
A func¸a˜o custo de longo prazo sera´:
CL(q) = w1q
(
w2
w1
) 1
2
+ w2q
(
w1
w2
) 1
2
= 2q (w1w2)
1
2 (19)
5
Com os prec¸os w1 = 1 e w2 = 2, temos:
CL(q) = 2
3
2 q (20)
A func¸a˜o custo de curto prazo calculada no item (a) e´ dada por:
CC(q) =
q2
4
+ 8 (21)
Uma forma simples de mostrar que CL ≤ CC ,∀q ≥ 0 e´ a seguinte. Para que a curva de longo prazo
seja sempre menor ou igual a` curva de curto prazo, e´ necessa´rio que a diferenc¸a entre as duas func¸o˜es
seja menor ou igual a zero para qualquer q ≥ 0. Seja D(q) a diferenc¸a entre as duas func¸o˜es; enta˜o:
D(q) = CL(q)− CC(q) = 2 32 q − q
2
4
− 8 (22)
Vamos analisar o sinal dessa func¸a˜o, que e´ um polinoˆmio do segundo grau. Para D(p) = 0 temos:
∆ =
(
2
3
2
)2
− 4×
(
−1
4
)
× (−8) = 8− 8 = 0 (23)
A soluc¸a˜o para a equac¸a˜o sera´ u´nica:
q =
−2 32
2×− 14
= 2
5
2 (24)
Como a func¸a˜o D(q) e´ um polinoˆnio de segundo grau cujo coeficiente do termo quadra´tico e´ negativo,
enta˜o a raiz u´nica q = 2
5
2 sera´ o ponto de ma´ximo global em que D(q) = 0. Logo, para qualquer outro
valor de q, D(p) < 0. Portanto, temos:
Se q = 2
5
2 , D(q) = 0 =⇒ CL = CC
Se q 6= 2 52 , D(q) < 0 =⇒ CL < CC
6