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Disciplina:Introdução à Probabilidade e a Estatística II116 materiais1.279 seguidores
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Bussab&Morettin Estatística Básica

Capítulo 05

Problema 01.
Representando por C a ocorrência cara e por V a ocorrência de coroa no arremesso, e
também por B a retirada de bola branca e por V a retirada de bola vermelha, um espaço
amostral para este experimento pode ser descrito por

},,,{ VVVBBRBC=Ω

Problema 02.
O espaço amostral para esse experimento é um conjunto infinito. Seja 5 a representação da
ocorrência da face 5 e Q a representação de outra face qualquer do dado. Então o
experimento tem um espaço amostral dado por

},,,,{ 5555 QQQQQQ=Ω

Problema 03.
Os resultados possíveis desse torneio de tênis constituem o espaço amostral de um
experimento que consiste em verificá-los. Desse modo, podemos representar esse conjunto
da seguinte forma:

},,,,,,,{ BCABBCAABCCBBACBAACBBACCAA=Ω

Problema 04.
Dois possíveis espaços amostram para o experimento podem ser obtidos através de
maneiras diferentes de definir os pontos amostrais do experimento:

• designando C para cara e R para coroa, temos um primeiro espaço amostral,
},,,{ RRRCCRCC=Ω 1 ;

• se cada ponto amostral ω representa o número de caras nos lançamentos, um outro
espaço amostral é descrito por },,{ 2102 =Ω .

Podemos representar 1Ω como produto cartesiano da seguinte forma:
},{},{ RCRC ×=Ω 1

Problema 05.
Usando a mesma representação dos problemas anteriores,

},,,,,{},{)},(,),,(),,(,),,(),,({ 65432161621 ×==Ω RCRRCCC 

Problema 06.

(a) )},(,),,(,),,(),,(,),,(),,(),,({ 66622212312111 =Ω

(b) s.defeituosa peças de máximo número o é que em 210 MM },,,,,{ =Ω

(c) Representando por M a ocorrência de uma criança do sexo masculino e por F a
ocorrência de uma criança do sexo feminino, temos:

}
{
F)F, (F,

 M), F,(F, F), M, (F, F), F, (M, M), M, (F, M), F, (M, F), M, (M, M), M, (M,=Ω

(d) Sendo S (sim) e N (não), segue o espaço amostral do experimento:

Cap.05 – Pág.1 1

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S)},S,S,(S,,N),,N,S,(S, , N), , N, N, (S, N),, N, N, (N, {=Ω

(e) O espaço amostral desse experimento é contínuo, dado por
},{ 0R >∈=Ω tt

(f) },{ 10 5, 4, 3, =Ω

(g) Outro exemplo de espaço amostral dado por um conjunto infinito:
}{ 4, 3, 2, 1,=Ω

(h) Ω = {0°, 6°, 12°, , 354°}

(i) Ω = [0°, 360°) (espaço amostral contínuo)

(j) E)} (E,, B), (E, A), (E, , B), (B, A), (B, E), (A,,B),(A, A), (A, {=Ω

(l) D)} (E, , B), (E, A), (E, , C),(B, A), (B, E), (A,,C), (A, B), (A, {=Ω

(k) E)} (D, E), (C, D), (C, E), (B, D), (B, C),(B, E), (A, D), (A,C), (A, B), (A, {=Ω

(l) Denotando cada estado civil por: S (solteiro), Ca (casado) e V (viúvo), temos

V)}.(D, Ca),(D,
 S), (D, V),(C, Ca), (C, S), (C, V),(B, Ca),(B, S), (B, V),(A,Ca), (A, S), (A,{=Ω

Problema 07.

(a) },,{ RCCRCC

(b) }{CC

(c) },,{ RRRCCR

Problema 08.

(a) cBA ∩

(b) )()( BABA cc ∩∪∩

(c) ( ) ccc BABA ∩=∪
Problema 09.

(a) 1
16
14

8
12

4
12

8

1
=




+



+




=∑
=

)(
i

iP ω

(b)
16
5

16
1

4
1 vencer =




+



=∪= )()( BCAAAAPAP (no lugar da vírgula, sinal de união)

16
5

16
1

4
1 vencer) =




+



=∪= )(( ACBBBBPBP

(c) 



=




+



=∪=

8
1

16
1

16
1 decisão)haver não )(( BCABACBAPP

Cap.05 – Pág.2 2

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Problema 10.
(a) Usando o que segue,

Resultado: Se ),,,( 210 aaa for uma PG (progressão geométrica) infinita de razão q,

|q| < 1, então a soma de seus termos é dada por
q

aa
i

i
−

=∑
∞

= 1
0

0
 ,

temos 1
61

1
6
1

651
1

6
1

6
5

6
1

6
1

6
5

00
=





=





−

=



=


 ∑∑ ∞

=

∞

= k

k

k

k

.

(b) Nesse caso, k = 2, e então

P(face 5 após três lançamentos do dado) 120
216
25

6
5

6
1

2

,≅=



=

Problema 11.

470
91
43

13
7

14
8

13
5

14
6

negativos doispositivos doissinal mesmo de números dois

,

)()()(

≅=






+







=

=+= PPP

Problema 12.
}),(),,(),,(),,({ 36455463=A

}),(,),,(),,(,,),(),,(,),,({ 661665156414 =B
)},(,),,(),,(,,),(),,(,),,(),,({ 66166515641463 =∪ BA

)},(),,(),,({ 364554=∩ BA
),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( 332313625242322212615141312111=cA

}),(),,(
),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(

6656
462616655535251564443424145343

Problema 13.
Do Problema 07:

(a)
4
3

4
1

4
1

4
1

2
1

2
1

2
1

2
1

2
1

2
1cara uma menos pelo =++=







+






+







=)(P

(b)
4
1

2
1

2
1caras duas =







=)(P

(c) Seja E o evento “ocorrem duas caras”. Então,
4
3

4
11E1 =−=−= )()( PEP c

Do Problema 12:
Se o espaço amostral do experimento (lançamento de dois dados) tem 36 pontos amostrais,
então,

• 110
36
4A ,)( ≅=P ;

Cap.05 – Pág.3 3

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• 500
36
18B ,)( ==P ;

• ;,)( 530
36
19A ≅=∪ BP

• 080
36
3A ,)( ≅=∩ BP ;

• .,()( 890
36
32A)1Ac ≅=−= PP

Problema 14.
(a) O dado não deve ser viciado, ou seja, todas as faces estão equilibradas.
(b) Devemos ter para cada alternativa de resposta a mesma quantidade de opiniões de

moradores, por exemplo, 50% a favor e 50% contra se existirem apenas duas
alternativas.

(c)

Problema 15.
(a) Seja P a ocorrência de bola preta, e V a ocorrência de bola vermelha. Então,

Res
ulta
do

Probabilidade

PP 107,028/3)7/2)(8/3( ≅=

PV 26805615 ,/ ≅

VP 26805615 ,/ ≅

VV 1070283 ,/ ≅

(b) Usando a mesma notação,

Res
ulta
do

Probabilidad
e

PP 141,064/9)8/3)(8/3( ≅=

PV 23406415 ,/ ≅

VP 23406415 ,/ ≅

VV 39106425 ,/ ≅

Problema 16.
(a) Sem reposição:

1070extrações segunda na e primeira na preta bola ,)( ≅P
Com reposição:

Cap.05 – Pág.4 4

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1410extrações segunda na e primeira na preta bola ,)( ≅P

Cap.05 – Pág.5 5

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(b) Sem reposição

3750
56
21

56
15

28
3extração segunda na preta bola ,)( ==




+



=P

Com reposição:

3750
64
15

64
9extração segunda na preta bola ,)( =




+



=P

(c) Sem reposição

6250
14
5

56
15extração primeira na vermelhabola ,)( =




+



=P

Com reposição:

6250
64
25

64
15extração primeira na vermelhabola ,)( =




+



=P

Problema 17.
Sejam os eventos A: A resolve o problema, e B: B resolve o problema. Como trabalham
independentemente, temos que )()()( BPAPBAP =∩ e

920
12
11

2
1

4
3

3
2

4
3

3
2

4
3

3
2 ,)()()()( ≅=−+=







−+=∩−+=∪ BAPBPAPBAP

Problema 18.
Como a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor, digamos que a
constante de proporcionalidade é k, e então vamos encontrar o valor de k:

∑ ∑
= =

=⇒=⇒=

==

6

1

6

1 21
111

61

j j
kjkjP

jjkjP

.)(

.,,,.)( 

(a) Utilizando o conceito de probabilidade condicional,

=

++
==

∩
=

)()()(
)/.(

)(
)(

)(
)()|(

531
2115

ímpar
5

ímpar
ímpar5ímpar5

PPPP
P

P
PP

560
9
5

215213211
215 ,

)/()/()/(
/

≅=
++

=

(b) Novamente, aplicando probabilidade condicional,

670

15
10

211654
21146

65(4
64

3
3par3par ,

)/).((
)/).((

)()()
)()(

)(
)()|( ≅=

++

+
=

++

+
=

>

>∩
=>

PPP
PP

P
PP

Problema 19.

(a) ))(( qp −− 11 , pois se A e B são independentes, Ac e Bc também são independentes.

(b) pqqp −+ (probabilidade da união de dois eventos independentes).

Problema 20.

Cap.05 – Pág.6 6

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Os componentes 2 e 3 funcionam em paralelo entre si e em série com o componente 1.
Assim, a confiabilidade desse sistema é dada por

)())()((),,()( 32321321 3e1ou2e1funcionar sistema pppppPppphP −+===

Problema 21.
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, )()()( BAPBPAP ∩= . Nesse
caso, )(,,,.,)()( BAPBPAP ∩=≠== 0400120120100 . Portanto, os eventos A e B não
são independentes.

Problema 22.
Os componentes 1 e 2 funcionam em série, bem como os componentes 3 e 4. Os sub-
sistemas formados funcionam em paralelo. Assim,

)())()(()()( 22422 24e3ou2e1funcionar sistema pppppPphP −=−+===

Problema 23.
Sejam os eventos:

• D o circuito escolhido não funciona;
• I: o circuito escolhido é feito