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capitulo5

DisciplinaIntrodução à Probabilidade e A Estatística II205 materiais1.648 seguidores
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```,\u2245+
(c) 110
15800
1800 ,\u2245
(d) 290
2800
800 ,\u2245
Problema 41.
(a) 280
15800
8300
15800
8300 ,\u2245\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
(b) 020
15800
2000
15800
2800 ,\u2245\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
(c) 680
15800
13000
15800
13000 ,\u2245\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
Problema 42.
(a) 280
15800
8299
15800
8300 ,\u2245\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
(b) 680
15800
12999
15800
13000 ,\u2245\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
Cap.05 \u2013 Pág.12 12
Bussab&Morettin Estatística Básica
Os resultados obtidos são muito próximos, pois é grande o número de empregados na
empresa, de modo que não faz grande diferença se a seleção for feita com ou sem
reposição.
Problema 43.
(a) Representando o espaço amostral por \u2126, temos
), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , {( b c a c b a c c a a c a c a a b b a a b a b a a a a a = \u2126
),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,( acbcabccbbcbcbbaabbababbbbb
)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,( cccabcbaccbcbbcbcccacaacacc
(b) )},,(),,,(),,,{( cccbbbaaaA =
}),,(
),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(
ccc
bccacccbbbbbabbcaabaaaaaB =
.
Problema 44.
\u2022 400,)|( =ARP ;
\u2022 200,)|( =BRP ;
\u2022 100,)|( =CRP .
Sendo X = RRRMMMMM, tem-se:
\u2022 004980600400 53 ,),(),()|( \u2245=AXP ;
\u2022 002620800200 53 ,),(),()|( \u2245=BXP ;
\u2022 000590900100 53 ,),(),()|( \u2245=CXP .
E logo,
)()|()()|()()|()( CPCXPBPBXPAPAXPXP ++=
( ) ( ) ( ) 02730
3
1000590
3
1002620
3
1004980 ,,,, \u2245\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2245 ,
0720
002730
31000590 ,
,
)/(),(
)(
)()|()|( \u2245\u2245=
XP
CPCXPXCP
Problema 45
Para que pelo menos um dos dois próximos artigos selecionado seja de segunda qualidade,
ou ambos são, ou apenas o próximo artigo é de segunda qualidade, ou apenas o seguinte é
de segunda qualidade. Uma vez que já foram retirados b artigos e todos foram de segunda
qualidade, atualmente há m itens de primeira qualidade e n - b de segunda, num total de
m + n - b itens ainda para inspeção. Para as duas próximas seleções poderia ocorrer uma
das seguintes possibilidades : SS, SP, PS ou PP, portanto a resposta será:
P(SS) + P(SP) + P(PS) = 1- P(PP)
Calculando obtém-se
Cap.05 \u2013 Pág.13 13
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\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212+
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212=\u2212
2
bnm
2
m
0
bn
1)PP(P1
( ) )()(
)(
!
)!(!
)!(!
!
1
1122
22
1
\u2212\u2212+\u2212+
\u2212
\u2212=
\u2212+
\u2212\u2212+
\u2212
\u2212=
bnmbnm
mm
bnm
bnm
m
m
Problema 46.
Temos, por hipótese, que )()()( BPAPBAP =\u2229 . Então,
\u2022 )()()()())(()( BAPBPAPBAPBAPBAP ccc \u2229+\u2212\u2212=\u222a\u2212=\u2229=\u2229 11 =
[ ] [ ] )()()()( cc BPAPBPAP =\u2212\u2212= 11
\u2022 )()()()()()( BPAPAPBAPAPBAP c \u2212=\u2229\u2212=\u2229 =
[ ] )()()()( cBPAPBPAP =\u2212= 1
\u2022 )()()()()()( BPAPBPBAPBPBAP c \u2212=\u2229\u2212=\u2229 =
[ ] )()()()( BPAPAPBP c=\u2212= 1
Problema 47.
( ) ( ))()()()()( CBAPCBPAPCBAPCBAP \u222a\u2229\u2212\u222a+=\u222a\u222a=\u222a\u222a =
[ ])()()()()()()( CBAPCAPBAPCBPCPBPAP \u2229\u2229\u2212\u2229+\u2229\u2212\u2229\u2212++= =
)()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAP \u2229\u2229+\u2229\u2212\u2229\u2212\u2229\u2212++=
Problema 48.
Os componentes 1 e 2, bem como os componentes 4 e 5, estão ligados em série. Esses dois
sub-sistemas estão em paralelo com o componente 3. Assim, a confiabilidade do sub-
sistema formado pelos componentes 1, 2 e 3 é dada por 32 ppp \u2212+ . Logo, a
)()( 322232 ppppppppph \u2212+\u2212+\u2212+= 534322 pppppp +\u2212\u2212\u2212+= =
)( 12222 2342345 ++\u2212\u2212=++\u2212\u2212= pppppppppp
Problema 49.
(a) Como mostra a figura abaixo, esse evento está delimitado por um semi-círculo de raio
1, cuja origem é o ponto (0,0).
Cap.05 \u2013 Pág.14 14
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Representação gráfica do evento
A.
todo. Como a área do quadrado é 1, temos que P(A) é a área da região A, ou seja,
44
2 pipi
==
RAP )(
(c) O evento B está representado na figura seguinte:
Representação gráfica do
evento B
Vamos então calcular P(B), o que equivale a calcular a área da região B. Uma
maneira simples de calcular a área de B é retirar a área do quadrado de lado b da área
total, que é 1. Desse modo,. 21 bBP \u2212=)(
Cap.05 \u2013 Pág.15 15
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(d) O evento Bc está representado na figura seguinte:
Representação gráfica do
evento Bc.
Utilizando a definição de probabilidades de eventos complementares,
.)()( 21 bBPBP c =\u2212=
Problema 50.
Representação gráfica do evento A Representação gráfica do evento B
\u2022
6
1
2
1
3
1
3
2
=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=)(AP
\u2022
4
1
4
1
4
3
2
1
=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=)(BP
Cap.05 \u2013 Pág.16 16
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\u2022
24
1
4
1
2
1
2
1
3
2
=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u2229 )( BAP
\u2022
8
3
24
1
4
1
6
1
=\u2212+=\u2229\u2212+=\u222a )()()()( BAPBPAPBAP
\u2022
6
5
6
111 =\u2212=\u2212= )()( APAP c
\u2022
4
3
4
111 =\u2212=\u2212= )()( BPBP c
\u2022 ( )
8
5
8
311 =\u2212=\u222a\u2212=\u222a=\u2229 )()()( BAPBAPBAP ccc
Problema 51.
A probabilidade de um evento qualquer A seria definida como a área da região no plano (ou
Problema 52.
Problema 53.
Esta probabilidade (representada aqui por p) é o quociente entre o número de amostras em
que não há repetição sobre o número total de amostras com reposição. Do problema
anterior, tem-se que o número de amostras de tamanho n (obtidas de uma população de
tamanho N) em que não ocorrem repetições é dado por (N)n. Assim,
n
n
N
Np )(=
Problema 54.
Considere o caso particular em que N = 5 e n = 2. Do conjunto 51 aa ,,\ue08b , retiram-se
amostras de tamanho 2, sem reposição. Os resultados possíveis são:
51413121 aaaaaaaa ,,,
524232 aaaaaa ,,
5343 aaaa ,
54 aa
Como se vê, nesse caso existem 10 = \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
n
N
2
5
amostras sem reposição.
Problema 55.
(a) )()()()()()())(( CBPAPCPBPAPCBAPCBAP \u2229==\u2229\u2229=\u2229\u2229
(b) =\u222a\u222a\u2212++\u222a=\u2229\u222a ))(()()()())(( CBAPCPBPBAPCBAP
)()()()()( CPBPAPBPAP +\u2212+=
[ )()()()()()()( CPAPBPAPCPBPAP \u2212\u2212++\u2212
Cap.05 \u2013 Pág.17 17
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])()()()()( CPBPAPCPBP +\u2212
=\u2212+=\u2229\u222a\u21d2 )()()()()()()())(( CPBPAPCPAPCPAPCBAP
[ ] )()()()()()()( CPBAPCPBPAPBPAP \u222a=\u2212+=
Problema 56.
)()()( cBAPBAPAP \u2229+\u2229=
)()()( cBPBAPAP +\u2229\u2264
4
1
3
1
+\u2229\u2264 )( BAP
12
1\u2265\u2229\u21d2 )( BAP
Portanto, os eventos A e B não podem ser mutuamente exclusivos, pois 0\u2260\u2229 )( BAP .
Problema 57.
O enunciado indica que os componentes 2 e 3 estão ligados em paralelo entre si e em série
com o componente 1. Desse modo,
8460560700800900 ,),,,(),()( =\u2212+=ph
Problema 58.
Os eventos V e VU \u222a podem ser escritos como
)()( VUVUV c \u2229\u222a\u2229=
UVUUV c \u222a\u2229=\u222a )(
Assim,
)()()( VUPVUPVP c \u2229+\u2229= (1)
)()()( UPVUPUVP c +\u2229=\u222a (2)
A partir disso, subtraindo (2) de (1), temos
)()()()( UPVUPVUPVP \u2212\u2229=\u222a\u2212
e logo
)()()()( VUPVPUPVUP \u2229\u2212+=\u222a
Problema 59.
(a) De acordo com o enunciado, tem-se
},{},{},,{ 101011e110011110101 321 === AAA .
Assim,
0
2
1
2
1
2
1
321 ==== )(;)(;)(;)( APAPAPAP
(b) Os conjuntos indicados são os seguintes:
}{},{},{, 0113101110 23121 =\u2229=\u2229=\u2229= AAAAAAA \u3c6 .
Desse modo,
\u2022 )()()( 2121 4
1 APAPAAP ==\u2229 ;
Cap.05 \u2013 Pág.18 18
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\u2022 )()()( 3131 4
1 APAPAAP ==\u2229 ;
\u2022 )()()( 3232 4
1 APAPAAP ==\u2229 ;
\u2022 )()()()( 321321 0 APAPAPAAAP \u2260=\u2229\u2229
Portanto, os eventos são mutuamente independentes, ou seja, são independentes dois a dois,
mas não são independentes.
Problema 60.
Para n eventos quaisquer A1, ..., An, (5.10) pode ser escrita como
)|()|()|()()( 112131211 \u2212\u2229\u2229\u2229=\u2229\u2229 nnn AAAPAAAPAAPAPAAP \ue08b\ue08b\ue08b
Problema 61.
Os eventos A1, ..., An são independentes se, e somente se,
.,,,)()( niiAPAAP
n
i
in \ue08b\ue08b 1
1
1 =\u2200=\u2229\u2229 \u220f
=
Problema 62.
Como já foi visto no problema anterior, a probabilidade de uma amostra ordenada com
reposição, de tamanho k, ter todos os elementos distintos é igual a k
k
365
365)(
. Logo, no caso,
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
=
\u2212\u2212\u2212
=\u2212
365
1365
365
1365
365
365
365
136513653651 )())(()( kkp k \ue08b
\ue08b
ou seja,
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u2212
365
11
365
21
365
111 kp \ue08b .
Problema 63.
365
12111 )( \u2212+++\u2212\u2248\u2212 kp \ue08b ,
desprezando os produtos com denominadores (365)2, (365)3, etc.
Problema 64.
Temos que P(A) = 0,20 , P(B) = 0,50 , P(C) = 0,30, P(F | A) = 0,20, P(F |```